4.5 Hydrostatik
Druck und Auftrieb in ruhenden Flüssigkeiten — von der Tauchbrille bis zum Frachtschiff.
- den Grundbegriff «Druck» definieren und die wichtigsten Einheiten angeben
- den Druck zwischen zwei Festkörpern berechnen
- den Druck in einer Flüssigkeit berechnen (hydrostatische Grundgleichung) und mit dem Luftdruck in Verbindung bringen
- das Pascal’sche Gesetz anhand einfacher Aufgaben anwenden
- das archimedische Prinzip definieren und in einfachen Aufgaben anwenden
Diese Seite setzt die Dichte und die Druckeinheiten mit ihren Vorsilben voraus. Beides steht im Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» als Kurs — dort auch Überdruck gegen absoluten Druck.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann den Begriff Druck definieren und zwischen Pa, hPa und bar umrechnen.
- Ich kann den Druck zwischen zwei Festkörpern mit \(p=F/A\) berechnen.
- Ich kann den Schweredruck \(p_S=\rho g h\) berechnen, ihn mit dem Luftdruck zum Gesamtdruck zusammensetzen und das hydrostatische Paradoxon erklären.
- Ich kann das Prinzip von Pascal auf hydraulische Anlagen anwenden.
- Ich kann das archimedische Prinzip formulieren und Auftriebskräfte berechnen.
- Ich kann aus dem Dichtevergleich entscheiden, ob ein Körper schwimmt, schwebt oder sinkt.
Einstieg — Tauchen im Schwimmbad
Ein Schwimmer taucht im Schwimmbecken nach unten. Schon nach einem Meter spürt er einen leichten Druck auf den Ohren, ab zwei Metern muss er bewusst Druckausgleich machen — und im 6-m-tiefen Sprungbecken ist das Trommelfell deutlich belastet. Aber wie stark genau?
Die Luft drückt von oben — wir merken davon nichts, weil unser Körper an diesen Luftdruck gewohnt ist (etwa \(1{.}013\;\text{bar}\) auf Meereshöhe). Im Wasser kommt der Schweredruck der darüberliegenden Wassersäule dazu — also das Gewicht des ganzen Wassers, das senkrecht über dem Schwimmer steht. Und der wächst linear mit der Tiefe.
Eine erste Annäherung: in \(6\;\text{m}\) Tiefe ergibt sich ein Schweredruck von etwa
\[ p_S \approx 1000\;\text{kg/m}^3 \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 6\;\text{m} \approx 58\,860\;\text{Pa} \approx 0.59\;\text{bar.} \]Zum Luftdruck addiert ergibt das etwa \(1.60\;\text{bar}\) — der Druck auf das Trommelfell hat sich also fast verdoppelt. Eine einfache Faustregel folgt sofort: pro \(10\;\text{m}\) Wasser kommt etwa \(1\;\text{bar}\) Druck dazu.
Auf dieser Themenseite lernst du, wie Schweredruck systematisch berechnet wird, warum eine hydraulische Presse aus \(50\;\text{N}\) Handdruck \(1000\;\text{N}\) Hubkraft machen kann, und warum ein \(80\,000\text{-t}\)-Frachter problemlos schwimmt, obwohl ein Eisenklotz im Wasser sofort sinkt. Die zentralen Stichworte: Schweredruck, Prinzip von Pascal, Auftrieb nach Archimedes.
✏️ Mini-Check
Je tiefer man taucht, desto …
- kleiner der Druck
- grösser der Druck
- bleibt der Druck gleich
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Der Schweredruck nimmt mit der zu.
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Druck in \(h = 10\;\text{m}\) Wassertiefe? (\(\rho = 1000\), \(g = 9.81\))
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Warum schmerzen die Ohren beim Tauchen schon nach wenigen Metern?
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Grundbegriffe
Der Druck \(p\) ist die Kraft \(F\), die senkrecht auf eine Fläche \(A\) wirkt, geteilt durch die Grösse dieser Fläche:
\[ p = \frac{F}{A} \]SI-Einheit: Pascal, \(1\;\text{Pa} = 1\;\text{N/m}^2\). Übliche Praxiseinheiten: \(1\;\text{hPa} = 100\;\text{Pa}\), \(1\;\text{kPa} = 1000\;\text{Pa}\), \(1\;\text{bar} = 100\,000\;\text{Pa}\), \(1\;\text{mbar} = 1\;\text{hPa}\).
Druck ist ein Skalar — er hat keinen Richtungspfeil. In einer ruhenden Flüssigkeit wirkt er an einem Punkt nach allen Seiten gleich gross (Pascal-Prinzip).
Dieselbe Formel gilt, wo ein fester Körper auf einem anderen aufliegt. Eine Person von \(60\;\text{kg}\) drückt mit der Gewichtskraft
\[ F_G = m \cdot g = 60\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 589\;\text{N} \]Ansatz: \(p = F/A\). Auf zwei Schuhsohlen von zusammen \(0.030\;\text{m}^2\):
\[ p = \frac{589\;\text{N}}{0.030\;\text{m}^2} = 19\,600\;\text{Pa} = 19.6\;\text{kPa} \]Auf zwei schmale Absätze von zusammen \(0.00020\;\text{m}^2\) — dieselbe Kraft, 150-mal kleinere Fläche:
\[ p = \frac{589\;\text{N}}{0.00020\;\text{m}^2} = 2\,945\,000\;\text{Pa} = 2.95\;\text{MPa} \]Ein Elefant von \(4000\;\text{kg}\) auf vier Füssen von je \(0.10\;\text{m}^2\) kommt dagegen nur auf \(98\;\text{kPa}\) — der Absatz drückt rund dreissigmal stärker. Nicht die Kraft entscheidet, sondern die Fläche darunter.
Die Dichte \(\rho\) (griechisch „rho") ist die Masse pro Volumen:
\[ \rho = \frac{m}{V} \]SI-Einheit: \(\text{kg/m}^3\). Wichtige Werte (alle bei \(20\,^\circ\text{C}\), ausser Wasser bei \(4\,^\circ\text{C}\)):
| Stoff | \(\rho\) in \(\text{kg/m}^3\) | Stoff | \(\rho\) in \(\text{kg/m}^3\) |
|---|---|---|---|
| Luft (\(20\,^\circ\text{C}\)) | \(1.20\) | Wasser (\(4\,^\circ\text{C}\)) | \(1000\) |
| Eis | \(917\) | Meerwasser | \(1025\) |
| Speiseöl | \(\approx 850\) | Quecksilber | \(13\,600\) |
| Kork | \(\approx 240\) | Eichenholz | \(\approx 700\) |
| Aluminium | \(2700\) | Eisen | \(7870\) |
| Beton | \(\approx 2400\) | Gold | \(19\,300\) |
Der Schweredruck in einer Flüssigkeit entsteht durch das Gewicht der darüberliegenden Flüssigkeitssäule. Er wächst linear mit der Tiefe \(h\):
\[ p_S = \rho \cdot g \cdot h \]\(p_S\) ist der zusätzliche Druck zur Atmosphäre. Der Gesamtdruck ist \(p = p_0 + p_S\), mit Luftdruck \(p_0 \approx 1013\;\text{hPa}\) auf Meereshöhe.
Wird ein Körper in eine Flüssigkeit eingetaucht, wirkt auf ihn die Auftriebskraft \(F_A\). Sie zeigt vertikal nach oben und ist betragsmässig gleich dem Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeit (Archimedisches Prinzip):
\[ F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g \]Dabei ist \(\rho_{\text{Fl}}\) die Dichte der Flüssigkeit, \(V_e\) das eingetauchte Volumen des Körpers (bei vollständiger Tauchung das ganze Körpervolumen, beim Schwimmen nur der Teil unter Wasser).
✏️ Mini-Check
Die Einheit des Drucks ist …
- Newton
- Pascal
- Joule
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Druck ist Kraft pro .
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Eine Kraft \(50\;\text{N}\) wirkt auf \(A = 0.01\;\text{m}^2\). Welcher Druck?
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Warum sinkt man mit Schneeschuhen weniger in den Schnee ein als mit normalen Schuhen?
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Schweredruck — wie Druck mit der Tiefe wächst
Der Schweredruck einer Flüssigkeitssäule ergibt sich aus dem Gewicht dieser Säule, geteilt durch die Fläche, auf die sie drückt. Für eine Säule der Höhe \(h\) und Querschnittsfläche \(A\) gilt:
Volumen der Flüssigkeitssäule: \(V = A \cdot h\). Masse: \(m = \rho \cdot V = \rho \cdot A \cdot h\). Gewichtskraft: \(F_G = m \cdot g = \rho \cdot A \cdot h \cdot g\). Mit der Druckdefinition \(p = F/A\):
\[ p_S = \frac{F_G}{A} = \frac{\rho \cdot A \cdot h \cdot g}{A} = \rho \cdot g \cdot h \]Die Fläche kürzt sich heraus — der Schweredruck hängt nur von Dichte, Erdbeschleunigung und Tiefe ab, nicht von der Form oder Grösse des Gefässes. Das nennt man das hydrostatische Paradoxon.
✏️ Mini-Check
Wovon hängt der Schweredruck NICHT ab?
- von der Tiefe
- von der Dichte der Flüssigkeit
- von der Gefässform
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Der Schweredruck ist \(p = \rho \cdot g \cdot\) .
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Druck am Boden eines \(2\;\text{m}\) tiefen Ölbeckens (\(\rho = 900\), \(g = 9.81\))?
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In welcher Wassertiefe herrscht ein Schweredruck von \(2\;\text{bar}\) (\(= 2\cdot 10^5\;\text{Pa}\))? (\(\rho = 1000\), \(g = 9.81\))
Lösungsweg anzeigen
Hydrostatisches Paradoxon
Wenn der Schweredruck nur von der Tiefe abhängt — was passiert dann mit Gefässen unterschiedlicher Form? Schmale Röhre, weiter Becher, trichterförmiges Glas: alle bei gleicher Füllhöhe gleichviel Druck am Boden?
Genau. Solange die Füllhöhe gleich ist, ist auch der Druck am Boden gleich. Das überrascht, denn die Wassermengen sind ja sehr unterschiedlich. Der Trick: bei einer schmalen Form werden die Seitenwände nach aussen gedrückt — das „fehlende" Wasser wird durch die Wandkräfte ersetzt. Bei einer trichterförmigen Form drücken die Wände das Wasser von oben — das „überschüssige" Wasser bleibt ohne Wirkung auf den Boden.
Das Paradoxon gilt für den Druck am Boden, nicht für die Bodenkraft. Die Bodenkraft \(F = p \cdot A\) hängt zusätzlich von der Bodenfläche ab — ein breites Gefäss erfährt am Boden mehr Gesamtkraft als ein schmales, auch bei gleichem Druck. Und das passt auch zur Gewichtskraft: bei vertikalen Wänden ist die Bodenkraft genau das Gewicht des darüberstehenden Wassers.
✏️ Mini-Check
Drei verschieden geformte Gefässe haben gleiche Füllhöhe. Der Bodendruck ist …
- im breitesten am grössten
- überall gleich
- im schmalsten am grössten
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Der Bodendruck hängt nur von der ab, nicht von der Wassermenge.
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Zwei Gefässe sind beide \(0.5\;\text{m}\) hoch gefüllt. Verhältnis der Bodendrücke?
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Ein dünnes hohes Rohr und ein breites Fass haben gleiche Wasserhöhe. Warum ist der Bodendruck gleich, obwohl im Fass viel mehr Wasser ist?
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Prinzip von Pascal — die hydraulische Presse
In einer geschlossenen Flüssigkeit pflanzt sich ein zusätzlicher Druck unverändert nach allen Seiten fort. Drückt man auf einen kleinen Kolben mit Kraft \(F_1\) auf eine kleine Fläche \(A_1\), entsteht der Druck \(p = F_1/A_1\) überall. Dieser Druck wirkt auch auf einen grossen Kolben der Fläche \(A_2\) — dort als Kraft \(F_2 = p \cdot A_2\). Es folgt:
\[ \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \qquad \Longrightarrow \qquad F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} \]Eine kleine Kraft erzeugt also eine grosse Kraft. Was ist der Preis? Der Weg: \(A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2\) — der kleine Kolben muss um genauso viel weiter bewegt werden, wie er weniger Kraft braucht. So ist die Arbeit \(W = F \cdot s\) auf beiden Seiten gleich (Energieerhaltung).
❓ Was passiert mit dem Wasserstand im Glas, wenn ein schwimmender Eiswürfel schmilzt?
Der Pegel bleibt praktisch gleich. Der Eiswürfel verdrängt schwimmend genau das Wasservolumen, das seinem Gewicht entspricht — und liefert beim Schmelzen genau diese Wassermenge nach.
✏️ Mini-Check
Bei der hydraulischen Presse gewinnt man Kraft auf Kosten von …
- Druck
- Weg
- Energie
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Nach dem Prinzip von Pascal ist der in der Flüssigkeit überall gleich.
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\(F_1 = 100\;\text{N}\) auf \(A_1\); der grosse Kolben hat \(A_2 = 5\,A_1\). Ausgangskraft \(F_2\)?
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Der kleine Kolben wird um \(20\;\text{cm}\) gedrückt, \(A_2 = 5\,A_1\). Um wie viel hebt sich der grosse Kolben?
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Auftrieb — das Archimedische Prinzip
Schon in der Antike entdeckte Archimedes: Wer einen Körper in eine Flüssigkeit eintaucht, verdrängt eine entsprechende Flüssigkeitsmenge. Der Körper wird dann mit einer Kraft nach oben gedrückt, die genau dem Gewicht dieser verdrängten Flüssigkeit entspricht. Die Auftriebskraft \(F_A\) hängt nur von der Flüssigkeitsdichte und dem eingetauchten Volumen ab:
\[ F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g \]Betrachte einen Quader (Höhe \(\Delta h\), Querschnittsfläche \(A\)) vollständig in der Flüssigkeit, Oberseite auf Tiefe \(h_o\), Unterseite auf Tiefe \(h_u = h_o + \Delta h\). Auf die Oberseite drückt die Flüssigkeit mit \(F_o = p_o \cdot A = \rho \cdot g \cdot h_o \cdot A\) nach unten, auf die Unterseite mit \(F_u = \rho \cdot g \cdot h_u \cdot A\) nach oben. Der Auftrieb ist die Differenz:
\[ F_A = F_u - F_o = \rho \cdot g \cdot A \cdot (h_u - h_o) = \rho \cdot g \cdot A \cdot \Delta h = \rho \cdot g \cdot V \]Das Volumen \(V = A \cdot \Delta h\) ist das Volumen des Quaders — also das eingetauchte Volumen.
✏️ Mini-Check
Die Auftriebskraft entspricht …
- dem Gewicht des Körpers
- dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit
- dem Volumen des Körpers
Lösung anzeigen
Die Auftriebskraft ist \(F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot\) .
Lösung anzeigen
Ein Körper verdrängt \(V = 2\;\text{l} = 0.002\;\text{m}^3\) Wasser. Auftriebskraft? (\(\rho = 1000\), \(g = 9.81\))
Lösung anzeigen
Ein \(10\;\text{kg}\)-Stein (\(V = 4\;\text{l}\)) liegt unter Wasser. Welche Kraft braucht man, um ihn zu halten? (\(g = 9.81\))
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Schwimmen, Schweben, Sinken
Ob ein Körper in einer Flüssigkeit schwimmt, schwebt oder sinkt, hängt vom Verhältnis seiner Dichte zur Flüssigkeitsdichte ab. Es gibt drei Fälle:
| Fall | Dichtevergleich | Kräftebilanz | Beispiele |
|---|---|---|---|
| Schwimmen | \(\rho_K < \rho_{\text{Fl}}\) | \(F_A > F_G\) bei voller Tauchung → taucht nur teilweise ein bis \(F_A = F_G\) | Holz, Eis, Schiff |
| Schweben | \(\rho_K = \rho_{\text{Fl}}\) | \(F_A = F_G\) bei jeder Tiefe | Fisch mit Schwimmblase, U-Boot in Tarierung |
| Sinken | \(\rho_K > \rho_{\text{Fl}}\) | \(F_A < F_G\) auch bei voller Tauchung → fällt zum Boden | Stein, Eisenkugel |
Bei einem schwimmenden Körper passt sich die Eintauchtiefe selbsttätig so an, dass die verdrängte Flüssigkeit genau das Körpergewicht ausgleicht. Aus \(F_A = F_G\) folgt:
\[ \rho_{\text{Fl}} \cdot V_{\text{e}} \cdot g = \rho_K \cdot V_K \cdot g \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{V_{\text{e}}}{V_K} = \frac{\rho_K}{\rho_{\text{Fl}}} \]Das ist der Grund, warum bei einem Eisberg gerade einmal \(8\,\%\) aus dem Meerwasser herausragen — der Rest schwimmt unter der Oberfläche. (Eis hat etwa \(917\;\text{kg/m}^3\), Meerwasser \(1025\;\text{kg/m}^3\) → \(917/1025 \approx 89.5\,\%\) sind unter Wasser.)
✏️ Mini-Check
Ein Körper schwimmt, wenn seine Dichte …
- grösser als die der Flüssigkeit ist
- kleiner als die der Flüssigkeit ist
- egal ist
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Ein Körper schwebt, wenn seine Dichte der Flüssigkeitsdichte ist.
Lösung anzeigen
Ein Eiswürfel (\(\rho = 917\;\text{kg/m}^3\)) schwimmt auf Wasser (\(1000\)). Welcher Volumenanteil taucht ein?
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Warum schwimmt ein Schiff aus Stahl, obwohl Stahl viel dichter als Wasser ist?
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U-Rohr mit zwei Flüssigkeiten
In einem U-förmigen Rohr stellen sich Flüssigkeiten so ein, dass an der untersten gemeinsamen Tiefe der Druck links und rechts gleich gross ist. Bei einer einzigen Flüssigkeit folgt daraus, dass die Flüssigkeitsspiegel auf beiden Seiten gleich hoch stehen (Prinzip der kommunizierenden Röhren). Bei zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte sind die Spiegel nicht mehr gleich hoch — die schwerere Flüssigkeit „drückt" weiter nach unten als die leichtere.
Für zwei Flüssigkeiten in einem U-Rohr (die schwerere unten, die leichtere oben in einem Schenkel) gilt am Grenzpunkt:
\[ \rho_1 \cdot g \cdot h_1 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2 \qquad \Longrightarrow \qquad \rho_1 \cdot h_1 = \rho_2 \cdot h_2 \]Das Prinzip kommunizierender Röhren wird von Schlauchwaagen genutzt — auch heute noch das genaueste Werkzeug, um auf einer Baustelle zwei Punkte gleich hoch zu bekommen. Ein durchsichtiger, mit Wasser gefüllter Schlauch zeigt an beiden Enden den gleichen Wasserspiegel an, egal wie der Schlauch dazwischen verläuft.
❓ Was passiert mit dem Schweredruck am Beckenboden, wenn das Becken doppelt so breit ist, aber gleich tief?
Er bleibt unverändert. \(p_S=\rho g h\) hängt nur von der Tiefe ab, nicht von der Fläche oder Wassermenge — das ist der Kern des hydrostatischen Paradoxons.
✏️ Mini-Check
Im U-Rohr mit zwei Flüssigkeiten steht die leichtere Flüssigkeit …
- tiefer
- höher
- gleich hoch
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Im Gleichgewicht sind die auf beiden Seiten gleich.
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Öl (\(\rho = 800\)) steht \(10\;\text{cm}\) hoch. Wie hoch steht Wasser (\(1000\)) auf der anderen Seite?
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Im U-Rohr steht Öl \(12\;\text{cm}\) und Wasser \(9.6\;\text{cm}\) hoch. Wie gross ist die Öldichte? (Wasser \(1000\))
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Stelle in Animation 1 die Slider auf \(h = 4\;\text{m}\) und \(\rho = 1000\;\text{kg/m}^3\). Lies den Schweredruck ab und prüfe ihn mit der Formel. Wandle das Ergebnis zusätzlich in hPa und in bar um.
Mit \(p_S = \rho \cdot g \cdot h\):
\[ p_S = 1000 \cdot 9.81 \cdot 4 = 39\,240\;\text{Pa} \approx 39.2\;\text{kPa} \]Umgerechnet: \(p_S \approx 392\;\text{hPa} \approx 0.392\;\text{bar}\). Die Live-Anzeige in der Animation bestätigt dies.
Ein Aquarium mit der Grundfläche \(50\;\text{cm} \times 30\;\text{cm}\) ist bis zu einer Höhe von \(60\;\text{cm}\) mit Wasser gefüllt.
- Welcher Schweredruck wirkt am Boden?
- Welche Bodenkraft ergibt sich daraus?
- Vergleiche diese Bodenkraft mit der Gewichtskraft der Wassermenge. Was beobachtest du?
- Mit \(h = 0.60\;\text{m}\): \[ p_S = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.60 = 5886\;\text{Pa} \approx 5.89\;\text{kPa} \]
- Bodenfläche \(A = 0.50 \cdot 0.30 = 0.15\;\text{m}^2\): \[ F = p_S \cdot A = 5886 \cdot 0.15 \approx 883\;\text{N} \]
- Wassermasse \(m = \rho \cdot V = 1000 \cdot (0.5 \cdot 0.3 \cdot 0.6) = 90\;\text{kg}\). Gewicht: \(F_G = m \cdot g = 90 \cdot 9.81 \approx 883\;\text{N}\).
Beide Werte stimmen überein — bei einem Aquarium mit senkrechten Wänden ist die Bodenkraft genau gleich dem Gewicht des darüberstehenden Wassers. Bei einem Trichter wäre das anders (siehe hydrostatisches Paradoxon, Animation 2).
In einer Autowerkstatt steht eine hydraulische Hebebühne mit zwei Kolben: am kleinen Kolben (Fläche \(A_1 = 8\;\text{cm}^2\)) drückt eine Pumpe mit \(F_1 = 200\;\text{N}\); der grosse Kolben hat die Fläche \(A_2 = 400\;\text{cm}^2\).
- Berechne den Druck in der Hydraulikflüssigkeit.
- Welche Kraft \(F_2\) wirkt auf den grossen Kolben? Welcher Last (in kg) entspricht das?
- Wie weit muss der kleine Kolben gepumpt werden, damit das Auto um \(50\;\text{cm}\) angehoben wird? (In der Praxis wird die Pumpe vielmals betätigt — hier nur die Gesamt-Pumpstrecke.)
- Mit \(A_1 = 8\;\text{cm}^2 = 8 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^2\): \[ p = \frac{F_1}{A_1} = \frac{200}{8 \cdot 10^{-4}} = 250\,000\;\text{Pa} = 2.5\;\text{bar} \]
- Mit \(A_2 = 400\;\text{cm}^2 = 0.04\;\text{m}^2\): \[ F_2 = p \cdot A_2 = 250\,000 \cdot 0.04 = 10\,000\;\text{N} \] Das entspricht einer Lastmasse \(m = F_2/g = 10\,000/9.81 \approx 1019\;\text{kg}\) — ein typisches Personenauto.
- Volumenerhaltung \(A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2\): \[ s_1 = s_2 \cdot \frac{A_2}{A_1} = 0.50 \cdot \frac{400}{8} = 0.50 \cdot 50 = 25\;\text{m} \] Die Pumpe muss also \(25\;\text{m}\) Gesamtweg zurücklegen, um das Auto \(50\;\text{cm}\) anzuheben. In der Praxis sind dafür viele kurze Pumpstösse à \(20\)–\(30\;\text{cm}\) nötig — die Energieerhaltung ist gewahrt, denn \(F_1 \cdot s_1 = F_2 \cdot s_2 = 5000\;\text{J}\) auf beiden Seiten.
Ein Korkblock (Dichte \(\rho_K = 240\;\text{kg/m}^3\)) mit den Massen \(20\;\text{cm} \times 10\;\text{cm} \times 5\;\text{cm}\) wird waagrecht in einen Behälter mit Wasser gelegt. Liegende Seite: \(20 \times 10\;\text{cm}\), Höhe also \(5\;\text{cm}\).
- Wie viel Gewicht hat der Korkblock?
- Schwimmt, schwebt oder sinkt der Block? Begründe.
- Welche Eintauchtiefe stellt sich im Gleichgewicht ein?
- Volumen \(V = 0.20 \cdot 0.10 \cdot 0.05 = 0.001\;\text{m}^3 = 1\;\text{l}\). Masse \(m = \rho_K \cdot V = 240 \cdot 0.001 = 0.24\;\text{kg}\). Gewicht: \[ F_G = m \cdot g = 0.24 \cdot 9.81 \approx 2.35\;\text{N} \]
- Da \(\rho_K = 240 < 1000 = \rho_W\): der Block schwimmt.
- Im Gleichgewicht ist \(F_A = F_G\). Mit \(F_A = \rho_W \cdot V_e \cdot g\) folgt: \[ V_e = \frac{m}{\rho_W} = \frac{0.24}{1000} = 2.4 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^3 = 240\;\text{cm}^3 \] Da der Block waagrecht liegt mit Grundfläche \(A = 20 \cdot 10 = 200\;\text{cm}^2\), folgt: \[ h_e = \frac{V_e}{A} = \frac{240}{200} = 1.2\;\text{cm} \] Von den \(5\;\text{cm}\) Höhe ragen also \(3.8\;\text{cm}\) aus dem Wasser. Der Block schwimmt sehr hoch — Kork ist ein klassisches Schwimmkörpermaterial.
Ein Eisberg hat eine Dichte von \(\rho_E = 917\;\text{kg/m}^3\) und schwimmt in Meerwasser mit \(\rho_M = 1025\;\text{kg/m}^3\).
- Welcher Anteil des Eisbergs liegt unter Wasser?
- Welche Masse hat ein Eisberg, dessen sichtbares Volumen (über Wasser) \(100\,\text{m}^3\) beträgt?
- Aus \(F_A = F_G\) folgt \(\rho_M \cdot V_e = \rho_E \cdot V\), also: \[ \frac{V_e}{V} = \frac{\rho_E}{\rho_M} = \frac{917}{1025} \approx 0.895 \] Etwa \(89.5\,\%\) des Eisbergs sind unter Wasser, nur \(10.5\,\%\) ragen heraus.
- Wenn \(V_{\text{über}} = 100\;\text{m}^3\) entspricht \(10.5\,\%\), folgt das Gesamtvolumen: \[ V = \frac{100}{0.105} \approx 953\;\text{m}^3 \] Masse: \(m = \rho_E \cdot V = 917 \cdot 953 \approx 874\,000\;\text{kg} \approx 874\;\text{t}\). Ein „kleiner" sichtbarer Eisbergspitz von \(100\;\text{m}^3\) verbirgt also gut \(850\;\text{t}\) Eis unter der Oberfläche.
In ein U-Rohr (gleicher Querschnitt in beiden Schenkeln) ist Wasser gefüllt. In den linken Schenkel werden \(15\;\text{cm}\) Öl (\(\rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} = 850\;\text{kg/m}^3\)) gegossen. Die Flüssigkeiten mischen sich nicht. Der tiefste Punkt des U-Rohrs (Verbindungsbogen) liegt \(20\;\text{cm}\) unter der Öl-Wasser-Grenzfläche.
- Berechne den Höhenunterschied der beiden oberen Flüssigkeitsspiegel.
- Welcher Druck wirkt am tiefsten Punkt des U-Rohrs?
- Auf der Höhe der Öl-Wasser-Grenze (links unten) muss der Druck links und rechts gleich sein. Links: \(\rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} \cdot g \cdot h_{\ddot{\text{O}}\text{l}}\). Rechts: \(\rho_W \cdot g \cdot h_W\), wobei \(h_W\) der Höhenüberschuss des Wasserspiegels rechts gegenüber der Grenzfläche ist. \[ \rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} \cdot h_{\ddot{\text{O}}\text{l}} = \rho_W \cdot h_W \quad \Longrightarrow \quad h_W = \frac{850}{1000} \cdot 15 = 12.75\;\text{cm} \] Der Öl-Spiegel (links) liegt also \(15\;\text{cm}\) über der Grenzfläche, der Wasserspiegel (rechts) nur \(12.75\;\text{cm}\). Der Höhenunterschied der beiden oberen Flüssigkeitsspiegel beträgt damit \(15 - 12.75 = 2.25\;\text{cm}\) — der Öl-Spiegel links ist um \(2.25\;\text{cm}\) höher als der Wasserspiegel rechts.
- Am tiefsten Punkt (Verbindungsbogen) zählt die gesamte Wassersäule darüber. Am bequemsten rechnet man von der rechten Seite: über der Grenzfläche stehen \(h_W = 12.75\;\text{cm}\) Wasser, darunter weitere \(20\;\text{cm}\) bis zum tiefsten Punkt — insgesamt also \(12.75 + 20 = 32.75\;\text{cm}\) Wassersäule: \[ p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.3275 \approx 3213\;\text{Pa} \approx 3.2\;\text{kPa} \] Kontrolle von links: über dem tiefsten Punkt stehen \(15\;\text{cm}\) Öl plus \(20\;\text{cm}\) Wasser (unter der Grenzfläche). Druckbeiträge: \(850 \cdot 9.81 \cdot 0.15 \approx 1251\;\text{Pa}\) (Öl) und \(1000 \cdot 9.81 \cdot 0.20 = 1962\;\text{Pa}\) (Wasser). Summe: \(1251 + 1962 = 3213\;\text{Pa}\) — identisch mit der Berechnung von rechts. ✓
Zusammenfassung
| Konzept | Formel | Einheit | Anwendung |
|---|---|---|---|
| Druck (allgemein) | \(p = F/A\) | \(\text{Pa} = \text{N/m}^2\) | Definition |
| Dichte | \(\rho = m/V\) | \(\text{kg/m}^3\) | Stoffeigenschaft |
| Schweredruck | \(p_S = \rho \cdot g \cdot h\) | \(\text{Pa}\) | Tieftauchen, Damm |
| Pascal-Prinzip | \(F_2 = F_1 \cdot A_2/A_1\) | \(\text{N}\) | Hydraulische Presse |
| Auftriebskraft (Archimedes) | \(F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g\) | \(\text{N}\) | Schiff, Eisberg, Ballon |
| Anteil eingetaucht | \(V_e/V_K = \rho_K/\rho_{\text{Fl}}\) | — | Schwimmender Körper |
Kernpunkte
- Druck ist Kraft pro Fläche: \(p=F/A\), Einheit Pascal (Pa = N/m\(^2\)).
- Der Schweredruck \(p_S=\rho g h\) wächst linear mit der Tiefe.
- Hydrostatisches Paradoxon: der Bodendruck hängt nur von der Füllhöhe ab, nicht von der Gefässform.
- Pascal-Prinzip: ein Druck breitet sich allseitig aus — Grundlage der hydraulischen Presse \(F_2=F_1 A_2/A_1\).
- Auftrieb \(F_A=\rho_{\text{Fl}}V_e g\) entspricht dem Gewicht der verdrängten Flüssigkeit.
- Schwimmen, Schweben oder Sinken entscheidet allein der Dichtevergleich Körper/Flüssigkeit.
- Ein schwimmender Körper taucht zum Anteil \(\rho_K/\rho_{\text{Fl}}\) ein.
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Flüssigkeitssäule: doppelte Tiefe, doppelter Druck
- 0:00In der Animation stellst du die Tiefe einer Flüssigkeitssäule und die Dichte der Flüssigkeit ein. Am Boden misst ein Manometer den Schweredruck. Wie hängt er von beiden ab?
- 0:10Starte mit Wasser und drei Metern Tiefe. Der Schweredruck ist Rho mal g mal h: tausend Kilogramm pro Kubikmeter mal neun Komma acht eins Meter pro Sekunde im Quadrat mal drei Meter. Das Manometer zeigt neunundzwanzig Komma vier Kilopascal.
- 0:26Schiebe die Tiefe auf sechs Meter. Der Druck verdoppelt sich auf achtundfünfzig Komma neun Kilopascal. Im Diagramm liegt der Punkt auf einer Geraden durch den Ursprung: Der Druck wächst linear mit der Tiefe.
- 0:37Wähle Quecksilber, wieder drei Meter tief. Die Dichte ist dreizehn Komma sechs mal so gross wie bei Wasser, also auch der Druck: vierhundert Komma zwei Kilopascal, gut vier bar. Die Gerade im Diagramm wird viel steiler.
- 0:50Zurück zu Wasser, diesmal zehn Meter tief. Das Manometer zeigt achtundneunzig Komma eins Kilopascal, fast ein bar. Daraus folgt eine Faustregel: Je zehn Meter Wassertiefe kommt rund ein bar dazu. Der Luftdruck über dem Wasser ist dabei nicht mitgezählt.
- 1:06Merke: Der Schweredruck ist Rho mal g mal h. Doppelte Tiefe oder doppelte Dichte heisst doppelter Druck. Form und Menge der Flüssigkeit kommen in der Formel nicht vor.
Drei Gefässe: gleicher Bodendruck, verschiedene Bodenkraft
- 0:00In der Animation stehen drei Gefässe nebeneinander: ein Zylinder, ein Trichter und ein umgekehrter Trichter, alle gleich hoch mit Wasser gefüllt. In welchem ist der Druck am Boden am grössten?
- 0:12Bei zwölf Zentimetern Füllhöhe zeigen alle drei Manometer dasselbe: elf Komma acht Millibar. Der Druck am Boden hängt nur von der Füllhöhe ab.
- 0:21Dabei enthalten die Gefässe sehr verschieden viel Wasser. Der umgekehrte Trichter fasst fast dreimal so viel wie der Trichter. Trotzdem ist der Bodendruck gleich. Das ist das hydrostatische Paradoxon.
- 0:33Senkst du die Füllhöhe auf sechs Zentimeter, sinkt der Druck in allen drei Gefässen auf die Hälfte: fünf Komma neun Millibar. Die Form spielt keine Rolle, nur die Höhe.
- 0:43Zeig jetzt die Bodenkraft, Druck mal Bodenfläche. Beim Zylinder mit vier Zentimetern Radius sind es fünf Komma neun zwei Newton, genau das Gewicht seines Wassers. Der umgekehrte Trichter hat den grössten Boden: dreiundzwanzig Komma sechs sieben Newton, mehr als sein Wasser wiegt. Die schrägen Wände drücken von oben mit.
- 1:01Merke: Bei gleicher Füllhöhe ist der Bodendruck gleich, egal wie das Gefäss geformt ist und wie viel Wasser darin steht. Die Bodenkraft dagegen hängt auch von der Bodenfläche ab.
Hydraulische Presse nachgerechnet: aus 50 N werden 1000 N
- 0:00In der Animation drückst du mit fünfzig Newton auf einen kleinen Kolben. Der grosse Kolben drückt mit tausend Newton nach oben. Wo kommt die zusätzliche Kraft her, und was kostet sie?
- 0:11Der kleine Kolben hat fünf Quadratzentimeter. Fünfzig Newton darauf erzeugen einen Druck von eins Komma null null bar. Dieser Druck herrscht überall in der Flüssigkeit, auch unter dem grossen Kolben.
- 0:22Der grosse Kolben hat hundert Quadratzentimeter, zwanzigmal so viel Fläche. Derselbe Druck drückt darauf mit zwanzigmal so viel Kraft: tausend Newton. Verstärkt wird die Kraft, nicht der Druck.
- 0:34Drück jetzt auf Pressen. Der kleine Kolben sinkt zwanzig Zentimeter und verdrängt hundert Kubikzentimeter. Dieses Volumen hebt den grossen Kolben, aber nur um einen Zentimeter, ein Zwanzigstel des Wegs.
- 0:47Rechne die Arbeit auf beiden Seiten. Links fünfzig Newton mal null Komma zwei Meter, rechts tausend Newton mal ein Hundertstel Meter. Beide Male zehn Joule. Kraft gewinnst du, Arbeit nicht. Gerechnet ist ohne Reibung.
- 1:00Merke: In der Flüssigkeit ist der Druck überall gleich. Die grosse Fläche bekommt darum die grosse Kraft, aber nur einen kleinen Weg. Die Arbeit bleibt gleich.
Quader an der Waage: Der Auftrieb wächst nur, solange er eintaucht
- 0:00In der Animation hängt ein Holzwürfel mit zehn Zentimetern Kante an einer Waage und taucht Stück für Stück ins Wasser. Wie viel von seinem Gewicht trägt das Wasser?
- 0:09Noch hängt der Würfel über dem Wasser. Er ist aus Holz mit siebenhundert Kilogramm pro Kubikmeter und wiegt sechs Komma acht sieben Newton. Die Waage trägt alles.
- 0:19Bei sechs Zentimetern Eintauchtiefe verdrängt der Würfel sechshundert Kubikzentimeter Wasser, also null Komma sechs Kilogramm. Genau deren Gewicht ist der Auftrieb: fünf Komma acht neun Newton. Die Waage zeigt nur noch null Komma neun acht Newton.
- 0:34Bei sieben Zentimetern verdrängt er siebenhundert Kubikzentimeter. Der Auftrieb ist jetzt gleich gross wie das Gewicht, und die Waage zeigt null. Genau so tief würde der Würfel auch frei im Wasser schwimmen.
- 0:46Ab zehn Zentimetern ist der Würfel ganz untergetaucht. Er verdrängt sein ganzes Volumen, und der Auftrieb bleibt bei neun Komma acht eins Newton, egal wie tief er hängt. Weil das mehr ist als sein Gewicht, muss der Halter ihn jetzt mit zwei Komma neun vier Newton hinunterdrücken.
- 1:01Merke: Der Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Er wächst, solange der Körper weiter eintaucht, und bleibt konstant, sobald er ganz untergetaucht ist.
Fünf Würfel im Wasser: wie tief jeder eintaucht
- 0:00In der Animation liegt ein Würfel mit zehn Zentimetern Kante im Wasser, also ein Liter Volumen. Nur sein Material wechselt. Wie tief taucht er jeweils ein?
- 0:10Eiche hat siebenhundert Kilogramm pro Kubikmeter. Der Würfel sinkt so weit ein, bis der Auftrieb sein Gewicht trägt: beide sechs Komma acht sieben Newton. Eingetaucht sind dann siebzig Prozent, genau das Verhältnis der Dichten.
- 0:23Mit derselben Formel: Kork mit zweihundertvierzig Kilogramm pro Kubikmeter taucht nur zu vierundzwanzig Prozent ein. Eis mit neunhundertsiebzehn taucht zu einundneunzig Komma sieben Prozent ein und liegt fast ganz unter Wasser.
- 0:37Hat der Würfel genau die Dichte von Wasser, wiegt er neun Komma acht eins Newton. Ganz eingetaucht ist der Auftrieb genau gleich gross. Der Würfel schwebt: Er bleibt in jeder Tiefe stehen.
- 0:48Aluminium hat zweitausendsiebenhundert Kilogramm pro Kubikmeter, der Würfel wiegt sechsundzwanzig Komma vier neun Newton. Der Auftrieb wird aber nicht grösser als neun Komma acht eins Newton, denn mehr als ganz eintauchen geht nicht. Sechzehn Komma sechs acht Newton ziehen ihn zum Boden.
- 1:04Merke: Ein Körper mit kleinerer Dichte als die Flüssigkeit schwimmt und taucht zum Anteil der beiden Dichten ein. Gleich dicht schwebt er, dichter sinkt er.
U-Rohr mit Öl: warum das Öl höher steht als das Wasser
- 0:00In der Animation giesst du Öl in den linken Schenkel eines U-Rohrs mit Wasser. Das Öl steht danach höher als das Wasser rechts. Warum?
- 0:09Ohne Öl stehen beide Wasserspiegel gleich hoch. In derselben Flüssigkeit herrscht auf gleicher Höhe derselbe Druck. Das nutzt die Schlauchwaage auf der Baustelle.
- 0:19Mit zehn Zentimetern Öl der Dichte achthundertfünfzig liegt die Grenzfläche links tiefer; die rote Linie zeigt ihre Höhe. Darunter ist auf beiden Seiten Wasser, also herrscht dort links und rechts derselbe Druck: acht Komma drei Millibar.
- 0:33Weil g auf beiden Seiten steht, kürzt es sich weg. Die Wassersäule rechts ist nur acht Komma fünf null Zentimeter hoch. Das Öl steht also eins Komma fünf null Zentimeter höher als das Wasser.
- 0:45Nimm leichteres Öl mit sechshundert Kilogramm pro Kubikmeter. Dieselben zehn Zentimeter Öl halten jetzt nur noch sechs Zentimetern Wasser das Gleichgewicht. Der Höhenunterschied wächst auf vier Zentimeter.
- 0:57Merke: Im U-Rohr ist auf der Höhe der Grenzfläche der Druck links und rechts gleich. Darum steht die leichtere Flüssigkeit höher, und die Höhen verhalten sich umgekehrt wie die Dichten.
Schweredruck: warum nur die Tiefe zählt
- 0:00Drei verschieden geformte Gefässe, gleich hoch gefüllt. Am Boden zeigen alle drei Manometer denselben Wert — obwohl ganz verschieden viel Wasser darin ist.
- 0:09Der Druck am Boden ist das Gewicht der Wassersäule darüber, geteilt durch die Fläche. Setzt man Masse gleich Dichte mal Volumen ein, kürzt sich die Fläche heraus.
- 0:19Übrig bleibt: Dichte mal Erdbeschleunigung mal Tiefe. Doppelte Tiefe oder doppelte Dichte heisst doppelter Druck.
- 0:26Weil weder Form noch Menge vorkommen, zeigt jedes Gefäss bei gleicher Füllhöhe denselben Bodendruck. Das gilt für den Druck — nicht für die Kraft.
- 0:36Drei Meter unter der Wasseroberfläche herrschen rund neunundzwanzig Komma vier Kilopascal Schweredruck. Für ganze zwei bar braucht es rund zwanzig Meter Tiefe.
- 0:46Merke: Der Schweredruck hängt an Dichte und Tiefe — nicht an Form oder Menge der Flüssigkeit.
Die hydraulische Presse: Kraft gewinnen, Weg bezahlen
- 0:00Mit einer Handkraft von zweihundert Newton hebt ein Wagenheber ein ganzes Auto. Woher kommt die zusätzliche Kraft?
- 0:09In einer geschlossenen Flüssigkeit pflanzt sich ein zusätzlicher Druck unverändert nach allen Seiten fort. Auf jeder Fläche herrscht derselbe Druck.
- 0:18Umgestellt heisst das: Die Kraft am grossen Kolben ist so viel grösser, wie seine Fläche grösser ist.
- 0:26Bezahlt wird mit dem Weg. Die verdrängte Flüssigkeitsmenge ist auf beiden Seiten dieselbe, also legt der kleine Kolben so viel mehr Weg zurück, wie er weniger Kraft braucht.
- 0:36Zwei Quadratzentimeter gegen hundert: Aus zweihundert Newton werden zehntausend. Dafür muss der kleine Kolben fünfzig Mal weiter fahren.
- 0:44Merke: Der Druck ist überall gleich, darum wächst die Kraft mit der Fläche. Die Arbeit bleibt dieselbe.
Der Auftrieb: das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit
- 0:00Ein Stein an der Federwaage wird leichter, sobald er ins Wasser eintaucht. Verloren hat er dabei nichts.
- 0:09Der Auftrieb ist keine neue Kraft, sondern eine Differenz: Unten drückt die Flüssigkeit stärker nach oben als oben nach unten, weil dort der Schweredruck grösser ist.
- 0:19Rechnet man die Differenz aus, kommt genau das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit heraus. Das ist das Prinzip des Archimedes.
- 0:27In Formeln: Dichte der Flüssigkeit mal eingetauchtem Volumen mal Erdbeschleunigung. Nur das eingetauchte Volumen zählt.
- 0:35Ein Aluminiumwürfel von zehn Zentimetern Kante wiegt sechsundzwanzig Komma fünf Newton. Unter Wasser zeigt die Federwaage nur noch sechzehn Komma sieben.
- 0:44Merke: Der Auftrieb ist das Gewicht der verdrängten Flüssigkeit. Er hängt am eingetauchten Volumen, nicht am Material.
Schwimmen, Schweben, Sinken: der Vergleich zweier Dichten
- 0:00Ein Stahlnagel geht unter, ein Stahlschiff schwimmt. Beide bestehen aus demselben Material.
- 0:09Auf jeden eingetauchten Körper wirken zwei Kräfte: die Gewichtskraft nach unten und der Auftrieb nach oben. Welche gewinnt, entscheidet alles.
- 0:18Ist der Körper dichter, sinkt er. Ist er gleich dicht, schwebt er. Ist er weniger dicht, steigt er auf und schwimmt.
- 0:27Ein schwimmender Körper taucht genau so weit ein, bis der Auftrieb seine Gewichtskraft trägt. Der eingetauchte Anteil ist das Verhältnis der beiden Dichten.
- 0:36Eis hat neunhundertsiebzehn Kilogramm je Kubikmeter, Wasser tausend. Also schwimmen rund zweiundneunzig Prozent unter der Oberfläche — im Meerwasser knapp neunzig.
- 0:46Merke: Entscheidend ist die mittlere Dichte des Körpers im Vergleich zur Flüssigkeit — nicht sein Gewicht und nicht sein Material.
Dichte: warum das grosse Stück nicht dichter ist
- 0:00Ein Aluminiumspan und ein Aluminiumklotz. Der Klotz hat mehr Masse — ist er darum dichter?
- 0:09Die Dichte fragt nicht, wie viel Masse da ist, sondern wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt. Sie ist ein Quotient.
- 0:17Beim Klotz ist die Masse hundertmal grösser — aber das Volumen eben auch. Der Quotient bleibt derselbe.
- 0:25Im Labor rechnet man in Gramm je Kubikzentimeter, im SI in Kilogramm je Kubikmeter. Der Faktor tausend ist kein Zufall: Das Gramm ist tausendmal kleiner, der Kubikzentimeter aber eine Million mal.
- 0:38Weil die Dichte nicht von der Menge abhängt, ist sie eine charakteristische Eigenschaft des Stoffs. Miss Masse und Volumen, teile, und vergleiche mit der Tabelle.
- 0:47Merke: Die Dichte ist Masse je Volumen und darum eine Eigenschaft des Stoffs, nicht der Menge. Weil sich die meisten Stoffe beim Erwärmen ausdehnen, gehört zu jedem Tabellenwert eine Temperatur.
Druck: warum die Nadel eindringt und der Daumen nicht
- 0:00Mit dem Daumen gegen ein Brett drücken — nichts passiert. Mit derselben Kraft gegen eine Nadel, und sie steckt im Holz.
- 0:09Der Druck sagt, wie sich eine Kraft auf eine Fläche verteilt: Kraft geteilt durch Fläche. Die Einheit heisst Pascal und ist ein Newton je Quadratmeter.
- 0:19Eine Person von sechzig Kilogramm drückt mit rund sechshundert Newton. Auf zwei Schuhsohlen verteilt sind das knapp zwanzig Kilopascal. Auf zwei schmale Absätze verteilt fast drei Megapascal.
- 0:31Weil ein Pascal so klein ist, rechnet man meist mit grösseren Einheiten. Ein bar sind hunderttausend Pascal, also tausend Hektopascal — und ungefähr so gross ist der Luftdruck.
- 0:42In einem Gas oder einer Flüssigkeit hat der Druck keine Richtung. An einer Stelle wirkt er nach allen Seiten gleich stark und steht auf jeder Wand senkrecht.
- 0:51Merke: Bei gleicher Kraft senkt eine grössere Fläche den Druck, eine kleinere steigert ihn. Breite Skier tragen im Schnee, ein schmaler Nagel dringt ein.
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