4.3 Energie
Arbeit, Leistung und der Erhaltungssatz der Energie.
- die mechanische Arbeit \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\) berechnen
- die Leistung \(P = W / t\) bestimmen und in Watt angeben
- kinetische Energie \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2\) und potentielle Energie \(E_{\text{pot}} = m g h\) berechnen
- den Energieerhaltungssatz auf mechanische Vorgänge anwenden
- den Wirkungsgrad als Verhältnis von Nutz- zu Gesamtenergie bestimmen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die mechanische Arbeit \(W=F\cdot s\cdot\cos\alpha\) berechnen.
- Ich kann die Leistung \(P=W/t\) bestimmen und in Watt angeben.
- Ich kann kinetische und potentielle Energie berechnen.
- Ich kann den Energieerhaltungssatz auf mechanische Vorgänge anwenden.
- Ich kann den Wirkungsgrad als Verhältnis von Nutz- zu zugeführter Energie bestimmen.
Einstieg — die Achterbahn ohne Motor
Eine Achterbahn wird zu Beginn mit einer Kette auf den höchsten Punkt der Strecke gezogen. Danach schaltet sich kein Motor mehr ein — und trotzdem rast der Wagen die gesamte Strecke mit ihren Hügeln und Tälern ab. Wieso reicht der eine Aufstieg am Anfang für die ganze Fahrt?
Der Schlüssel ist die Energie. Auf dem höchsten Punkt steckt sie als Lageenergie im Wagen; beim Hinunterfahren wird sie in Bewegungsenergie umgewandelt, beim nächsten Hügel wieder zurück. Energie geht dabei nicht verloren, sie wechselt nur die Form. Genau das macht den Energiebegriff so mächtig: Statt in jedem Punkt mühsam Kräfte zu zerlegen, verfolgen wir eine einzige Grösse durch den ganzen Vorgang.
In Animation 3 weiter unten schwingt ein Pendel hin und her. Beobachte die beiden Energiebalken: Wann ist die Lageenergie am grössten, wann die Bewegungsenergie? Achte darauf, dass ihre Summe — die Gesamtenergie — die ganze Zeit gleich bleibt. Dasselbe Prinzip steckt hinter der Achterbahn.
Auf dieser Seite lernst du, was Arbeit physikalisch bedeutet, welche Energieformen es in der Mechanik gibt, wie der Energieerhaltungssatz Bewegungen erklärt, und wie man mit Leistung und Wirkungsgrad beschreibt, wie schnell und wie effizient Energie umgesetzt wird.
✏️ Mini-Check
Woher nimmt die Achterbahn nach dem ersten Hügel ihre Bewegung?
- aus einem versteckten Motor
- aus der Umwandlung von Lage- in Bewegungsenergie
- aus der Reibung
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Energie kann nicht erzeugt oder vernichtet, nur werden.
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Lageenergie eines Wagens (\(m = 500\;\text{kg}\)) in \(h = 20\;\text{m}\) Höhe? (\(g = 9.81\))
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An welcher Stelle der Achterbahn ist die Geschwindigkeit am grössten — und warum?
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Grundbegriffe
Verschiebt eine Kraft \(\vec{F}\) einen Körper um die Strecke \(s\), so verrichtet sie mechanische Arbeit. Es zählt nur der Anteil der Kraft, der in Richtung der Bewegung zeigt:
\[ W = F \cdot s \cdot \cos\alpha \]Dabei ist \(\alpha\) der Winkel zwischen Kraft und Weg. SI-Einheit ist das Joule, \(1\;\text{J} = 1\;\text{N} \cdot \text{m}\). Steht die Kraft senkrecht zum Weg (\(\alpha = 90°\)), wird keine Arbeit verrichtet.
Energie ist die Fähigkeit eines Körpers oder Systems, Arbeit zu verrichten. Wer an einem Körper Arbeit verrichtet, lädt ihn mit Energie auf; gibt der Körper Energie ab, kann er selbst Arbeit verrichten. Energie wird in derselben Einheit gemessen wie Arbeit, in Joule.
Hebt man einen Körper der Masse \(m\) um die Höhe \(h\) an, speichert er potentielle Energie:
\[ E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h \]Sie entspricht genau der Hubarbeit, die zum Anheben nötig war. Die Höhe wird ab einem frei wählbaren Nullniveau gezählt.
Ein Körper der Masse \(m\), der sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, trägt kinetische Energie:
\[ E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}\, m \, v^2 \]Sie wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit: Doppeltes Tempo bedeutet vierfache Bewegungsenergie — und damit etwa den vierfachen Bremsweg.
Die Leistung gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet bzw. Energie umgesetzt wird:
\[ P = \frac{W}{t} \]SI-Einheit ist das Watt, \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\). Bei konstanter Geschwindigkeit gilt auch \(P = F \cdot v\).
✏️ Mini-Check
Die Einheit von Arbeit und Energie ist …
- Newton
- Joule
- Watt
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Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft längs eines wirkt.
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Wie viele Joule sind \(1\;\text{kWh}\)?
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Du trägst eine schwere Kiste waagrecht mit konstanter Geschwindigkeit durch einen Raum. Verrichtest du physikalisch Hubarbeit?
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Arbeit — Kraft mal Weg in Bewegungsrichtung
Arbeit ist mehr als „Kraft aufwenden“. Wer einen schweren Koffer nur hält, wird müde — verrichtet aber keine physikalische Arbeit, weil sich nichts bewegt. Erst die Verschiebung in Kraftrichtung zählt. Im Kraft-Weg-Diagramm entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kraftkurve.
✏️ Mini-Check
Bei welchem Winkel zwischen Kraft und Weg wird die meiste Arbeit verrichtet?
- \(0°\)
- \(45°\)
- \(90°\)
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Nur die Kraftkomponente zum Weg verrichtet Arbeit.
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Kraft \(F = 40\;\text{N}\) zieht eine Kiste \(s = 5\;\text{m}\) waagrecht (\(\alpha = 0\)). Arbeit?
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Eine Zugkraft von \(50\;\text{N}\) wirkt unter \(60°\) zum Weg über \(10\;\text{m}\). Welche Arbeit? (\(\cos 60° = 0.5\))
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Kinetische Energie — quadratisch mit dem Tempo
Die Bewegungsenergie wächst mit dem Quadrat der Geschwindigkeit. Das hat dramatische Folgen im Strassenverkehr: Wer statt mit 30 km/h mit 50 km/h fährt, hat nicht knapp doppelt, sondern fast die dreifache Bewegungsenergie — und damit einen entsprechend längeren Anhalteweg.
❓ Was passiert mit der Energie, wenn ein Pendel durch Reibung langsamer wird?
Sie verschwindet nicht — die mechanische Energie wird nach und nach in Wärme (und etwas Schall) umgewandelt. Die Gesamtenergie bleibt erhalten, nur ist sie am Ende nicht mehr als Bewegung nutzbar.
✏️ Mini-Check
Verdoppelt man die Geschwindigkeit, so wird die kinetische Energie …
- doppelt so gross
- viermal so gross
- gleich gross
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Die kinetische Energie wächst mit der Geschwindigkeit.
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Kinetische Energie eines Autos (\(m = 1000\;\text{kg}\), \(v = 20\;\text{m/s}\))?
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Warum ist der Bremsweg bei doppeltem Tempo viermal so lang (bei gleicher Bremskraft)?
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Energieerhaltung — die Summe bleibt
In einem reibungsfreien System ist die Gesamtenergie konstant. Lage- und Bewegungsenergie wandeln sich ständig ineinander um, ihre Summe bleibt jedoch unverändert. Das Pendel zeigt das in Reinform: oben am Umkehrpunkt steht es still (nur Lageenergie), unten am tiefsten Punkt ist es am schnellsten (nur Bewegungsenergie).
✏️ Mini-Check
Ein reibungsfreies Pendel schwingt. Wo ist die kinetische Energie am grössten?
- in den Umkehrpunkten
- im tiefsten Punkt
- überall gleich
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Bei der Energieerhaltung bleibt die aller Energieformen konstant.
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Aus welcher Höhe fällt ein Körper, um \(v = 10\;\text{m/s}\) zu erreichen? (\(m g h = \tfrac12 m v^2\), \(g = 9.81\))
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Ein Skifahrer startet reibungsfrei aus der Ruhe auf \(h = 45\;\text{m}\). Geschwindigkeit am Hangfuss?
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Elastische Energie — gespannt gespeichert
Auch eine gespannte Feder speichert Energie. Weil die Federkraft \(F = D\cdot s\) linear mit der Dehnung wächst, ist die Kraft-Weg-Kurve eine Gerade — und die gespeicherte Energie die Dreiecksfläche darunter. Das ergibt \(E = \tfrac{1}{2} D s^2\).
✏️ Mini-Check
Verdoppelt man die Dehnung einer Feder, so wird die gespeicherte Energie …
- doppelt so gross
- viermal so gross
- gleich gross
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Die Spannenergie einer Feder ist \(E = \tfrac12 D \cdot\) .
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Spannenergie einer Feder (\(D = 300\;\text{N/m}\), \(s = 0.2\;\text{m}\))?
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Ein gespanntes Gummiband schleudert einen Ball weg. Wie hängen Spannenergie und Abschussgeschwindigkeit zusammen?
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Leistung — Energie pro Zeit
Zwei Personen tragen dieselbe Last die gleiche Treppe hinauf — eine rennt, die andere geht langsam. Beide verrichten dieselbe Arbeit, aber die rennende Person hat die grössere Leistung, weil sie die Energie in kürzerer Zeit umsetzt.
✏️ Mini-Check
Zwei Kräne heben dieselbe Last gleich hoch, Kran A schneller. Welcher hat die grössere Leistung?
- Kran A
- Kran B
- beide gleich
Lösung anzeigen
Leistung ist Arbeit pro .
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Ein Motor verrichtet \(W = 6000\;\text{J}\) in \(t = 4\;\text{s}\). Leistung?
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Ein Lift hebt \(800\;\text{kg}\) in \(5\;\text{s}\) um \(15\;\text{m}\). Welche Leistung (ohne Verluste, \(g = 9.81\))?
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Wirkungsgrad — wie viel wirklich ankommt
Keine reale Maschine wandelt Energie verlustfrei um — ein Teil wird stets als Wärme an die Umgebung abgegeben. Der Wirkungsgrad \(\eta\) gibt an, welcher Anteil der zugeführten Energie tatsächlich als Nutzenergie herauskommt: \(\eta = E_{\text{nutz}} / E_{\text{zu}}\). Er ist immer kleiner als 1.
✏️ Mini-Check
Der Wirkungsgrad eines realen Geräts ist …
- immer genau \(1\)
- immer kleiner als \(1\)
- manchmal grösser als \(1\)
Lösung anzeigen
Der Wirkungsgrad ist Nutzenergie geteilt durch Energie.
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Maschine erhält \(E_{\text{zu}} = 2000\;\text{J}\), liefert \(E_{\text{nutz}} = 1500\;\text{J}\). Wirkungsgrad?
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Zwei Stufen mit \(\eta_1 = 0.8\) und \(\eta_2 = 0.5\) sind hintereinander. Gesamtwirkungsgrad?
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Theorie und Herleitung
Warum hat die kinetische Energie ausgerechnet die Form \(\tfrac{1}{2}mv^2\)? Sie folgt direkt aus der Definition der Arbeit und dem Grundgesetz \(F = m\,a\).
Eine konstante Kraft \(F\) beschleunigt einen ruhenden Körper der Masse \(m\) über die Strecke \(s\). Die dabei verrichtete Arbeit ist \(W = F \cdot s\). Mit dem Grundgesetz \(F = m\,a\) und der Bewegung aus dem Stand (\(v^2 = 2\,a\,s\), also \(s = v^2/(2a)\)):
\[ W = F \cdot s = m\,a \cdot \frac{v^2}{2a} = \tfrac{1}{2}\,m\,v^2 \]Die ganze hineingesteckte Arbeit steckt nun als Bewegungsenergie im Körper. Das ist das Arbeit-Energie-Theorem: Die an einem Körper verrichtete Gesamtarbeit ist gleich der Änderung seiner kinetischen Energie.
Wirken nur Schwerkraft und Federkräfte (keine Reibung), so bleibt die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant:
\[ E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{konstant} \]Für einen frei fallenden oder rollenden Körper, der aus der Höhe \(h\) startet, ergibt sich die Geschwindigkeit am tiefsten Punkt aus \(\tfrac{1}{2}mv^2 = mgh\), also \(v = \sqrt{2gh}\) — unabhängig von der Masse.
- Arbeit: \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\) — nur die Kraftkomponente längs des Weges zählt.
- Energieformen: \(E_{\text{pot}} = mgh\), \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}mv^2\), Spannenergie \(E = \tfrac{1}{2}Ds^2\).
- Erhaltung: Ohne Reibung bleibt die Summe aller mechanischen Energien konstant.
- Leistung & Wirkungsgrad: \(P = W/t\) (in Watt), \(\eta = E_{\text{nutz}}/E_{\text{zu}} < 1\).
❓ Was passiert mit der kinetischen Energie, wenn du die Geschwindigkeit verdreifachst?
Sie wird neunmal so gross, denn \(E_{\text{kin}}\propto v^2\). Das erklärt, warum Aufprallenergien bei hohem Tempo so dramatisch steigen.
✏️ Mini-Check
Die Arbeit der resultierenden Kraft an einem Körper ist gleich der Änderung seiner …
- Lageenergie
- kinetischen Energie
- Spannenergie
Lösung anzeigen
Der Arbeits-Energie-Satz lautet \(W = \Delta E_{\text{}}\) (Index).
Lösung anzeigen
Welche Arbeit beschleunigt \(m = 2\;\text{kg}\) von \(0\) auf \(v = 6\;\text{m/s}\)?
Lösung anzeigen
Leite aus \(W = F\cdot s\), \(F = m a\) und \(v^2 = 2 a s\) die kinetische Energie her.
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Aufgaben
Stelle in Animation 1 die Zugkraft auf \(F = 60\;\text{N}\), den Weg auf \(s = 3.0\;\text{m}\) und den Winkel auf \(\alpha = 0°\). Lies die Arbeit ab und prüfe sie mit der Formel. Wie ändert sich die Arbeit, wenn du den Winkel auf \(60°\) erhöhst?
Ansatz: \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\). Bei \(\alpha = 0°\) ist \(\cos 0° = 1\):
\[ W = 60\;\text{N} \cdot 3.0\;\text{m} \cdot 1 = 180\;\text{J} \]Bei \(\alpha = 60°\) ist \(\cos 60° = 0.5\), also nur die Hälfte: \(W = 60 \cdot 3.0 \cdot 0.5 = 90\;\text{J}\). Im Diagramm sinkt die Rechteckfläche auf die Hälfte.
Ein Auto der Masse \(1100\;\text{kg}\) fährt einmal mit \(30\;\text{km/h}\), einmal mit \(60\;\text{km/h}\).
- Berechne die kinetische Energie bei beiden Geschwindigkeiten.
- Um welchen Faktor steigt die Energie, wenn sich die Geschwindigkeit verdoppelt?
- Umrechnen: \(30\;\text{km/h} = \dfrac{30\,000\;\text{m}}{3600\;\text{s}} \approx 8.33\;\text{m/s}\), analog \(60\;\text{km/h} \approx 16.67\;\text{m/s}\). Mit \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2\): \[ E_{30} = \tfrac{1}{2} \cdot 1100 \cdot 8.33^2 \approx 38.2\;\text{kJ} \] \[ E_{60} = \tfrac{1}{2} \cdot 1100 \cdot 16.67^2 \approx 152.8\;\text{kJ} \]
- Das Verhältnis ist \(152.8 / 38.2 = 4\). Doppelte Geschwindigkeit bedeutet vierfache Bewegungsenergie — der Faktor folgt direkt aus dem \(v^2\) in der Formel.
Ein Skater (Masse mit Ausrüstung \(75\;\text{kg}\)) startet aus der Ruhe am oberen Rand einer reibungsfreien Halfpipe, \(2.4\;\text{m}\) über dem tiefsten Punkt.
- Welche Geschwindigkeit hat er am tiefsten Punkt?
- Wie hoch steigt er auf der Gegenseite (ohne Abstossen)?
- Die gesamte Lageenergie wandelt sich in Bewegungsenergie um: \(mgh = \tfrac{1}{2}mv^2\). Die Masse kürzt sich: \[ v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 2.4} \approx 6.86\;\text{m/s} \] das sind rund \(25\;\text{km/h}\).
- Ohne Reibung gilt Energieerhaltung in beide Richtungen — er erreicht wieder genau die Starthöhe von \(2.4\;\text{m}\).
Eine Spielzeugkanone besitzt eine Feder mit \(D = 600\;\text{N/m}\), die um \(s = 0.05\;\text{m}\) zusammengedrückt wird. Die Kugel hat eine Masse von \(20\;\text{g}\).
- Wie viel Spannenergie ist in der Feder gespeichert?
- Mit welcher Geschwindigkeit verlässt die Kugel die Kanone (reibungsfrei, waagrecht)?
- Spannenergie: \[ E = \tfrac{1}{2} D s^2 = \tfrac{1}{2} \cdot 600 \cdot 0.05^2 = 0.75\;\text{J} \]
- Diese Energie wird vollständig zu Bewegungsenergie: \(\tfrac{1}{2}mv^2 = 0.75\;\text{J}\). Mit \(m = 0.02\;\text{kg}\): \[ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 0.75}{0.02}} \approx 8.66\;\text{m/s} \]
Eine Person (\(68\;\text{kg}\)) läuft eine Treppe mit \(4.0\;\text{m}\) Höhenunterschied in \(5.0\;\text{s}\) hinauf.
- Welche Hubarbeit verrichtet sie?
- Welche mittlere Leistung erbringt sie dabei?
- Hubarbeit gegen die Gewichtskraft: \[ W = m g h = 68 \cdot 9.81 \cdot 4.0 \approx 2668\;\text{J} \]
- Leistung: \[ P = \frac{W}{t} = \frac{2668\;\text{J}}{5.0\;\text{s}} \approx 534\;\text{W} \] das entspricht etwa der Dauerleistung eines gut trainierten Menschen über kurze Zeit.
Ein Pumpspeicherkraftwerk pumpt nachts Wasser in ein höher gelegenes Becken und gewinnt tagsüber daraus wieder Strom. Beim Hochpumpen werden \(5.0\;\text{MJ}\) elektrische Energie aufgewendet; davon kommen \(3.6\;\text{MJ}\) als Lageenergie im oberen Becken an. Bei der Rückgewinnung beträgt der Wirkungsgrad nochmals \(82\,\%\).
- Wie gross ist der Wirkungsgrad des Pumpvorgangs?
- Wie viel elektrische Energie liefert das Kraftwerk am Ende zurück, und wie gross ist der Gesamtwirkungsgrad?
- Wirkungsgrad des Pumpens: \[ \eta_1 = \frac{E_{\text{nutz}}}{E_{\text{zu}}} = \frac{3.6\;\text{MJ}}{5.0\;\text{MJ}} = 0.72 = 72\,\% \]
- Aus den \(3.6\;\text{MJ}\) Lageenergie werden bei der Rückgewinnung \(82\,\%\): \[ E_{\text{ab}} = 0.82 \cdot 3.6\;\text{MJ} \approx 2.95\;\text{MJ} \] Der Gesamtwirkungsgrad ist das Produkt der Einzelschritte: \[ \eta_{\text{ges}} = \eta_1 \cdot \eta_2 = 0.72 \cdot 0.82 \approx 0.59 = 59\,\% \] Von den ursprünglich \(5.0\;\text{MJ}\) kommen also rund \(2.95\;\text{MJ}\) zurück.
Zusammenfassung
| Grösse / Gesetz | Formel | Bemerkung |
|---|---|---|
| Mechanische Arbeit | \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\) | nur Kraftanteil längs des Weges |
| Potentielle Energie | \(E_{\text{pot}} = m g h\) | Höhe ab frei wählbarem Nullniveau |
| Kinetische Energie | \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2\) | quadratisch in \(v\) |
| Spannenergie (Feder) | \(E = \tfrac{1}{2} D s^2\) | Dreiecksfläche unter \(F(s)\) |
| Energieerhaltung | \(E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} = \text{konst.}\) | nur ohne Reibung |
| Endgeschwindigkeit aus Höhe | \(v = \sqrt{2 g h}\) | massenunabhängig |
| Leistung | \(P = W / t = F \cdot v\) | Einheit Watt, \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\) |
| Wirkungsgrad | \(\eta = E_{\text{nutz}} / E_{\text{zu}}\) | immer \(< 1\); mehrstufig: Produkt |
Kernpunkte
- Arbeit ist übertragene Energie: \(W=F\cdot s\cdot\cos\alpha\) — nur der Kraftanteil längs des Weges zählt.
- Potentielle Energie: \(E_{\text{pot}}=mgh\); kinetische Energie: \(E_{\text{kin}}=\tfrac12 m v^2\).
- Energieerhaltung: ohne Reibung bleibt \(E_{\text{kin}}+E_{\text{pot}}\) konstant.
- Aus der Höhe folgt die Endgeschwindigkeit \(v=\sqrt{2gh}\) — massenunabhängig.
- Leistung ist Energie pro Zeit: \(P=W/t=F\cdot v\), Einheit Watt.
- Reibung wandelt mechanische Energie in Wärme um — sie geht nicht verloren, ist aber nicht mehr nutzbar.
- Der Wirkungsgrad \(\eta=E_{\text{nutz}}/E_{\text{zu}}\) ist immer kleiner als 1; bei mehreren Stufen multiplizieren sich die Wirkungsgrade.
Zusatzmaterial
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