Die Aufgaben stammen aus Technik, Natur und Alltag und sind nach ansteigendem Schwierigkeitsgrad geordnet. Pro Aufgabe ist eine Skizze und ausreichend Platz für die Lösung vorgesehen. Musterlösungen folgen am Ende des Dokuments. Verwende \( g = 9.81\,\text{m/s}^2 \) und \( \rho_\text{W} = 1000\,\text{kg/m}^3 \), den Luftdruck \( p_0 = 1013\,\text{hPa} \) wenn er relevant ist.
| Nr. | Bereich | Titel | Schwierigkeit |
|---|---|---|---|
| 1 | Technik | U-Boot-Luke in 100 m Tiefe | ●●○ |
| 2 | Wasserwerk | Wasserturm und Hausanschluss | ●○○ |
| 3 | Werkstatt | Hydraulische Hebebühne | ●●● |
| 4 | Luftfahrt | Heissluftballon | ●●● |
| 5 | Hafen | Beladung eines Frachters | ●●○ |
| 6 | Antike | Goldkrone des Hieron | ●●● |
| 7 | Labor | Aräometer in unbekannter Flüssigkeit | ●●○ |
| 8 | Bauwesen | Wassertank und Bodenkraft | ●●○ |
| 9 | Tauchtechnik | U-Boot in Schwebe-Bedingung | ●●● |
Ein U-Boot operiert auf \( h = 100\,\text{m} \) Tiefe. Eine rechteckige Wartungsluke hat die Masse \( 0.50\,\text{m} \times 0.40\,\text{m} \). Im Innenraum herrscht normaler Luftdruck.
(a) Welcher Schweredruck herrscht auf der Aussenseite der Luke?
(b) Welche resultierende Druckkraft drückt die Luke zu (ohne Luftdruck im Innenraum berücksichtigt)?
(c) Welche Masse müsste eine Person stemmen, um sie von innen aufzudrücken?
Lösungsweg:
Ein Wasserturm liefert sein Wasser über ein Rohrnetz an Häuser. Der Wasserspiegel im Turm liegt \( h = 35\,\text{m} \) über dem Hahn im Erdgeschoss eines Hauses.
(a) Welcher statische Druck herrscht am Hahn (relativ zur Atmosphäre)?
(b) Im obersten Stockwerk eines 6-stöckigen Hauses (Hahn liegt \( 18\,\text{m} \) höher als im Erdgeschoss) — welcher Druck herrscht dort noch?
Lösungsweg:
In einer Werkstatt soll ein PKW mit der Masse \( m = 1400\,\text{kg} \) auf eine hydraulische Hebebühne gehoben werden. Der Lastkolben hat den Radius \( r_2 = 10\,\text{cm} \), der Pumpkolben den Radius \( r_1 = 2\,\text{cm} \).
(a) Welche Kraft muss am Pumpkolben aufgewendet werden?
(b) Welcher Druck herrscht in der Hydraulikflüssigkeit?
(c) Wie weit muss der Pumpkolben bewegt werden, damit das Fahrzeug um \( 30\,\text{cm} \) steigt? Diskutiere das Ergebnis bezüglich der Praxis.
Lösungsweg:
Ein Heissluftballon hat ein Hüllen-Volumen von \( V = 2500\,\text{m}^3 \). Hülle, Korb und Brenner zusammen wiegen \( m_h = 400\,\text{kg} \). Die Aussenluft hat eine Dichte von \( \rho_\text{kalt} = 1.20\,\text{kg/m}^3 \), die Luft im Ballon ist auf \( \rho_\text{warm} = 0.95\,\text{kg/m}^3 \) erhitzt.
(a) Welche Auftriebskraft erfährt der Ballon?
(b) Welche Gewichtskraft hat das ganze System (warme Luft im Ballon + Hülle + Korb)?
(c) Welche maximale Nutzlast (Passagiere und Gepäck) kann der Ballon noch tragen?
Lösungsweg:
Ein Binnenfrachter hat im Wasserspiegelbereich eine konstante Querschnittsfläche von \( A = 200\,\text{m}^2 \). Beim Beladen sinkt die Wasserlinie des Schiffes (relativ zum Schiff) um \( \Delta h = 8\,\text{cm} \) tiefer.
(a) Welche Masse wurde verladen? Begründe über das Archimedische Prinzip.
(b) Würde der Frachter mehr oder weniger Wasser verdrängen, wenn er stattdessen in Meerwasser \( (\rho = 1025\,\text{kg/m}^3) \) ankert? Begründe qualitativ.
Lösungsweg:
Das klassische Problem, das Archimedes laut Legende im Bad gelöst hat. Eine Krone wird an einer Federwaage gewogen:
— In Luft: \( m_\text{Luft} = 485\,\text{g} \) (Anzeige).
— Vollständig in Wasser eingetaucht: \( m_\text{Wasser} = 458\,\text{g} \) (Anzeige).
(a) Welches Volumen hat die Krone?
(b) Welche mittlere Dichte hat das Material?
(c) Vergleiche mit \( \rho_\text{Gold} = 19\,300\,\text{kg/m}^3 \) und \( \rho_\text{Silber} = 10\,500\,\text{kg/m}^3 \) — was kann man sagen?
Lösungsweg:
Ein Aräometer (Dichtemessgerät, schwimmt aufrecht) taucht in reinem Wasser bis zu einer Tiefe von \( h_\text{W} = 12.0\,\text{cm} \). In einer unbekannten Flüssigkeit X taucht es nur \( h_X = 10.0\,\text{cm} \) tief ein. Die Eintauchquerschnittsfläche sei in beiden Fällen gleich.
(a) Stelle die Bedingung für das Schwimm-Gleichgewicht in beiden Flüssigkeiten auf.
(b) Bestimme die Dichte \( \rho_X \) der unbekannten Flüssigkeit.
(c) Schätze ab: könnte es sich um Glycerin, Speiseöl oder Wasser-Glycerin-Gemisch handeln?
Lösungsweg:
Ein zylindrischer Trinkwassertank hat einen Innendurchmesser \( d = 3.0\,\text{m} \) und ist \( h = 4.0\,\text{m} \) hoch. Er ist vollständig mit Wasser gefüllt.
(a) Berechne den Schweredruck am Boden des Tanks.
(b) Welche Kraft drückt auf den Boden? Gib die Antwort auch in „Tonnen" an ( \( 1\,\text{t} = 9.81\,\text{kN} \) ).
(c) Wie ändert sich die Kraft, wenn statt Wasser Quecksilber \( (\rho_\text{Hg} = 13\,600\,\text{kg/m}^3) \) eingefüllt würde? Begründe qualitativ.
Lösungsweg:
Ein Forschungs-U-Boot hat ein konstantes Aussenvolumen von \( V = 50\,\text{m}^3 \) und eine Leermasse von \( m_\text{leer} = 45\,\text{t} \) (ohne Wasser in den Ballasttanks). Um zu tauchen, wird Wasser von aussen in die Ballasttanks gelassen; zum Auftauchen wird das Wasser mit Druckluft wieder hinausgedrückt.
(a) Welche Wassermasse muss in die Ballasttanks geflutet werden, damit das U-Boot in Süsswasser in jeder Tiefe schwebt (\( F_\text{A} = F_\text{G} \))?
(b) Wieviel Ballastwasser ist in Meerwasser (\( \rho_\text{M} = 1025\,\text{kg/m}^3 \)) nötig? Erkläre die Differenz zum Süsswasser-Wert.
(c) Das U-Boot taucht im Meer auf \( h = 100\,\text{m} \) Tiefe ab. Welcher Schweredruck wirkt auf die Aussenhülle? Welcher Gesamtdruck inklusive Atmosphäre?
Lösungsweg:
(a) \( p_\text{S} = \rho_\text{W} \cdot g \cdot h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 100 = 981\,000\,\text{Pa} \approx 9.81\,\text{bar} \).
(b) Fläche \( A = 0.50 \cdot 0.40 = 0.20\,\text{m}^2 \). Resultierende Kraft (Aussendruck − Innendruck): \( F = p_\text{S} \cdot A = 981\,000 \cdot 0.20 \approx 196\,200\,\text{N} \approx 196\,\text{kN} \).
(c) Diese Kraft entspricht dem Gewicht von \( m = F/g \approx 20\,000\,\text{kg} = 20\,\text{t} \). Praktisch unmöglich zu öffnen — daher muss der Innenraum vorher mit Wasser geflutet werden, um Druckausgleich herzustellen.
(a) \( p = \rho \cdot g \cdot h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 35 \approx 343\,000\,\text{Pa} = 3.43\,\text{bar} \). Solide Anschlussdruck im EG.
(b) Höhendifferenz reduziert sich auf \( 35-18 = 17\,\text{m} \). \( p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 17 \approx 167\,000\,\text{Pa} = 1.67\,\text{bar} \) — immer noch ausreichend für Dusche und Hahn, aber merklich weniger als unten.
Flächen: \( A_1 = \pi r_1^2 = \pi \cdot (0.02)^2 \approx 12.57\,\text{cm}^2 \); \( A_2 = \pi \cdot (0.10)^2 \approx 314.2\,\text{cm}^2 \). Verhältnis \( A_2/A_1 = 25 \).
(a) Lastgewicht \( F_2 = m \cdot g = 1400 \cdot 9.81 \approx 13\,734\,\text{N} \). Pascal: \( F_1 = F_2 \cdot \dfrac{A_1}{A_2} = 13\,734 / 25 \approx 549\,\text{N} \) — eine Person schafft das (entspricht ca. \( 56\,\text{kg} \) Gewichtsdruck).
(b) Druck im System: \( p = F_2/A_2 = 13\,734 / 0.0314 \approx 4.37 \cdot 10^5\,\text{Pa} = 4.4\,\text{bar} \). Identisch über \( F_1/A_1 = 549/0.001257 \approx 4.4\,\text{bar} \). ✓
(c) Volumenerhaltung: \( s_1 \cdot A_1 = s_2 \cdot A_2 \). Mit \( s_2 = 30\,\text{cm} \): \( s_1 = s_2 \cdot \dfrac{A_2}{A_1} = 30 \cdot 25 = 750\,\text{cm} = 7.5\,\text{m} \). Diskussion: pro Pumphub von etwa \( 20\,\text{cm} \) braucht man rund 38 Pumphübe — daher die sichtbare Pumpbewegung bei realen Bühnen.
(a) Auftrieb (durch die kalte Umgebungsluft): \( F_\text{A} = \rho_\text{kalt} \cdot V \cdot g = 1.20 \cdot 2500 \cdot 9.81 \approx 29\,430\,\text{N} \).
(b) Masse der warmen Luft im Ballon: \( m_\text{warm} = \rho_\text{warm} \cdot V = 0.95 \cdot 2500 = 2375\,\text{kg} \). Gesamtgewicht ohne Nutzlast: \( F_\text{G} = (m_\text{warm} + m_h) \cdot g = (2375 + 400) \cdot 9.81 \approx 27\,223\,\text{N} \).
(c) Verfügbarer Auftrieb: \( F_\text{netto} = F_\text{A} - F_\text{G} \approx 2207\,\text{N} \) \( \Rightarrow \) Nutzlast \( m_\text{n} = F_\text{netto}/g \approx 225\,\text{kg} \) — etwa drei Personen.
(a) Beim Beladen muss zusätzlicher Auftrieb das Lastgewicht aufnehmen. Das Schiff verdrängt zusätzlich das Volumen \( V_\text{zus} = A \cdot \Delta h = 200 \cdot 0.08 = 16\,\text{m}^3 \). \( m_\text{Last} = \rho_\text{W} \cdot V_\text{zus} = 1000 \cdot 16 = 16\,000\,\text{kg} = 16\,\text{t} \).
(b) In Meerwasser ist dieselbe Last bereits durch weniger verdrängtes Volumen ausgeglichen (höhere Dichte). Der Frachter liegt also höher im Wasser. Daher die Plimsoll-Marken auf Schiffen — sie geben unterschiedliche maximale Eintauchtiefen für Frisch- und Salzwasser an.
(a) Der scheinbare Gewichtsverlust ist gleich der Auftriebskraft: \( F_\text{A} = (m_\text{Luft} - m_\text{Wasser}) \cdot g = 0.027 \cdot 9.81 \approx 0.265\,\text{N} \). Daraus \( V = F_\text{A}/(\rho_\text{W} \cdot g) = 0.265/9810 = 2.7 \cdot 10^{-5}\,\text{m}^3 = 27\,\text{cm}^3 \).
(b) Mittlere Dichte: \( \rho_K = m_\text{Luft}/V = 0.485 / 2.7 \cdot 10^{-5} \approx 17\,960\,\text{kg/m}^3 \).
(c) Reines Gold hätte \( 19\,300\,\text{kg/m}^3 \). Die ermittelten \( \approx 18\,000\,\text{kg/m}^3 \) liegen deutlich darunter — die Krone enthält wahrscheinlich Silber als Beimischung. Hieron wurde betrogen.
Abschätzung mit Mischungsregel (für anspruchsvolle Lernende): Setzt man die mittlere Dichte als gewichtete Summe der Volumenanteile an, \( \rho_K = \alpha \cdot \rho_\text{Gold} + (1-\alpha) \cdot \rho_\text{Silber} \), folgt für den Volumenanteil Gold:
\( \alpha = \dfrac{\rho_K - \rho_\text{Silber}}{\rho_\text{Gold} - \rho_\text{Silber}} = \dfrac{17\,960 - 10\,500}{19\,300 - 10\,500} \approx 0.85 \).
Die Krone besteht also zu rund \( 85\,\% \) (Volumen) bzw. \( 91\,\% \) (Masse) aus Gold — immer noch wertvoll, aber kein reines Gold. Genau diese Diskrepanz hat Archimedes nachgewiesen.
(a) Gleichgewicht: \( m \cdot g = \rho \cdot V_\text{e} \cdot g \). Bei gleicher Querschnittsfläche \( A \) gilt \( V_\text{e} = A \cdot h \), also \( m = \rho \cdot A \cdot h \). Da \( m \) und \( A \) konstant sind:
\( \rho_\text{W} \cdot h_\text{W} = \rho_X \cdot h_X \).
(b) \( \rho_X = \rho_\text{W} \cdot \dfrac{h_\text{W}}{h_X} = 1000 \cdot \dfrac{12.0}{10.0} = 1200\,\text{kg/m}^3 \).
(c) Speiseöl wäre \( \approx 850\,\text{kg/m}^3 \) (zu klein), reines Glycerin \( \approx 1260 \) (etwas zu hoch). Wahrscheinlich Wasser-Glycerin-Gemisch oder konzentrierte Zuckerlösung. Aräometer messen genau auf diese Weise.
(a) Schweredruck am Boden: \( p = \rho_\text{W} \cdot g \cdot h = 1000 \cdot 9.81 \cdot 4.0 = 39\,240\,\text{Pa} \approx 39.2\,\text{kPa} \approx 0.39\,\text{bar} \).
(b) Bodenfläche: \( A = \pi (d/2)^2 = \pi \cdot 1.5^2 \approx 7.07\,\text{m}^2 \). Kraft: \( F = p \cdot A = 39\,240 \cdot 7.07 \approx 277\,000\,\text{N} = 277\,\text{kN} \). Das entspricht dem Gewicht von \( \approx 28\,\text{t} \) (genau dem Gewicht des Wassers im Tank, da der zylindrische Tank gerade Wände hat — kein Paradoxon-Effekt).
(c) Quecksilber ist 13.6-mal dichter als Wasser. \( p \) wäre also 13.6-mal grösser, ebenso die Bodenkraft. Tankwände müssten massiv verstärkt werden.
(a) Schwebebedingung: Auftrieb = Gewicht, also \( \rho_\text{W} \cdot V \cdot g = (m_\text{leer} + m_\text{ballast}) \cdot g \). Daraus:
\( m_\text{ballast} = \rho_\text{W} \cdot V - m_\text{leer} = 1000 \cdot 50 - 45\,000 = 5000\,\text{kg} = 5.0\,\text{t} \).
(b) Analog in Meerwasser: \( m_\text{ballast,M} = 1025 \cdot 50 - 45\,000 = 6250\,\text{kg} = 6.25\,\text{t} \).
Differenz zum Süsswasser: \( 1.25\,\text{t} \) mehr Ballast nötig. Das mag überraschen — Meerwasser ist doch dichter, der Auftrieb also grösser? Genau deshalb: in Meerwasser bekommt das U-Boot bei gleichem Volumen mehr Auftrieb, also muss es schwerer gemacht werden, um den Auftrieb auszugleichen. Ein U-Boot, das im Süsswassersee austariert wurde, würde im Meer aufsteigen.
(c) Schweredruck in 100 m Meerwasser:
\( p_\text{S} = \rho_\text{M} \cdot g \cdot h = 1025 \cdot 9.81 \cdot 100 \approx 1.006 \cdot 10^6\,\text{Pa} \approx 10.06\,\text{bar} \).
Gesamtdruck mit Atmosphäre: \( p = p_0 + p_\text{S} \approx 1.013 + 10.06 \approx 11.07\,\text{bar} \). Die Aussenhülle muss diesen Differenzdruck zum Innenraum (1 atm) aushalten — daher die massiven Druckkörper-Konstruktionen.
Diskussion: Diese Aufgabe verbindet drei Konzepte: Schweredruck (Teil c), Auftrieb (Teil a, b) und Dichtevergleich (die Differenz in b). Reale U-Boote haben zusätzlich einen Trimm-Mechanismus für Feinjustierung, weil sich Wasserdichte mit Temperatur und Salzgehalt geringfügig ändert.