8 Anwendungsaufgaben aus Bau, Technik und Alltag. Zeichne bei jeder Aufgabe zuerst eine Kräfteskizze (Freikörperbild), bevor du rechnest. Bei Gleichgewichtsaufgaben lohnt es sich, mit der Momentengleichung zu beginnen und die Drehachse dort zu legen, wo eine unbekannte Kraft angreift. Konstante: \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \). Lösungen am Ende.
Ein \( 5.0\;\text{m} \) langer Stahlträger liegt auf zwei Stützen \(A\) (links) und \(B\) (rechts) an seinen Enden. Der Träger wiegt \( 60\;\text{kg} \), sein Schwerpunkt liegt in der Mitte. Eine Maschine mit \( 320\;\text{kg} \) steht \( 1.5\;\text{m} \) von \(A\) entfernt.
(a) Berechne die beiden Auflagerkräfte \( F_A \) und \( F_B \).
(b) Kontrolliere über \( \sum F_y = 0 \).
Lösungsweg:
An einem Radkreuz der Hebellänge \( l = 35\;\text{cm} \) zieht eine Mechanikerin mit \( F = 240\;\text{N} \).
(a) Welches Drehmoment wirkt, wenn sie senkrecht zum Hebel zieht?
(b) Welches Drehmoment bleibt, wenn die Kraft nur unter \( \alpha = 55^\circ \) zum Hebel angreift?
(c) Die Mutter löst sich erst bei \( 180\;\text{Nm} \). Welche senkrechte Kraft ist dafür nötig?
Lösungsweg:
Eine Lampe mit \( m = 12\;\text{kg} \) hängt an einem Knoten, von dem zwei Drähte schräg nach oben führen. Der linke Draht bildet mit der Horizontalen \( \alpha = 40^\circ \), der rechte \( \beta = 65^\circ \).
(a) Wie gross ist die Gewichtskraft der Lampe?
(b) Berechne beide Drahtkräfte \( S_1 \) und \( S_2 \).
(c) Welcher Draht ist stärker belastet?
Lösungsweg:
An einem waagrechten Mobile-Stab hängt links im Abstand \( 24\;\text{cm} \) von der Aufhängung ein Holzvogel mit \( 0.50\;\text{kg} \). Rechts soll im Abstand \( 15\;\text{cm} \) ein zweiter Vogel das Mobile ins Gleichgewicht bringen.
(a) Welche Masse muss der rechte Vogel haben?
(b) Begründe, warum es nur auf das Produkt aus Masse und Abstand ankommt — nicht auf die Masse allein.
Lösungsweg:
Eine Palette mit \( m = 30\;\text{kg} \) steht auf einer Laderampe. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Palette und Rampe beträgt \( \mu_H = 0.45 \).
(a) Bis zu welchem Neigungswinkel bleibt die Palette von allein liegen?
(b) Die Rampe ist auf \( \alpha = 22^\circ \) eingestellt. Berechne Hangabtriebskraft \( F_H \), Normalkraft \( F_N \) und die maximale Haftreibung.
(c) Rutscht die Palette?
Lösungsweg:
Ein waagrechter Ausleger ist an einer Wand mit einem Gelenk \(A\) befestigt und am Stabende durch ein Stützseil gehalten, das unter \( \theta = 35^\circ \) zum Stab schräg nach oben zur Wand läuft. Am Stabende hängt ein Schild mit der Gewichtskraft \( F_G = 180\;\text{N} \) (Stabgewicht vernachlässigbar).
(a) Berechne die Seilkraft \( S \) (Momentengleichung um \(A\)).
(b) Wie gross ist die horizontale Kraft im Gelenk?
Lösungsweg:
Eine Seilwinde zieht mit \( F = 500\;\text{N} \) an einer Bodenöse. Das Seil verläuft unter \( 28^\circ \) zur Horizontalen.
(a) Berechne die horizontale Komponente \( F_x \) (die nutzbare Zugkraft am Boden).
(b) Berechne die vertikale Komponente \( F_y \) (die an der Öse nach oben zieht).
(c) Warum sollte das Seil für maximalen waagrechten Zug möglichst flach verlaufen?
Lösungsweg:
Ein \( 8.0\;\text{m} \) langer Holzsteg liegt an seinen Enden auf zwei Pfeilern \(A\) (links) und \(B\) (rechts). Das Stegeigengewicht ist vernachlässigbar. Person 1 (\( 70\;\text{kg} \)) steht \( 2.0\;\text{m} \) von \(A\), Person 2 (\( 90\;\text{kg} \)) steht \( 6.0\;\text{m} \) von \(A\) entfernt.
(a) Berechne die beiden Auflagerkräfte \( F_A \) und \( F_B \).
(b) Welcher Pfeiler trägt mehr — und passt das zur Anordnung der Personen?
Lösungsweg:
(a) Gewichtskräfte: Maschine \( F_{G,M} = 320 \cdot 9.81 \approx 3139\;\text{N} \) bei \( 1.5\;\text{m} \), Träger \( F_{G,T} = 60 \cdot 9.81 \approx 589\;\text{N} \) bei \( 2.5\;\text{m} \). Drehachse bei \(A\), \( \sum M_A = 0 \): \[ F_B \cdot 5.0 = 3139 \cdot 1.5 + 589 \cdot 2.5 \;\Rightarrow\; F_B = \frac{4708 + 1472}{5.0} \approx 1236\;\text{N} \] Gesamtlast \( F_{ges} = 3139 + 589 = 3728\;\text{N} \), also \( F_A = 3728 - 1236 \approx 2492\;\text{N} \).
(b) Kontrolle: \( F_A + F_B = 2492 + 1236 = 3728\;\text{N} = F_{ges} \). ✓ Die linke Stütze trägt mehr, weil die Maschine näher bei \(A\) steht.
(a) Senkrecht (\( \alpha = 90^\circ \)): \( M = F \cdot l = 240 \cdot 0.35 = 84.0\;\text{Nm} \).
(b) Unter \( 55^\circ \): \( M = 240 \cdot 0.35 \cdot \sin 55^\circ \approx 68.8\;\text{Nm} \).
(c) Aus \( M = F \cdot l \) folgt \( F = \dfrac{180}{0.35} \approx 514\;\text{N} \). Mit einem längeren Hebel sänke die nötige Kraft entsprechend.
(a) \( F_G = 12 \cdot 9.81 \approx 117.7\;\text{N} \).
(b) Mit \( \alpha + \beta = 105^\circ \), also \( \sin 105^\circ \approx 0.966 \): \[ S_1 = 117.7 \cdot \frac{\cos 65^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 51.5\;\text{N}, \qquad S_2 = 117.7 \cdot \frac{\cos 40^\circ}{\sin 105^\circ} \approx 93.4\;\text{N} \]
(c) Der rechte Draht (\( \beta = 65^\circ \), steiler) ist mit \( 93.4\;\text{N} \) stärker belastet — je steiler ein Draht steht, desto grösser sein vertikaler Anteil am Tragen des Gewichts.
(a) Hebelgesetz \( m_1 r_1 = m_2 r_2 \): \[ m_2 = \frac{m_1 \cdot r_1}{r_2} = \frac{0.50 \cdot 0.24}{0.15} = 0.80\;\text{kg} \]
(b) Im Gleichgewicht müssen sich die Drehmomente aufheben, und das Drehmoment ist \( M = m g r \) — also Produkt aus Gewicht und Hebelarm. Eine kleine Masse weit aussen erzeugt dasselbe Moment wie eine grosse Masse nahe der Achse. Das \(g\) kürzt sich auf beiden Seiten heraus.
(a) Grenzwinkel: \( \tan\alpha_{\max} = \mu_H = 0.45 \;\Rightarrow\; \alpha_{\max} = \arctan(0.45) \approx 24.2^\circ \).
(b) Mit \( F_G = 30 \cdot 9.81 \approx 294\;\text{N} \): \( F_H = 294 \cdot \sin 22^\circ \approx 110\;\text{N} \), \( F_N = 294 \cdot \cos 22^\circ \approx 273\;\text{N} \). Maximale Haftreibung: \( \mu_H F_N = 0.45 \cdot 273 \approx 123\;\text{N} \).
(c) Die maximale Haftreibung \( 123\;\text{N} \) ist grösser als der Hangabtrieb \( 110\;\text{N} \) — die Palette bleibt liegen. Das passt: \( 22^\circ < \alpha_{\max} = 24.2^\circ \).
(a) Nur die zum Stab senkrechte Seilkomponente \( S\sin\theta \) erzeugt am Stabende (Länge \(L\)) ein Moment um \(A\). Es muss das Moment der Last \( F_G \cdot L \) ausgleichen: \[ S \cdot \sin\theta \cdot L = F_G \cdot L \;\Rightarrow\; S = \frac{F_G}{\sin\theta} = \frac{180}{\sin 35^\circ} \approx 314\;\text{N} \] Die Stablänge \(L\) kürzt sich heraus.
(b) Die horizontale Seilkomponente \( S\cos\theta = 314 \cdot \cos 35^\circ \approx 257\;\text{N} \) zieht den Stab zur Wand; das Gelenk muss diese Kraft als Gegendruck aufnehmen — die horizontale Gelenkkraft beträgt rund \( 257\;\text{N} \).
(a) \( F_x = 500 \cdot \cos 28^\circ \approx 442\;\text{N} \).
(b) \( F_y = 500 \cdot \sin 28^\circ \approx 235\;\text{N} \).
(c) Je kleiner der Winkel zur Horizontalen, desto grösser \( \cos\alpha \) und damit die nutzbare waagrechte Komponente — und desto kleiner der vertikale Anteil, der die Öse nur nach oben zieht, ohne zu ziehen.
(a) Gewichtskräfte: \( F_1 = 70 \cdot 9.81 \approx 687\;\text{N} \) bei \( 2.0\;\text{m} \), \( F_2 = 90 \cdot 9.81 \approx 883\;\text{N} \) bei \( 6.0\;\text{m} \). Drehachse bei \(A\), \( \sum M_A = 0 \): \[ F_B \cdot 8.0 = 687 \cdot 2.0 + 883 \cdot 6.0 \;\Rightarrow\; F_B = \frac{1374 + 5298}{8.0} \approx 834\;\text{N} \] Gesamtlast \( 687 + 883 = 1570\;\text{N} \), also \( F_A = 1570 - 834 \approx 736\;\text{N} \).
(b) \(B\) trägt mehr (\( 834\;\text{N} \) gegen \( 736\;\text{N} \)) — passend, weil die schwerere Person 2 näher bei \(B\) steht.