4.2 Dynamik
Kräfte als Ursache von Bewegungsänderungen — die Newtonschen Gesetze.
- die drei Newtonschen Gesetze (Trägheit, Grundgesetz, Wechselwirkung) formulieren und anwenden
- das Grundgesetz \(F = m \cdot a\) auf konkrete Bewegungen anwenden
- die Federkraft mit dem Hookeschen Gesetz \(F = D \cdot s\) berechnen
- Haft- und Gleitreibung unterscheiden und Reibungskräfte berechnen
- Kräfte an der schiefen Ebene zerlegen und Bewegungsgleichungen aufstellen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die drei Newtonschen Gesetze formulieren und an Beispielen erklären.
- Ich kann das Grundgesetz \(F=m\cdot a\) auf konkrete Bewegungen anwenden.
- Ich kann die Federkraft mit dem Hookeschen Gesetz \(F=D\cdot s\) berechnen.
- Ich kann Haft- und Gleitreibung unterscheiden und Reibungskräfte berechnen.
- Ich kann die Kräfte an der schiefen Ebene zerlegen und die Beschleunigung bestimmen.
Einstieg — warum ein Glas auf der Theke überschwappt
Ein Barkeeper schiebt ein volles Glas über die glatte Theke. Kurz vor dem Gast stösst es an die Leiste und bleibt abrupt stehen — die Flüssigkeit aber schwappt nach vorne über den Rand. Niemand hat das Wasser angeschoben. Warum bewegt es sich trotzdem weiter?
Die Kinematik (Kapitel 4.1) hat Bewegungen nur beschrieben: Wo ist der Körper, wie schnell, wie stark beschleunigt? Sie hat aber nie nach der Ursache gefragt. Genau das ist die Aufgabe der Dynamik: Sie erklärt, warum sich Bewegungszustände ändern. Die Antwort ist immer dieselbe — es wirkt eine Kraft.
In Animation 3 weiter unten steht eine ungesicherte Kiste auf der Ladefläche eines Lieferwagens. Lass den Wagen anfahren und beobachte, was mit der Kiste geschieht — und vor allem relativ zu wem sie sich bewegt. Dieselbe Idee erklärt das überschwappende Glas, den Ruck beim Bremsen im Bus und warum man sich im Auto anschnallt.
Auf dieser Seite lernst du die drei Gesetze kennen, mit denen Isaac Newton 1687 die gesamte Mechanik auf ein einziges Fundament gestellt hat: das Trägheitsgesetz, das Grundgesetz \(F = m \cdot a\) und das Wechselwirkungsgesetz. Dazu kommen die wichtigsten konkreten Kräfte: die Federkraft, die Reibung und die Kräfte an der schiefen Ebene.
✏️ Mini-Check
Warum schwappt das Glas, wenn die Theke (der Wagen) ruckartig anfährt?
- Das Wasser wird nach vorne gedrückt.
- Das Wasser bleibt wegen seiner Trägheit zurück.
- Die Schwerkraft nimmt zu.
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Ein Körper behält ohne resultierende äussere Kraft seinen bei.
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Welche Kraft beschleunigt eine Masse von \(2\;\text{kg}\) mit \(3\;\text{m/s}^2\)?
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Im anfahrenden Bus wirst du nach hinten gedrückt, obwohl keine Kraft nach hinten wirkt. Wie erklärt sich das?
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Grundbegriffe
Eine Kraft \(\vec{F}\) ist die Ursache dafür, dass ein Körper verformt oder beschleunigt wird. Kräfte sind Vektoren: sie haben Betrag und Richtung. Man kann sie nicht sehen, nur an ihren Wirkungen erkennen.
SI-Einheit: das Newton, \(1\;\text{N} = 1\;\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\). Ein Newton ist ungefähr die Gewichtskraft einer Tafel Schokolade (\(\approx 100\;\text{g}\)).
Die Masse \(m\) (in kg) ist ein Mass für die Stoffmenge eines Körpers und überall im Universum gleich. Die Gewichtskraft \(F_G\) ist dagegen die Kraft, mit der ein Himmelskörper an dieser Masse zieht:
\[ F_G = m \cdot g \]Mit dem Ortsfaktor \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\) auf der Erde. Auf dem Mond ist \(g\) rund sechsmal kleiner — die Masse bleibt, die Gewichtskraft sinkt.
Liegt ein Körper auf einer Unterlage, drückt diese mit der Normalkraft \(F_N\) zurück. Sie steht immer senkrecht zur Auflagefläche und verhindert, dass der Körper durch die Unterlage fällt. Auf waagrechtem Boden ist sie betragsgleich der Gewichtskraft: \(F_N = F_G\).
Auf einen Körper wirken oft mehrere Kräfte gleichzeitig. Für die Bewegung zählt nur ihre vektorielle Summe, die Gesamtkraft \(\vec{F}_{\text{ges}} = \sum \vec{F}_i\). Nur sie bestimmt, ob und wie stark der Körper beschleunigt.
✏️ Mini-Check
Die SI-Einheit der Kraft ist …
- Joule
- Newton
- Watt
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Eine Kraft ist eine Grösse — sie besitzt Betrag und Richtung.
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Wie gross ist die Gewichtskraft einer Masse von \(5\;\text{kg}\)? (\(g = 9.81\;\text{m/s}^2\))
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Ein Astronaut hat auf dem Mond (\(g_M \approx 1.62\;\text{m/s}^2\)) dieselbe Masse wie auf der Erde. Was ändert sich, was bleibt gleich?
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Federkraft — das Hookesche Gesetz
Eine der einfachsten messbaren Kräfte ist die Federkraft. Hängt man Gewichte an eine Schraubenfeder, dehnt sie sich — und zwar doppelte Last, doppelte Dehnung. Kraft und Verlängerung sind direkt proportional. Robert Hooke hielt diesen Zusammenhang im 17. Jahrhundert fest:
\[ F = D \cdot s \]Dabei ist \(s\) die Verlängerung der Feder und \(D\) die Federkonstante (in N/m) — die Steigung der Geraden im Kraft-Weg-Diagramm. Eine grosse Federkonstante bedeutet eine harte Feder.
✏️ Mini-Check
Verdoppelt man die Dehnung einer Feder, so …
- bleibt die Kraft gleich
- verdoppelt sich die Kraft
- vervierfacht sich die Kraft
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Im Hookeschen Gesetz ist die Federkraft zur Dehnung.
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Eine Feder mit \(D = 200\;\text{N/m}\) wird um \(s = 0.15\;\text{m}\) gedehnt. Federkraft?
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Zwei gleiche Federn (je \(D = 200\;\text{N/m}\)) werden parallel an dieselbe Last gehängt. Welche Federkonstante hat die Kombination?
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Das Grundgesetz — \(F = m \cdot a\)
Das zweite Newtonsche Gesetz verknüpft Kraft, Masse und Beschleunigung. Es ist das Herzstück der gesamten Mechanik:
Die Gesamtkraft auf einen Körper ist gleich dem Produkt aus seiner Masse und seiner Beschleunigung:
\[ \vec{F}_{\text{ges}} = m \cdot \vec{a} \]Kraft und Beschleunigung zeigen immer in dieselbe Richtung. Doppelte Kraft bei gleicher Masse bedeutet doppelte Beschleunigung; doppelte Masse bei gleicher Kraft bedeutet halbe Beschleunigung. Aufgelöst nach der Beschleunigung: \(a = F_{\text{ges}}/m\).
✏️ Mini-Check
Bei gleicher Kraft erfährt die doppelte Masse …
- die doppelte Beschleunigung
- die halbe Beschleunigung
- dieselbe Beschleunigung
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Das Grundgesetz der Mechanik lautet \(F = m \cdot\) .
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Welche Beschleunigung erfährt \(m = 4\;\text{kg}\) unter \(F = 12\;\text{N}\)?
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Eine Kraft von \(20\;\text{N}\) wirkt \(3\;\text{s}\) lang auf einen ruhenden Körper (\(m = 5\;\text{kg}\)). Welche Geschwindigkeit erreicht er?
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Das Trägheitsgesetz — Körper bleiben, wie sie sind
Das erste Newtonsche Gesetz folgt direkt aus dem Grundgesetz: Wirkt keine Gesamtkraft (\(F_{\text{ges}} = 0\)), so ist auch die Beschleunigung null. Der Körper behält seinen Bewegungszustand bei — er bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit weiter. Diese Eigenschaft heisst Trägheit.
Die mitfahrende Person meint, eine Kraft schiebe die Kiste nach hinten. Aus einem ruhenden Bezugssystem (z.B. am Strassenrand) sieht man aber: Auf die Kiste wirkt keine waagrechte Kraft — sie bleibt einfach stehen, während der Wagen anfährt. Newtons Gesetze gelten nur in solchen unbeschleunigten Bezugssystemen (Inertialsystemen). „Trägheitskräfte" sind Scheinkräfte, die wir hier vermeiden.
❓ Was passiert, wenn ein Auto auf der Strasse von Haft- in Gleitreibung wechselt?
Sobald die Reifen durchdrehen oder blockieren, wirkt nur noch die kleinere Gleitreibung. Der Wagen wird schlechter gebremst und schwerer lenkbar — deshalb verhindert das ABS das Blockieren der Räder.
✏️ Mini-Check
Auf einen Körper wirkt keine resultierende Kraft. Dann …
- bleibt er in Ruhe oder bewegt sich gleichförmig weiter
- bleibt er immer stehen
- beschleunigt er gleichmässig
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Das Trägheitsgesetz ist das Newtonsche Gesetz.
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Ein Puck gleitet reibungsfrei mit \(8\;\text{m/s}\). Welche Kraft hält ihn in konstanter Bewegung?
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Warum wird man bei einer Vollbremsung nach vorne geschleudert, wenn man nicht angeschnallt ist?
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Reibung — Haften und Gleiten
Reibung wirkt zwischen sich berührenden Oberflächen und immer gegen die Bewegung bzw. die Bewegungstendenz. Sie wird über die Normalkraft berechnet:
Die maximale Reibungskraft ist proportional zur Normalkraft:
\[ F_R = \mu \cdot F_N \]Die Reibungszahl \(\mu\) ist dimensionslos und hängt von den beteiligten Materialien ab. Solange der Körper haftet, ist \(\mu = \mu_{\text{H}}\) (Haftreibungszahl) und die Reibung passt sich der Zugkraft an — bis zum Maximalwert \(\mu_{\text{H}} \cdot F_N\). Wird dieser überschritten, beginnt der Körper zu gleiten; dann wirkt die meist kleinere Gleitreibung \(\mu_{\text{G}} \cdot F_N\).
✏️ Mini-Check
Die maximale Haftreibung ist bei den meisten Materialpaarungen …
- kleiner als die Gleitreibung
- grösser als die Gleitreibung
- genau gleich gross
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Die Reibungskraft hängt von der Normalkraft ab: \(F_R = \mu \cdot\) .
Lösung anzeigen
Ein Klotz drückt mit \(F_N = 50\;\text{N}\), \(\mu_G = 0.30\). Gleitreibung?
Lösung anzeigen
Warum bremst ein Auto mit blockierenden Rädern schlechter als eines mit ABS (Räder kurz vor dem Blockieren)?
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Schiefe Ebene — Kräfte zerlegen
Auf einer schiefen Ebene wird die Gewichtskraft in zwei Komponenten zerlegt: die Hangabtriebskraft \(F_H\) parallel zur Ebene (sie treibt den Körper hangabwärts) und die senkrecht zur Ebene wirkende Komponente, die von der Normalkraft ausgeglichen wird.
Bei einem Neigungswinkel \(\alpha\) zerfällt die Gewichtskraft \(F_G = m g\) in:
\[ F_H = m \cdot g \cdot \sin\alpha \qquad F_N = m \cdot g \cdot \cos\alpha \]Die Reibung wirkt der Bewegung entgegen mit \(F_R = \mu \cdot F_N = \mu \cdot m g \cos\alpha\). Beim Hinabrutschen lautet das Grundgesetz entlang der Ebene:
\[ m \cdot a = F_H - F_R = m g \sin\alpha - \mu\, m g \cos\alpha \]Die Masse kürzt sich heraus — die Beschleunigung hängt nur von Winkel und Reibung ab:
\[ a = g \cdot (\sin\alpha - \mu \cdot \cos\alpha) \]✏️ Mini-Check
Beim Erhöhen des Neigungswinkels nimmt die Hangabtriebskraft …
- ab
- zu
- bleibt gleich
Lösung anzeigen
Die Hangabtriebskraft ist \(F_H = m g \cdot\) des Neigungswinkels.
Lösung anzeigen
Körper (\(m = 2\;\text{kg}\)) auf einer Ebene mit \(\alpha = 30°\). Hangabtriebskraft? (\(g = 9.81\), \(\sin 30° = 0.5\))
Lösung anzeigen
Ab welchem Neigungswinkel beginnt ein Körper zu rutschen, wenn \(\mu_H = 0.5\)?
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Das Wechselwirkungsgesetz — actio = reactio
Das dritte Newtonsche Gesetz besagt: Kräfte treten immer paarweise auf. Übt Körper 1 eine Kraft auf Körper 2 aus, so übt Körper 2 gleichzeitig eine betragsgleiche, entgegengesetzt gerichtete Kraft auf Körper 1 aus. Die beiden Kräfte greifen an verschiedenen Körpern an und heben sich darum nicht auf.
- Trägheitsgesetz: Ohne Gesamtkraft bleibt die Geschwindigkeit konstant.
- Grundgesetz: \(\vec{F}_{\text{ges}} = m \cdot \vec{a}\) — Gesamtkraft gleich Masse mal Beschleunigung.
- Wechselwirkungsgesetz: actio = reactio — Kräfte treten paarweise und entgegengesetzt auf.
❓ Was passiert mit der Beschleunigung am Hang, wenn du die Masse verdoppelst?
Sie bleibt gleich. In \(a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\) kürzt sich die Masse heraus — eine schwere und eine leichte Kiste rutschen bei gleichem Winkel und Reibwert gleich schnell.
✏️ Mini-Check
Du drückst mit \(50\;\text{N}\) gegen eine feste Wand. Wie gross ist die Gegenkraft der Wand auf dich?
- \(0\;\text{N}\)
- \(50\;\text{N}\)
- hängt von der Wand ab
Lösung anzeigen
Kraft und Gegenkraft sind gleich gross und gerichtet.
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Eine Rakete stösst Gas mit \(F = 8000\;\text{N}\) nach unten. Schubkraft nach oben?
Lösung anzeigen
Zwei Schlittschuhläufer (\(60\;\text{kg}\) und \(40\;\text{kg}\)) stossen sich ab. Der schwerere gleitet mit \(2\;\text{m/s}\) weg. Wie schnell der leichtere?
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Aufgaben
Stelle in Animation 1 die Federkonstante auf \(D = 120\;\text{N/m}\) und die Dehnung auf \(s = 0.15\;\text{m}\). Lies die Federkraft ab und prüfe sie mit dem Hookeschen Gesetz. Welche Masse müsste man anhängen, um genau diese Kraft zu erzeugen?
Mit \(F = D \cdot s\):
\[ F = 120\;\text{N/m} \cdot 0.15\;\text{m} = 18\;\text{N} \]Aus \(F = m \cdot g\) folgt die Masse: \(m = F/g = 18 / 9.81 \approx 1.83\;\text{kg}\). Die Live-Anzeige bestätigt die Federkraft von \(18\;\text{N}\).
Ein voll beladener Einkaufswagen hat eine Masse von \(24\;\text{kg}\). Eine Person schiebt ihn mit einer konstanten Kraft von \(36\;\text{N}\) an. Die Reibung sei vernachlässigbar.
- Welche Beschleunigung erfährt der Wagen?
- Welche Geschwindigkeit hat er nach \(3.0\;\text{s}\) aus dem Stand?
- Aus dem Grundgesetz \(F = m \cdot a\): \[ a = \frac{F}{m} = \frac{36\;\text{N}}{24\;\text{kg}} = 1.5\;\text{m/s}^2 \]
- Bei konstanter Beschleunigung aus dem Stand: \[ v = a \cdot t = 1.5\;\text{m/s}^2 \cdot 3.0\;\text{s} = 4.5\;\text{m/s} \] Umgerechnet: \(4.5\;\text{m/s} = 4.5 \cdot 3600\;\text{m/h} = 16\,200\;\text{m/h} = 16.2\;\text{km/h}\).
Eine Kiste der Masse \(30\;\text{kg}\) steht auf einem waagrechten Boden. Die Haftreibungszahl beträgt \(\mu_{\text{H}} = 0.50\), die Gleitreibungszahl \(\mu_{\text{G}} = 0.35\).
- Wie gross ist die maximale Haftreibungskraft? Reicht eine waagrechte Zugkraft von \(120\;\text{N}\), um die Kiste in Bewegung zu setzen?
- Sobald sie gleitet, wird weiter mit \(150\;\text{N}\) gezogen. Welche Beschleunigung stellt sich ein?
- Auf waagrechtem Boden ist \(F_N = m g = 30 \cdot 9.81 = 294\;\text{N}\). Maximale Haftreibung: \[ F_{\text{H,max}} = \mu_{\text{H}} \cdot F_N = 0.50 \cdot 294 = 147\;\text{N} \] Da \(120\;\text{N} < 147\;\text{N}\), bleibt die Kiste in Ruhe — die Zugkraft reicht nicht.
- Beim Gleiten wirkt \(F_G^{\text{Reib}} = \mu_{\text{G}} \cdot F_N = 0.35 \cdot 294 = 103\;\text{N}\). Gesamtkraft: \(F_{\text{ges}} = 150 - 103 = 47\;\text{N}\). Beschleunigung: \[ a = \frac{F_{\text{ges}}}{m} = \frac{47}{30} \approx 1.57\;\text{m/s}^2 \]
Eine Snowboarderin (Masse mit Ausrüstung \(65\;\text{kg}\)) fährt einen \(22°\) steilen Hang hinunter. Die Gleitreibungszahl zwischen Board und Schnee beträgt \(\mu = 0.08\).
- Berechne Hangabtriebskraft und Reibungskraft.
- Wie gross ist ihre Beschleunigung den Hang hinunter?
- Hangabtriebskraft: \(F_H = m g \sin\alpha = 65 \cdot 9.81 \cdot \sin 22° \approx 239\;\text{N}\). Normalkraft: \(F_N = m g \cos\alpha = 65 \cdot 9.81 \cdot \cos 22° \approx 591\;\text{N}\). Reibung: \[ F_R = \mu \cdot F_N = 0.08 \cdot 591 \approx 47\;\text{N} \]
- Mit \(a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\): \[ a = 9.81 \cdot (\sin 22° - 0.08 \cdot \cos 22°) \approx 2.96\;\text{m/s}^2 \] Zur Kontrolle: \((239 - 47)/65 \approx 2.95\;\text{m/s}^2\).
Über eine reibungsfrei gelagerte Rolle läuft ein Faden, an dessen Enden zwei Massen hängen: \(m_1 = 0.55\;\text{kg}\) und \(m_2 = 0.45\;\text{kg}\). Faden und Rolle seien masselos.
- Welche Beschleunigung erfahren die beiden Massen?
- Wie gross ist die Fadenkraft während der Bewegung?
- Der Antrieb ist die Differenz der Gewichtskräfte, beschleunigt werden aber beide Massen zusammen: \[ a = \frac{(m_1 - m_2)\,g}{m_1 + m_2} = \frac{(0.55 - 0.45) \cdot 9.81}{1.00} \approx 0.981\;\text{m/s}^2 \]
- Wir betrachten nur die aufsteigende Masse \(m_2\). Für sie gilt \(F_{\text{Faden}} - m_2 g = m_2 a\), also: \[ F_{\text{Faden}} = m_2 (g + a) = 0.45 \cdot (9.81 + 0.981) \approx 4.86\;\text{N} \] Kontrolle mit \(m_1\): \(m_1(g-a) = 0.55 \cdot (9.81 - 0.981) \approx 4.86\;\text{N}\) — stimmt überein.
Eine Person (Masse \(70\;\text{kg}\)) steht in einem Aufzug auf einer Personenwaage. Die Waage zeigt die Normalkraft an, mit der sie gegen die Füsse drückt.
- Was zeigt die Waage (in N) bei konstanter Fahrt oder im Stillstand?
- Der Aufzug fährt mit \(a = 1.8\;\text{m/s}^2\) nach oben an. Was zeigt die Waage jetzt?
- Beim Bremsen der Aufwärtsfahrt wirkt \(a = 1.8\;\text{m/s}^2\) nach unten. Was zeigt die Waage?
Auf die Person wirken die Gewichtskraft \(F_G = mg\) (nach unten) und die Normalkraft \(F_N\) der Waage (nach oben). Das Grundgesetz in vertikaler Richtung (positiv nach oben) lautet \(F_N - mg = m a\), also \(F_N = m(g + a)\).
- Ruhe oder konstante Fahrt: \(a = 0\), also \(F_N = mg = 70 \cdot 9.81 = 687\;\text{N}\) — das „normale" Gewicht.
- Beschleunigung nach oben (\(a = +1.8\;\text{m/s}^2\)): \[ F_N = 70 \cdot (9.81 + 1.8) = 813\;\text{N} \] Man fühlt sich schwerer.
- Beschleunigung nach unten (\(a = -1.8\;\text{m/s}^2\)): \[ F_N = 70 \cdot (9.81 - 1.8) = 561\;\text{N} \] Man fühlt sich leichter. Im freien Fall (\(a = -g\)) wäre \(F_N = 0\) — Schwerelosigkeit.
Zusammenfassung
| Grösse / Gesetz | Formel | Bemerkung |
|---|---|---|
| Grundgesetz (2. Newton) | \(\vec{F}_{\text{ges}} = m \cdot \vec{a}\) | Kraft und Beschleunigung gleichgerichtet |
| Gewichtskraft | \(F_G = m \cdot g\) | \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\) |
| Federkraft (Hooke) | \(F = D \cdot s\) | \(D\) = Federkonstante in N/m |
| Reibungskraft | \(F_R = \mu \cdot F_N\) | \(\mu_{\text{H}} \ge \mu_{\text{G}}\) |
| Hangabtriebskraft | \(F_H = m g \sin\alpha\) | parallel zur Ebene |
| Normalkraft (Hang) | \(F_N = m g \cos\alpha\) | senkrecht zur Ebene |
| Beschleunigung am Hang | \(a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)\) | massenunabhängig |
| Atwood-Maschine | \(a = \dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}\) | beide Massen beschleunigt |
Kernpunkte
- 1. Newton (Trägheit): ohne resultierende Kraft bleibt der Bewegungszustand erhalten.
- 2. Newton (Grundgesetz): \(\vec{F}_{\text{ges}}=m\cdot\vec{a}\) — Kraft und Beschleunigung sind gleichgerichtet.
- 3. Newton (Wechselwirkung): Kraft und Gegenkraft sind gleich gross, entgegengesetzt und greifen an verschiedenen Körpern an.
- Federkraft: \(F=D\cdot s\), proportional zur Auslenkung.
- Reibung: \(F_R=\mu\cdot F_N\); die Haftreibung ist meist grösser als die Gleitreibung.
- Schiefe Ebene: Hangabtrieb \(F_H=mg\sin\alpha\), Normalkraft \(F_N=mg\cos\alpha\).
- Die Beschleunigung am reibungsbehafteten Hang \(a=g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\) ist massenunabhängig.
Zusatzmaterial
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