12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite sie in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: Formelsammlung, Taschenrechner. Zeitvorgabe: ca. 50 Minuten. Konstante: \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \).
Vervollständige:
Benenne die Kraft und ihre Richtung: (a) wirkt am Schwerpunkt senkrecht nach unten; (b) steht senkrecht auf der Auflagefläche; (c) wirkt entlang eines gespannten Seils vom Körper weg; (d) wirkt entlang der Fläche, der drohenden Bewegung entgegen.
Was versteht man unter der Wirkungslinie einer Kraft? Warum darf man eine Kraft am starren Körper entlang dieser Linie verschieben, quer dazu aber nicht?
Eine Kraft mit Betrag \( F = 80\;\text{N} \) greift unter \( \varphi = 50^\circ \) zur \(x\)-Achse an. Berechne \( F_x \) und \( F_y \) und kontrolliere über \( \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \).
An einem Punkt greifen zwei senkrecht zueinander stehende Kräfte an: \( 30\;\text{N} \) in \(x\)-Richtung und \( 40\;\text{N} \) in \(y\)-Richtung.
(a) Wie gross ist die resultierende Kraft? (b) Welchen Winkel bildet sie mit der \(x\)-Achse?
Eine Kraft von \( 60\;\text{N} \) greift senkrecht am Ende eines Hebels der Länge \( 0.25\;\text{m} \) an. Welches Drehmoment wirkt?
An einem Hebel der Länge \( l = 0.40\;\text{m} \) greift eine Kraft \( F = 150\;\text{N} \) unter \( \alpha = 50^\circ \) zum Hebel an. Berechne das Drehmoment. Wäre es bei \( 90^\circ \) grösser oder kleiner?
Links auf einer Wippe sitzt ein Kind mit \( m_1 = 35\;\text{kg} \) im Abstand \( r_1 = 1.2\;\text{m} \) zur Achse. Rechts setzt sich ein Kind mit \( m_2 = 28\;\text{kg} \). In welchem Abstand \( r_2 \) muss es sitzen, damit Gleichgewicht herrscht?
Ein \( 6.0\;\text{m} \) langer Balken liegt an den Enden auf zwei Stützen \(A\) und \(B\). Eine Last von \( 500\;\text{N} \) greift \( 2.0\;\text{m} \) von \(A\) an (Balkengewicht vernachlässigbar). Berechne \( F_A \) und \( F_B \).
Ein Körper mit \( m = 20\;\text{kg} \) liegt auf einer um \( \alpha = 30^\circ \) geneigten Ebene. Berechne Gewichtskraft \( F_G \), Hangabtriebskraft \( F_H \) und Normalkraft \( F_N \).
Der Haftreibungskoeffizient zwischen einem Block und einer Unterlage beträgt \( \mu_H = 0.60 \). Bis zu welchem Neigungswinkel bleibt der Block auf einer schiefen Ebene liegen? Hängt dieser Winkel von der Masse ab?
Bei einer Aufgabe wirken an einem Balken zwei unbekannte Auflagerkräfte \( F_A \) und \( F_B \). Warum beginnt man die Rechnung sinnvollerweise mit der Momentengleichung — und wo legt man die Drehachse hin?
\( M = F \cdot l \cdot \sin\alpha \) (bzw. \( F\cdot r \)), Einheit Nm. \( F_x = F\cos\varphi \), \( F_y = F\sin\varphi \). Hebelgesetz: \( F_1 r_1 = F_2 r_2 \). Gleichgewicht: \( \sum \vec{F} = \vec{0} \) und \( \sum M = 0 \).
(a) Schwer-/Gewichtskraft \( \vec{F}_G \). (b) Auflager-/Normalkraft \( \vec{F}_N \). (c) Seil-/Zugkraft \( \vec{F}_S \). (d) Haftreibungskraft \( \vec{F}_R \).
Die Wirkungslinie ist die Gerade durch den Kraftvektor (in Richtung der Kraft). Am starren Körper ändert eine Verschiebung entlang dieser Linie weder Betrag noch Richtung noch das Drehmoment der Kraft — Hebelarm und Resultierende bleiben gleich. Quer dazu verschoben würde sich der Hebelarm zur Drehachse ändern und damit das Drehmoment — die Wirkung wäre eine andere.
\( F_x = 80 \cdot \cos 50^\circ \approx 51.4\;\text{N} \), \( F_y = 80 \cdot \sin 50^\circ \approx 61.3\;\text{N} \). Kontrolle: \( \sqrt{51.4^2 + 61.3^2} \approx 80\;\text{N} \). ✓
(a) \( F_R = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50.0\;\text{N} \).
(b) \( \varphi = \arctan\!\frac{40}{30} \approx 53.1^\circ \) zur \(x\)-Achse.
\( M = F \cdot l = 60 \cdot 0.25 = 15.0\;\text{Nm} \) (senkrecht, also \( \sin 90^\circ = 1 \)).
\( M = F \cdot l \cdot \sin\alpha = 150 \cdot 0.40 \cdot \sin 50^\circ \approx 46.0\;\text{Nm} \). Bei \( 90^\circ \) wäre es grösser (\( M = 60.0\;\text{Nm} \)), weil \( \sin\alpha \) dort maximal ist.
Hebelgesetz \( m_1 r_1 = m_2 r_2 \): \( r_2 = \dfrac{m_1 r_1}{m_2} = \dfrac{35 \cdot 1.2}{28} = 1.5\;\text{m} \). Das leichtere Kind muss weiter aussen sitzen.
\( \sum M_A = 0 \): \( F_B \cdot 6.0 = 500 \cdot 2.0 \Rightarrow F_B = \dfrac{1000}{6.0} \approx 167\;\text{N} \). \( \sum F_y = 0 \): \( F_A = 500 - 167 \approx 333\;\text{N} \). Die Stütze \(A\) trägt mehr, weil die Last näher bei ihr liegt.
\( F_G = 20 \cdot 9.81 \approx 196\;\text{N} \). \( F_H = 196 \cdot \sin 30^\circ \approx 98.1\;\text{N} \). \( F_N = 196 \cdot \cos 30^\circ \approx 170\;\text{N} \).
Haftbedingung \( \tan\alpha \le \mu_H \), Grenze bei \( \alpha_{\max} = \arctan(0.60) \approx 31.0^\circ \). Der Winkel hängt nicht von der Masse ab, weil sich \( F_G \) in der Bedingung \( F_G\sin\alpha \le \mu_H F_G\cos\alpha \) herauskürzt.
Man legt die Drehachse genau dort hin, wo eine der unbekannten Kräfte (z.B. \( F_A \)) angreift. Dann hat diese Kraft den Hebelarm null und fällt aus der Momentengleichung heraus — die andere Auflagerkraft \( F_B \) lässt sich direkt berechnen. Anschliessend liefert \( \sum F_y = 0 \) die erste Kraft. So vermeidet man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten.