4.3 Energie
Arbeit, Leistung und der Erhaltungssatz der Energie.
- den Begriff «Energie» definieren und die wesentlichen Energieformen aufzählen
- den Begriff «Arbeit» definieren und bei einfachen Objekt-Bewegungen anwenden
- die mechanische Energie (kinetische Energie und potentielle Energie) definieren und das Prinzip ihrer Erhaltung in einfachen Berechnungen nutzen
- das Prinzip der Energieerhaltung formulieren (inkl. Motor und Reibung) und in einfachen Berechnungen anwenden
- die Energie-Bilanz der Erde mit Sonneneinstrahlung und Abstrahlung ins Universum und die Gründe der Erderwärmung beschreiben
- die Begriffe «Leistung» und «Energieeffizienz» definieren und sie auf technische Anwendungen übertragen
Die Begriffe Arbeit, Energie und Leistung kommen aus der Sekundarstufe I und stehen auf 0.2; die Einheiten dazu übt der Einheitentrainer.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Energie definieren und die wesentlichen Energieformen aufzählen.
- Ich kann die mechanische Arbeit \(W=F\cdot s\cdot\cos\alpha\) berechnen.
- Ich kann kinetische, potentielle und Spannenergie berechnen.
- Ich kann den Energieerhaltungssatz auf mechanische Vorgänge anwenden — auch dort, wo Reibung oder ein Motor mitspielt.
- Ich kann die Leistung \(P=W/t=F\cdot v\) bestimmen und in Watt angeben.
- Ich kann den Wirkungsgrad — technisch die Energieeffizienz — als Verhältnis von Nutz- zu zugeführter Energie bestimmen.
- Ich kann die Energiebilanz der Erde aufstellen und erklären, warum sich die Temperatur verschiebt, wenn Einstrahlung und Abstrahlung nicht mehr übereinstimmen.
Einstieg — die Achterbahn ohne Motor
Eine Achterbahn wird zu Beginn mit einer Kette auf den höchsten Punkt der Strecke gezogen. Danach schaltet sich kein Motor mehr ein — und trotzdem rast der Wagen die gesamte Strecke mit ihren Hügeln und Tälern ab. Wieso reicht der eine Aufstieg am Anfang für die ganze Fahrt?
Der Schlüssel ist die Energie. Auf dem höchsten Punkt steckt sie als Lageenergie im Wagen; beim Hinunterfahren wird sie in Bewegungsenergie umgewandelt, beim nächsten Hügel wieder zurück. Energie geht dabei nicht verloren, sie wechselt nur die Form. Genau das macht den Energiebegriff so mächtig: Statt in jedem Punkt mühsam Kräfte zu zerlegen, verfolgen wir eine einzige Grösse durch den ganzen Vorgang.
Am übersichtlichsten lässt sich das an einem Pendel verfolgen: In Animation 3 weiter unten schwingt es hin und her, zwei Energiebalken zeigen Lage- und Bewegungsenergie, und ihre Summe — die Gesamtenergie — bleibt die ganze Zeit gleich. Dasselbe Prinzip steckt hinter der Achterbahn.
Auf dieser Seite lernst du, was Arbeit physikalisch bedeutet, welche Energieformen es in der Mechanik gibt, wie der Energieerhaltungssatz Bewegungen erklärt, und wie man mit Leistung und Wirkungsgrad beschreibt, wie schnell und wie effizient Energie umgesetzt wird.
✏️ Mini-Check
Woher nimmt die Achterbahn nach dem ersten Hügel ihre Bewegung?
- aus einem versteckten Motor
- aus der Umwandlung von Lage- in Bewegungsenergie
- aus der Reibung
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Energie kann nicht erzeugt oder vernichtet, nur werden.
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Lageenergie eines Wagens (\(m = 500\;\text{kg}\)) in \(h = 20\;\text{m}\) Höhe? (\(g = 9.81\))
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An welcher Stelle der Achterbahn ist die Geschwindigkeit am grössten — und warum?
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Grundbegriffe
Verschiebt eine Kraft \(\vec{F}\) einen Körper um die Strecke \(s\), so verrichtet sie mechanische Arbeit. Es zählt nur der Anteil der Kraft, der in Richtung der Bewegung zeigt:
\[ W = F \cdot s \cdot \cos\alpha \]Dabei ist \(\alpha\) der Winkel zwischen Kraft und Weg. SI-Einheit ist das Joule, \(1\;\text{J} = 1\;\text{N} \cdot \text{m}\). Steht die Kraft senkrecht zum Weg (\(\alpha = 90°\)), wird keine Arbeit verrichtet.
Energie ist die Fähigkeit eines Körpers oder Systems, Arbeit zu verrichten. Wer an einem Körper Arbeit verrichtet, lädt ihn mit Energie auf; gibt der Körper Energie ab, kann er selbst Arbeit verrichten. Energie wird in derselben Einheit gemessen wie Arbeit, in Joule.
Hebt man einen Körper der Masse \(m\) um die Höhe \(h\) an, speichert er potentielle Energie:
\[ E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h \]Sie entspricht genau der Hubarbeit, die zum Anheben nötig war. Die Höhe wird ab einem frei wählbaren Nullniveau gezählt.
Ein Körper der Masse \(m\), der sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, trägt kinetische Energie:
\[ E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}\, m \, v^2 \]Sie wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit: Doppeltes Tempo bedeutet vierfache Bewegungsenergie — und damit etwa den vierfachen Bremsweg.
Die Leistung gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet bzw. Energie umgesetzt wird:
\[ P = \frac{W}{t} \]SI-Einheit ist das Watt, \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\). Bei konstanter Geschwindigkeit gilt auch \(P = F \cdot v\).
✏️ Mini-Check
Die Einheit von Arbeit und Energie ist …
- Newton
- Joule
- Watt
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Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft längs eines wirkt.
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Wie viele Joule sind \(1\;\text{kWh}\)?
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Du trägst eine schwere Kiste waagrecht mit konstanter Geschwindigkeit durch einen Raum. Verrichtest du physikalisch Hubarbeit?
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Arbeit — Kraft mal Weg in Bewegungsrichtung
Arbeit ist mehr als „Kraft aufwenden“. Wer einen schweren Koffer nur hält, wird müde — verrichtet aber keine physikalische Arbeit, weil sich nichts bewegt. Erst die Verschiebung in Kraftrichtung zählt. Im Kraft-Weg-Diagramm entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kraftkurve.
✏️ Mini-Check
Bei welchem Winkel zwischen Kraft und Weg wird die meiste Arbeit verrichtet?
- \(0°\)
- \(45°\)
- \(90°\)
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Nur die Kraftkomponente zum Weg verrichtet Arbeit.
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Kraft \(F = 40\;\text{N}\) zieht eine Kiste \(s = 5\;\text{m}\) waagrecht (\(\alpha = 0\)). Arbeit?
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Eine Zugkraft von \(50\;\text{N}\) wirkt unter \(60°\) zum Weg über \(10\;\text{m}\). Welche Arbeit? (\(\cos 60° = 0.5\))
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Kinetische Energie — quadratisch mit dem Tempo
Die Bewegungsenergie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Das hat dramatische Folgen im Strassenverkehr: Wer statt mit \(30\;\text{km/h}\) mit \(50\;\text{km/h}\) fährt, hat nicht knapp doppelt, sondern fast die dreifache Bewegungsenergie — und damit einen entsprechend längeren Anhalteweg.
❓ Was passiert mit der Energie, wenn ein Pendel durch Reibung langsamer wird?
Sie verschwindet nicht — die mechanische Energie wird nach und nach in Wärme (und etwas Schall) umgewandelt. Die Gesamtenergie bleibt erhalten, nur ist sie am Ende nicht mehr als Bewegung nutzbar.
✏️ Mini-Check
Verdoppelt man die Geschwindigkeit, so wird die kinetische Energie …
- doppelt so gross
- viermal so gross
- gleich gross
Lösung anzeigen
Die kinetische Energie wächst mit der Geschwindigkeit.
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Kinetische Energie eines Autos (\(m = 1000\;\text{kg}\), \(v = 20\;\text{m/s}\))?
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Warum ist der Bremsweg bei doppeltem Tempo viermal so lang (bei gleicher Bremskraft)?
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Energieerhaltung — die Summe bleibt
In einem reibungsfreien System ist die Gesamtenergie konstant. Lage- und Bewegungsenergie wandeln sich ständig ineinander um, ihre Summe bleibt jedoch unverändert. Das Pendel zeigt das in Reinform: oben am Umkehrpunkt steht es still (nur Lageenergie), unten am tiefsten Punkt ist es am schnellsten (nur Bewegungsenergie).
✏️ Mini-Check
Ein reibungsfreies Pendel schwingt. Wo ist die kinetische Energie am grössten?
- in den Umkehrpunkten
- im tiefsten Punkt
- überall gleich
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Bei der Energieerhaltung bleibt die aller Energieformen konstant.
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Aus welcher Höhe fällt ein Körper, um \(v = 10\;\text{m/s}\) zu erreichen? (\(m g h = \tfrac12 m v^2\), \(g = 9.81\))
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Ein Skifahrer startet reibungsfrei aus der Ruhe auf \(h = 45\;\text{m}\). Geschwindigkeit am Hangfuss?
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Elastische Energie — gespannt gespeichert
Auch eine gespannte Feder speichert Energie. Weil die Federkraft \(F = D\cdot s\) linear mit der Dehnung wächst, ist die Kraft-Weg-Kurve eine Gerade — und die gespeicherte Energie die Dreiecksfläche darunter. Das ergibt \(E = \tfrac{1}{2} D s^2\).
✏️ Mini-Check
Verdoppelt man die Dehnung einer Feder, so wird die gespeicherte Energie …
- doppelt so gross
- viermal so gross
- gleich gross
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Die Spannenergie einer Feder ist \(E = \tfrac12 D \cdot\) .
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Spannenergie einer Feder (\(D = 300\;\text{N/m}\), \(s = 0.2\;\text{m}\))?
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Ein gespanntes Gummiband schleudert einen Ball weg. Wie hängen Spannenergie und Abschussgeschwindigkeit zusammen?
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Leistung — Energie pro Zeit
Zwei Personen tragen dieselbe Last die gleiche Treppe hinauf — eine rennt, die andere geht langsam. Beide verrichten dieselbe Arbeit, aber die rennende Person hat die grössere Leistung, weil sie die Energie in kürzerer Zeit umsetzt.
✏️ Mini-Check
Zwei Kräne heben dieselbe Last gleich hoch, Kran A schneller. Welcher hat die grössere Leistung?
- Kran A
- Kran B
- beide gleich
Lösung anzeigen
Leistung ist Arbeit pro .
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Ein Motor verrichtet \(W = 6000\;\text{J}\) in \(t = 4\;\text{s}\). Leistung?
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Ein Lift hebt \(800\;\text{kg}\) in \(5\;\text{s}\) um \(15\;\text{m}\). Welche Leistung (ohne Verluste, \(g = 9.81\))?
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Wirkungsgrad — wie viel wirklich ankommt
Keine reale Maschine wandelt Energie verlustfrei um — ein Teil wird stets als Wärme an die Umgebung abgegeben. Der Wirkungsgrad \(\eta\) gibt an, welcher Anteil der zugeführten Energie tatsächlich als Nutzenergie herauskommt: \(\eta = E_{\text{nutz}} / E_{\text{zu}}\). Er ist immer kleiner als 1.
✏️ Mini-Check
Der Wirkungsgrad eines realen Geräts ist …
- immer genau \(1\)
- immer kleiner als \(1\)
- manchmal grösser als \(1\)
Lösung anzeigen
Der Wirkungsgrad ist Nutzenergie geteilt durch Energie.
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Maschine erhält \(E_{\text{zu}} = 2000\;\text{J}\), liefert \(E_{\text{nutz}} = 1500\;\text{J}\). Wirkungsgrad?
Lösung anzeigen
Zwei Stufen mit \(\eta_1 = 0.8\) und \(\eta_2 = 0.5\) sind hintereinander. Gesamtwirkungsgrad?
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Energiebilanz der Erde — Einstrahlung gegen Abstrahlung
Bisher stand eine Maschine in der Bilanz. Dieselbe Buchhaltung lässt sich auch für einen ganzen Planeten führen: Die Erde bekommt Energie praktisch nur auf einem Weg — als Strahlung von der Sonne — und gibt sie nur auf einem Weg wieder ab: als Wärmestrahlung ins Weltall. Solange beide Ströme gleich gross sind, bleibt die Temperatur konstant. Das ist kein neues Gesetz, sondern der Energieerhaltungssatz für ein sehr grosses System.
Senkrecht zur Sonnenrichtung treffen ausserhalb der Atmosphäre \(S = 1361\;\text{W/m}^2\) auf — die Solarkonstante. Aufgefangen wird diese Leistung von der Kreisfläche \(\pi R^2\), verteilt wird sie über die ganze Kugeloberfläche \(4\pi R^2\). Im Mittel kommt darum nur ein Viertel an:
\[ \frac{S}{4} = \frac{1361\;\text{W/m}^2}{4} = 340\;\text{W/m}^2 \]Rund \(30\;\%\) davon werfen Wolken, Schnee, Eis und die Luft direkt zurück, ohne dass sie je zu Wärme werden. Dieser Anteil heisst Albedo \(a\). Aufgenommen wird der Rest:
\[ (1 - a) \cdot \frac{S}{4} = (1 - 0.30) \cdot 340\;\text{W/m}^2 = 238\;\text{W/m}^2 \]Jeder Körper strahlt, und zwar umso stärker, je wärmer er ist. Die abgestrahlte Leistung je Fläche wächst mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur — das Gesetz von Stefan und Boltzmann:
\[ \frac{P}{A} = \sigma \cdot T^4 \qquad \sigma = 5.67 \cdot 10^{-8}\;\frac{\text{W}}{\text{m}^2\text{K}^4} \]Die vierte Potenz ist der Grund, warum sich das Gleichgewicht von selbst einstellt: Wird der Planet wärmer, strahlt er sehr viel stärker ab und bremst damit seine eigene Erwärmung.
Ansatz: Im Gleichgewicht ist die abgestrahlte gleich der aufgenommenen Leistung je Fläche:
\[ \sigma \cdot T^4 = (1 - a) \cdot \frac{S}{4} \qquad\Longrightarrow\qquad T = \sqrt[4]{\frac{(1 - a) \cdot S}{4\,\sigma}} \]Erst umstellen, dann einsetzen — mit Einheiten:
\[ T = \sqrt[4]{\frac{238\;\text{W/m}^2}{5.67 \cdot 10^{-8}\;\text{W/(m}^2\text{K}^4)}} = 255\;\text{K} \]Umgerechnet sind das \(255\;\text{K} - 273.15 = -18\;^\circ\text{C}\). Die Einheitenprobe stimmt: Im Bruch kürzt sich \(\text{W/m}^2\) weg, übrig bleibt \(\text{K}^4\), und die vierte Wurzel daraus ist eine Temperatur in Kelvin.
Gemessen wird an der Erdoberfläche aber ein Mittel von rund \(+15\;^\circ\text{C}\). Die Differenz von etwa \(33\;\text{K}\) ist der natürliche Treibhauseffekt: Die Oberfläche strahlt bei \(288\;\text{K}\) rund \(390\;\text{W/m}^2\) ab, ins Weltall gelangen davon aber nur die \(238\;\text{W/m}^2\), die oben in die Bilanz eingehen. Den Unterschied halten Wasserdampf und Kohlendioxid zurück und strahlen ihn zum Teil wieder nach unten. Wie das im Einzelnen abläuft, steht in 5.2 Wärme und in 6.1 Wellen; hier zählt allein, dass die Bilanz stimmt.
Steigt die Konzentration der Treibhausgase, wird der Rückweg zusätzlich gebremst: Die Erde strahlt bei unveränderter Temperatur weniger ab, als sie aufnimmt. Zurzeit kommt rund \(1\;\text{W/m}^2\) mehr herein als hinaus — ein kleiner Betrag gegenüber den \(238\;\text{W/m}^2\), aber er wirkt ununterbrochen und steckt zum weitaus grössten Teil in den Ozeanen. Die Temperatur steigt so lange, bis die Abstrahlung wieder zur Einstrahlung passt. Der Energieerhaltungssatz wird dabei nicht verletzt — die Bilanz stellt sich nur bei einer höheren Temperatur ein.
❓ Warum kühlt die Erde nicht einfach immer weiter aus, wenn sie ständig ins Weltall strahlt?
Weil gleichzeitig ununterbrochen Sonnenstrahlung nachfliesst. Beide Ströme regeln sich gegenseitig ein: Kühlt die Erde ab, sinkt ihre Abstrahlung nach \(\sigma T^4\) sehr rasch, bis sie wieder zur Einstrahlung passt. Erwärmt sie sich, steigt die Abstrahlung entsprechend. Ein Gleichgewicht heisst nicht, dass nichts fliesst — es heisst, dass gleich viel hinein- wie hinausfliesst.
✏️ Mini-Check
Warum steht in der Bilanz \(S/4\) und nicht \(S\)?
- Weil nur ein Viertel der Sonnenstrahlung die Atmosphäre durchdringt
- Weil die Erde die Strahlung mit der Kreisfläche \(\pi R^2\) auffängt, aber über \(4\pi R^2\) abstrahlt
- Weil die Erde sich in vier Stunden einmal dreht
Lösung anzeigen
Der Anteil der Sonnenstrahlung, der direkt zurückgeworfen wird, heisst .
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Wie viel Leistung je Quadratmeter strahlt eine Fläche von \(288\;\text{K}\) ab?
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Frisch gefallener Schnee hat eine viel höhere Albedo als offenes Meer. Was geschieht mit der Bilanz, wenn Meereis schmilzt?
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Theorie und Herleitung
Warum hat die kinetische Energie ausgerechnet die Form \(\tfrac{1}{2}mv^2\)? Sie folgt direkt aus der Definition der Arbeit und dem Grundgesetz \(F = m\,a\).
Eine konstante Kraft \(F\) beschleunigt einen ruhenden Körper der Masse \(m\) über die Strecke \(s\). Die dabei verrichtete Arbeit ist \(W = F \cdot s\). Mit dem Grundgesetz \(F = m\,a\) und der Bewegung aus dem Stand (\(v^2 = 2\,a\,s\), also \(s = v^2/(2a)\)):
\[ W = F \cdot s = m\,a \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 \]Die ganze hineingesteckte Arbeit steckt nun als Bewegungsenergie im Körper. Das ist das Arbeit-Energie-Theorem: Die an einem Körper verrichtete Gesamtarbeit ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie.
Wirken nur Schwerkraft und Federkräfte (keine Reibung), so bleibt die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant:
\[ E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{konstant} \]Für einen frei fallenden oder rollenden Körper, der aus der Höhe \(h\) startet, ergibt sich die Geschwindigkeit am tiefsten Punkt aus \(\tfrac{1}{2}mv^2 = mgh\), also \(v = \sqrt{2gh}\) — unabhängig von der Masse.
- Arbeit: \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\) — nur die Kraftkomponente längs des Weges zählt.
- Energieformen: \(E_{\text{pot}} = mgh\), \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}mv^2\), Spannenergie \(E = \tfrac{1}{2}Ds^2\).
- Erhaltung: Ohne Reibung bleibt die Summe aller mechanischen Energien konstant.
- Leistung & Wirkungsgrad: \(P = W/t\) (in Watt), \(\eta = E_{\text{nutz}}/E_{\text{zu}} < 1\).
❓ Was passiert mit der kinetischen Energie, wenn du die Geschwindigkeit verdreifachst?
Sie wird neunmal so gross, denn \(E_{\text{kin}}\propto v^2\). Das erklärt, warum Aufprallenergien bei hohem Tempo so dramatisch steigen.
✏️ Mini-Check
Die Arbeit der resultierenden Kraft an einem Körper ist gleich der Änderung seiner …
- Lageenergie
- kinetischen Energie
- Spannenergie
Lösung anzeigen
Der Arbeits-Energie-Satz lautet \(W = \Delta E_i\). Welcher Index gehört anstelle von \(i\): ?
Lösung anzeigen
Welche Arbeit beschleunigt \(m = 2\;\text{kg}\) von \(0\) auf \(v = 6\;\text{m/s}\)?
Lösung anzeigen
Leite aus \(W = F\cdot s\), \(F = m a\) und \(v^2 = 2 a s\) die kinetische Energie her.
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Aufgaben
Stelle in Animation 1 die Zugkraft auf \(F = 60\;\text{N}\), den Weg auf \(s = 3.0\;\text{m}\) und den Winkel auf \(\alpha = 0°\). Lies die Arbeit ab und prüfe sie mit der Formel. Wie ändert sich die Arbeit, wenn du den Winkel auf \(60°\) erhöhst?
Ansatz: \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\). Bei \(\alpha = 0°\) ist \(\cos 0° = 1\):
\[ W = 60\;\text{N} \cdot 3.0\;\text{m} \cdot 1 = 180\;\text{J} \]Bei \(\alpha = 60°\) ist \(\cos 60° = 0.5\), also nur die Hälfte: \(W = 60 \cdot 3.0 \cdot 0.5 = 90\;\text{J}\). Im Diagramm sinkt die Rechteckfläche auf die Hälfte.
Ein Auto der Masse \(1100\;\text{kg}\) fährt einmal mit \(30\;\text{km/h}\), einmal mit \(60\;\text{km/h}\).
- Berechne die kinetische Energie bei beiden Geschwindigkeiten.
- Um welchen Faktor steigt die Energie, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt?
- Umrechnen: \(30\;\text{km/h} = \dfrac{30\,000\;\text{m}}{3600\;\text{s}} \approx 8.33\;\text{m/s}\), analog \(60\;\text{km/h} \approx 16.67\;\text{m/s}\). Mit \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2\): \[ E_{30} = \tfrac{1}{2} \cdot 1100 \cdot 8.33^2 \approx 38.2\;\text{kJ} \] \[ E_{60} = \tfrac{1}{2} \cdot 1100 \cdot 16.67^2 \approx 152.8\;\text{kJ} \]
- Das Verhältnis ist \(152.8 / 38.2 = 4\). Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Bewegungsenergie — der Faktor folgt direkt aus dem \(v^2\) in der Formel.
Ein Skater (Masse mit Ausrüstung \(75\;\text{kg}\)) startet aus der Ruhe am oberen Rand einer reibungsfreien Halfpipe, \(2.4\;\text{m}\) über dem tiefsten Punkt.
- Welche Geschwindigkeit hat er am tiefsten Punkt?
- Wie hoch steigt er auf der Gegenseite (ohne Abstossen)?
- Die gesamte Lageenergie wandelt sich in Bewegungsenergie um: \(mgh = \tfrac{1}{2}mv^2\). Die Masse kürzt sich: \[ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 2.4} \approx 6.86\;\text{m/s} \] das sind rund \(25\;\text{km/h}\).
- Ohne Reibung gilt Energieerhaltung in beide Richtungen — er erreicht wieder genau die Starthöhe von \(2.4\;\text{m}\).
Eine Spielzeugkanone besitzt eine Feder mit \(D = 600\;\text{N/m}\), die um \(s = 0.05\;\text{m}\) zusammengedrückt wird. Die Kugel hat eine Masse von \(20\;\text{g}\).
- Wie viel Spannenergie ist in der Feder gespeichert?
- Mit welcher Geschwindigkeit verlässt die Kugel die Kanone (reibungsfrei, waagrecht)?
- Spannenergie: \[ E = \tfrac{1}{2} D s^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 600 \cdot 0.05^2 = 0.75\;\text{J} \]
- Diese Energie wird vollständig zu Bewegungsenergie: \(\tfrac{1}{2}mv^2 = 0.75\;\text{J}\). Mit \(m = 0.02\;\text{kg}\): \[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.75}{0.02}} \approx 8.66\;\text{m/s} \]
Eine Person (\(68\;\text{kg}\)) läuft eine Treppe mit \(4.0\;\text{m}\) Höhenunterschied in \(5.0\;\text{s}\) hinauf.
- Welche Hubarbeit verrichtet sie?
- Welche mittlere Leistung erbringt sie dabei?
- Hubarbeit gegen die Gewichtskraft: \[ W = m g h = 68 \cdot 9.81 \cdot 4.0 \approx 2668\;\text{J} \]
- Leistung: \[ P = \frac{W}{t} = \frac{2668\;\text{J}}{5.0\;\text{s}} \approx 534\;\text{W} \] das entspricht etwa der Dauerleistung eines gut trainierten Menschen über kurze Zeit.
Ein Pumpspeicherkraftwerk pumpt nachts Wasser in ein höher gelegenes Becken und gewinnt tagsüber daraus wieder Strom. Beim Hochpumpen werden \(5.0\;\text{MJ}\) elektrische Energie aufgewendet; davon kommen \(3.6\;\text{MJ}\) als Lageenergie im oberen Becken an. Bei der Rückgewinnung beträgt der Wirkungsgrad nochmals \(82\,\%\).
- Wie gross ist der Wirkungsgrad des Pumpvorgangs?
- Wie viel elektrische Energie liefert das Kraftwerk am Ende zurück, und wie gross ist der Gesamtwirkungsgrad?
- Wirkungsgrad des Pumpens: \[ \eta_1 = \frac{E_{\text{nutz}}}{E_{\text{zu}}} = \frac{3.6\;\text{MJ}}{5.0\;\text{MJ}} = 0.72 = 72\,\% \]
- Aus den \(3.6\;\text{MJ}\) Lageenergie werden bei der Rückgewinnung \(82\,\%\): \[ E_{\text{ab}} = 0.82 \cdot 3.6\;\text{MJ} \approx 2.95\;\text{MJ} \] Der Gesamtwirkungsgrad ist das Produkt der Einzelschritte: \[ \eta_{\text{ges}} = \eta_1 \cdot \eta_2 = 0.72 \cdot 0.82 \approx 0.59 = 59\,\% \] Von den ursprünglich \(5.0\;\text{MJ}\) kommen also rund \(2.95\;\text{MJ}\) zurück.
Zusammenfassung
| Grösse / Gesetz | Formel | Bemerkung |
|---|---|---|
| Mechanische Arbeit | \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\) | nur Kraftanteil längs des Weges |
| Potentielle Energie | \(E_{\text{pot}} = m g h\) | Höhe ab frei wählbarem Nullniveau |
| Kinetische Energie | \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2\) | quadratisch in \(v\) |
| Spannenergie (Feder) | \(E = \tfrac{1}{2} D s^2\) | Dreiecksfläche unter \(F(s)\) |
| Energieerhaltung | \(E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{konst.}\) | nur ohne Reibung |
| Endgeschwindigkeit aus Höhe | \(v = \sqrt{2 g h}\) | massenunabhängig |
| Leistung | \(P = W / t = F \cdot v\) | Einheit Watt, \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\) |
| Wirkungsgrad | \(\eta = E_{\text{nutz}} / E_{\text{zu}}\) | immer \(< 1\); mehrstufig: Produkt |
| Strahlungsbilanz der Erde | \((1-a) \cdot \tfrac{S}{4} = \sigma T^4\) | im Gleichgewicht; ergibt \(-18\;^\circ\text{C}\) |
Kernpunkte
- Arbeit ist übertragene Energie: \(W=F\cdot s\cdot\cos\alpha\) — nur der Kraftanteil längs des Weges zählt.
- Potentielle Energie: \(E_{\text{pot}}=mgh\); kinetische Energie: \(E_{\text{kin}}=\tfrac12 m v^2\).
- Energieerhaltung: ohne Reibung bleibt \(E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}\) konstant.
- Aus der Höhe folgt die Endgeschwindigkeit \(v=\sqrt{2gh}\) — massenunabhängig.
- Leistung ist Energie pro Zeit: \(P=W/t=F\cdot v\), Einheit Watt.
- Reibung wandelt mechanische Energie in Wärme um — sie geht nicht verloren, ist aber nicht mehr nutzbar.
- Der Wirkungsgrad \(\eta=E_{\text{nutz}}/E_{\text{zu}}\) ist immer kleiner als 1; bei mehreren Stufen multiplizieren sich die Wirkungsgrade.
- Die Erde ist im Strahlungsgleichgewicht, wenn \((1-a)\cdot S/4 = \sigma T^4\) gilt; daraus folgen \(-18\;^\circ\text{C}\), die Treibhausgase heben das auf \(+15\;^\circ\text{C}\).
- Mehr Treibhausgase bremsen die Abstrahlung: Es kommt mehr herein als hinaus, und die Temperatur steigt, bis die Bilanz wieder aufgeht.
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Arbeit als Fläche: nur die Kraft längs des Weges zählt
- 0:00In der Animation ziehst du einen Schlitten mit fünfzig Newton über zwei Meter. Das Diagramm daneben zeigt die Arbeit als Fläche. Was ändert sich, wenn du schräg ziehst?
- 0:10Du ziehst waagrecht, der Winkel ist null Grad. Im Diagramm entsteht ein Rechteck: fünfzig Newton hoch, zwei Meter breit. Seine Fläche ist die Arbeit, hundert Joule.
- 0:21Jetzt ziehst du unter sechzig Grad. Die Zugkraft bleibt fünfzig Newton, aber nur ihr Anteil längs des Weges zählt: fünfzig Newton mal Kosinus sechzig Grad, also fünfundzwanzig Newton. Das Rechteck wird halb so hoch, die Arbeit sinkt auf fünfzig Joule.
- 0:36Bei neunzig Grad zeigt die Kraft senkrecht nach oben. Kosinus neunzig Grad ist null: Längs des Weges bleibt keine Kraft, das Rechteck verschwindet. Die Kraft verrichtet keine Arbeit, auch wenn sie fünfzig Newton gross ist.
- 0:49Merke: Arbeit ist Kraft längs des Weges mal Weg, im Diagramm die Fläche darunter. Je schräger du ziehst, desto kleiner die Fläche. Steht die Kraft senkrecht zum Weg, verrichtet sie keine Arbeit.
Energie-Parabel: was doppeltes Tempo und doppelte Masse bewirken
- 0:00In der Animation fährt ein Auto von tausend Kilogramm mit zehn Metern pro Sekunde. Rechts siehst du seine Bewegungsenergie als Punkt auf einer Kurve. Was bringt doppeltes Tempo?
- 0:10Setz die Werte ein: ein halb mal tausend Kilogramm mal zehn Meter pro Sekunde im Quadrat. Das gibt fünfzig Kilojoule, der rote Punkt auf der grünen Parabel.
- 0:20Schieb die Geschwindigkeit auf zwanzig Meter pro Sekunde. Die Energie steigt auf zweihundert Kilojoule, das Vierfache. Der violette Punkt hatte das schon vorher angezeigt: doppeltes Tempo, mal vier.
- 0:33Zurück auf zehn Meter pro Sekunde, dafür zweitausend Kilogramm. Jetzt sind es hundert Kilojoule, nur das Doppelte. Die Masse steht nicht im Quadrat: Die Parabel wird steiler, aber sie bleibt eine Parabel.
- 0:45Beim Bremsen wird diese Energie aufgezehrt. Bei gleicher Bremskraft wächst darum auch der Bremsweg mit dem Quadrat des Tempos. Die Animation rechnet mit der Reibungszahl null Komma acht: Bei zehn Metern pro Sekunde sind es sechs Komma vier Meter, bei zwanzig schon fünfundzwanzig Komma fünf, viermal so viel.
- 1:02Merke: Die Bewegungsenergie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Doppeltes Tempo heisst vierfache Energie und, bei gleicher Bremskraft, vierfacher Bremsweg. Die Masse geht nur einfach ein.
Pendel mit Energiebalken: Umkehrpunkt, tiefster Punkt und Reibung
- 0:00In der Animation hängt eine Kugel von null Komma fünf Kilogramm an einem Faden von eins Komma zwei Metern, um vierzig Grad ausgelenkt. Die Balken zeigen, wo die Energie steckt.
- 0:11Im Umkehrpunkt steht die Kugel still, null Komma zwei acht eins Meter über dem tiefsten Punkt. Ihre Energie ist ganz Lageenergie: eins Komma drei acht Joule.
- 0:20Auf dem Weg nach unten sinkt die Kugel und wird schneller. Bei dreissig Grad zeigen die Balken null Komma sieben neun Joule Lageenergie und null Komma fünf neun Joule Bewegungsenergie. Zusammen wieder eins Komma drei acht Joule.
- 0:34Im tiefsten Punkt ist die Lageenergie null, alles ist Bewegungsenergie. Hier ist die Kugel am schnellsten: Wurzel aus zwei mal eins Komma drei acht Joule durch null Komma fünf Kilogramm, zwei Komma drei fünf Meter pro Sekunde.
- 0:47Mit Reibung kommt die Kugel nach einer ganzen Schwingung nur noch bis rund siebenundzwanzig Grad zurück. Null Komma sechs drei Joule sind noch mechanische Energie, null Komma sieben fünf Joule sind zu Wärme geworden. Die Summe bleibt eins Komma drei acht Joule.
- 1:03Merke: Im Umkehrpunkt ist alles Lageenergie, im tiefsten Punkt alles Bewegungsenergie. Die Summe bleibt. Mit Reibung wird ein Teil zu Wärme, verloren geht nichts.
Spannenergie der Feder: doppelte Dehnung, vierfache Energie
- 0:00In der Animation dehnst du eine Feder und siehst daneben, wie ihre Kraft mit der Dehnung wächst. Spannst du die Feder doppelt so weit, speichert sie dann doppelt so viel Energie?
- 0:10Stell achthundert Newton pro Meter und null Komma null fünf Meter ein. Im elastischen Bereich wächst die Federkraft linear mit der Dehnung: F gleich D mal s, hier vierzig Newton. Im Diagramm ist das eine Gerade durch den Ursprung.
- 0:24Die gespeicherte Energie ist die Fläche unter der Geraden. Weil die Kraft von null auf vierzig Newton ansteigt, ist diese Fläche ein Dreieck: die Hälfte von Kraft mal Weg, hier ein Joule. Mit F gleich D mal s wird daraus E gleich ein halb D s Quadrat.
- 0:37Jetzt verdoppelst du die Dehnung auf null Komma eins Meter. Das Dreieck wird doppelt so breit und, weil auch die Kraft doppelt so gross ist, doppelt so hoch. Seine Fläche wird viermal so gross: vier Joule statt eins.
- 0:50Mit der halben Federkonstante, vierhundert Newton pro Meter, ist die Gerade nur halb so steil. Bei gleicher Dehnung speichert die weichere Feder nur zwei Joule, die Hälfte. Beim Entspannen gibt sie diese Energie wieder ab.
- 1:03Merke: Die Spannenergie ist die Dreiecksfläche unter der Kraft-Weg-Geraden, E gleich ein halb D s Quadrat. Doppelte Dehnung speichert die vierfache Energie.
Hubleistung: halbe Hubzeit, doppelte Leistung
- 0:00In der Animation heben zwei Seile je eine Kiste von zwanzig Kilogramm um eins Komma fünf Meter. Die graue Kiste braucht immer drei Sekunden, die Zeit der braunen stellst du ein. Was unterscheidet die beiden?
- 0:13Beide Kisten verrichten dieselbe Hubarbeit: Masse mal Erdbeschleunigung mal Höhe, rund zweihundertvierundneunzig Joule. In dieser Rechnung kommt die Zeit gar nicht vor.
- 0:23Die Leistung sagt, wie schnell diese Arbeit verrichtet wird: Arbeit geteilt durch Zeit. Bei drei Sekunden sind es achtundneunzig Watt, für beide Kisten gleich.
- 0:33Stellst du eins Komma fünf Sekunden ein, ist die braune Kiste schon oben, wenn die graue erst auf halber Höhe hängt. Dieselbe Arbeit in der halben Zeit: hundertsechsundneunzig Watt, doppelt so viel Leistung.
- 0:44Bei sechs Sekunden ist es umgekehrt: Die graue Kiste ist oben, die braune erst auf halber Höhe. Die Leistung sinkt auf neunundvierzig Watt. Ein Watt ist ein Joule pro Sekunde: neunundvierzig Joule in jeder Sekunde, sechs Sekunden lang, ergeben wieder zweihundertvierundneunzig Joule.
- 1:01Merke: Die Hubarbeit hängt nur von Masse und Höhe ab. Die Leistung ist Arbeit geteilt durch Zeit: Wer dieselbe Arbeit schneller verrichtet, leistet mehr.
Energieflussdiagramm: Nutzen und Wärme ergeben die Zufuhr
- 0:00Im Energieflussdiagramm der Animation fliessen fünfhundert Joule in eine Maschine. Ein Teil kommt als Nutzenergie heraus, der Rest als Wärme. Die Breite jedes Pfeils zeigt, wie viel Energie er trägt.
- 0:12Bei einem Wirkungsgrad von sechzig Prozent kommen dreihundert Joule als Nutzenergie heraus. Die übrigen zweihundert Joule gibt die Maschine als Wärme ab. Zusammen sind es wieder fünfhundert Joule: Die Energie verschwindet nicht, sie ist nur nicht mehr nutzbar.
- 0:27Senkst du den Wirkungsgrad auf zwanzig Prozent, bleiben nur hundert Joule Nutzenergie. Vierhundert Joule werden zu Wärme: Der rote Pfeil ist jetzt viermal so breit wie der grüne.
- 0:37Schaltest du eine zweite Stufe mit ebenfalls sechzig Prozent dahinter, bekommt sie nur noch die dreihundert Joule der ersten. Die Wirkungsgrade multiplizieren sich: sechzig mal sechzig Prozent ergibt sechsunddreissig Prozent, also hundertachtzig Joule Nutzenergie.
- 0:52Auch mit zwei Stufen geht die Bilanz auf: Von fünfhundert Joule kommen hundertachtzig als Nutzen an, dreihundertzwanzig werden zu Wärme. Jede Stufe hat ihren eigenen roten Pfeil: Die erste gibt zweihundert Joule ab, die zweite hundertzwanzig.
- 1:06Merke: Im Energieflussdiagramm geht keine Energie verloren. Nutzenergie und Wärme ergeben zusammen die zugeführte Energie. Der Wirkungsgrad ist der Anteil der Nutzenergie und immer kleiner als eins.
Mechanische Arbeit: warum Tragen keine ist
- 0:00Wer eine schwere Kiste minutenlang hält, ist danach erschöpft. Physikalisch hat er dabei keine Arbeit verrichtet.
- 0:09Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft einen Körper verschiebt. Fehlt eines von beiden, ist die Arbeit null.
- 0:17Es zählt nur der Anteil der Kraft, der in Richtung des Weges zeigt. Steht die Kraft senkrecht dazu, ist der Kosinus null — und mit ihm die Arbeit.
- 0:26Fünfzig Newton über zwei Meter in Wegrichtung ergeben hundert Joule. Wirkt dieselbe Kraft unter sechzig Grad über zehn Meter, sind es zweihundertfünfzig.
- 0:36Im Kraft-Weg-Diagramm ist die Arbeit die Fläche unter der Kurve. Bei konstanter Kraft ist es ein Rechteck, bei der Feder ein Dreieck.
- 0:44Merke: Arbeit ist Kraft mal Weg in Kraftrichtung. Ohne Verschiebung und quer zur Kraft passiert physikalisch nichts.
Lage- und Bewegungsenergie: linear in der Höhe, quadratisch im Tempo
- 0:00Ein Auto bei fünfzig Kilometern je Stunde hat nicht knapp doppelt so viel Energie wie bei dreissig, sondern fast dreimal so viel.
- 0:09Wer einen Körper anhebt, verrichtet Hubarbeit — und die steckt danach als Lageenergie in ihm. Sie ist Masse mal Ortsfaktor mal Höhe.
- 0:18Wer einen Körper beschleunigt, steckt die Arbeit ebenfalls in ihn hinein — diesmal als Bewegungsenergie.
- 0:26Dieses Quadrat ist der wichtigste Unterschied. Doppeltes Tempo heisst vierfache Energie — und weil die Bremsarbeit genau diese Energie aufzehren muss, auch vierfacher Bremsweg.
- 0:36Die Hälfte in der Formel fällt nicht vom Himmel. Sie folgt aus Arbeit gleich Kraft mal Weg, zusammen mit dem Grundgesetz und der zeitlosen Bewegungsgleichung.
- 0:46Merke: Lageenergie wächst mit der Höhe, Bewegungsenergie mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Beide werden in Joule gemessen.
Energieerhaltung: die Summe bleibt, die Form wechselt
- 0:00Ein Pendel schwingt ohne Antrieb hin und her. Oben steht es still, unten ist es am schnellsten — und beides hängt zusammen.
- 0:09Wirken nur Schwerkraft und Federkräfte, bleibt die mechanische Energie konstant. Lage- und Bewegungsenergie tauschen sich gegenseitig aus.
- 0:18Am Umkehrpunkt steht das Pendel still: alles ist Lageenergie. Im tiefsten Punkt ist es am schnellsten: alles ist Bewegungsenergie.
- 0:27Damit lassen sich Aufgaben ohne den Umweg über Kräfte lösen: Setzt man die Energie oben gleich der Energie unten, kürzt sich sogar die Masse heraus.
- 0:36In Wirklichkeit wird das Pendel langsamer. Verloren ist die Energie trotzdem nicht: Sie steckt jetzt als Wärme in Luft und Aufhängung.
- 0:44Merke: Die Gesamtenergie bleibt immer erhalten. Ohne Reibung bleibt sogar die mechanische Energie allein konstant.
Leistung: dieselbe Arbeit, kürzere Zeit
- 0:00Zwei Personen tragen dieselbe Kiste dieselbe Treppe hinauf. Die eine rennt, die andere geht. Beide verrichten dieselbe Arbeit.
- 0:09Die Leistung sagt, wie schnell Arbeit verrichtet oder Energie umgesetzt wird: Arbeit geteilt durch die dafür gebrauchte Zeit.
- 0:17Gemessen wird sie in Watt: ein Watt ist ein Joule je Sekunde. Die alte Einheit Pferdestärke entspricht rund siebenhundertfünfunddreissig Watt.
- 0:26Ein Lift hebt achthundert Kilogramm in fünf Sekunden um fünfzehn Meter: hundertachtzehn Kilojoule Hubarbeit, also rund dreiundzwanzig Komma fünf Kilowatt.
- 0:36Fährt ein Fahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit, lässt sich die Leistung auch als Kraft mal Geschwindigkeit schreiben.
- 0:43Merke: Leistung ist Arbeit je Zeit. Wer schneller arbeitet, leistet mehr — verrichtet aber nicht mehr Arbeit.
Wirkungsgrade in Serie: warum sich Verluste multiplizieren
- 0:00Ein Antrieb besteht aus Motor, Getriebe und Kette. Jede Stufe für sich ist gut — zusammen bleibt weniger übrig, als man denkt.
- 0:09Der Wirkungsgrad einer Stufe ist Nutzenergie geteilt durch zugeführte Energie. Er ist immer kleiner als eins, weil ein Teil als Wärme weggeht.
- 0:19Hängt eine zweite Stufe an der ersten, bekommt sie nur noch das, was die erste übrig gelassen hat. Ihre Prozente beziehen sich auf diesen Rest.
- 0:27Deshalb multiplizieren sich die Wirkungsgrade. Achtzig Prozent gefolgt von fünfzig ergeben nicht fünfundsechzig, sondern vierzig.
- 0:36Drei richtig gute Stufen mit je neunzig Prozent ergeben zusammen nur noch dreiundsiebzig. Bei einem Velo-Antrieb mit fünfundneunzig, neunzig und fünfundachtzig Prozent bleiben knapp dreiundsiebzig.
- 0:48Merke: Wirkungsgrade in Serie werden multipliziert. Das Ergebnis ist immer kleiner als der kleinste Einzelwert.
Wirkungsgrad: wohin die andere Hälfte der Energie geht
- 0:00Ein Verbrennungsmotor soll den Wagen bewegen. Warum wird er dabei so heiss, dass er einen eigenen Kühler braucht?
- 0:09Der Wirkungsgrad ist das Verhältnis von Nutzenergie zu zugeführter Energie. Er ist eine reine Zahl und immer kleiner als eins.
- 0:18Was nicht Nutzenergie wird, verschwindet nicht. Es verlässt das Gerät als Abwärme an die Umgebung — deshalb der Kühler.
- 0:25Eine Glühbirne macht nur wenige Prozent Licht, ein Verbrennungsmotor rund dreissig Prozent Bewegung, ein Elektromotor über neunzig.
- 0:34Ein Kilogramm Propan liefert dreizehn Kilowattstunden, also sechsundvierzig Komma acht Megajoule. Bei sechzig Prozent Wirkungsgrad bleiben achtundzwanzig — genug, um vierundachtzig Kilogramm Wasser um achtzig Kelvin zu erwärmen.
- 0:48Merke: Der Wirkungsgrad ist nie grösser als eins, und die fehlende Energie ist immer irgendwo als Wärme.
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