4.4 Statik von Festkörpern
Gleichgewicht von Kräften und Drehmomenten an ausgedehnten, ruhenden Körpern — von der Wippe bis zum Kragträger.
- den Begriff «Kraft» definieren und als Vektor darstellen
- das Drehmoment einer Kraft definieren (\(M = F \cdot r\)) und Anwendungsgebiete nennen
- die wesentlichen Kräfte am Festkörper im Gleichgewicht aufzählen und charakterisieren (Schwerkraft, Auflagerkraft, Reibung)
- mehrere Kräfte grafisch und rechnerisch zur resultierenden Kraft zusammensetzen
- das statische Gleichgewicht definieren (Gleichgewicht der Kräfte und der Momente) und an Beispielen auf horizontaler und schiefer Ebene anwenden
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann den Begriff Kraft definieren und Kräfte als Vektoren darstellen.
- Ich kann das Drehmoment \(M=F\cdot r\) berechnen und Anwendungen nennen.
- Ich kann die wesentlichen Kräfte am Festkörper aufzählen und charakterisieren.
- Ich kann mehrere Kräfte grafisch und rechnerisch zur Resultierenden zusammensetzen.
- Ich kann das Kräfte- und das Momentengleichgewicht auf waagrechter und schiefer Ebene anwenden.
Einstieg — die Wippe auf dem Spielplatz
Zwei Kinder sitzen auf einer Wippe. Damit sie schön auf und ab schaukeln können, muss die Wippe ungefähr im Gleichgewicht sein. Sitzt ein schweres Kind innen, näher zur Mitte, kann es ein leichtes Kind weiter aussen ausgleichen — jeder kennt das Spiel intuitiv. Aber nach welcher Regel genau?
In den bisherigen Kapiteln (Kinematik, Dynamik, Energie) haben wir Körper meist auf einen einzigen Massepunkt reduziert. In der Statik ist das nicht mehr möglich: Es kommt darauf an, wo eine Kraft an einem ausgedehnten Körper angreift. Eine Kraft nahe der Drehachse wirkt anders als dieselbe Kraft weit aussen. Diese Drehwirkung ist der zentrale neue Begriff dieses Kapitels.
In der Animation sitzt links ein Kind fest auf der Wippe. Verschiebe das rechte Kind und verändere seine Masse. Beobachte: Wann steht die Wippe waagrecht? Achte darauf, dass nicht das Gewicht allein zählt — auch der Abstand zur Mitte geht ein. Ein leichtes Kind weit aussen kann ein schweres Kind nahe der Mitte ausgleichen.
Eine erste Annäherung: Die Wippe steht still, wenn die Drehwirkung links gleich der Drehwirkung rechts ist. Die Drehwirkung ist offenbar das Produkt aus Gewichtskraft und Abstand zur Drehachse. Für das linke Kind \(25\;\text{kg}\) in \(1.5\;\text{m}\) ergibt das
\[ M_{\text{links}} = m_1 \cdot g \cdot r_1 = 25 \cdot 9.81 \cdot 1.5 \approx 368\;\text{Nm.} \]Genau diese Grösse — Kraft mal Abstand — heisst Drehmoment. Auf dieser Themenseite lernst du, Kräfte als Vektoren zu behandeln, sie zur resultierenden Kraft zusammenzusetzen, das Drehmoment zu berechnen und schliesslich die beiden Bedingungen für das statische Gleichgewicht anzuwenden — auf der waagrechten Wippe ebenso wie auf der schiefen Ebene.
✏️ Mini-Check
Damit eine Wippe im Gleichgewicht ist, muss gelten:
- beide Massen sind gleich
- beide Produkte aus Kraft und Hebelarm sind gleich
- beide Abstände sind gleich
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Im Gleichgewicht ist die Summe der null.
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Ein Kind drückt links mit \(F_1 = 300\;\text{N}\) im Abstand \(r_1 = 1.5\;\text{m}\). Welches Drehmoment?
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Ein Kind (\(25\;\text{kg}\)) sitzt \(1.5\;\text{m}\) von der Achse. Wo muss ein \(30\;\text{kg}\)-Kind sitzen, damit Gleichgewicht herrscht?
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Grundbegriffe
Eine Kraft \(\vec{F}\) ist eine vektorielle Grösse: Sie ist durch Betrag und Richtung vollständig beschrieben. SI-Einheit ist das Newton (\(1\;\text{N} = 1\;\text{kg}\cdot\text{m/s}^2\)).
Neu in der Statik: Zusätzlich kommt es auf den Angriffspunkt an. Die Gerade durch den Kraftvektor heisst Wirkungslinie. Für einen starren Körper gilt: Eine Kraft darf entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich ihre Wirkung ändert — quer dazu jedoch nicht.
In Komponenten bezüglich eines \(x\)-\(y\)-Systems, mit dem Winkel \(\varphi\) zur positiven \(x\)-Achse:
\[ F_x = F \cdot \cos\varphi, \qquad F_y = F \cdot \sin\varphi \]An einem ruhenden Festkörper treten typischerweise diese Kräfte auf:
| Kraft | Symbol | Richtung / Angriff |
|---|---|---|
| Schwer- bzw. Gewichtskraft | \(\vec{F}_G\) | senkrecht nach unten, greift am Schwerpunkt an; \(F_G = m \cdot g\) |
| Auflager- bzw. Normalkraft | \(\vec{F}_N\) | senkrecht zur Auflagefläche, von der Unterlage weg |
| Reibungskraft (Haftreibung) | \(\vec{F}_R\) | entlang der Fläche, der drohenden Bewegung entgegen; \(F_R \le \mu_H \cdot F_N\) |
| Seil- bzw. Zugkraft | \(\vec{F}_S\) | stets entlang des Seils, vom Körper weg |
Greifen mehrere Kräfte an einem Körper an, lassen sie sich zu einer einzigen resultierenden Kraft \(\vec{F}_R\) zusammenfassen — der Vektorsumme:
\[ \vec{F}_R = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \dots = \sum_i \vec{F}_i \]Grafisch durch Aneinanderhängen der Pfeile (oder das Kräfteparallelogramm), rechnerisch komponentenweise: \(F_{R,x} = \sum F_{i,x}\) und \(F_{R,y} = \sum F_{i,y}\).
Das Drehmoment \(M\) beschreibt die Drehwirkung einer Kraft um eine Drehachse \(D\). Es ist das Produkt aus Kraft und wirksamem Hebelarm \(r\) (dem senkrechten Abstand zwischen Drehachse und Wirkungslinie):
\[ M = F \cdot r = F \cdot l \cdot \sin\alpha \]Dabei ist \(l\) die Distanz von der Drehachse zum Angriffspunkt und \(\alpha\) der Winkel zwischen Hebelarm und Kraft. SI-Einheit: Newtonmeter (Nm). Vorzeichen: Drehung im Gegenuhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Die Drehwirkung ist maximal bei \(\alpha = 90^\circ\) und null, wenn die Kraft auf die Drehachse zeigt.
Ein Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn er weder beschleunigt noch zu rotieren beginnt. Dafür müssen zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein:
\[ \sum_i \vec{F}_i = \vec{0} \qquad \text{und} \qquad \sum_i M_i = 0 \]Die Kräftebedingung zerfällt komponentenweise in \(\sum F_x = 0\) und \(\sum F_y = 0\). Die Drehachse für die Momentenbedingung darf frei gewählt werden — geschickt wählt man sie dort, wo eine unbekannte Kraft angreift, damit diese im Momentenansatz wegfällt.
✏️ Mini-Check
Ein starrer Körper ist im Gleichgewicht, wenn …
- nur die Summe der Kräfte null ist
- Summe der Kräfte und Summe der Momente null sind
- er sich gleichförmig dreht
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Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft und .
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Kraft \(20\;\text{N}\), Hebelarm \(0.4\;\text{m}\). Welches Drehmoment?
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Warum lässt sich eine Tür am Griff (weit von den Angeln) leichter öffnen als nahe den Angeln?
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Kraft als Vektor — Zerlegung in Komponenten
Bevor wir Kräfte addieren oder Drehmomente berechnen, müssen wir eine Kraft sicher in ihre \(x\)- und \(y\)-Komponente zerlegen können. Der Winkel \(\varphi\) wird stets relativ zur positiven \(x\)-Achse gemessen; mit \(F_x = F\cos\varphi\) und \(F_y = F\sin\varphi\) ergeben sich die Komponenten von selbst — inklusive Vorzeichen.
✏️ Mini-Check
Eine Kraft wirkt waagrecht (\(0°\) zur Horizontalen). Ihre senkrechte Komponente ist …
- maximal
- null
- gleich \(F\)
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Die waagrechte Komponente ist \(F_x = F \cdot\) des Winkels.
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\(F = 100\;\text{N}\) unter \(\varphi = 30°\). Komponenten? (\(\cos 30° \approx 0.87\), \(\sin 30° = 0.5\))
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Eine Kraft hat die Komponenten \(F_x = 3\;\text{N}\) und \(F_y = 4\;\text{N}\). Wie gross ist ihr Betrag?
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Resultierende mehrerer Kräfte
Wirken zwei Kräfte an demselben Punkt, ist ihre resultierende Kraft die Vektorsumme. Grafisch hängt man den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten (Spitze-an-Fuss); der Pfeil vom Anfang zum Ende ist die Resultierende. Bei genau zwei Kräften erhält man dieselbe Resultierende über das Kräfteparallelogramm.
✏️ Mini-Check
Zwei gleich grosse Kräfte wirken in genau entgegengesetzte Richtung. Die Resultierende ist …
- doppelt so gross
- null
- gleich gross wie eine Kraft
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Kräfte werden addiert (Parallelogramm).
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Zwei Kräfte \(6\;\text{N}\) und \(8\;\text{N}\) wirken senkrecht zueinander. Resultierende?
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Zwei Kräfte (je \(5\;\text{N}\)) schliessen einen Winkel von \(60°\) ein. Wie gross ist die Resultierende? (\(\cos 60° = 0.5\))
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Kräftegleichgewicht am Punkt — eine Last an zwei Seilen
Greifen alle Kräfte an einem einzigen Punkt an, genügt für das Gleichgewicht die Kräftebedingung \(\sum\vec{F} = \vec{0}\). Ein klassisches Beispiel: eine Last hängt an zwei schräg nach oben führenden Seilen. Auf den Knotenpunkt wirken drei Kräfte — die Gewichtskraft nach unten und die beiden Seilkräfte. Im Gleichgewicht bilden sie ein geschlossenes Kräftedreieck.
Das linke Seil bilde mit der Horizontalen den Winkel \(\alpha\), das rechte den Winkel \(\beta\). Mit \(\sum F_x = 0\) und \(\sum F_y = 0\) am Knoten folgt nach kurzer Rechnung:
\[ S_1 = F_G \cdot \frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}, \qquad S_2 = F_G \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} \]Je flacher die Seile (kleine Winkel), desto grösser werden die Seilkräfte — sie können das Gewicht der Last um ein Vielfaches übersteigen. Genau das spürt man, wenn eine Wäscheleine durchhängt: ein straff gespanntes Seil steht unter enormer Zugkraft.
❓ Was passiert mit der nötigen Kraft, wenn du beim Schraubenschlüssel den Hebelarm verdoppelst?
Sie halbiert sich. Da \(M=F\cdot r\) und das benötigte Drehmoment gleich bleibt, kommst du mit einem längeren Schlüssel mit der halben Kraft aus — das Prinzip jeder Hebelverlängerung.
✏️ Mini-Check
An einem Knoten herrscht Kräftegleichgewicht, wenn …
- die grösste Kraft wegfällt
- die Summe aller Kräfte null ist
- alle Kräfte gleich gross sind
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Die drei Kräfte am Knoten bilden ein geschlossenes .
Lösung anzeigen
Eine Last \(100\;\text{N}\) hängt symmetrisch an zwei Seilen, jedes unter \(60°\) zur Waagrechten. Welche vertikale Komponente trägt jedes Seil?
Lösung anzeigen
Was passiert mit den Seilkräften, wenn man die beiden Seile fast waagrecht spannt?
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Drehmoment einer Kraft
Um eine festsitzende Schraube zu lösen, setzt man einen Schraubenschlüssel an und zieht möglichst weit aussen — und möglichst senkrecht zum Hebel. Beides erhöht die Drehwirkung. Quantitativ ist das Drehmoment \(M = F \cdot l \cdot \sin\alpha\): Es wächst mit der Kraft, mit der Hebellänge und ist am grössten, wenn die Kraft rechtwinklig zum Hebel steht.
Es gibt zwei gleichwertige Sichtweisen auf den Faktor \(\sin\alpha\). Erstens: Der wirksame Hebelarm \(r = l\cdot\sin\alpha\) ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie zur Drehachse — dann ist \(M = F\cdot r\). Zweitens: Nur die zum Hebel senkrechte Kraftkomponente \(F_\perp = F\cdot\sin\alpha\) dreht; die Komponente entlang des Hebels zeigt auf die Achse und erzeugt kein Moment — dann ist \(M = F_\perp \cdot l\). Beide Wege liefern \(M = F\cdot l\cdot\sin\alpha\).
✏️ Mini-Check
Das Drehmoment ist maximal, wenn die Kraft zum Hebel im Winkel … steht.
- \(0°\)
- \(45°\)
- \(90°\)
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Das Drehmoment ist \(M = F \cdot l \cdot\) des Angriffswinkels.
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\(F = 20\;\text{N}\), \(l = 0.5\;\text{m}\), \(\alpha = 90°\). Drehmoment?
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Dieselbe Kraft greift am selben Hebel einmal unter \(90°\), einmal unter \(30°\) an. Wie verhalten sich die Momente? (\(\sin 30° = 0.5\))
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Hebelgesetz — Gleichgewicht der Momente
Am zweiarmigen Hebel (oder an der Balkenwaage) sind zwei Drehmomente im Spiel. Im Gleichgewicht heben sie sich auf: das Moment links ist gleich gross wie das Moment rechts, aber entgegengesetzt gerichtet. Das ist der einfachste Fall der Momentenbedingung \(\sum M = 0\) und heisst Hebelgesetz:
\[ F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2 \]Eine kleine Kraft an einem langen Hebelarm gleicht eine grosse Kraft an einem kurzen Hebelarm aus — das Prinzip hinter Brechstange, Nussknacker und Balkenwaage.
✏️ Mini-Check
Ein langer Kraftarm bedeutet …
- man braucht mehr Kraft
- man braucht weniger Kraft
- keinen Unterschied
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Das Hebelgesetz lautet \(F_1 r_1 = F_2 \cdot\) .
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\(F_1 = 40\;\text{N}\) bei \(r_1 = 0.30\;\text{m}\). Welche Kraft \(F_2\) hält bei \(r_2 = 0.60\;\text{m}\) das Gleichgewicht?
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Schubkarre: Last \(600\;\text{N}\) im Abstand \(0.4\;\text{m}\) vom Rad, die Griffe sind \(1.2\;\text{m}\) vom Rad entfernt. Welche Hubkraft an den Griffen?
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Gleichgewicht am starren Körper — Auflagerkräfte
Liegt ein Balken oder Brett auf zwei Stützen, teilen sich diese die Last auf. Wo genau die Last steht, entscheidet über die Verteilung: Steht sie direkt über einer Stütze, trägt diese fast alles. In der Mitte tragen beide gleich viel. Für ausgedehnte Körper mit Kräften an verschiedenen Punkten braucht man beide Gleichgewichtsbedingungen — und beginnt mit Vorteil bei der Momentengleichung.
Ein (als masselos angenommener) Balken der Stützweite \(L\) trägt eine Last \(F_G\) im Abstand \(x\) von der linken Stütze \(A\). Wir wählen die Drehachse bei \(A\) — dann fällt \(F_A\) aus der Momentengleichung heraus:
\[ \sum M_A = 0:\quad F_B \cdot L - F_G \cdot x = 0 \;\Rightarrow\; F_B = F_G \cdot \frac{x}{L} \] \[ \sum F_y = 0:\quad F_A + F_B - F_G = 0 \;\Rightarrow\; F_A = F_G \cdot \Big(1 - \frac{x}{L}\Big) \]✏️ Mini-Check
Eine Last sitzt näher bei Stütze A. Welche Stütze trägt mehr?
- Stütze A
- Stütze B
- beide gleich
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Die Summe der beiden Auflagerkräfte ist gleich der .
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Balken \(4\;\text{m}\), Last \(200\;\text{N}\) genau in der Mitte. Auflagerkräfte?
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Eine Last \(300\;\text{N}\) sitzt \(1\;\text{m}\) von A entfernt auf einem \(4\;\text{m}\)-Balken. Wie gross sind die Auflagerkräfte?
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Gleichgewicht auf der schiefen Ebene
Auf einer schiefen Ebene zerlegt man die Gewichtskraft sinnvollerweise in eine Komponente senkrecht zur Ebene und eine parallel zur Ebene. Die senkrechte Komponente wird von der Normalkraft der Unterlage aufgenommen, die parallele Komponente (die Hangabtriebskraft) zieht den Körper hangabwärts. Bleibt der Körper liegen, muss die Haftreibung diese Hangabtriebskraft gerade ausgleichen.
Bei einem Neigungswinkel \(\alpha\) gilt für die Gewichtskraft \(F_G = m\cdot g\):
\[ F_H = F_G \cdot \sin\alpha \quad(\text{hangabwärts}), \qquad F_N = F_G \cdot \cos\alpha \quad(\text{senkrecht zur Ebene}) \]Der Körper bleibt in Ruhe, solange die Haftreibung ausreicht: \(F_H \le \mu_H \cdot F_N\). Setzt man die Ausdrücke ein, kürzt sich \(F_G\) heraus, und es folgt die einfache Haftbedingung \(\tan\alpha \le \mu_H\). Der Grenzwinkel hängt also nur vom Reibungskoeffizienten ab, nicht von der Masse.
Die Normalkraft auf der schiefen Ebene ist nicht gleich der Gewichtskraft, sondern nur deren senkrechte Komponente \(F_N = F_G\cos\alpha\). Nur in der waagrechten Ebene (\(\alpha = 0\)) gilt \(F_N = F_G\). Mit zunehmender Neigung wird die Unterlage entlastet, während die Hangabtriebskraft wächst.
❓ Was passiert mit einem Körper, wenn die Summe aller Kräfte null ist, die Summe der Momente aber nicht?
Er beschleunigt nicht in seinem Schwerpunkt, beginnt aber zu drehen. Für vollständiges Gleichgewicht müssen sowohl die Kraftsumme als auch die Momentensumme verschwinden.
✏️ Mini-Check
Ein Klotz auf der schiefen Ebene rutscht, sobald …
- \(\tan\alpha > \mu_H\)
- \(\alpha > 90°\)
- die Masse gross genug ist
Lösung anzeigen
Der Grenzwinkel hängt nur von der ab, nicht von der Masse.
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\(\mu_H = 0.6\). Ab welchem Neigungswinkel rutscht der Klotz?
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Ein Klotz (\(m = 3\;\text{kg}\)) liegt auf einer Ebene mit \(\alpha = 20°\), \(\mu_H = 0.5\). Haftet oder rutscht er? (\(\tan 20° \approx 0.36\))
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Aufgaben
Stelle in Animation 1 eine Kraft mit Betrag \(F = 120\;\text{N}\) und Winkel \(\varphi = 35^\circ\) ein. Bestimme die Komponenten \(F_x\) und \(F_y\) und prüfe sie mit der Formel.
Mit \(F_x = F\cos\varphi\) und \(F_y = F\sin\varphi\):
\[ F_x = 120 \cdot \cos 35^\circ \approx 98.3\;\text{N}, \qquad F_y = 120 \cdot \sin 35^\circ \approx 68.8\;\text{N} \]Zur Kontrolle: \(\sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{98.3^2 + 68.8^2} \approx 120\;\text{N}\) — der ursprüngliche Betrag. Die Animation bestätigt die Werte.
An einem Schraubenschlüssel der Länge \(l = 18\;\text{cm}\) wird mit \(F = 250\;\text{N}\) gezogen.
- Welches Drehmoment wirkt, wenn die Kraft senkrecht zum Schlüssel angreift?
- Welches Drehmoment bleibt, wenn die Kraft nur unter \(\alpha = 60^\circ\) zum Schlüssel angreift?
- Bei welchem Winkel ist die Drehwirkung am grössten?
- Senkrecht ist \(\alpha = 90^\circ\), also \(\sin\alpha = 1\): \[ M = F\cdot l = 250 \cdot 0.18 = 45.0\;\text{Nm} \]
- Mit \(\alpha = 60^\circ\): \[ M = 250 \cdot 0.18 \cdot \sin 60^\circ \approx 39.0\;\text{Nm} \]
- Am grössten bei \(\alpha = 90^\circ\), weil \(\sin\alpha\) dort maximal (\(=1\)) ist. Darum setzt man den Schlüssel möglichst rechtwinklig an.
Auf einer Wippe sitzt links ein Kind mit \(m_1 = 30\;\text{kg}\) im Abstand \(r_1 = 1.4\;\text{m}\) zur Drehachse. Rechts setzt sich ein Kind mit \(m_2 = 24\;\text{kg}\).
- Berechne das Drehmoment des linken Kindes.
- In welchem Abstand \(r_2\) muss sich das rechte Kind setzen, damit die Wippe im Gleichgewicht ist?
- Ein Erwachsener mit \(70\;\text{kg}\) möchte das linke Kind ausgleichen, sich aber höchstens \(0.8\;\text{m}\) von der Achse entfernt setzen. Geht das aus? Begründe.
- \[ M_1 = m_1 \cdot g \cdot r_1 = 30 \cdot 9.81 \cdot 1.4 \approx 412\;\text{Nm} \]
- Hebelgesetz \(M_1 = M_2\), also \(m_1 r_1 = m_2 r_2\): \[ r_2 = \frac{m_1 \cdot r_1}{m_2} = \frac{30 \cdot 1.4}{24} = 1.75\;\text{m} \] Das leichtere Kind muss weiter aussen sitzen.
- Bei \(r = 0.8\;\text{m}\) erzeugt der Erwachsene das Moment \(m\,g\,r = 70 \cdot 9.81 \cdot 0.8 \approx 549\;\text{Nm}\). Das ist mehr als die nötigen \(412\;\text{Nm}\) — er gleicht das Kind also mühelos aus und müsste sich für exaktes Gleichgewicht sogar näher zur Achse setzen, nämlich auf \(r = \frac{30\cdot 1.4}{70} = 0.6\;\text{m}\).
Eine Lampe mit Masse \(m = 8\;\text{kg}\) hängt an einem Knotenpunkt, von dem zwei Drähte schräg nach oben zu zwei Befestigungspunkten an der Decke führen. Der linke Draht bildet mit der Horizontalen \(\alpha = 30^\circ\), der rechte \(\beta = 60^\circ\).
- Wie gross ist die Gewichtskraft der Lampe?
- Berechne die beiden Drahtkräfte \(S_1\) und \(S_2\).
- Welcher Draht ist stärker belastet — und warum der mit dem grösseren Winkel zur Horizontalen?
- \[ F_G = m \cdot g = 8 \cdot 9.81 \approx 78.5\;\text{N} \]
- Mit \(\alpha + \beta = 90^\circ\), also \(\sin(\alpha+\beta) = 1\): \[ S_1 = F_G \cdot \frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)} = 78.5 \cdot \cos 60^\circ \approx 39.2\;\text{N} \] \[ S_2 = F_G \cdot \frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} = 78.5 \cdot \cos 30^\circ \approx 68.0\;\text{N} \]
- Der rechte Draht (\(\beta = 60^\circ\)) ist mit \(68.0\;\text{N}\) stärker belastet. Je steiler ein Draht steht, desto grösser ist sein vertikaler Kraftanteil — er trägt also mehr vom Gewicht. Animation 3 bestätigt das mit \(\alpha = 30^\circ\) und \(\beta = 60^\circ\).
Ein \(4.0\;\text{m}\) langes Gerüstbrett liegt auf zwei Böcken \(A\) (links) und \(B\) (rechts) an seinen Enden. Das Brett selbst wiegt \(15\;\text{kg}\); sein Schwerpunkt liegt in der Mitte. Ein Arbeiter mit \(80\;\text{kg}\) steht \(1.0\;\text{m}\) vom linken Bock \(A\) entfernt.
- Bestimme alle wirkenden Kräfte und berechne die beiden Auflagerkräfte \(F_A\) und \(F_B\).
- Kontrolliere dein Ergebnis über die Kräftebedingung \(\sum F_y = 0\).
- Zwei Lasten wirken nach unten: das Brettgewicht \(F_{G,\text{Brett}} = 15 \cdot 9.81 \approx 147\;\text{N}\) bei \(2.0\;\text{m}\) und das Arbeitergewicht \(F_{G,\text{A}} = 80 \cdot 9.81 \approx 785\;\text{N}\) bei \(1.0\;\text{m}\). Drehachse bei \(A\), \(\sum M_A = 0\): \[ F_B \cdot 4.0 - 785 \cdot 1.0 - 147 \cdot 2.0 = 0 \] \[ F_B = \frac{785 + 294}{4.0} = \frac{1079}{4.0} \approx 270\;\text{N} \] Die Gesamtlast ist \(F_{ges} = 147 + 785 = 932\;\text{N}\), also: \[ F_A = F_{ges} - F_B = 932 - 270 \approx 662\;\text{N} \]
- Kontrolle: \(F_A + F_B = 662 + 270 = 932\;\text{N} = F_{ges}\). ✓ Der linke Bock trägt mehr, weil der Arbeiter näher bei ihm steht.
Eine Kiste mit \(m = 25\;\text{kg}\) steht auf einer Rampe, die unter \(\alpha = 20^\circ\) geneigt ist. Der Haftreibungskoeffizient zwischen Kiste und Rampe beträgt \(\mu_H = 0.30\).
- Berechne Hangabtriebskraft \(F_H\) und Normalkraft \(F_N\).
- Bleibt die Kiste von allein liegen, oder rutscht sie?
- Bis zu welchem Neigungswinkel bleibt die Kiste höchstens liegen?
- Mit \(F_G = 25 \cdot 9.81 \approx 245\;\text{N}\): \[ F_H = F_G \sin 20^\circ \approx 83.9\;\text{N}, \qquad F_N = F_G \cos 20^\circ \approx 230\;\text{N} \]
- Maximale Haftreibung: \(\mu_H \cdot F_N = 0.30 \cdot 230 \approx 69.1\;\text{N}\). Das ist kleiner als die Hangabtriebskraft \(83.9\;\text{N}\) — die Reibung reicht nicht aus, die Kiste rutscht.
- Grenzfall \(F_H = \mu_H F_N\) führt auf \(\tan\alpha = \mu_H\): \[ \alpha_{\max} = \arctan(0.30) \approx 16.7^\circ \] Oberhalb von rund \(16.7^\circ\) rutscht die Kiste — bei \(20^\circ\) ist das bereits der Fall, in Übereinstimmung mit Teil 2.
Zusammenfassung
| Konzept | Formel | Einheit | Anwendung |
|---|---|---|---|
| Kraftkomponenten | \(F_x = F\cos\varphi,\; F_y = F\sin\varphi\) | N | Zerlegung, Kräftebilanz |
| Resultierende | \(\vec{F}_R = \sum \vec{F}_i\) | N | mehrere Kräfte zusammenfassen |
| Drehmoment | \(M = F\cdot r = F\cdot l\cdot\sin\alpha\) | Nm | Hebel, Schraubenschlüssel |
| Hebelgesetz | \(F_1\cdot r_1 = F_2\cdot r_2\) | — | Wippe, Balkenwaage |
| Kräftegleichgewicht | \(\sum F_x = 0,\; \sum F_y = 0\) | — | Knoten, Seile |
| Momentengleichgewicht | \(\sum M = 0\) | — | Auflagerkräfte, starrer Körper |
| Schiefe Ebene | \(F_H = F_G\sin\alpha,\; F_N = F_G\cos\alpha\) | N | Rampe, Haftbedingung \(\tan\alpha \le \mu_H\) |
Kernpunkte
- Eine Kraft hat Betrag, Richtung und Angriffspunkt — sie ist ein Vektor.
- Kräfte werden in Komponenten zerlegt: \(F_x=F\cos\varphi\), \(F_y=F\sin\varphi\).
- Mehrere Kräfte fasst man zur Resultierenden \(\vec{F}_R=\sum\vec{F}_i\) zusammen.
- Drehmoment: \(M=F\cdot r\) — Drehwirkung aus Kraft und senkrechtem Hebelarm.
- Hebelgesetz: \(F_1 r_1=F_2 r_2\).
- Statisches Gleichgewicht: \(\sum F_x=0\), \(\sum F_y=0\) und \(\sum M=0\).
- Auf der schiefen Ebene hält ein Körper, solange \(\tan\alpha\le\mu_H\).
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.
Externe Videos, Simulationen & Aufgabensammlungen
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