Verschiebt eine Kraft \(\vec{F}\) einen Körper um die Strecke \(s\), so verrichtet sie mechanische Arbeit. Es zählt nur der Kraftanteil in Richtung der Bewegung:
\[ W = F \cdot s \cdot \cos\alpha \]\(\alpha\) ist der Winkel zwischen Kraft und Weg. SI-Einheit ist das Joule, \(1\;\text{J} = 1\;\text{N}\cdot\text{m}\). Steht die Kraft senkrecht zum Weg (\(\alpha = 90°\)), wird keine Arbeit verrichtet. Im Kraft-Weg-Diagramm entspricht die Arbeit der Fläche unter der Kraftkurve.
Wird ein Körper der Masse \(m\) entgegen der Gewichtskraft um die Höhe \(h\) gehoben, ist die Arbeit gleich Gewichtskraft mal Höhe:
\[ W_{\text{Hub}} = m \cdot g \cdot h \qquad g = 9.81\;\text{m/s}^2 \]Diese Hubarbeit steckt anschliessend als Lageenergie im Körper.
Energie ist die Fähigkeit eines Körpers oder Systems, Arbeit zu verrichten. Wer an einem Körper Arbeit verrichtet, lädt ihn mit Energie auf; gibt der Körper Energie ab, kann er selbst Arbeit verrichten. Energie wird in derselben Einheit gemessen wie Arbeit, in Joule.
Ein um die Höhe \(h\) angehobener Körper speichert potentielle Energie:
\[ E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h \]Sie entspricht der aufgewendeten Hubarbeit. Die Höhe wird ab einem frei wählbaren Nullniveau gezählt; nur Höhendifferenzen sind physikalisch relevant.
Ein Körper der Masse \(m\), der sich mit der Geschwindigkeit \(v\) bewegt, trägt kinetische Energie:
\[ E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2}\, m \, v^2 \]Sie wächst quadratisch mit der Geschwindigkeit: doppeltes Tempo bedeutet vierfache Bewegungsenergie — und damit etwa den vierfachen Bremsweg.
Eine um \(s\) gespannte Feder mit Federkonstante \(D\) speichert Spannenergie. Weil die Federkraft \(F = D\cdot s\) linear mit der Dehnung wächst, ist die Energie die Dreiecksfläche unter \(F(s)\):
\[ E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2}\, D \, s^2 \]Wirken nur Schwerkraft und Federkräfte (keine Reibung), so bleibt die Summe der mechanischen Energien konstant:
\[ E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} + E_{\text{spann}} = \text{konstant} \]Die einzelnen Formen wandeln sich fortlaufend ineinander um — ihre Summe bleibt unverändert. Statt in jedem Punkt Kräfte zu zerlegen, verfolgt man eine einzige Grösse durch den ganzen Vorgang.
Startet ein Körper aus der Ruhe aus der Höhe \(h\) und gleitet reibungsfrei nach unten, wandelt sich die gesamte Lageenergie in Bewegungsenergie um: \(mgh = \tfrac{1}{2}mv^2\). Die Masse kürzt sich heraus:
\[ v = \sqrt{2\,g\,h} \]Die Endgeschwindigkeit ist also massenunabhängig — ein schwerer und ein leichter Körper sind am tiefsten Punkt gleich schnell.
Die Leistung gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet bzw. Energie umgesetzt wird:
\[ P = \frac{W}{t} \]SI-Einheit ist das Watt, \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\). Zwei Personen, die dieselbe Last gleich hoch tragen, verrichten dieselbe Arbeit; wer schneller ist, hat die grössere Leistung. Bei konstanter Geschwindigkeit gilt auch \(P = F \cdot v\).
Keine reale Maschine wandelt Energie verlustfrei um — ein Teil wird stets als Wärme abgegeben. Der Wirkungsgrad \(\eta\) gibt an, welcher Anteil der zugeführten Energie als Nutzenergie herauskommt:
\[ \eta = \frac{E_{\text{nutz}}}{E_{\text{zu}}} \]Er ist immer kleiner als 1 (bzw. 100 %). Bei mehreren hintereinander geschalteten Schritten ist der Gesamtwirkungsgrad das Produkt der Einzelwirkungsgrade: \(\eta_{\text{ges}} = \eta_1 \cdot \eta_2 \cdot \ldots\)
| Grösse / Gesetz | Formel |
|---|---|
| Mechanische Arbeit | \(W = F \cdot s \cdot \cos\alpha\) |
| Hubarbeit | \(W_{\text{Hub}} = m \cdot g \cdot h\) |
| Potentielle Energie | \(E_{\text{pot}} = m \cdot g \cdot h\) |
| Kinetische Energie | \(E_{\text{kin}} = \tfrac{1}{2} m v^2\) |
| Spannenergie | \(E_{\text{spann}} = \tfrac{1}{2} D s^2\) |
| Energieerhaltung | \(E_{\text{kin}} + E_{\text{pot}} + E_{\text{spann}} = \text{konst.}\) |
| Endgeschwindigkeit aus Höhe | \(v = \sqrt{2 g h}\) |
| Leistung | \(P = W / t = F \cdot v\) |
| Wirkungsgrad | \(\eta = E_{\text{nutz}} / E_{\text{zu}}\) |