8 Anwendungsaufgaben aus Technik, Verkehr und Alltag. Lege bei jeder Aufgabe zuerst fest, welche Energieformen beteiligt sind und welche ineinander umgewandelt werden. Konstante: \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \). Lösungen am Ende.
Ein Sessellift befördert \( 12 \) Personen mit je \( 75\;\text{kg} \) auf einen \( 320\;\text{m} \) höher gelegenen Berggipfel. Die Fahrt dauert \( 4.0\;\text{min} \).
(a) Welche Hubarbeit verrichtet der Lift insgesamt?
(b) Welche mittlere Hubleistung erbringt er dabei?
Lösungsweg:
Ein Auto fährt mit \( 90\;\text{km/h} \). Bei einer Vollbremsung wandelt die Reibung die gesamte Bewegungsenergie in Wärme um; die Gleitreibungszahl beträgt \( \mu = 0.70 \).
(a) Bestimme den Bremsweg über den Energieansatz \( \tfrac{1}{2}mv^2 = \mu\,m\,g\,s \).
(b) Wie lang wäre der Bremsweg bei \( 50\;\text{km/h} \), und um welchen Faktor unterscheiden sich die beiden Bremswege?
Lösungsweg:
Ein Achterbahnwagen startet aus der Ruhe am höchsten Punkt der Strecke, \( 38\;\text{m} \) über dem Boden. Die Reibung wird vernachlässigt.
(a) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht er einen Hügel, dessen Kuppe \( 12\;\text{m} \) über dem Boden liegt?
(b) Welche Geschwindigkeit hätte er am tiefsten Punkt (\( h = 0 \))?
Lösungsweg:
In einem Speicherkraftwerk stürzen pro Sekunde \( 500\;\text{kg} \) Wasser \( 80\;\text{m} \) in die Tiefe und treiben eine Turbine an.
(a) Welche Lageenergie wird pro Sekunde frei, und welcher (idealen) Leistung entspricht das?
(b) Der Generator hat einen Wirkungsgrad von \( 85\,\% \). Welche elektrische Leistung liefert er?
Lösungsweg:
Ein Sprungbrett verhält sich näherungsweise wie eine Feder mit \( D = 8000\;\text{N/m} \). Eine \( 60\;\text{kg} \) schwere Turnerin drückt es beim Absprung um \( s = 0.30\;\text{m} \) nach unten.
(a) Wie viel Spannenergie speichert das Brett?
(b) Wie hoch könnte diese Energie die Turnerin (über die Absprungstelle) heben, wenn sie vollständig in Lageenergie übergeht?
Lösungsweg:
Ein Elektroauto der Masse \( 1800\;\text{kg} \) hat einen Antrieb mit der Leistung \( 85\;\text{kW} \).
(a) Welche kinetische Energie hat das Auto bei \( 100\;\text{km/h} \)?
(b) Wie lange würde es bei voller Leistung theoretisch dauern, aus dem Stand auf \( 100\;\text{km/h} \) zu beschleunigen? Warum dauert es in der Praxis länger?
Lösungsweg:
Eine Glühlampe nimmt \( 60\;\text{W} \) elektrische Leistung auf und gibt davon nur \( 5\;\text{W} \) als Licht ab. Eine LED erzeugt dieselbe Lichtleistung von \( 5\;\text{W} \), benötigt dafür aber nur \( 6\;\text{W} \).
(a) Berechne den Wirkungsgrad beider Lampen.
(b) Wohin geht die nicht in Licht umgewandelte Energie?
Lösungsweg:
Ein Baukran hebt eine Last von \( 500\;\text{kg} \) gleichmässig \( 25\;\text{m} \) hoch und benötigt dafür \( 40\;\text{s} \). Der Antriebsmotor nimmt dabei eine Leistung von \( 4.0\;\text{kW} \) auf.
(a) Welche Hubarbeit verrichtet der Kran an der Last?
(b) Welche Nutzleistung erbringt er, und wie gross ist der Wirkungsgrad?
Lösungsweg:
(a) Gesamtmasse \( m = 12 \cdot 75 = 900\;\text{kg} \). Hubarbeit \( W = m g h = 900 \cdot 9.81 \cdot 320 \approx 2.83 \cdot 10^6\;\text{J} = 2.83\;\text{MJ} \).
(b) Zeit \( t = 4.0\;\text{min} = 240\;\text{s} \), also \( P = \dfrac{W}{t} = \dfrac{2.83 \cdot 10^6}{240} \approx 11\,800\;\text{W} \approx 11.8\;\text{kW} \).
(a) \( v = 90\;\text{km/h} = \dfrac{90\,000\;\text{m}}{3600\;\text{s}} = 25\;\text{m/s} \). Aus \( \tfrac{1}{2}mv^2 = \mu m g s \) folgt (Masse kürzt sich): \( s = \dfrac{v^2}{2\mu g} = \dfrac{25^2}{2 \cdot 0.70 \cdot 9.81} \approx 45.5\;\text{m} \).
(b) Bei \( 50\;\text{km/h} = 13.9\;\text{m/s} \): \( s = \dfrac{13.9^2}{2 \cdot 0.70 \cdot 9.81} \approx 14.0\;\text{m} \). Verhältnis: \( (25/13.9)^2 = (90/50)^2 = 3.24 \) — der Bremsweg ist bei \( 90\;\text{km/h} \) gut 3-mal so lang wie bei \( 50\;\text{km/h} \).
Energieerhaltung mit der Höhendifferenz; die Masse kürzt sich: \( v = \sqrt{2 g \Delta h} \).
(a) \( \Delta h = 38 - 12 = 26\;\text{m} \): \( v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 26} \approx 22.6\;\text{m/s} \approx 81\;\text{km/h} \).
(b) \( \Delta h = 38\;\text{m} \): \( v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 38} \approx 27.3\;\text{m/s} \approx 98\;\text{km/h} \).
(a) Pro Sekunde freigesetzte Lageenergie: \( E = m g h = 500 \cdot 9.81 \cdot 80 \approx 392\,400\;\text{J} \). Da dies pro Sekunde geschieht, ist die ideale Leistung \( P = 392\,400\;\text{W} \approx 392\;\text{kW} \).
(b) Mit \( \eta = 0.85 \): \( P_{\text{el}} = 0.85 \cdot 392\;\text{kW} \approx 334\;\text{kW} \).
(a) \( E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2} D s^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 8000 \cdot 0.30^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 8000 \cdot 0.09 = 360\;\text{J} \).
(b) Vollständige Umwandlung in Lageenergie: \( m g h = 360\;\text{J} \), also \( h = \dfrac{360}{60 \cdot 9.81} \approx 0.61\;\text{m} \).
(a) \( v = 100\;\text{km/h} = 27.8\;\text{m/s} \): \( E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} \cdot 1800 \cdot 27.8^2 \approx 6.94 \cdot 10^5\;\text{J} \approx 694\;\text{kJ} \).
(b) Bei voller Leistung wäre theoretisch \( t = \dfrac{E_{\text{kin}}}{P} = \dfrac{694\,000}{85\,000} \approx 8.2\;\text{s} \). In der Praxis dauert es länger, weil ein Teil der Energie durch Luft- und Rollwiderstand verloren geht und der Motor nicht von Anfang an die volle Leistung abgeben kann.
(a) Glühlampe: \( \eta = \dfrac{5}{60} \approx 0.083 = 8.3\,\% \). LED: \( \eta = \dfrac{5}{6} \approx 0.83 = 83\,\% \).
(b) Die nicht in Licht umgewandelte Energie wird als Wärme abgegeben. Die Glühlampe ist daher vor allem ein Heizkörper, der nebenbei etwas leuchtet.
(a) Hubarbeit \( W = m g h = 500 \cdot 9.81 \cdot 25 \approx 122\,600\;\text{J} \approx 123\;\text{kJ} \).
(b) Nutzleistung \( P_{\text{nutz}} = \dfrac{W}{t} = \dfrac{122\,600}{40} \approx 3070\;\text{W} \approx 3.07\;\text{kW} \). Wirkungsgrad \( \eta = \dfrac{P_{\text{nutz}}}{P_{\text{zu}}} = \dfrac{3.07}{4.0} \approx 0.77 = 77\,\% \).