4.1 Kinematik des Schwerpunkts

Die Weg-Zeit-Gerade: Tempo als Steigung, Startort als Achsenabschnitt

1. 0:00In der Animation fährt ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit, dargestellt in zwei Diagrammen. Was lässt sich daraus ablesen?
2. 0:09Stell fünfzehn Meter pro Sekunde ein, Startort null. Nach fünf Sekunden ist der Körper bei fünfundsiebzig Metern. In jeder Sekunde kommen fünfzehn Meter dazu: Die Steigung der Weg-Zeit-Geraden ist die Geschwindigkeit.
3. 0:23Rechts ist die Geschwindigkeit eine waagrechte Linie. Die Fläche darunter ist ein Rechteck: fünfzehn Meter pro Sekunde mal fünf Sekunden, wieder fünfundsiebzig Meter.
4. 0:34Mit zwanzig Metern Startort rutscht die Gerade nach oben, die Steigung bleibt. Nach vier Sekunden ist der Körper bei achtzig Metern, die Fläche zeigt aber nur sechzig: die Strecke ab dem Start.
5. 0:44Mit minus zehn Metern pro Sekunde fällt die Gerade: Der Körper fährt zurück. Von fünfzig Metern aus steht er nach acht Sekunden bei minus dreissig Metern. Die Fläche liegt jetzt unter der Zeitachse und zählt negativ, minus achtzig Meter.
6. 0:59Merke: Bei konstanter Geschwindigkeit ist die Weg-Zeit-Linie eine Gerade. Ihre Steigung ist die Geschwindigkeit. Der Startort verschiebt sie nur, das Vorzeichen zeigt die Richtung.

Konstante Beschleunigung: waagrecht, Gerade, Parabel

1. 0:00Die Animation zeigt eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung in drei Diagrammen. Wie hängen sie zusammen?
2. 0:09Zwei Meter pro Sekundenquadrat, Start aus dem Stand. Die Beschleunigung ist waagrecht, die Geschwindigkeit eine Gerade mit der Steigung a. Der Weg wächst als Parabel, immer steiler.
3. 0:20Jetzt mit vier Metern pro Sekunde Anfangsgeschwindigkeit, bis sechs Sekunden. Die violette Fläche, zwei mal sechs, ergibt zwölf Meter pro Sekunde Zuwachs. Mit den vier vom Start sind es sechzehn.
4. 0:32Die grüne Fläche unter der Geschwindigkeit ist der Weg: ein Rechteck mit vierundzwanzig Metern und ein Dreieck mit sechsunddreissig. Zusammen sechzig Meter.
5. 0:43Zum Bremsen wird die Beschleunigung negativ, Start mit zehn Metern pro Sekunde. Nach fünf Sekunden ist die Geschwindigkeit null, und die Parabel hat ihren Scheitel bei fünfundzwanzig Metern. Danach fährt der Körper zurück.
6. 0:57Merke: Bei konstanter Beschleunigung ist die Geschwindigkeit eine Gerade und der Weg eine Parabel. Die Flächen darunter ergeben den Zuwachs der nächsten Grösse.

Fallender Apfel: Tempo linear, Fallweg quadratisch

1. 0:00In der Animation fällt ein Apfel vom Baum, daneben eine Kugel mit fünf Kilogramm. Die Stoppuhr läuft mit, und blasse Bilder zeigen alle Viertelsekunden, wo der Apfel war. Was verraten sie?
2. 0:12Halte nach einer Sekunde an: Der Apfel hat neun Komma acht Meter pro Sekunde. Nach zwei Sekunden sind es neunzehn Komma sechs. In jeder Sekunde kommen neun Komma acht eins Meter pro Sekunde dazu, das Tempo wächst linear. Die schwere Kugel ist genau gleich weit gefallen.
3. 0:29Für diesen Schritt ist die Fallhöhe auf vierzig Meter gestellt, damit der Apfel nach zwei Sekunden noch fällt. Er hat dann neunzehn Komma sechs zwei Meter zurückgelegt, nach einer Sekunde waren es erst vier Komma neun eins. Doppelte Zeit, vierfacher Weg: Die blassen Bilder rücken immer weiter auseinander.
4. 0:46Aus zwanzig Metern dauert der Fall zwei Komma null zwei Sekunden. Der Apfel trifft mit neunzehn Komma acht Metern pro Sekunde auf, das sind gut siebzig Kilometer pro Stunde. Die Kugel mit fünf Kilogramm landet im selben Moment.
5. 1:00Merke: Im freien Fall wächst das Tempo in jeder Sekunde um neun Komma acht eins Meter pro Sekunde. Der Fallweg wächst mit dem Quadrat der Zeit. Und ohne Luftwiderstand gilt das für schwere und leichte Körper gleich.

Schiefer Wurf: warum 45° am weitesten trägt

1. 0:00In der Animation wirfst du einen Ball schräg nach oben. Unter welchem Winkel fliegt er am weitesten?
2. 0:09Nach zwei Sekunden ist der Ball achtundzwanzig Komma drei Meter weit. Die violette Marke auf der x-Achse wandert gleichmässig. Die grüne Marke steigt, wird langsamer und fällt: Senkrecht wirkt der freie Fall.
3. 0:22Bei fünfundvierzig Grad fliegt der Ball am weitesten, vierzig Komma acht Meter. In der Formel steht der Sinus von zwei Alpha. Er ist bei neunzig Grad am grössten, nämlich eins. Gerechnet ist ohne Luftwiderstand.
4. 0:35Halte sechzig Grad fest und stell dreissig ein. Beide landen bei fünfunddreissig Komma drei Metern, denn der Sinus von sechzig und von hundertzwanzig Grad ist gleich. Der steile Wurf steigt nur höher.
5. 0:48Verdopple das Tempo von fünfzehn auf dreissig Meter pro Sekunde. Die Weite wächst von zweiundzwanzig Komma neun auf einundneunzig Komma sieben Meter: aufs Vierfache.
6. 0:58Merke: Ohne Luftwiderstand fliegt ein Wurf bei fünfundvierzig Grad am weitesten. Partnerwinkel landen gleich weit, doppeltes Tempo fliegt viermal so weit.

Kreisbahn: wie Winkelgeschwindigkeit und Radius die Beschleunigung bestimmen

1. 0:00In der Animation läuft ein Punkt mit konstantem Tempo im Kreis. Was verraten die beiden Pfeile?
2. 0:09Radius drei Meter, omega drei Radiant pro Sekunde. Die Geschwindigkeit zeigt immer entlang der Bahn, die Zentripetalbeschleunigung immer zur Mitte. Das Tempo bleibt, nur die Richtung ändert sich.
3. 0:21Halbiere omega auf eins Komma fünf. Die Geschwindigkeit halbiert sich, die Zentripetalbeschleunigung sinkt auf ein Viertel, denn omega steht im Quadrat. Ein Umlauf dauert doppelt so lang.
4. 0:32Jetzt omega wieder drei, der Radius eins Komma fünf Meter. Das Tempo ist dasselbe wie eben, vier Komma fünf Meter pro Sekunde. Doch auf der engeren Bahn ist die Zentripetalbeschleunigung doppelt so gross.
5. 0:46Merke: Die Geschwindigkeit zeigt entlang der Bahn, die Beschleunigung zur Mitte. Doppeltes omega ergibt die vierfache Zentripetalbeschleunigung, der halbe Radius bei gleichem Tempo die doppelte.

Schwimmer im Fluss: Querzeit, Versatz und Vorhalten

1. 0:00Eine Schwimmerin quert einen vierzig Meter breiten Fluss. Sie hält genau quer und kommt trotzdem weiter unten an.
2. 0:09Sie schwimmt mit zwei Metern pro Sekunde quer, der Fluss strömt mit einem. Gegenüber dem Ufer addieren sich beide als Vektoren: zwei Komma zwei vier Meter pro Sekunde, schräg stromabwärts.
3. 0:21Über den Fluss kommt sie nur mit ihrer eigenen Geschwindigkeit: zwanzig Sekunden. So lange trägt sie der Fluss mit, zwanzig Meter weit.
4. 0:30Verdopple die Strömung auf zwei Meter pro Sekunde. Die Querzeit bleibt zwanzig Sekunden, denn die Strömung zeigt nicht über den Fluss. Nur der Versatz verdoppelt sich auf vierzig Meter.
5. 0:41Um genau gegenüber anzukommen, hält sie gegen die Strömung. Bei hundertzwanzig Grad hebt ihr Anteil stromaufwärts die Strömung auf. Sie trifft das Ziel, braucht aber länger: dreiundzwanzig Komma eins Sekunden.
6. 0:54Merke: Eigengeschwindigkeit und Strömung addieren sich als Vektoren. Die Querzeit hängt nur vom Queranteil ab, den Versatz macht die Strömung. Wer genau gegenüber ankommen will, hält dagegen.

Schwerpunkt und Bahnkurve: warum ein Körper zu einem Punkt wird

1. 0:00Ein geworfener Hammer wirbelt beim Fliegen wild durch die Luft. Ein einziger Punkt an ihm fliegt trotzdem eine saubere Parabel.
2. 0:09Ein ausgedehnter Körper bewegt und dreht sich gleichzeitig. Jeder seiner Punkte legt einen anderen Weg zurück — beschreiben lässt sich das nicht mit einer einzigen Geschwindigkeit.
3. 0:19Der Schwerpunkt ist der Punkt, der sich so verhält, als wäre die ganze Masse in ihm vereinigt. Bei einer reinen Verschiebung genügt es, ihn zu beschreiben.
4. 0:28Die Linie, die der Schwerpunkt mit der Zeit im Raum zieht, heisst Bahnkurve. Sie kann gerade sein, kreisförmig oder beliebig gekrümmt.
5. 0:36Das Modell trägt nur, solange sich der Körper nicht auch dreht. Sobald Rotation dazukommt, braucht es mehr — dafür gibt es die Statik mit dem Drehmoment.
6. 0:46Merke: Die Kinematik rechnet mit dem Schwerpunkt, und seine Spur im Raum ist die Bahnkurve.

Mittlere und momentane Geschwindigkeit: zwei Antworten auf eine Frage

1. 0:00Ein Zug fährt hundertzwanzig Kilometer in einer Stunde. Der Tacho im Wagen zeigt aber hundertsechzig. Wer hat recht?
2. 0:09Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg geteilt durch die gebrauchte Zeit. Sie gehört immer zu einem ganzen Abschnitt.
3. 0:17Die Momentangeschwindigkeit ist der Wert zu einem einzigen Zeitpunkt — das, was der Tacho gerade anzeigt.
4. 0:25Beim Zug von Bern nach Zürich sind es hundertzwanzig Kilometer in einer Stunde: hundertzwanzig Kilometer je Stunde im Schnitt. Unterwegs steht er einmal still und fährt einmal hundertsechzig.
5. 0:37Gerechnet wird in Meter je Sekunde. Von Kilometer je Stunde kommt man dorthin, indem man durch drei Komma sechs teilt.
6. 0:45Merke: Der Durchschnitt gehört zu einem Abschnitt, der Augenblickswert zu einem Zeitpunkt. Gerechnet wird in Meter je Sekunde.

Gleichförmige Bewegung: gleiche Zeiten, gleiche Strecken

1. 0:00Ein Auto fährt mit Tempomat über die Autobahn. In gleichen Zeiten legt es gleiche Strecken zurück.
2. 0:09Gleichförmig heisst: Die Geschwindigkeit ändert sich nicht. Weder ihr Betrag noch ihre Richtung.
3. 0:17Dann wächst der Weg linear mit der Zeit: Startort plus Geschwindigkeit mal Zeit.
4. 0:25Zwanzig Meter je Sekunde, dreissig Sekunden lang: sechshundert Meter. Nach fünfundvierzig Sekunden sind es neunhundert.
5. 0:33Der Startort verschiebt die Gerade nach oben oder unten, ändert aber ihre Steigung nicht. Wer bei Kilometer fünf losfährt, ist nicht schneller.
6. 0:42Merke: Konstante Geschwindigkeit heisst gerade Weg-Zeit-Linie. Die Steigung ist die Geschwindigkeit.

Bewegungsdiagramme lesen: Steigung und Fläche

1. 0:00Zwei Diagramme derselben Fahrt sehen völlig verschieden aus. Trotzdem steht in beiden dasselbe.
2. 0:09Das eine trägt den Weg über der Zeit auf, das andere die Geschwindigkeit. Dieselbe Fahrt ergibt im ersten eine steigende Linie, im zweiten vielleicht eine waagrechte.
3. 0:19Die Steigung sagt, wie schnell sich die aufgetragene Grösse ändert. Im Weg-Zeit-Diagramm ist sie die Geschwindigkeit, im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm die Beschleunigung.
4. 0:29Die Fläche unter der Kurve sagt, wie viel zusammengekommen ist. Unter dem Geschwindigkeit-Zeit-Graph ist sie der zurückgelegte Weg.
5. 0:37Damit lässt sich jedes Diagramm gegenlesen: Ein Knick im Geschwindigkeit-Zeit-Graph ist ein Sprung der Beschleunigung, und eine wachsende Fläche ist ein wachsender Weg.
6. 0:46Merke: Steigung heisst Änderung, Fläche heisst Summe. Mit diesen zwei Sätzen liest man jedes Bewegungsdiagramm.

Beschleunigung: die Änderung der Geschwindigkeit je Sekunde

1. 0:00Ein Sportwagen bei hundert Kilometern je Stunde und ein anfahrendes Auto an der Ampel: Welches der beiden wird gerade stärker beschleunigt?
2. 0:09Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit geteilt durch die dafür gebrauchte Zeit.
3. 0:17Ihre Einheit ist Meter je Sekunde je Sekunde, kurz Meter je Sekundenquadrat. Sie sagt, um wie viel das Tempo in jeder Sekunde zunimmt.
4. 0:26Von zehn auf dreissig Meter je Sekunde in vier Sekunden: zwanzig geteilt durch vier, also fünf Meter je Sekundenquadrat.
5. 0:35Die Geschwindigkeit ist ein Vektor. Ändert sich nur ihre Richtung, ist das bereits eine Beschleunigung — auch wenn der Tacho stehen bleibt.
6. 0:43Merke: Beschleunigung ist Änderung von Geschwindigkeit je Zeit — in Betrag oder Richtung.

Die drei Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung

1. 0:00Die Ampel wird grün, das Auto fährt an. Wie schnell ist es nach fünf Sekunden, und wie weit ist es dann gekommen? Bei konstanter Beschleunigung genügen dafür drei Gleichungen.
2. 0:10Die Geschwindigkeit wächst gleichmässig: Anfangsgeschwindigkeit plus Beschleunigung mal Zeit.
3. 0:18Der Weg ist die Fläche unter dieser Geraden — ein Rechteck plus ein Dreieck. Daraus wird der quadratische Term.
4. 0:26Setzt man die erste in die zweite ein, fällt die Zeit heraus. Übrig bleibt die zeitlose Gleichung — die richtige, wenn nach dem Weg gefragt ist und keine Zeit gegeben.
5. 0:36Aus dem Stand mit zwei Meter je Sekundenquadrat, fünf Sekunden lang: zehn Meter je Sekunde und fünfundzwanzig Meter.
6. 0:45Merke: Die erste rechnet Geschwindigkeit aus der Zeit, die zweite den Weg aus der Zeit, die dritte kommt ganz ohne Zeit aus.

Bremsweg: warum doppeltes Tempo vierfach kostet

1. 0:00Zwei Autos bremsen gleich stark, eines aus zweiundsiebzig, das andere aus hundertvierundvierzig Kilometern je Stunde. Das zweite braucht nicht doppelt so weit.
2. 0:09Beim Bremsen ist keine Zeit gegeben, sondern eine Anfangsgeschwindigkeit und eine Verzögerung. Dafür ist die zeitlose Gleichung gemacht.
3. 0:18Zwanzig Meter je Sekunde, also zweiundsiebzig Kilometer je Stunde, bei fünf Meter je Sekundenquadrat Verzögerung: vierzig Meter.
4. 0:27Bei vierzig Meter je Sekunde stehen im Zähler nicht doppelt, sondern viermal so viel. Der Bremsweg wird hundertsechzig Meter lang.
5. 0:35Vor dem Bremsen vergeht noch die Reaktionszeit von rund einer Sekunde. In dieser Sekunde fährt das Auto ungebremst weiter — bei zwanzig Meter je Sekunde sind das zwanzig Meter.
6. 0:46Merke: Der Bremsweg wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Der Reaktionsweg kommt vorne dazu.

Freier Fall: warum die Masse nichts ändert

1. 0:00Ein Apfel und eine Kirsche fallen vom selben Ast. Welche der beiden ist zuerst unten?
2. 0:09Der freie Fall ist nichts Neues: eine gleichmässig beschleunigte Bewegung, bei der die Beschleunigung die Erdbeschleunigung ist.
3. 0:17Aus der Ruhe losgelassen bleiben von den Bewegungsgleichungen zwei einfache Formen übrig.
4. 0:25Aus zwanzig Metern dauert der Fall zwei Komma null Sekunden, und der Aufprall erfolgt mit knapp zwanzig Meter je Sekunde — rund siebzig Kilometer je Stunde.
5. 0:34In beiden Formeln kommt keine Masse vor. Darum fallen Apfel und Kirsche gleich schnell — im Vakuum sogar Hammer und Feder.
6. 0:42Merke: Im freien Fall ist die Beschleunigung für alle Körper gleich. Die Fallzeit hängt nur an der Höhe.

Der schiefe Wurf: zwei Bewegungen übereinandergelegt

1. 0:00Ein Ball wird schräg geworfen und fliegt eine Parabel. Dahinter stecken zwei ganz einfache Bewegungen, die gleichzeitig ablaufen.
2. 0:09Waagrecht wirkt keine Kraft — dort bleibt die Geschwindigkeit konstant. Senkrecht wirkt die Schwerkraft, und dort läuft der freie Fall ab. Die beiden stören einander nicht.
3. 0:19Die Abwurfgeschwindigkeit wird in ihre zwei Komponenten zerlegt. Waagrecht steht ein linearer Term, senkrecht der bekannte quadratische.
4. 0:28Aus den beiden folgt die Wurfweite. Sie ist am grössten bei fünfundvierzig Grad, und Winkel, die sich zu neunzig Grad ergänzen, liefern dieselbe Weite.
5. 0:37Zwanzig Meter je Sekunde unter fünfundvierzig Grad: vierzig Komma acht Meter weit, zehn Komma zwei Meter hoch, zwei Komma neun Sekunden lang in der Luft.
6. 0:47Merke: Der schiefe Wurf ist waagrecht gleichförmig und senkrecht freier Fall. Beide Teilbewegungen laufen unabhängig voneinander ab.

Gleichförmige Kreisbewegung: konstantes Tempo, ständige Beschleunigung

1. 0:00Ein Karussell dreht sich gleichmässig. Der Tacho zeigte konstantes Tempo — und trotzdem wird jeder Fahrgast ständig beschleunigt.
2. 0:09Für einen Umlauf braucht der Körper die Umlaufzeit. Ihr Kehrwert ist die Rotationsfrequenz, und daraus folgt die Winkelgeschwindigkeit.
3. 0:18Die Bahngeschwindigkeit ist Winkelgeschwindigkeit mal Radius. Weiter aussen ist man schneller, obwohl man gleich lange für einen Umlauf braucht.
4. 0:26Weil sich die Richtung ständig ändert, gibt es eine Beschleunigung. Sie zeigt immer zum Mittelpunkt und heisst darum Zentripetalbeschleunigung.
5. 0:35Zwei Meter Radius bei ein Komma fünf Radiant je Sekunde: drei Meter je Sekunde Bahngeschwindigkeit, vier Komma fünf Meter je Sekundenquadrat zur Mitte, vier Komma zwei Sekunden je Umlauf.
6. 0:46Merke: Auf der Kreisbahn ist der Betrag der Geschwindigkeit konstant, ihre Richtung nicht. Die Beschleunigung zeigt zur Mitte.

Relativbewegung: Geschwindigkeiten addieren sich als Vektoren

1. 0:00Ein Schwimmer stösst genau quer zum Ufer ab. Am anderen Ufer kommt er trotzdem zwanzig Meter weiter unten an.
2. 0:09Eine Geschwindigkeit hat Betrag und Richtung. Darum lässt sie sich nicht einfach als Zahl addieren, sondern nur als Vektor.
3. 0:17Die Geschwindigkeit gegenüber dem Ufer ist die Summe aus der Schwimmgeschwindigkeit gegenüber dem Wasser und der Strömung.
4. 0:25Stösst der Schwimmer genau quer ab, stehen beide Vektoren senkrecht aufeinander. Der Betrag folgt aus Pythagoras — und die Drift bleibt.
5. 0:34Wer geradeaus ankommen will, muss schräg gegen die Strömung anhalten. Bei einem Meter je Sekunde Strömung und zwei Metern Schwimmtempo sind das dreissig Grad gegen die Querrichtung.
6. 0:45Merke: Geschwindigkeiten addieren sich als Vektoren. Wer quer stösst, wird abgetrieben — wer geradeaus will, muss vorhalten.