Die Aufgaben stammen aus verschiedenen technischen und alltäglichen Bereichen und sind nach ansteigendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Pro Aufgabe ist eine Skizze und ausreichend Platz für die Lösung vorgesehen. Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Mit \( g = 9.81\,\text{m/s}^2 \).
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Verkehr | Überholmanöver auf der Autobahn | ●●○ |
| 2 | Sicherheit | Anhalteweg eines Autos | ●●● |
| 3 | Sport | Sprintphasen 100-Meter-Lauf | ●●● |
| 4 | Bauwesen | Stein vom Gerüst | ●●○ |
| 5 | Sport | Basketballwurf | ●●● |
| 6 | Technik | Schleifscheibe | ●●○ |
| 7 | Luftfahrt | Flugzeug mit Seitenwind | ●●● |
| 8 | Verkehr | Aufprall-Energie aus Fallhöhe | ●●● |
Ein PKW fährt mit \( v_1 = 110\,\text{km/h} \) hinter einem LKW her, der mit \( v_2 = 85\,\text{km/h} \) unterwegs ist. Beim Beginn des Überholens beträgt der Abstand zum LKW \( s_0 = 60\,\text{m} \). Beide Fahrzeuge fahren mit konstanter Geschwindigkeit.
(a) Wie lange dauert es, bis der PKW den LKW eingeholt hat?
(b) Welche Strecke hat der PKW in dieser Zeit zurückgelegt?
Lösungsweg:
Ein Auto fährt mit \( v_0 = 50\,\text{km/h} \). Die Reaktionszeit des Fahrers beträgt \( t_R = 1.0\,\text{s} \), die Bremsverzögerung \( |a| = 7.0\,\text{m/s}^2 \).
(a) Wie lang ist der Reaktionsweg (mit \( v_0 \) während der Reaktionszeit)?
(b) Wie lang ist der Bremsweg?
(c) Wie lang ist der gesamte Anhalteweg?
(d) Wie ändert sich der Anhalteweg, wenn \( v_0 \) verdoppelt wird? Begründe.
Lösungsweg:
Eine Sprinterin beschleunigt aus dem Stand in \( t_1 = 3.0\,\text{s} \) gleichmässig auf ihre Höchstgeschwindigkeit \( v_{\max} \) und läuft dann mit konstanter Geschwindigkeit bis zur Ziellinie. Sie braucht für die 100 m insgesamt \( 12.0\,\text{s} \).
(a) Berechne \( v_{\max} \) und die durchschnittliche Beschleunigung der Anlaufphase.
(b) Welche Strecke legt sie in der Beschleunigungsphase zurück?
(c) Skizziere das \(v\)-\(t\)-Diagramm der Bewegung.
Lösungsweg:
Von einem Baugerüst in \( h = 18\,\text{m} \) Höhe fällt ein Stein frei nach unten (Luftwiderstand vernachlässigbar).
(a) Wie lange fällt der Stein?
(b) Mit welcher Geschwindigkeit (in m/s und km/h) trifft er am Boden auf?
(c) Welche Geschwindigkeit hat er auf halber Fallstrecke (\(h_2 = 9\,\text{m}\))?
Lösungsweg:
Ein Basketballspieler wirft den Ball aus \( h_0 = 2.0\,\text{m} \) Höhe in einem Winkel von \( \alpha = 52° \) mit \( v_0 = 8.5\,\text{m/s} \). Der Korb hängt in \( h_K = 3.05\,\text{m} \) Höhe.
(a) Stelle die Bewegungsgleichungen \(x(t)\) und \(y(t)\) auf (Ursprung am Abwurfort).
(b) Wann ist der Ball auf gleicher Höhe wie der Korb (also \(y = 1.05\,\text{m}\) über dem Abwurfort)?
(c) Welcher horizontale Abstand muss zum Korb bestehen, damit der Ball trifft?
Lösungsweg:
Eine Schleifscheibe mit \( d = 25\,\text{cm} \) Durchmesser dreht mit \( n = 2800\,\text{U/min} \).
(a) Berechne Frequenz \(f\), Periode \(T\) und Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).
(b) Mit welcher Bahngeschwindigkeit \(v\) bewegt sich ein Punkt am Rand der Scheibe?
(c) Wie gross ist dort die Zentripetalbeschleunigung \(a_z\)? Vergleiche mit \(g\).
Lösungsweg:
Ein Sportflugzeug fliegt gegenüber der umgebenden Luft mit \( v_L = 180\,\text{km/h} \) in Richtung Norden. Der Wind weht mit \( v_W = 50\,\text{km/h} \) genau aus Westen.
(a) Berechne den Betrag der Geschwindigkeit gegenüber dem Boden.
(b) Um welchen Winkel weicht die tatsächliche Flugbahn von der gewünschten Nordrichtung ab?
(c) In welche Richtung müsste der Pilot die Flugzeugnase relativ zur Luft halten, um
tatsächlich nach Norden zu fliegen? (Skizze und kurze Begründung)
Lösungsweg:
Eine alte Faustregel besagt: „Ein Aufprall mit \(50\,\text{km/h}\) entspricht einem freien Fall aus etwa \(10\,\text{m}\) Höhe — einer Wohnung im dritten Stock."
(a) Aus welcher Höhe \(h\) muss ein Körper fallen, damit die Aufprallgeschwindigkeit
\(50\,\text{km/h}\) beträgt?
(b) Welcher Höhe entsprechen \(80\,\text{km/h}\) und welche \(120\,\text{km/h}\)?
(c) Erkläre quantitativ, weshalb sich die Aufprallwucht beim Verdoppeln der Geschwindigkeit nicht
verdoppelt, sondern vervierfacht.
Lösungsweg:
Relativgeschwindigkeit: \( \Delta v = 110 - 85 = 25\,\text{km/h} = 6.94\,\text{m/s} \).
(a) \( t = \dfrac{s_0}{\Delta v} = \dfrac{60}{6.94} \approx 8.64\,\text{s} \).
(b) \( s_\text{PKW} = v_1 \cdot t = 30.56 \cdot 8.64 \approx 264\,\text{m} \).
\( v_0 = 50\,\text{km/h} = 13.89\,\text{m/s} \).
(a) Reaktionsweg: \( s_R = v_0 \cdot t_R = 13.89 \cdot 1.0 \approx 13.9\,\text{m} \).
(b) Bremsweg (zeitfrei, \( v=0 \)): \( s_B = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot |a|} = \dfrac{(13.89)^2}{14} \approx 13.8\,\text{m} \).
(c) Anhalteweg: \( s_A = s_R + s_B \approx 27.7\,\text{m} \).
(d) Bei \( 2 \cdot v_0 \): Reaktionsweg verdoppelt sich (linear), Bremsweg vervierfacht sich (\(s_B \propto v_0^2\)). Der Anhalteweg wächst überproportional.
Beschleunigungsphase: \(t_1 = 3.0\,\text{s}\), Strecke \(s_1\), Endgeschwindigkeit \(v_{\max}\). Restphase: \(t_2 = 9.0\,\text{s}\), Strecke \(s_2 = v_{\max} \cdot t_2\). Bedingung: \(s_1 + s_2 = 100\,\text{m}\).
Mit \( s_1 = \tfrac{1}{2} v_{\max} t_1 \) (Dreieck im \(v\)-\(t\)-Diagramm): \(\tfrac{1}{2} v_{\max} \cdot 3 + v_{\max} \cdot 9 = 100 \Rightarrow 10.5 \cdot v_{\max} = 100 \Rightarrow v_{\max} \approx 9.52\,\text{m/s} \;\hat=\; 34.3\,\text{km/h}\).
(a) \( a = \dfrac{v_{\max}}{t_1} = \dfrac{9.52}{3.0} \approx 3.17\,\text{m/s}^2 \).
(b) \( s_1 = \tfrac{1}{2} \cdot 9.52 \cdot 3.0 \approx 14.3\,\text{m} \).
(c) \(v\)-\(t\)-Diagramm: Gerade von \((0,0)\) nach \((3,\,9.52)\), dann waagrecht bis \((12,\,9.52)\).
(a) Aus \( h = \tfrac{1}{2} g t^2 \): \( t = \sqrt{2h/g} = \sqrt{36/9.81} \approx 1.92\,\text{s} \).
(b) \( v = g \cdot t \approx 9.81 \cdot 1.92 \approx 18.8\,\text{m/s} \;\hat=\; 67.8\,\text{km/h} \).
(c) Auf halber Strecke: \( v = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 9} \approx 13.3\,\text{m/s} \). Achtung: weniger als die Hälfte der Endgeschwindigkeit, weil \(v \propto \sqrt{h}\).
\( v_{0x} = 8.5 \cdot \cos 52° \approx 5.23\,\text{m/s} \), \( v_{0y} = 8.5 \cdot \sin 52° \approx 6.70\,\text{m/s} \).
(a) \( x(t) = 5.23 \cdot t \), \( y(t) = 6.70 \cdot t - \tfrac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot t^2 \).
(b) \( 1.05 = 6.70 \cdot t - 4.905 \cdot t^2 \Rightarrow 4.905 t^2 - 6.70 t + 1.05 = 0 \). Lösungen \(t_1 \approx 0.183\,\text{s}\) (steigend), \(t_2 \approx 1.183\,\text{s}\) (fallend).
(c) Beim fallenden Durchgang: \( x = 5.23 \cdot 1.183 \approx 6.19\,\text{m} \) Abstand zum Korb.
(a) \( f = 2800/60 \approx 46.7\,\text{Hz} \); \( T = 1/f \approx 0.0214\,\text{s} \); \( \omega = 2\pi f \approx 293\,\text{rad/s} \).
(b) \( v = \omega \cdot r = 293 \cdot 0.125 \approx 36.7\,\text{m/s} \;\hat=\; 132\,\text{km/h} \).
(c) \( a_z = \omega^2 \cdot r = 293^2 \cdot 0.125 \approx 10\,730\,\text{m/s}^2 \approx 1094\,g \). Eindrücklich gross — daher die Anforderungen an die Festigkeit der Scheibe.
Senkrechte Komponenten \(\Rightarrow\) Pythagoras.
(a) \( v_\text{Boden} = \sqrt{180^2 + 50^2} = \sqrt{32400 + 2500} = \sqrt{34900} \approx 187\,\text{km/h} \).
(b) Abweichungswinkel von Nord: \( \tan\beta = \dfrac{50}{180} \approx 0.278 \Rightarrow \beta \approx 15.5° \) (nach Osten).
(c) Der Pilot muss die Nase nach Westen gegen den Wind richten, damit die Ostkomponente kompensiert wird (Vorhaltewinkel). Konkret: \(\sin\gamma = 50/180 \Rightarrow \gamma \approx 16.1°\) westwärts.
Aus \( v^2 = 2 g h \Rightarrow h = v^2/(2g) \).
(a) \( v = 50\,\text{km/h} = 13.89\,\text{m/s} \): \( h = 13.89^2 / 19.62 \approx 9.8\,\text{m} \) — passt zur Faustregel.
(b) \( 80\,\text{km/h} = 22.22\,\text{m/s} \): \( h \approx 25.2\,\text{m} \) (≈ 8. Stock). \( 120\,\text{km/h} = 33.33\,\text{m/s} \): \( h \approx 56.6\,\text{m} \) (≈ 18. Stock).
(c) Die kinetische Energie ist proportional zu \(v^2\). Verdoppelt sich \(v\), vervierfacht sich \(v^2\) und damit auch die nötige Fallhöhe bzw. die freiwerdende Aufprallenergie.