4.5 Hydrostatik
Druck und Auftrieb in ruhenden Flüssigkeiten — von der Tauchbrille bis zum Frachtschiff.
- den Begriff «Druck» definieren und die SI-Einheit Pascal einsetzen
- den Schweredruck in einer Flüssigkeit berechnen und das hydrostatische Paradoxon erklären
- das Prinzip von Pascal auf hydraulische Anlagen (Presse, Wagenheber) anwenden
- das archimedische Prinzip formulieren und damit Auftriebskräfte berechnen
- die Bedingungen für Schwimmen, Schweben und Sinken aus dem Dichtevergleich ableiten
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann den Begriff Druck definieren und die Einheit Pascal einsetzen.
- Ich kann den Schweredruck \(p_S=\rho g h\) berechnen und das hydrostatische Paradoxon erklären.
- Ich kann das Prinzip von Pascal auf hydraulische Anlagen anwenden.
- Ich kann das archimedische Prinzip formulieren und Auftriebskräfte berechnen.
- Ich kann aus dem Dichtevergleich entscheiden, ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt.
Einstieg — Tauchen im Schwimmbad
Ein Schwimmer taucht im Schwimmbecken nach unten. Schon nach einem Meter spürt er einen leichten Druck auf den Ohren, ab zwei Metern muss er bewusst Druckausgleich machen — und im 6-m-tiefen Sprungbecken ist das Trommelfell deutlich belastet. Aber wie stark genau?
Die Luft drückt von oben — wir merken davon nichts, weil unser Körper an diesen Luftdruck gewohnt ist (etwa \(1{.}013\) bar auf Meereshöhe). Im Wasser kommt der Schweredruck der darüberliegenden Wassersäule dazu — also das Gewicht des ganzen Wassers, das senkrecht über dem Schwimmer steht. Und der wächst linear mit der Tiefe.
Starte die Animation unten — eine Schwimmerin lässt sich langsam bis zum Beckenboden in 6 m Tiefe sinken. Verfolge mit, wie sich Tiefe, Schweredruck (Druck nur vom Wasser) und Gesamtdruck (Wasser + Luft) verändern. Beobachte vor allem: wie schnell wächst der Druck im Vergleich zur Tiefe?
Eine erste Annäherung: in 6 m Tiefe ergibt sich ein Schweredruck von etwa
\[ p_S \approx 1000\;\text{kg/m}^3 \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 6\;\text{m} \approx 58\,860\;\text{Pa} \approx 0.59\;\text{bar.} \]Zum Luftdruck addiert ergibt das etwa \(1.60\) bar — der Druck auf das Trommelfell hat sich also fast verdoppelt. Eine einfache Faustregel folgt sofort: pro 10 m Wasser kommt etwa 1 bar Druck dazu.
Auf dieser Themenseite lernst du, wie Schweredruck systematisch berechnet wird, warum eine hydraulische Presse aus 50 N Handdruck 1000 N Hubkraft machen kann, und warum ein 80 000 t-Frachter problemlos schwimmt, obwohl ein Eisenklotz im Wasser sofort sinkt. Die zentralen Stichworte: Schweredruck, Prinzip von Pascal, Auftrieb nach Archimedes.
✏️ Mini-Check
Je tiefer man taucht, desto …
- kleiner der Druck
- grösser der Druck
- bleibt der Druck gleich
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Der Schweredruck nimmt mit der zu.
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Druck in \(h = 10\;\text{m}\) Wassertiefe? (\(\rho = 1000\), \(g = 9.81\))
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Warum schmerzen die Ohren beim Tauchen schon nach wenigen Metern?
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Grundbegriffe
Der Druck \(p\) ist die Kraft \(F\), die senkrecht auf eine Fläche \(A\) wirkt, geteilt durch die Grösse dieser Fläche:
\[ p = \frac{F}{A} \]SI-Einheit: Pascal, \(1\;\text{Pa} = 1\;\text{N/m}^2\). Übliche Praxiseinheiten: \(1\;\text{hPa} = 100\;\text{Pa}\), \(1\;\text{kPa} = 1000\;\text{Pa}\), \(1\;\text{bar} = 100\,000\;\text{Pa}\), \(1\;\text{mbar} = 1\;\text{hPa}\).
Druck ist ein Skalar — er hat keinen Richtungspfeil. In einer ruhenden Flüssigkeit wirkt er an einem Punkt nach allen Seiten gleich gross (Pascal-Prinzip).
Die Dichte \(\rho\) (griechisch „rho") ist die Masse pro Volumen:
\[ \rho = \frac{m}{V} \]SI-Einheit: \(\text{kg/m}^3\). Wichtige Werte (alle bei 20 °C, ausser Wasser bei 4 °C):
| Stoff | \(\rho\) in \(\text{kg/m}^3\) | Stoff | \(\rho\) in \(\text{kg/m}^3\) |
|---|---|---|---|
| Luft (20 °C) | \(1.20\) | Wasser (4 °C) | \(1000\) |
| Eis | \(917\) | Meerwasser | \(1025\) |
| Speiseöl | \(\approx 850\) | Quecksilber | \(13\,600\) |
| Kork | \(\approx 240\) | Eichenholz | \(\approx 700\) |
| Aluminium | \(2700\) | Eisen | \(7870\) |
| Beton | \(\approx 2400\) | Gold | \(19\,300\) |
Der Schweredruck in einer Flüssigkeit entsteht durch das Gewicht der darüberliegenden Flüssigkeitssäule. Er wächst linear mit der Tiefe \(h\):
\[ p_S = \rho \cdot g \cdot h \]\(p_S\) ist der zusätzliche Druck zur Atmosphäre. Der Gesamtdruck ist \(p = p_0 + p_S\), mit Luftdruck \(p_0 \approx 1013\) hPa auf Meereshöhe.
Wird ein Körper in eine Flüssigkeit eingetaucht, wirkt auf ihn die Auftriebskraft \(F_A\). Sie zeigt vertikal nach oben und ist betragsmässig gleich dem Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip):
\[ F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g \]Dabei ist \(\rho_{\text{Fl}}\) die Dichte der Flüssigkeit, \(V_e\) das eingetauchte Volumen des Körpers (bei vollständiger Tauchung das ganze Körpervolumen, beim Schwimmen nur der Teil unter Wasser).
✏️ Mini-Check
Die Einheit des Drucks ist …
- Newton
- Pascal
- Joule
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Druck ist Kraft pro .
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Eine Kraft \(50\;\text{N}\) wirkt auf \(A = 0.01\;\text{m}^2\). Welcher Druck?
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Warum sinkt man mit Schneeschuhen weniger in den Schnee ein als mit normalen Schuhen?
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Schweredruck — wie Druck mit der Tiefe wächst
Der Schweredruck einer Flüssigkeitssäule ergibt sich aus dem Gewicht dieser Säule, geteilt durch die Fläche, auf die sie drückt. Für eine Säule der Höhe \(h\) und Querschnittsfläche \(A\) gilt:
Volumen der Flüssigkeitssäule: \(V = A \cdot h\). Masse: \(m = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot h\). Gewichtskraft: \(F_G = m \cdot g = \rho \cdot A \cdot h \cdot g\). Mit der Druckdefinition \(p = F/A\):
\[ p_S = \frac{F_G}{A} = \frac{\rho \cdot A \cdot h \cdot g}{A} = \rho \cdot g \cdot h \]Die Fläche kürzt sich heraus — der Schweredruck hängt nur von Dichte, Erdbeschleunigung und Tiefe ab, nicht von der Form oder Grösse des Gefässes. Das nennt man das hydrostatische Paradoxon.
✏️ Mini-Check
Wovon hängt der Schweredruck NICHT ab?
- von der Tiefe
- von der Dichte der Flüssigkeit
- von der Gefässform
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Der Schweredruck ist \(p = \rho \cdot g \cdot\) .
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Druck am Boden eines \(2\;\text{m}\) tiefen Ölbeckens (\(\rho = 900\), \(g = 9.81\))?
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In welcher Wassertiefe herrscht ein Schweredruck von \(2\;\text{bar}\) (\(= 2\cdot 10^5\;\text{Pa}\))? (\(\rho = 1000\), \(g = 9.81\))
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Hydrostatisches Paradoxon
Wenn der Schweredruck nur von der Tiefe abhängt — was passiert dann mit Gefässen unterschiedlicher Form? Schmale Röhre, weiter Becher, trichterförmiges Glas: alle bei gleicher Füllhöhe gleichviel Druck am Boden?
Genau. Solange die Füllhöhe gleich ist, ist auch der Druck am Boden gleich. Das überrascht, denn die Wassermengen sind ja sehr unterschiedlich. Der Trick: bei einer schmalen Form werden die Seitenwände nach aussen gedrückt — das „fehlende" Wasser wird durch die Wandkräfte ersetzt. Bei einer trichterförmigen Form drücken die Wände das Wasser von oben — das „überschüssige" Wasser bleibt ohne Wirkung auf den Boden.
Das Paradoxon gilt für den Druck am Boden, nicht für die Bodenkraft. Die Bodenkraft \(F = p \cdot A\) hängt zusätzlich von der Bodenfläche ab — ein breites Gefäss erfährt am Boden mehr Gesamtkraft als ein schmales, auch bei gleichem Druck. Und das passt auch zur Gewichtskraft: bei vertikalen Wänden ist die Bodenkraft genau das Gewicht des darüberstehenden Wassers.
✏️ Mini-Check
Drei verschieden geformte Gefässe haben gleiche Füllhöhe. Der Bodendruck ist …
- im breitesten am grössten
- überall gleich
- im schmalsten am grössten
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Der Bodendruck hängt nur von der ab, nicht von der Wassermenge.
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Zwei Gefässe sind beide \(0.5\;\text{m}\) hoch gefüllt. Verhältnis der Bodendrücke?
Lösung anzeigen
Ein dünnes hohes Rohr und ein breites Fass haben gleiche Wasserhöhe. Warum ist der Bodendruck gleich, obwohl im Fass viel mehr Wasser ist?
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Prinzip von Pascal — die hydraulische Presse
In einer geschlossenen Flüssigkeit pflanzt sich ein zusätzlicher Druck unverändert nach allen Seiten fort. Drückt man auf einen kleinen Kolben mit Kraft \(F_1\) auf eine kleine Fläche \(A_1\), entsteht der Druck \(p = F_1/A_1\) überall. Dieser Druck wirkt auch auf einen grossen Kolben der Fläche \(A_2\) — dort als Kraft \(F_2 = p \cdot A_2\). Es folgt:
\[ \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \qquad \Longrightarrow \qquad F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} \]Eine kleine Kraft erzeugt also eine grosse Kraft. Was ist der Preis? Der Weg: \(A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2\) — der kleine Kolben muss um genauso viel weiter bewegt werden, wie er weniger Kraft braucht. So ist die Arbeit \(W = F \cdot s\) auf beiden Seiten gleich (Energieerhaltung).
❓ Was passiert mit dem Wasserstand im Glas, wenn ein schwimmender Eiswürfel schmilzt?
Der Pegel bleibt praktisch gleich. Der Eiswürfel verdrängt schwimmend genau das Wasservolumen, das seinem Gewicht entspricht — und liefert beim Schmelzen genau diese Wassermenge nach.
✏️ Mini-Check
Bei der hydraulischen Presse gewinnt man Kraft auf Kosten von …
- Druck
- Weg
- Energie
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Nach dem Prinzip von Pascal ist der in der Flüssigkeit überall gleich.
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\(F_1 = 100\;\text{N}\) auf \(A_1\); der grosse Kolben hat \(A_2 = 5\,A_1\). Ausgangskraft \(F_2\)?
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Der kleine Kolben wird um \(20\;\text{cm}\) gedrückt, \(A_2 = 5\,A_1\). Um wie viel hebt sich der grosse Kolben?
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Auftrieb — das Archimedische Prinzip
Schon in der Antike entdeckte Archimedes: Wer einen Körper in eine Flüssigkeit eintaucht, verdrängt eine entsprechende Flüssigkeitsmenge. Der Körper wird dann mit einer Kraft nach oben gedrückt, die genau dem Gewicht dieser verdrängten Flüssigkeit entspricht. Die Auftriebskraft \(F_A\) hängt nur von der Flüssigkeitsdichte und dem eingetauchten Volumen ab:
\[ F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g \]Betrachte einen Quader (Höhe \(\Delta h\), Querschnittsfläche \(A\)) vollständig in der Flüssigkeit, Oberseite auf Tiefe \(h_o\), Unterseite auf Tiefe \(h_u = h_o + \Delta h\). Auf die Oberseite drückt die Flüssigkeit mit \(F_o = p_o \cdot A = \rho \cdot g \cdot h_o \cdot A\) nach unten, auf die Unterseite mit \(F_u = \rho \cdot g \cdot h_u \cdot A\) nach oben. Der Auftrieb ist die Differenz:
\[ F_A = F_u - F_o = \rho \cdot g \cdot A \cdot (h_u - h_o) = \rho \cdot g \cdot A \cdot \Delta h = \rho \cdot g \cdot V \]Das Volumen \(V = A \cdot \Delta h\) ist das Volumen des Quaders — also das eingetauchte Volumen.
✏️ Mini-Check
Die Auftriebskraft entspricht …
- dem Gewicht des Körpers
- dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit
- dem Volumen des Körpers
Lösung anzeigen
Die Auftriebskraft ist \(F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot\) .
Lösung anzeigen
Ein Körper verdrängt \(V = 2\;\text{L} = 0.002\;\text{m}^3\) Wasser. Auftriebskraft? (\(\rho = 1000\), \(g = 9.81\))
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Ein \(10\;\text{kg}\)-Stein (\(V = 4\;\text{L}\)) liegt unter Wasser. Welche Kraft braucht man, um ihn zu halten? (\(g = 9.81\))
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Schwimmen, Schweben, Sinken
Ob ein Körper in einer Flüssigkeit schwimmt, schwebt oder sinkt, hängt vom Verhältnis seiner Dichte zur Flüssigkeitsdichte ab. Es gibt drei Fälle:
| Fall | Dichtevergleich | Kräftebilanz | Beispiele |
|---|---|---|---|
| Schwimmen | \(\rho_K < \rho_{\text{Fl}}\) | \(F_A > F_G\) bei voller Tauchung → taucht nur teilweise ein bis \(F_A = F_G\) | Holz, Eis, Schiff |
| Schweben | \(\rho_K = \rho_{\text{Fl}}\) | \(F_A = F_G\) bei jeder Tiefe | Fisch mit Schwimmblase, U-Boot in Tarierung |
| Sinken | \(\rho_K > \rho_{\text{Fl}}\) | \(F_A < F_G\) auch bei voller Tauchung → fällt zum Boden | Stein, Eisenkugel |
Bei einem schwimmenden Körper passt sich die Eintauchtiefe selbsttätig so an, dass die verdrängte Flüssigkeit genau das Körpergewicht ausgleicht. Aus \(F_A = F_G\) folgt:
\[ \rho_{\text{Fl}} \cdot V_{\text{e}} \cdot g = \rho_K \cdot V_K \cdot g \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{V_{\text{e}}}{V_K} = \frac{\rho_K}{\rho_{\text{Fl}}} \]Das ist der Grund, warum bei einem Eisberg gerade einmal \(8\,\%\) aus dem Meerwasser herausragen — der Rest schwimmt unter der Oberfläche. (Eis hat etwa \(917\;\text{kg/m}^3\), Meerwasser \(1025\;\text{kg/m}^3\) → \(917/1025 \approx 89.5\,\%\) sind unter Wasser.)
✏️ Mini-Check
Ein Körper schwimmt, wenn seine Dichte …
- grösser als die der Flüssigkeit ist
- kleiner als die der Flüssigkeit ist
- egal ist
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Ein Körper schwebt, wenn seine Dichte der Flüssigkeitsdichte ist.
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Ein Eiswürfel (\(\rho = 917\;\text{kg/m}^3\)) schwimmt auf Wasser (\(1000\)). Welcher Volumenanteil taucht ein?
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Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl, obwohl Stahl viel dichter als Wasser ist?
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U-Rohr mit zwei Flüssigkeiten
In einem U-förmigen Rohr stellen sich Flüssigkeiten so ein, dass an der untersten gemeinsamen Tiefe der Druck links und rechts gleich gross ist. Bei einer einzigen Flüssigkeit folgt daraus, dass die Flüssigkeitsspiegel auf beiden Seiten gleich hoch stehen (Prinzip der kommunizierenden Röhren). Bei zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte sind die Spiegel nicht mehr gleich hoch — die schwerere Flüssigkeit „drückt" weiter nach unten als die leichtere.
Für zwei Flüssigkeiten in einem U-Rohr (die schwerere unten, die leichtere oben in einem Schenkel) gilt am Grenzpunkt:
\[ \rho_1 \cdot g \cdot h_1 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2 \qquad \Longrightarrow \qquad \rho_1 \cdot h_1 = \rho_2 \cdot h_2 \]Das Prinzip kommunizierender Röhren wird von Schlauchwaagen genutzt — auch heute noch das genaueste Werkzeug, um auf einer Baustelle zwei Punkte gleich hoch zu bekommen. Ein durchsichtiger, mit Wasser gefüllter Schlauch zeigt an beiden Enden den gleichen Wasserspiegel an, egal wie der Schlauch dazwischen verläuft.
❓ Was passiert mit dem Schweredruck am Beckenboden, wenn das Becken doppelt so breit ist, aber gleich tief?
Er bleibt unverändert. \(p_S=\rho g h\) hängt nur von der Tiefe ab, nicht von der Fläche oder Wassermenge — das ist der Kern des hydrostatischen Paradoxons.
✏️ Mini-Check
Im U-Rohr mit zwei Flüssigkeiten steht die leichtere Flüssigkeit …
- tiefer
- höher
- gleich hoch
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Im Gleichgewicht sind die auf beiden Seiten gleich.
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Öl (\(\rho = 800\)) steht \(10\;\text{cm}\) hoch. Wie hoch steht Wasser (\(1000\)) auf der anderen Seite?
Lösung anzeigen
Im U-Rohr steht Öl \(12\;\text{cm}\) und Wasser \(9.6\;\text{cm}\) hoch. Wie gross ist die Öldichte? (Wasser \(1000\))
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Aufgaben
Stelle in Animation 1 die Slider auf \(h = 4\;\text{m}\) und \(\rho = 1000\;\text{kg/m}^3\). Lies den Schweredruck ab und prüfe ihn mit der Formel. Wandle das Ergebnis zusätzlich in hPa und in bar um.
Mit \(p_S = \rho \cdot g \cdot h\):
\[ p_S = 1000 \cdot 9.81 \cdot 4 = 39\,240\;\text{Pa} \approx 39.2\;\text{kPa} \]Umgerechnet: \(p_S \approx 392\;\text{hPa} \approx 0.392\;\text{bar}\). Die Live-Anzeige in der Animation bestätigt dies.
Ein Aquarium mit der Grundfläche \(50\;\text{cm} \times 30\;\text{cm}\) ist bis zu einer Höhe von \(60\;\text{cm}\) mit Wasser gefüllt.
- Welcher Schweredruck wirkt am Boden?
- Welche Bodenkraft ergibt sich daraus?
- Vergleiche diese Bodenkraft mit der Gewichtskraft der Wassermenge. Was beobachtest du?
- Mit \(h = 0.60\;\text{m}\): \[ p_S = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.60 = 5886\;\text{Pa} \approx 5.89\;\text{kPa} \]
- Bodenfläche \(A = 0.50 \cdot 0.30 = 0.15\;\text{m}^2\): \[ F = p_S \cdot A = 5886 \cdot 0.15 \approx 883\;\text{N} \]
- Wassermasse \(m = \rho \cdot V = 1000 \cdot (0.5 \cdot 0.3 \cdot 0.6) = 90\;\text{kg}\). Gewicht: \(F_G = m \cdot g = 90 \cdot 9.81 \approx 883\;\text{N}\).
Beide Werte stimmen überein — bei einem Aquarium mit senkrechten Wänden ist die Bodenkraft genau gleich dem Gewicht des darüberstehenden Wassers. Bei einem Trichter wäre das anders (siehe hydrostatisches Paradoxon, Animation 2).
In einer Autowerkstatt steht eine hydraulische Hebebühne mit zwei Kolben: am kleinen Kolben (Fläche \(A_1 = 8\;\text{cm}^2\)) drückt eine Pumpe mit \(F_1 = 200\;\text{N}\); der grosse Kolben hat die Fläche \(A_2 = 400\;\text{cm}^2\).
- Berechne den Druck in der Hydraulikflüssigkeit.
- Welche Kraft \(F_2\) wirkt auf den grossen Kolben? Welcher Last (in kg) entspricht das?
- Wie weit muss der kleine Kolben gepumpt werden, damit das Auto um \(50\;\text{cm}\) angehoben wird? (In der Praxis wird die Pumpe vielmals betätigt — hier nur die Gesamt-Pumpstrecke.)
- Mit \(A_1 = 8\;\text{cm}^2 = 8 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^2\): \[ p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{200}{8 \cdot 10^{-4}} = 250\,000\;\text{Pa} = 2.5\;\text{bar} \]
- Mit \(A_2 = 400\;\text{cm}^2 = 0.04\;\text{m}^2\): \[ F_2 = p \cdot A_2 = 250\,000 \cdot 0.04 = 10\,000\;\text{N} \] Das entspricht einer Lastmasse \(m = F_2/g = 10\,000/9.81 \approx 1019\;\text{kg}\) — ein typisches Personenauto.
- Volumenerhaltung \(A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2\): \[ s_1 = s_2 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 0.50 \cdot \frac{400}{8} = 0.50 \cdot 50 = 25\;\text{m} \] Die Pumpe muss also \(25\;\text{m}\) Gesamtweg zurücklegen, um das Auto \(50\;\text{cm}\) anzuheben. In der Praxis sind dafür viele kurze Pumpstösse à \(20\)–\(30\;\text{cm}\) nötig — die Energieerhaltung ist gewahrt, denn \(F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2 = 5000\;\text{J}\) auf beiden Seiten.
Ein Korkblock (Dichte \(\rho_K = 240\;\text{kg/m}^3\)) mit den Massen \(20\;\text{cm} \times 10\;\text{cm} \times 5\;\text{cm}\) wird waagrecht in einen Behälter mit Wasser gelegt. Liegende Seite: \(20 \times 10\;\text{cm}\), Höhe also \(5\;\text{cm}\).
- Wie viel Gewicht hat der Korkblock?
- Schwimmt, schwebt oder sinkt der Block? Begründe.
- Welche Eintauchtiefe stellt sich im Gleichgewicht ein?
- Volumen \(V = 0.20 \cdot 0.10 \cdot 0.05 = 0.001\;\text{m}^3 = 1\;\text{L}\). Masse \(m = \rho_K \cdot V = 240 \cdot 0.001 = 0.24\;\text{kg}\). Gewicht: \[ F_G = m \cdot g = 0.24 \cdot 9.81 \approx 2.35\;\text{N} \]
- Da \(\rho_K = 240 < 1000 = \rho_W\): der Block schwimmt.
- Im Gleichgewicht ist \(F_A = F_G\). Mit \(F_A = \rho_W \cdot V_e \cdot g\) folgt: \[ V_e = \frac{m}{\rho_W} = \frac{0.24}{1000} = 2.4 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^3 = 240\;\text{cm}^3 \] Da der Block waagrecht liegt mit Grundfläche \(A = 20 \cdot 10 = 200\;\text{cm}^2\), folgt: \[ h_e = \frac{V_e}{A} = \frac{240}{200} = 1.2\;\text{cm} \] Von den \(5\;\text{cm}\) Höhe ragen also \(3.8\;\text{cm}\) aus dem Wasser. Der Block schwimmt sehr hoch — Kork ist ein klassisches Schwimmkörpermaterial.
Ein Eisberg hat eine Dichte von \(\rho_E = 917\;\text{kg/m}^3\) und schwimmt in Meerwasser mit \(\rho_M = 1025\;\text{kg/m}^3\).
- Welcher Anteil des Eisbergs liegt unter Wasser?
- Welche Masse hat ein Eisberg, dessen sichtbares Volumen (über Wasser) \(100\,\text{m}^3\) beträgt?
- Aus \(F_A = F_G\) folgt \(\rho_M \cdot V_e = \rho_E \cdot V\), also: \[ \frac{V_e}{V} = \frac{\rho_E}{\rho_M} = \frac{917}{1025} \approx 0.895 \] Etwa \(89.5\,\%\) des Eisbergs sind unter Wasser, nur \(10.5\,\%\) ragen heraus.
- Wenn \(V_{\text{über}} = 100\;\text{m}^3\) entspricht \(10.5\,\%\), folgt das Gesamtvolumen: \[ V = \frac{100}{0.105} \approx 953\;\text{m}^3 \] Masse: \(m = \rho_E \cdot V = 917 \cdot 953 \approx 874\,000\;\text{kg} \approx 874\;\text{t}\). Ein „kleiner" sichtbarer Eisbergspitz von \(100\;\text{m}^3\) verbirgt also gut \(850\;\text{t}\) Eis unter der Oberfläche.
In ein U-Rohr (gleicher Querschnitt in beiden Schenkeln) ist Wasser gefüllt. In den linken Schenkel werden \(15\;\text{cm}\) Öl (\(\rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} = 850\;\text{kg/m}^3\)) gegossen. Die Flüssigkeiten mischen sich nicht. Der tiefste Punkt des U-Rohrs (Verbindungsbogen) liegt \(20\;\text{cm}\) unter der Öl-Wasser-Grenzfläche.
- Berechne den Höhenunterschied der beiden oberen Flüssigkeitsspiegel.
- Welcher Druck wirkt am tiefsten Punkt des U-Rohrs?
- Auf der Höhe der Öl-Wasser-Grenze (links unten) muss der Druck links und rechts gleich sein. Links: \(\rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} \cdot g \cdot h_{\ddot{\text{O}}\text{l}}\). Rechts: \(\rho_W \cdot g \cdot h_W\), wobei \(h_W\) der Höhenüberschuss des Wasserspiegels rechts gegenüber der Grenzfläche ist. \[ \rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} \cdot h_{\ddot{\text{O}}\text{l}} = \rho_W \cdot h_W \quad \Longrightarrow \quad h_W = \frac{850}{1000} \cdot 15 = 12.75\;\text{cm} \] Der Öl-Spiegel (links) liegt also \(15\;\text{cm}\) über der Grenzfläche, der Wasserspiegel (rechts) nur \(12.75\;\text{cm}\). Der Höhenunterschied der beiden oberen Flüssigkeitsspiegel beträgt damit \(15 - 12.75 = 2.25\;\text{cm}\) — der Öl-Spiegel links ist um \(2.25\;\text{cm}\) höher als der Wasserspiegel rechts.
- Am tiefsten Punkt (Verbindungsbogen) zählt die gesamte Wassersäule darüber. Am bequemsten rechnet man von der rechten Seite: über der Grenzfläche stehen \(h_W = 12.75\;\text{cm}\) Wasser, darunter weitere \(20\;\text{cm}\) bis zum tiefsten Punkt — insgesamt also \(12.75 + 20 = 32.75\;\text{cm}\) Wassersäule: \[ p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.3275 \approx 3213\;\text{Pa} \approx 3.2\;\text{kPa} \] Kontrolle von links: über dem tiefsten Punkt stehen \(15\;\text{cm}\) Öl plus \(20\;\text{cm}\) Wasser (unter der Grenzfläche). Druckbeiträge: \(850 \cdot 9.81 \cdot 0.15 \approx 1251\;\text{Pa}\) (Öl) und \(1000 \cdot 9.81 \cdot 0.20 = 1962\;\text{Pa}\) (Wasser). Summe: \(1251 + 1962 = 3213\;\text{Pa}\) — identisch mit der Berechnung von rechts. ✓
Zusammenfassung
| Konzept | Formel | Einheit | Anwendung |
|---|---|---|---|
| Druck (allgemein) | \(p = F/A\) | Pa = N/m² | Definition |
| Dichte | \(\rho = m/V\) | kg/m³ | Stoffeigenschaft |
| Schweredruck | \(p_S = \rho \cdot g \cdot h\) | Pa | Tieftauchen, Damm |
| Pascal-Prinzip | \(F_2 = F_1 \cdot A_2/A_1\) | N | Hydraulische Presse |
| Auftriebskraft (Archimedes) | \(F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g\) | N | Schiff, Eisberg, Ballon |
| Anteil eingetaucht | \(V_e/V_K = \rho_K/\rho_{\text{Fl}}\) | — | Schwimmender Körper |
Kernpunkte
- Druck ist Kraft pro Fläche: \(p=F/A\), Einheit Pascal (Pa = N/m\(^2\)).
- Der Schweredruck \(p_S=\rho g h\) wächst linear mit der Tiefe.
- Hydrostatisches Paradoxon: der Bodendruck hängt nur von der Füllhöhe ab, nicht von der Gefässform.
- Pascal-Prinzip: ein Druck breitet sich allseitig aus — Grundlage der hydraulischen Presse \(F_2=F_1 A_2/A_1\).
- Auftrieb \(F_A=\rho_{\text{Fl}}V_e g\) entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
- Schwimmen, Schweben oder Sinken entscheidet allein der Dichtevergleich Körper/Flüssigkeit.
- Ein schwimmender Körper taucht zum Anteil \(\rho_K/\rho_{\text{Fl}}\) ein.
Zusatzmaterial
Materialien zum Mitnehmen, Üben und Wiederholen. Druckseiten öffnen in neuem Tab.
Externe Videos, Simulationen & Aufgabensammlungen
⚠ Externe Links sind Platzhalter mit plausiblen URLs zu den verbindlichen Anbietern aus COLLABORATION.md §9 — Verifikation per web_fetch noch ausstehend.