Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern, ohne nach deren Ursachen zu fragen. Untersucht werden Lage, Geschwindigkeit und Beschleunigung in Abhängigkeit der Zeit.
Bei einem ausgedehnten Körper wird stellvertretend die Bewegung seines Massenmittelpunkts (Schwerpunkts) betrachtet. Der Körper wird dadurch zum Massenpunkt idealisiert.
| Grösse | Symbol | Typ | SI-Einheit |
|---|---|---|---|
| Zeit | \(t\) | Skalar | s |
| Weg | \(s\) | Skalar | m |
| Ort / Lage | \(\vec{r}\) | Vektor | m |
| Geschwindigkeit | \(\vec{v}\) | Vektor | m/s |
| Beschleunigung | \(\vec{a}\) | Vektor | m/s² |
Verhältnis von zurückgelegtem Weg zur dafür benötigten Zeit.
Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt — Tangentensteigung im \(s\)-\(t\)-Diagramm.
Einheiten-Umrechnung: \[ 1\,\text{m/s} = 3.6\,\text{km/h} \qquad 1\,\text{km/h} = \tfrac{1}{3.6}\,\text{m/s} \approx 0.278\,\text{m/s} \]
Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit. Positives \(a\) bedeutet Geschwindigkeitszunahme in Bewegungsrichtung, negatives \(a\) (Verzögerung) Abnahme.
Erdbeschleunigung: \[ g = 9.81\,\text{m/s}^2 \quad (\text{auf der Erdoberfläche, Mitteleuropa}) \]
Konstante Geschwindigkeit \(v = \text{const}\), keine Beschleunigung (\(a = 0\)).
\(s_0\): Anfangsweg zum Zeitpunkt \(t = 0\)
| Diagramm | Form | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(s\)-\(t\) | Gerade | Steigung = \(v\), \(y\)-Achsenabschnitt = \(s_0\) |
| \(v\)-\(t\) | Horizontale | Wert auf der \(v\)-Achse = \(v\); Fläche unter dem Graphen = \(\Delta s\) |
| \(a\)-\(t\) | Null-Linie | \(a = 0\) für alle \(t\) |
Konstante Beschleunigung \(a = \text{const}\). Die Geschwindigkeit ändert sich linear mit der Zeit.
Wird die Zeit eliminiert, ergibt sich:
\[ v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot (s - s_0) \]Nützlich, wenn die Zeit weder gegeben noch gesucht ist.
| Diagramm | Form | Bedeutung |
|---|---|---|
| \(s\)-\(t\) | Parabel | Krümmung proportional zu \(a\) |
| \(v\)-\(t\) | Gerade | Steigung = \(a\); Fläche unter dem Graphen = \(\Delta s\) |
| \(a\)-\(t\) | Horizontale | Konstanter Wert \(a\) |
Spezialfall der gleichmässig beschleunigten Bewegung: Ein Körper fällt aus der Ruhe mit der Erdbeschleunigung \(g\) (Luftwiderstand vernachlässigt).
Mit \(g = 9.81\,\text{m/s}^2\).
Zeitfreie Form (Aufprallgeschwindigkeit aus Fallhöhe \(h\)): \[ v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h} \]
Überlagerung zweier unabhängiger Bewegungen: horizontal gleichförmig mit \(v_{0x} = v_0 \cdot \cos\alpha\), vertikal gleichmässig beschleunigt mit \(v_{0y} = v_0 \cdot \sin\alpha\) und \(a = -g\).
Bei Abwurf und Auftreffen auf gleicher Höhe gilt:
\[ T_F = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin\alpha}{g} \qquad h_{\max} = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2\alpha}{2 \cdot g} \] \[ s_x = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g} \]Maximale Wurfweite bei \(\alpha = 45°\).
Bewegung auf einer Kreisbahn mit konstantem Bahn-Geschwindigkeitsbetrag. Die Bewegungsrichtung ändert sich laufend — dafür ist eine Beschleunigung zum Kreismittelpunkt nötig.
| Grösse | Symbol | Einheit | Bedeutung |
|---|---|---|---|
| Periode | \(T\) | s | Dauer eines vollen Umlaufs |
| Frequenz | \(f\) | Hz | \(f = 1/T\), Umläufe pro Sekunde |
| Winkelgeschwindigkeit | \(\omega\) | rad/s | \(\omega = 2\pi/T = 2\pi \cdot f\) |
| Radius | \(r\) | m | Bahnradius |
\(\vec{a}_z\) zeigt stets zum Kreismittelpunkt (senkrecht zu \(\vec{v}\)).
Bewegt sich ein Körper \(K\) mit \(\vec{v}_{K/B}\) relativ zu einem Bezugssystem \(B\), und bewegt sich \(B\) selbst mit \(\vec{v}_{B/E}\) gegenüber einem äusseren Bezugssystem \(E\), so gilt für die Geschwindigkeit von \(K\) in \(E\):
Klassisches Beispiel: Schwimmer im strömenden Fluss, Boot mit Wind, Flugzeug mit Höhenwind. Vektorpfeile werden geometrisch addiert (Parallelogramm- oder Spitze-an-Schaft-Methode).
| Bewegungstyp | \(a(t)\) | \(v(t)\) | \(s(t)\) |
|---|---|---|---|
| Gleichförmig | \(0\) | \(v\) | \(s_0 + v \cdot t\) |
| Gleichmässig beschleunigt | \(a\) | \(v_0 + a \cdot t\) | \(s_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2\) |
| Freier Fall | \(g\) | \(g \cdot t\) | \(\tfrac{1}{2}\, g \cdot t^2\) |