4.1 Kinematik des Schwerpunkts
Bewegungen ohne Berücksichtigung der Ursachen — Wege, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen.
- die Begriffe «Schwerpunkt», «Bahnkurve», «Geschwindigkeit» und «Beschleunigung» definieren
- die Geschwindigkeit in Vektor-Form darstellen und damit Relativbewegungen und absolute Bewegungen berechnen
- Aufgabenstellungen zu folgenden Bewegungsarten lösen: geradlinig gleichförmige Bewegung, gleichmässig beschleunigte Bewegung, freier Fall, parabolische Bewegung
- die gleichförmige Kreisbewegung mit den dazugehörigen Grössen (Rotationsfrequenz, Winkelgeschwindigkeit, Zentripetalbeschleunigung) bestimmen und damit einfache Berechnungen durchführen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Schwerpunkt, Bahnkurve, Geschwindigkeit und Beschleunigung in eigenen Worten erklären und unterscheiden.
- Ich kann die Geschwindigkeit als Vektor darstellen und damit Relativbewegungen berechnen.
- Ich kann Aufgaben zur gleichförmigen und zur gleichmässig beschleunigten Bewegung lösen.
- Ich kann den freien Fall und den Wurf mit den Bewegungsgleichungen beschreiben.
- Ich kann bei der Kreisbewegung Rotationsfrequenz, Winkelgeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung bestimmen.
Einstieg — Wie schnell fährt der Zug?
Ein InterRegio fährt von Bern nach Zürich. Auf einer Strecke von 120 km benötigt er 60 min. Die Anzeige im Wagen zeigt aber unterwegs schwankende Werte — auf freier Strecke zwischen 140 km/h und 160 km/h, beim Zwischenhalt sogar 0 km/h. Was ist nun seine Geschwindigkeit?
Die Antwort hängt davon ab, was wir meinen. Die Durchschnittsgeschwindigkeit über die ganze Fahrt ist
\[ \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{120\;\text{km}}{1\;\text{h}} = 120\;\text{km/h}. \]Die Momentangeschwindigkeit dagegen ist das, was die Anzeige im Wagen liefert — sie kann von Augenblick zu Augenblick variieren. Die Kinematik beschreibt beides systematisch.
Drei Erfahrungen, die wir aus dem Alltag kennen — und die Physik gleich beschreibt:
- Konstante Geschwindigkeit — ein Auto auf der Autobahn mit Tempomat. In gleichen Zeiten gleiche Strecken.
- Beschleunigung — das Anfahren an der Ampel. Pro Sekunde wird die Geschwindigkeit grösser.
- Freier Fall — eine Münze, die vom Tisch rutscht. Sie fällt nicht gleich schnell die ganze Zeit, sondern wird immer schneller.
✏️ Mini-Check
Ein Auto legt in \(2\;\text{h}\) eine Strecke von \(150\;\text{km}\) zurück. Wie gross ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit?
- \(50\;\text{km/h}\)
- \(75\;\text{km/h}\)
- \(300\;\text{km/h}\)
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Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg die benötigte Zeit.
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Rechne \(72\;\text{km/h}\) in \(\text{m/s}\) um.
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Der Zug aus dem Einstieg legt die ersten \(20\;\text{km}\) in \(10\;\text{min}\) zurück und erreicht dabei zeitweise \(150\;\text{km/h}\). Wie gross ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit auf diesem Abschnitt — und warum ist sie kleiner als \(150\;\text{km/h}\)? (Prüfe mit den Markern \(t_1 = 0\) und \(t_2 = 10\;\text{min}\) in der Einstiegs-Animation.)
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Grundbegriffe der Kinematik
Der Schwerpunkt eines Körpers ist der Punkt, der sich so verhält, als wäre die gesamte Masse des Körpers in ihm konzentriert. Bei einer Translation (Verschiebung ohne Drehung) reicht es, die Bewegung des Schwerpunkts zu beschreiben.
Die Bahnkurve ist die Linie, die der Schwerpunkt im Laufe der Zeit im Raum durchläuft. Sie kann geradlinig (Auto auf gerader Strasse), kreisförmig (Riesenrad) oder beliebig gekrümmt sein (Wurfparabel).
Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist die zurückgelegte Strecke pro Zeit:
\[ \bar{v} = \frac{\Delta s}{\Delta t} \]Die Momentangeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt — formal der Grenzwert für \( \Delta t \to 0 \). In Vektor-Form:
\[ \vec{v} = \frac{\Delta \vec{s}}{\Delta t} \]Der Geschwindigkeits-Vektor zeigt in Richtung der Bewegung. Sein Betrag — umgangssprachlich auch Tempo — gibt an, wie schnell die Bewegung ist, ohne Richtung. SI-Einheit: m/s (auch km/h gebräuchlich, mit \( 1\;\text{m/s} = 3.6\;\text{km/h} \)).
Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit:
\[ \vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \]SI-Einheit: m/s². Positive Beschleunigung in Bewegungsrichtung bedeutet schneller werden; negative (oft als Bremsbeschleunigung oder Verzögerung bezeichnet) bedeutet langsamer werden.
✏️ Mini-Check
Welche Aussage über die Beschleunigung stimmt?
- Sie ist die Änderungsrate des Weges.
- Sie ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit.
- Sie ist immer gleich \(9.81\;\text{m/s}^2\).
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Die Geschwindigkeit ist eine Grösse: sie besitzt Betrag und Richtung.
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Ein Wagen wird in \(4\;\text{s}\) von \(10\;\text{m/s}\) auf \(30\;\text{m/s}\) schneller. Wie gross ist die mittlere Beschleunigung?
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Ein Körper bewegt sich mit konstantem Tempo auf einer Kreisbahn. Wird er beschleunigt, obwohl der Betrag der Geschwindigkeit gleich bleibt?
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Geradlinig gleichförmige Bewegung — die drei Darstellungen
Bei der geradlinig gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant. Die zurückgelegte Strecke wächst dann linear mit der Zeit. Verändere die Geschwindigkeit \(v\) und den Startort \(s_0\) — beobachte, wie sich \(s(t)\)-Graph und Tabelle ändern.
\[ s(t) = s_0 + v \cdot t \qquad v(t) = v = \text{const.} \]❓ Was passiert mit der s-t-Geraden, wenn du die Geschwindigkeit verdoppelst?
Die Steigung der \(s\)-\(t\)-Geraden verdoppelt sich — in der gleichen Zeit wird die doppelte Strecke zurückgelegt. Im \(v\)-\(t\)-Diagramm liegt die waagrechte Linie doppelt so hoch, und die Fläche darunter (der Weg) verdoppelt sich ebenfalls. Probiere es in Animation 1 aus.
✏️ Mini-Check
Wie sieht das \(v\)-\(t\)-Diagramm einer gleichförmigen (konstanten) Bewegung aus?
- eine steigende Gerade
- eine waagrechte Linie
- eine Parabel
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Im \(s\)-\(t\)-Diagramm der gleichförmigen Bewegung entspricht die der Geraden der Geschwindigkeit.
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Ein Objekt startet bei \(s_0 = 20\;\text{m}\) und fährt mit \(v = 15\;\text{m/s}\). Wo ist es nach \(t = 4\;\text{s}\)?
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Läuferin A startet am Punkt \(0\) mit \(6\;\text{m/s}\), Läufer B startet gleichzeitig \(30\;\text{m}\) voraus mit \(4\;\text{m/s}\). Wann und wo holt A den B ein?
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Gleichmässig beschleunigte Bewegung
Wirkt eine konstante Beschleunigung \(a\) auf einen Körper, nimmt seine Geschwindigkeit gleichmässig zu (oder ab). Aus den Grunddefinitionen folgen drei zentrale Bewegungsgleichungen:
Bei konstanter Beschleunigung \(a\) gilt für die Geschwindigkeit:
\[ v(t) = v_0 + a \cdot t \]Der zurückgelegte Weg ergibt sich als Fläche unter dem \(v\)-\(t\)-Graph. Bei einem Trapez mit den Seiten \(v_0\) und \(v(t)\) und der Breite \(t\):
Eliminiert man die Zeit, folgt die zeitlose Bewegungsgleichung. Dazu die erste Gleichung nach \(t\) auflösen und in die zweite einsetzen:
\[ t = \frac{v - v_0}{a} \qquad\Rightarrow\qquad s - s_0 = v_0 \cdot \frac{v - v_0}{a} + \frac{1}{2}\,a \cdot \left( \frac{v - v_0}{a} \right)^{\!2} = \frac{v^{\,2} - v_0^{\,2}}{2\,a} \]Umgestellt:
\[ v^{\,2} = v_0^{\,2} + 2 \cdot a \cdot (s - s_0) \]✏️ Mini-Check
Wie sieht das \(a\)-\(t\)-Diagramm einer gleichmässig beschleunigten Bewegung aus?
- eine waagrechte Linie
- eine steigende Gerade
- eine Parabel
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Bei gleichmässig beschleunigter Bewegung wächst der zurückgelegte Weg mit der Zeit.
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Ein Körper startet aus der Ruhe mit \(a = 2\;\text{m/s}^2\). Geschwindigkeit und Weg nach \(5\;\text{s}\)?
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Ein Auto bremst aus \(20\;\text{m/s}\) mit \(a = -5\;\text{m/s}^2\) bis zum Stillstand. Wie lang ist der Bremsweg?
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Freier Fall
Der freie Fall ist ein Spezialfall der gleichmässig beschleunigten Bewegung — die Beschleunigung ist die Erdbeschleunigung \(g \approx 9.81\;\text{m/s}^2\), gerichtet nach unten. Aus dem Stand losgelassen (\(v_0 = 0\)):
\[ v(t) = g \cdot t \qquad h(t) = \tfrac{1}{2} \cdot g \cdot t^{\,2} \]✏️ Mini-Check
Ohne Luftwiderstand fallen eine schwere und eine leichte Kugel aus gleicher Höhe …
- die schwere kommt zuerst an
- beide kommen gleichzeitig an
- die leichte kommt zuerst an
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Beim freien Fall nimmt die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um rund zu.
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Wie lange fällt ein Körper frei aus \(20\;\text{m}\) Höhe?
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Ein Stein fällt \(3\;\text{s}\) lang frei. Aus welcher Höhe wurde er losgelassen, und mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf?
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Parabolische Bewegung (Schiefer Wurf)
Der schiefe Wurf entsteht aus der Überlagerung zweier Bewegungen: einer geradlinig gleichförmigen Horizontalbewegung und einer gleichmässig beschleunigten Vertikalbewegung (freier Fall). Mit Abwurfgeschwindigkeit \(v_0\) und Abwurfwinkel \(\alpha\):
\[ x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t \qquad y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \tfrac{1}{2} g \cdot t^{\,2} \]Eliminiert man die Zeit, ergibt sich für die Bahnkurve eine Parabel.
✏️ Mini-Check
Aus welchem Abwurfwinkel ergibt sich (ohne Luftwiderstand) die grösste Wurfweite?
- \(30°\)
- \(45°\)
- \(60°\)
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Beim schiefen Wurf ist die waagrechte Teilbewegung , die senkrechte ist gleichmässig beschleunigt.
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Ein Ball wird waagrecht mit \(10\;\text{m/s}\) aus \(5\;\text{m}\) Höhe geworfen. Wie weit fliegt er bis zum Aufprall?
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Im selben Moment wird ein Ball fallen gelassen und ein zweiter waagrecht weggeworfen — beide aus gleicher Höhe. Welcher landet zuerst?
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Gleichförmige Kreisbewegung
Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn mit konstanter Bahngeschwindigkeit, spricht man von einer gleichförmigen Kreisbewegung. Wichtige Grössen:
| Grösse | Symbol | Definition | Einheit |
|---|---|---|---|
| Bahngeschwindigkeit | \(v\) | \(v = \omega \cdot r\) | m/s |
| Winkelgeschwindigkeit | \(\omega\) | \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi \cdot f\) | rad/s |
| Rotationsfrequenz | \(f\) | \(f = \dfrac{1}{T}\) | Hz (1/s) |
| Umlaufzeit (Periode) | \(T\) | Zeit für einen Umlauf | s |
| Zentripetalbeschl. | \(a_z\) | \(a_z = \dfrac{v^{\,2}}{r} = \omega^{\,2} \cdot r\) | m/s² |
Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist die Bahngeschwindigkeit konstant, aber die Geschwindigkeit ist nicht konstant — denn die Richtung von \(\vec{v}\) ändert sich ständig. Genau deshalb existiert eine Beschleunigung \(\vec{a}_z\), die stets zur Mitte zeigt (Zentripetalbeschleunigung).
✏️ Mini-Check
Wohin zeigt bei der gleichförmigen Kreisbewegung die Beschleunigung?
- tangential (in Bewegungsrichtung)
- zum Kreismittelpunkt
- nach aussen
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Die Bahngeschwindigkeit \(\vec v\) ist zur Kreisbahn gerichtet.
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Ein Punkt rotiert mit \(r = 0.5\;\text{m}\) und Umlaufzeit \(T = 2\;\text{s}\). Berechne \(\omega\), \(v\) und \(a_z\).
Lösung anzeigen
Ein Punkt am Rand eines Rades (Radius \(0.30\;\text{m}\)) dreht sich mit \(120\) Umdrehungen pro Minute. Bahngeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung?
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Vektoraddition — Relativbewegung
Geschwindigkeiten sind Vektoren — sie addieren sich nach den Vektor-Regeln. Klassisches Beispiel: ein Schwimmer in einem Fluss. Seine Geschwindigkeit gegenüber dem Ufer ist die Summe aus Schwimmgeschwindigkeit (gegenüber dem Wasser) und Strömungsgeschwindigkeit:
\[ \vec{v}_{\text{Ufer}} = \vec{v}_{\text{Schwimmer/Wasser}} + \vec{v}_{\text{Strömung}} \]❓ Was passiert beim freien Fall, wenn du die Masse des Körpers verdoppelst?
Nichts an der Bewegung: im freien Fall (ohne Luftwiderstand) fallen alle Körper gleich schnell, weil \(g\) massenunabhängig ist. Eine Feder und eine Bleikugel landen im Vakuum gleichzeitig.
✏️ Mini-Check
Eine Fähre hält genau quer zum Fluss, wird aber flussabwärts versetzt. Warum?
- Der Motor ist zu schwach.
- Die Strömungsgeschwindigkeit addiert sich vektoriell zur Fahrtgeschwindigkeit.
- Wegen der Erddrehung.
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Geschwindigkeiten werden addiert — mit Betrag und Richtung.
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Eine Schwimmerin schwimmt mit \(3\;\text{m/s}\) senkrecht zum Ufer, die Strömung beträgt \(4\;\text{m/s}\). Wie gross ist die Geschwindigkeit über Grund?
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Mit welchem Winkel gegen die Senkrechte muss die Schwimmerin (Eigentempo \(5\;\text{m/s}\)) bei \(3\;\text{m/s}\) Strömung anhalten, um gerade überzusetzen, und wie schnell quert sie dann?
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Aufgaben
Stelle in Animation 2 die Schieber auf \(a = 2.0\;\text{m/s}^2\), \(v_0 = 4\;\text{m/s}\), \(t = 6\;\text{s}\). Lies aus den drei Diagrammen die Werte für \(v(t)\) und \(s(t)\) ab und vergleiche sie mit den Bewegungsgleichungen.
Mit \(v(t) = v_0 + a \cdot t = 4 + 2 \cdot 6 = 16\;\text{m/s}\) (Live-Anzeige bestätigt).
Mit \(s(t) = v_0 \cdot t + \tfrac{1}{2} a \cdot t^{\,2} = 4 \cdot 6 + \tfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot 36 = 24 + 36 = 60\;\text{m}\).
Eine Münze fällt aus 1.5 m Höhe vom Tisch. Mit welcher Geschwindigkeit trifft sie auf den Boden? Wie lange dauert der Fall? (Verwende \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\).)
Aus \(h = \tfrac{1}{2} g \cdot t^{\,2}\) folgt
\[ t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \cdot 1.5}{9.81}} \approx 0.553\;\text{s} \]und mit \(v = g \cdot t\):
\[ v \approx 9.81 \cdot 0.553 \approx 5.43\;\text{m/s} \;\approx\; 19.5\;\text{km/h} \]Ein Auto fährt mit \(v_0 = 50\;\text{km/h}\) und bremst mit \(a = -5.0\;\text{m/s}^2\) bis zum Stillstand.
- Wandle \(v_0\) in m/s um.
- Wie lange dauert der Bremsvorgang?
- Welchen Bremsweg legt das Auto dabei zurück?
- \(v_0 = 50\;\text{km/h} = \dfrac{50}{3.6}\;\text{m/s} \approx 13.9\;\text{m/s}\)
- Aus \(v = v_0 + a \cdot t = 0\) folgt \[ t = -\frac{v_0}{a} = -\frac{13.9}{-5.0} \approx 2.78\;\text{s} \]
- Bremsweg über die zeitlose Bewegungsgleichung: \[ s = -\frac{v_0^{\,2}}{2a} = -\frac{(13.9)^2}{2 \cdot (-5.0)} \approx 19.3\;\text{m} \]
Eine Kugel wird mit \(v_0 = 13\;\text{m/s}\) und einem Winkel von 40° abgestossen. Wie weit fliegt sie horizontal, bis sie wieder auf Abwurfhöhe zurückkehrt? (\(g = 9.81\;\text{m/s}^2\), Luftwiderstand vernachlässigen.)
Ansatz: Bewegungsgleichungen des schiefen Wurfs. Die Kugel ist wieder auf Abwurfhöhe, wenn \(y(t_F) = 0\):
\[ y(t_F) = v_0 \sin\alpha \cdot t_F - \tfrac{1}{2} g \cdot t_F^{\,2} = 0 \] \[ t_F = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin\alpha}{g} = \frac{2 \cdot 13 \cdot \sin 40°}{9.81} \approx 1.70\;\text{s} \]In dieser Flugzeit legt sie horizontal (gleichförmig, \(v_x = v_0 \cos\alpha\)) zurück:
\[ s_x = v_0 \cos\alpha \cdot t_F = 13 \cdot \cos 40° \cdot 1.70 \approx 9.96 \cdot 1.70 \approx 17.0\;\text{m} \]Probe mit Animation 4 (Winkel 40°, \(v_0 = 13\;\text{m/s}\)): Wurfweite ≈ 17 m — passt.
Ein Kettenkarussell mit Radius 4.0 m dreht sich einmal in 6.0 s. Berechne Winkelgeschwindigkeit, Bahngeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung. Wie verhält sich \(a_z\) zur Erdbeschleunigung \(g\)?
Das ist etwa \(0.45\;g\) — die Fahrgäste werden mit knapp der halben Erdbeschleunigung nach aussen gedrückt.
Ein Boot fährt mit Eigengeschwindigkeit 3.0 m/s genau quer (rechtwinklig) zur Strömung. Der Fluss strömt mit 2.0 m/s. Der Fluss ist 60 m breit.
- Wie gross ist die resultierende Geschwindigkeit gegenüber dem Ufer?
- Wie lange dauert die Überquerung?
- Wie weit wird das Boot stromabwärts verdriftet?
- Pythagoras für senkrecht stehende Vektoren: \[ |\vec{v}_{\text{Ufer}}| = \sqrt{3.0^{\,2} + 2.0^{\,2}} = \sqrt{13} \approx 3.61\;\text{m/s} \]
- Die Überquerung wird allein durch die Querkomponente bestimmt: \[ t = \frac{60\;\text{m}}{3.0\;\text{m/s}} = 20\;\text{s} \]
- Drift entlang der Strömung in dieser Zeit: \[ d = v_F \cdot t = 2.0 \cdot 20 = 40\;\text{m} \]
Zusammenfassung
| Bewegungsart | Geschwindigkeit | Weg | Beschleunigung |
|---|---|---|---|
| Geradlinig gleichförmig | \(v = \text{const.}\) | \(s = s_0 + v \cdot t\) | \(a = 0\) |
| Gleichmässig beschleunigt | \(v = v_0 + a \cdot t\) | \(s = s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^{\,2}\) | \(a = \text{const.}\) |
| Freier Fall | \(v = g \cdot t\) | \(h = \tfrac{1}{2} g t^{\,2}\) | \(g \approx 9.81\;\text{m/s}^2\) |
| Gleichförmige Kreisbewegung | \(v = \omega \cdot r\) | \(s = v \cdot t\) entlang Bahn | \(a_z = \tfrac{v^2}{r}\) zur Mitte |
Kernpunkte
- Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit, Beschleunigung ist Geschwindigkeitsänderung pro Zeit — beide sind Vektoren.
- Gleichförmig: \(v=\text{const.}\), \(s=s_0+v\cdot t\). Gleichmässig beschleunigt: \(v=v_0+a\cdot t\), \(s=s_0+v_0 t+\tfrac12 a t^2\).
- Der freie Fall ist eine gleichmässig beschleunigte Bewegung mit \(g\approx 9.81\;\text{m/s}^2\) — unabhängig von der Masse.
- Der waagrechte Wurf setzt sich aus gleichförmiger Horizontal- und beschleunigter Vertikalbewegung zusammen.
- Bei der gleichförmigen Kreisbewegung bleibt der Betrag von \(v\) konstant, die Richtung ändert sich ständig.
- Die Zentripetalbeschleunigung \(a_z=v^2/r\) zeigt immer zur Kreismitte.
- Relativbewegungen werden durch vektorielle Addition der Geschwindigkeiten beschrieben.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.