4.4 Statik von Festkörpern

Die Komponenten eines Kraftvektors: Kosinus, Sinus und das Vorzeichen

1. 0:00In der Animation zeigt ein Kraftpfeil schräg ins Achsenkreuz. Wie viel davon wirkt waagrecht, wie viel senkrecht? Das sagen die beiden Komponenten.
2. 0:09Stell achtzig Newton und fünfunddreissig Grad ein. Der Winkel wird von der positiven x-Achse aus gemessen. Der Kosinus liefert die waagrechte Komponente, fünfundsechzig Komma fünf Newton, der Sinus die senkrechte, fünfundvierzig Komma neun Newton.
3. 0:25Zusammen sind die Komponenten nicht hundertelf Newton, denn sie stehen senkrecht aufeinander. Nach Pythagoras ergeben sie wieder achtzig Newton: Die Zerlegung verliert nichts.
4. 0:35Bei neunzig Grad zeigt die Kraft senkrecht nach oben. Der Kosinus ist null, also gibt es keine waagrechte Komponente; die ganze Kraft steckt in F y. Bei null Grad ist es umgekehrt.
5. 0:48Bei hundertfünfzig Grad zeigt der Pfeil nach links oben. Der Kosinus wird negativ, und F x ist minus neunundsechzig Komma drei Newton. Das Minus bedeutet: Die Komponente zeigt nach links. Die Formel liefert das Vorzeichen von selbst.
6. 1:02Merke: Der Kosinus liefert die x-Komponente, der Sinus die y-Komponente, samt Vorzeichen. Und über Pythagoras kommst du zurück zum Betrag.

Zwei Kräfte, eine Resultierende: warum 70 N und 60 N selten 130 N ergeben

1. 0:00In der Animation ziehen zwei Kräfte am selben Punkt, siebzig und sechzig Newton. Wie gross ist die Kraft, die zusammen wirkt? Hundertdreissig Newton ist es nur selten.
2. 0:11Stell siebzig Newton unter zwanzig Grad und sechzig Newton unter fünfundneunzig Grad ein. Ergänzt zum Parallelogramm, ist die Diagonale die Resultierende: hundertdrei Komma drei Newton, deutlich weniger als hundertdreissig.
3. 0:25Rechnerisch addierst du die Komponenten einzeln: waagrecht sechzig Komma fünf Newton, senkrecht dreiundachtzig Komma sieben Newton. Pythagoras liefert wieder hundertdrei Komma drei Newton.
4. 0:36Dreh die zweite Kraft ebenfalls auf zwanzig Grad. Jetzt ziehen beide in dieselbe Richtung, und die Beträge addieren sich: hundertdreissig Newton. Das ist das Grösste, was diese beiden Kräfte zusammen schaffen.
5. 0:49Bei zweihundert Grad zieht die zweite Kraft genau entgegen. Die Beträge subtrahieren sich: Übrig bleiben zehn Newton, in Richtung der grösseren Kraft. Sind beide gleich gross, heben sie sich ganz auf.
6. 1:00Merke: Kräfte addiert man als Pfeile. Die Resultierende liegt zwischen der Differenz und der Summe der Beträge, je nach Winkel zwischen den Kräften.

Last an zwei Seilen: flache Seile ziehen stärker als die Last selbst

1. 0:00In der Animation hängt eine Last an zwei schrägen Seilen. Jedes Seil trägt einen Teil, so scheint es. Doch unter Umständen zieht ein Seil stärker, als die ganze Last wiegt.
2. 0:10Acht Kilogramm wiegen achtundsiebzig Komma fünf Newton. Hängen sie an zwei Seilen unter fünfundvierzig Grad, zieht jedes Seil mit fünfundfünfzig Komma fünf Newton, weniger als die Last.
3. 0:21Am Knoten ist die Summe aller Kräfte null. Hängst du die drei Pfeile aneinander, schliessen sie sich zum Dreieck. Die senkrechten Anteile der beiden Seile tragen zusammen genau die Last.
4. 0:32Stell beide Winkel auf fünfzehn Grad. Jetzt zieht jedes Seil mit hunderteinundfünfzig Komma sechs Newton, fast doppelt so viel wie die Last. Flache Seile haben nur einen kleinen senkrechten Anteil, also braucht es eine grosse Seilkraft.
5. 0:46Mit dreissig Grad links und sechzig Grad rechts sind die Seilkräfte verschieden: links neununddreissig Komma zwei, rechts achtundsechzig Newton. Das steilere Seil trägt den grösseren Teil der Last.
6. 0:57Merke: Im Gleichgewicht schliessen sich die Kräfte zum Dreieck. Je flacher die Seile, desto grösser die Seilkräfte, bis weit über die Last hinaus.

Drehmoment und Angriffswinkel: nur der senkrechte Anteil dreht

1. 0:00In der Animation greift eine Kraft am Ende eines Hebels an. Dieselbe Kraft dreht mal stark und mal kaum. Entscheidend ist der Winkel, unter dem sie angreift.
2. 0:09Stell zweihundert Newton, einen Hebel von null Komma fünf Metern und dreissig Grad ein. Der wirksame Hebelarm ist der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie: null Komma zwei fünf Meter. Kraft mal Hebelarm ergibt fünfzig Newtonmeter.
3. 0:25Der zweite Weg: Zerleg die Kraft. Nur der Anteil senkrecht zum Hebel dreht, hier hundert Newton, an null Komma fünf Metern. Wieder fünfzig Newtonmeter: Beide Sichtweisen sind gleichwertig.
4. 0:37Bei neunzig Grad steht die Kraft senkrecht zum Hebel. Der Sinus ist eins, der wirksame Hebelarm ist der ganze Hebel, und das Moment ist am grössten: hundert Newtonmeter, doppelt so viel wie bei dreissig Grad.
5. 0:49Der Anteil längs des Hebels zeigt auf die Drehachse und dreht nicht. Je flacher die Kraft angreift, desto mehr steckt in diesem Anteil. Zeigt sie ganz längs des Hebels, bei null Grad, ist das Moment null.
6. 1:01Merke: Das Drehmoment ist Kraft mal wirksamer Hebelarm. Am grössten ist es, wenn die Kraft senkrecht zum Hebel steht, null, wenn sie längs des Hebels zeigt.

Zweiarmiger Hebel: gleiche Momente statt gleicher Kräfte

1. 0:00In der Animation zieht links eine feste Kraft von vierzig Newton, null Komma drei Meter von der Drehachse entfernt. Rechts stellst du Kraft und Abstand selbst ein. Wann steht der Hebel waagrecht?
2. 0:12Stell rechts vierundzwanzig Newton im Abstand null Komma fünf Meter ein. Der Hebel steht waagrecht, obwohl rechts viel weniger Kraft zieht. Es zählen die Momente: Links sind es zwölf Newtonmeter, rechts ebenfalls zwölf Newtonmeter.
3. 0:27Schieb die Kraft auf null Komma zwei fünf Meter, also den halben Abstand. Das rechte Moment sinkt auf sechs Newtonmeter, nur noch die Hälfte. Links überwiegt, der Hebel senkt sich links.
4. 0:38Verdopple nun die Kraft auf achtundvierzig Newton. Das Moment ist wieder zwölf Newtonmeter, der Hebel steht waagrecht. Halber Abstand braucht doppelte Kraft.
5. 0:47Das Hebelgesetz sagt voraus, welche Kraft bei null Komma vier Metern nötig ist: vierzig Newton mal null Komma drei Meter, geteilt durch null Komma vier Meter, ergibt dreissig Newton. Stell es ein: Der Hebel steht waagrecht. Je länger der Kraftarm, desto weniger Kraft brauchst du.
6. 1:05Merke: Der Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Momente auf beiden Seiten gleich gross sind: Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm. Ein langer Kraftarm spart Kraft.

Die Last wandert: warum die nähere Stütze mehr trägt

1. 0:00In der Animation liegt ein Balken von vier Metern auf zwei Stützen, A und B. Eine Last von sechshundert Newton lässt sich verschieben. Wie teilen die beiden Stützen die Last unter sich auf? Den Balken selbst nehmen wir als masselos an.
2. 0:13Setz die Last auf eins Komma fünf Meter von A. Wähle die Drehachse in A: Die Auflagerkraft in A hat dort keinen Hebelarm und fällt aus der Momentengleichung. Für B bleiben sechshundert Newton mal eins Komma fünf Meter, geteilt durch vier Meter: zweihundertfünfundzwanzig Newton.
3. 0:30Den Rest trägt A. Aus der Kräftesumme folgt: sechshundert minus zweihundertfünfundzwanzig, also dreihundertfünfundsiebzig Newton. A liegt näher an der Last und trägt den grösseren Anteil.
4. 0:42Schieb die Last auf drei Meter, näher zu B. Jetzt trägt B vierhundertfünfzig Newton und A nur noch hundertfünfzig. Die Summe bleibt sechshundert Newton.
5. 0:51Steht die Last direkt über B, trägt B die ganzen sechshundert Newton, A trägt nichts mehr. Und genau in der Mitte, bei zwei Metern, trägt jede Stütze die Hälfte, dreihundert Newton.
6. 1:03Merke: Die Stütze, die näher an der Last liegt, trägt den grösseren Anteil. Zusammen tragen beide Stützen immer die ganze Last. Dafür braucht es beide Bedingungen: Die Summe der Kräfte und die Summe der Momente sind null.

Klotz auf der schiefen Ebene: der Winkel entscheidet, nicht die Masse

1. 0:00Ein Klotz von zwanzig Kilogramm liegt auf einer schiefen Ebene. Neigung, Reibung und Masse stellst du ein. Wann bleibt er liegen, und wann rutscht er?
2. 0:09Bei fünfundzwanzig Grad zerfällt die Gewichtskraft in zwei Teile. Die Hangabtriebskraft zieht mit zweiundachtzig Komma neun Newton hangabwärts. Die Normalkraft drückt mit hundertsiebenundsiebzig Komma acht Newton auf die Ebene, weniger als die ganze Gewichtskraft.
3. 0:24Die Haftreibung schafft höchstens null Komma fünf mal die Normalkraft, achtundachtzig Komma neun Newton. Das reicht: Der Klotz haftet. Die Reibung wirkt dabei nur so stark wie nötig.
4. 0:35Bei siebenundzwanzig Grad rutscht der Klotz. Der Tangens des Winkels, null Komma fünf eins null, ist grösser als der Reibungskoeffizient. Der Grenzwinkel liegt bei sechsundzwanzig Komma sechs Grad.
5. 0:47Bei vierzig Kilogramm verdoppeln sich Hangabtrieb und Haftreibung, der Klotz rutscht weiter. Die Masse kürzt sich heraus: Es zählt nur, ob der Tangens des Winkels den Reibungskoeffizienten übersteigt.
6. 0:59Merke: Der Klotz haftet, solange der Tangens des Neigungswinkels höchstens so gross ist wie der Haftreibungskoeffizient. Die Masse spielt keine Rolle.

Kräfte zerlegen und addieren: der Weg über die Komponenten

1. 0:00Zwei Personen ziehen an derselben Kiste, jede in eine andere Richtung. Wie stark zieht es die Kiste — und wohin?
2. 0:09Jede schräge Kraft lässt sich durch zwei senkrecht zueinander stehende Anteile ersetzen. Der Winkel zur waagrechten Achse liefert sie über Kosinus und Sinus.
3. 0:19Aus den beiden Komponenten kommt man mit dem Satz des Pythagoras wieder zum Betrag der Kraft.
4. 0:27Mehrere Kräfte fasst man zu einer einzigen zusammen — grafisch mit dem Kräfteparallelogramm, rechnerisch komponentenweise.
5. 0:35Sechs Newton nach rechts und acht Newton nach oben ergeben zusammen nicht vierzehn, sondern zehn.
6. 0:43Merke: Kräfte werden vektoriell addiert. Der sichere Weg führt über die Komponenten — dort ist es wieder gewöhnliches Rechnen.

Kräftegleichgewicht am Punkt: das geschlossene Krafteck

1. 0:00Eine Lampe hängt an zwei schrägen Seilen. Je flacher die Seile gespannt sind, desto stärker ziehen sie — obwohl die Lampe gleich schwer bleibt.
2. 0:09Greifen alle Kräfte an einem einzigen Punkt an, genügt eine Bedingung: Die Summe aller Kraftvektoren muss null sein.
3. 0:17Zuerst wird freigeschnitten: Man denkt sich den Knoten allein und zeichnet jede Kraft ein, die auf ihn wirkt — hier die Gewichtskraft und die zwei Seilkräfte.
4. 0:26Dann zerlegt man alles in waagrecht und senkrecht. Aus einer Vektorgleichung werden zwei gewöhnliche — genug für zwei unbekannte Seilkräfte.
5. 0:34Grafisch heisst dasselbe: Hängt man die drei Pfeile aneinander, muss sich das Krafteck schliessen. Bei hundert Newton Last ziehen zwei Seile unter dreissig Grad mit je hundert Newton — unter zehn Grad schon mit zweihundertachtundachtzig.
6. 0:48Merke: Am Punkt genügt die Kräftebedingung. Freischneiden, in Achsen zerlegen, zwei Gleichungen aufstellen.

Drehmoment: warum der Griff weit von den Angeln sitzt

1. 0:00Eine Tür lässt sich am Griff mühelos öffnen, direkt neben den Angeln fast gar nicht. Die Kraft ist dieselbe.
2. 0:09Das Drehmoment beschreibt die Drehwirkung einer Kraft um eine Achse. Es ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm und wird in Newtonmeter gemessen.
3. 0:18Entscheidend ist nicht die Länge des Hebels, sondern der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft.
4. 0:26Greift die Kraft schräg an, zählt nur ihr senkrechter Anteil. Über den Winkel zwischen Hebel und Kraft kommt der Sinus ins Spiel.
5. 0:34Dreihundert Newton in anderthalb Metern Abstand ergeben vierhundertfünfzig Newtonmeter. Dieselbe Kraft in dreissig Zentimetern nur neunzig.
6. 0:43Merke: Drehmoment ist Kraft mal senkrechtem Abstand. Wer den Hebelarm verlängert, spart Kraft.

Das Hebelgesetz: leicht und weit aussen schlägt schwer und innen

1. 0:00Auf der Wippe sitzt links ein Kind mit fünfundzwanzig Kilogramm. Ein schwereres Kind rechts bringt sie trotzdem ins Gleichgewicht — es muss nur näher zur Mitte.
2. 0:09Ein drehbar gelagerter Körper bleibt in Ruhe, wenn sich die Drehmomente aufheben: linksdrehend gleich rechtsdrehend.
3. 0:17Ausgeschrieben heisst das: Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm.
4. 0:25Fünfundzwanzig Kilogramm in anderthalb Metern erzeugen dreihundertachtundsechzig Newtonmeter. Ein Kind mit dreissig Kilogramm muss dafür auf ein Komma zwei fünf Meter rücken.
5. 0:36Jedes Werkzeug mit langem Griff nutzt dasselbe Gesetz: Brechstange, Nussknacker, Schubkarre. Man spart Kraft und zahlt mit Weg.
6. 0:44Merke: Im Gleichgewicht ist Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm. Der Abstand zählt gleich stark wie die Kraft.

Zwei Bedingungen, zwei Auflagerkräfte: der Balken auf zwei Stützen

1. 0:00Ein Brett liegt auf zwei Böcken, eine Last steht darauf. Wie viel trägt jeder Bock? Das hängt davon ab, wo die Last steht.
2. 0:09Ein starrer Körper ruht nur, wenn er weder verschoben noch gedreht wird. Dafür müssen die Summe der Kräfte und die Summe der Momente null sein.
3. 0:18Für die Momentenbedingung darf die Drehachse frei gewählt werden. Legt man sie in eine unbekannte Kraft, hat diese den Hebelarm null und fällt aus der Gleichung.
4. 0:27Mit der Achse beim linken Auflager bleibt eine Gleichung für die rechte Kraft. Die linke folgt danach aus der Kräftebedingung.
5. 0:35Vierhundert Newton stehen auf einem vier Meter weiten Balken, anderthalb Meter von links: Links werden zweihundertfünfzig Newton getragen, rechts hundertfünfzig.
6. 0:45Merke: Beim ausgedehnten Körper gelten beide Bedingungen. Die Drehachse legt man dorthin, wo eine unbekannte Kraft angreift.

Haften und Gleiten: warum der erste Ruck der schwerste ist

1. 0:00Eine schwere Kiste auf dem Boden: Der erste Ruck kostet Mühe, danach gleitet sie fast von allein weiter.
2. 0:09Die Reibungskraft hängt nicht an der Auflagefläche, sondern an der Normalkraft und an den beteiligten Materialien.
3. 0:17Solange der Körper ruht, passt sich die Haftreibung der Zugkraft genau an. Sie ist nie grösser als nötig — aber auch nie grösser als ihr Maximum.
4. 0:26Wird das Maximum überschritten, ruckt der Körper los. Von da an wirkt die Gleitreibung, und die ist meist kleiner — deshalb wird es plötzlich leichter.
5. 0:35Acht Kilogramm auf dem Boden drücken mit achtundsiebzig Komma fünf Newton. Bei einer Haftreibungszahl von null Komma sechs hält die Kiste bis siebenundvierzig Newton — danach genügen fünfunddreissig.
6. 0:47Merke: Die Haftreibung passt sich an und hat ein Maximum. Die Gleitreibung ist kleiner und konstant.

Die schiefe Ebene: Gewichtskraft in zwei Richtungen zerlegt

1. 0:00Eine Kiste auf einer Rampe: Bei kleinem Winkel bleibt sie liegen, ab einem bestimmten rutscht sie los. Was entscheidet darüber?
2. 0:09Die Gewichtskraft zeigt senkrecht nach unten. Am Hang zerlegt man sie in eine Komponente längs der Ebene und eine senkrecht dazu.
3. 0:18Über den Neigungswinkel kommen Sinus und Kosinus ins Spiel: der Hangabtrieb mit dem Sinus, die Normalkraft mit dem Kosinus.
4. 0:25Gerutscht wird, sobald der Hangabtrieb die maximale Haftreibung übersteigt. Setzt man beide gleich, kürzen sich Masse und Erdbeschleunigung heraus.
5. 0:35Dreissig Grad und eine Reibungszahl von null Komma eins: Die Beschleunigung hangabwärts beträgt vier Komma null sechs Meter je Sekundenquadrat.
6. 0:44Merke: Am Hang wird die Gewichtskraft zerlegt. Der Sinus treibt hinunter, der Kosinus drückt auf die Ebene, und die Masse kürzt sich heraus.

Masse und Gewicht: was die Waage wirklich zeigt

1. 0:00Die Packung wiegt ein Kilo, sagen wir. Physikalisch stecken darin zwei verschiedene Grössen.
2. 0:09Die Masse sagt, wie viel Stoff im Körper steckt und wie träge er ist. Sie gehört zum Körper und ändert sich nicht, wenn er den Ort wechselt.
3. 0:18Die Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Himmelskörper an dieser Masse zieht. Sie ist Masse mal Ortsfaktor und wird in Newton gemessen.
4. 0:26Auf dem Mond ist der Ortsfaktor nur ein Komma sechs zwei. Dieselbe Packung, ein Sechstel der Kraft — die Masse bleibt.
5. 0:36Eine Küchenwaage misst die Kraft und rechnet mit dem Ortsfaktor der Erde in Kilogramm um. Auf dem Mond zeigte sie darum falsch.
6. 0:44Die Einheit verrät, welche Grösse gemeint ist: Kilogramm ist Masse, Newton ist Kraft.