8 Anwendungsaufgaben aus Technik, Verkehr und Alltag. Erstelle bei jeder Aufgabe zuerst eine Kräfteskizze, bevor du rechnest. Konstante: \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \). Lösungen am Ende.
Eine Kiste der Masse \( 40\;\text{kg} \) rutscht eine \( 18° \) geneigte Laderampe hinunter. Die Gleitreibungszahl zwischen Kiste und Rampe beträgt \( \mu = 0.25 \).
(a) Berechne Hangabtriebs-, Normal- und Reibungskraft.
(b) Welche Beschleunigung erfährt die Kiste den Hang hinunter?
Lösungsweg:
Über eine reibungsfrei gelagerte, masselose Rolle läuft ein Faden mit zwei Massen: \( m_1 = 0.80\;\text{kg} \) und \( m_2 = 0.50\;\text{kg} \).
(a) Welche Beschleunigung erfahren die Massen?
(b) Wie gross ist die Fadenkraft? Kontrolliere das Ergebnis über beide Massen.
Lösungsweg:
Eine Person der Masse \( 80\;\text{kg} \) steht in einem Aufzug auf einer Waage, die die Normalkraft anzeigt.
(a) Was zeigt die Waage bei Stillstand?
(b) Der Aufzug beschleunigt mit \( 2.0\;\text{m/s}^2 \) nach oben. Was zeigt die Waage?
(c) Und bei Beschleunigung \( 2.0\;\text{m/s}^2 \) nach unten?
Lösungsweg:
Ein Traktor zieht einen Anhänger der Masse \( 1200\;\text{kg} \) mit einer waagrechten Zugkraft von \( 2000\;\text{N} \). Die Rollreibungszahl beträgt \( \mu = 0.05 \).
(a) Wie gross ist die Reibungskraft?
(b) Welche Beschleunigung erfährt der Anhänger?
Lösungsweg:
An einer senkrecht aufgehängten Feder mit der Federkonstante \( D = 50\;\text{N/m} \) wird eine Masse von \( 2.0\;\text{kg} \) angehängt.
(a) Um welche Strecke dehnt sich die Feder im Gleichgewicht?
(b) Welche Masse müsste man anhängen, damit die Feder um genau \( 0.30\;\text{m} \) gedehnt wird?
Lösungsweg:
Ein Klotz \( m_1 = 3.0\;\text{kg} \) liegt auf einem reibungsfreien Tisch und ist über einen Faden und eine Rolle am Tischrand mit einer hängenden Masse \( m_2 = 2.0\;\text{kg} \) verbunden.
(a) Welche Beschleunigung erfährt das System, wenn es losgelassen wird?
(b) Wie gross ist die Fadenkraft?
Lösungsweg:
Ein Auto fährt mit \( 72\;\text{km/h} \) (\( = 20\;\text{m/s} \)) und macht eine Vollbremsung. Zwischen Reifen und Asphalt wirkt die Gleitreibungszahl \( \mu = 0.70 \).
(a) Welche Verzögerung (Bremsbeschleunigung) erreicht das Auto? Beachte, dass die Masse herausfällt.
(b) Wie lang ist der Bremsweg?
Lösungsweg:
Bei einem Aussenbordeinsatz stösst sich eine Astronautin (Masse mit Anzug \( 80\;\text{kg} \)) mit einer Kraft von \( 200\;\text{N} \) von einem frei schwebenden Satelliten (\( 500\;\text{kg} \)) ab.
(a) Welches Newtonsche Gesetz beschreibt die Kräfte zwischen den beiden Körpern?
(b) Welche Beschleunigung erfährt die Astronautin, welche der Satellit?
Lösungsweg:
(a) Hangabtrieb \( F_H = m g \sin\alpha = 40 \cdot 9.81 \cdot \sin 18° \approx 121\;\text{N} \). Normalkraft \( F_N = m g \cos\alpha = 40 \cdot 9.81 \cdot \cos 18° \approx 373\;\text{N} \). Reibung \( F_R = \mu F_N = 0.25 \cdot 373 \approx 93.3\;\text{N} \).
(b) Gesamtkraft hangabwärts: \( F_H - F_R \approx 121 - 93.3 = 28.0\;\text{N} \), also \( a = 28.0/40 \approx 0.70\;\text{m/s}^2 \). Kontrolle mit \( a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha) \approx 0.70\;\text{m/s}^2 \).
(a) \( a = \dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2} = \dfrac{(0.80-0.50)\cdot 9.81}{1.30} \approx 2.26\;\text{m/s}^2 \).
(b) Über die aufsteigende Masse: \( F_{\text{Faden}} = m_2(g+a) = 0.50 \cdot (9.81+2.26) \approx 6.04\;\text{N} \). Kontrolle über die absteigende Masse: \( m_1(g-a) = 0.80 \cdot (9.81-2.26) \approx 6.04\;\text{N} \) — stimmt überein.
Es gilt \( F_N = m(g+a) \) (positiv = nach oben).
(a) Stillstand \( a=0 \): \( F_N = 80 \cdot 9.81 \approx 785\;\text{N} \).
(b) Nach oben \( a=+2.0 \): \( F_N = 80 \cdot (9.81+2.0) \approx 945\;\text{N} \) — man fühlt sich schwerer.
(c) Nach unten \( a=-2.0 \): \( F_N = 80 \cdot (9.81-2.0) \approx 625\;\text{N} \) — man fühlt sich leichter.
(a) \( F_R = \mu \cdot m g = 0.05 \cdot 1200 \cdot 9.81 \approx 589\;\text{N} \).
(b) Gesamtkraft \( F_{\text{ges}} = 2000 - 589 = 1411\;\text{N} \), also \( a = 1411/1200 \approx 1.18\;\text{m/s}^2 \).
(a) Im Gleichgewicht trägt die Federkraft die Gewichtskraft: \( D s = m g \Rightarrow s = \dfrac{m g}{D} = \dfrac{2.0 \cdot 9.81}{50} \approx 0.39\;\text{m} \).
(b) Aus \( m = \dfrac{D s}{g} = \dfrac{50 \cdot 0.30}{9.81} \approx 1.53\;\text{kg} \).
Antrieb ist die Gewichtskraft von \( m_2 \), beschleunigt werden beide Massen: \( a = \dfrac{m_2 g}{m_1+m_2} = \dfrac{2.0 \cdot 9.81}{5.0} \approx 3.92\;\text{m/s}^2 \).
Fadenkraft über den Tischklotz: \( F_{\text{Faden}} = m_1 a = 3.0 \cdot 3.92 \approx 11.8\;\text{N} \). Kontrolle über die hängende Masse: \( m_2(g-a) = 2.0 \cdot (9.81-3.92) \approx 11.8\;\text{N} \).
(a) Bremskraft ist die Gleitreibung \( F_R = \mu m g \). Mit \( m a = \mu m g \) fällt die Masse heraus: \( a = \mu g = 0.70 \cdot 9.81 \approx 6.87\;\text{m/s}^2 \).
(b) Bremsweg aus \( v^2 = 2 a s \): \( s = \dfrac{v^2}{2a} = \dfrac{20^2}{2 \cdot 6.87} \approx 29.1\;\text{m} \).
(a) Das 3. Newtonsche Gesetz (Wechselwirkungsgesetz, actio = reactio): beide Körper erfahren betragsmässig dieselbe Kraft \( 200\;\text{N} \), aber in entgegengesetzte Richtung.
(b) Astronautin: \( a = F/m = 200/80 = 2.5\;\text{m/s}^2 \). Satellit: \( a = 200/500 = 0.40\;\text{m/s}^2 \). Die kleinere Masse wird stärker beschleunigt.