Kraft pro Fläche, mit der eine Wirkung senkrecht auf eine Fläche ausgeübt wird. SI-Einheit: Pascal, \(1\;\text{Pa} = 1\;\text{N/m}^2\). Druck ist ein Skalar — er hat keine Richtung; in einer ruhenden Flüssigkeit wirkt er an einem Punkt nach allen Seiten gleich.
Praxiseinheiten: \(1\;\text{hPa} = 100\;\text{Pa}\), \(1\;\text{kPa} = 1000\;\text{Pa}\), \(1\;\text{bar} = 10^5\;\text{Pa} = 1000\;\text{hPa}\), \(1\;\text{mbar} = 1\;\text{hPa}\). Luftdruck auf Meereshöhe: \(p_0 \approx 1013\;\text{hPa} \approx 1.013\;\text{bar}\).
Stoffeigenschaft: Masse pro Volumen, SI-Einheit \(\text{kg/m}^3\).
| Stoff | \(\rho\) [kg/m³] | Stoff | \(\rho\) [kg/m³] |
|---|---|---|---|
| Luft (20 °C) | \(1.20\) | Wasser (4 °C) | \(1000\) |
| Eis | \(917\) | Meerwasser | \(1025\) |
| Speiseöl | \(\approx 850\) | Quecksilber | \(13\,600\) |
| Kork | \(\approx 240\) | Eichenholz | \(\approx 700\) |
| Aluminium | \(2700\) | Eisen | \(7870\) |
| Beton | \(\approx 2400\) | Gold | \(19\,300\) |
Der zusätzliche Druck in einer Tiefe \(h\) unter dem Flüssigkeitsspiegel. Er wächst linear mit der Tiefe und hängt nicht von der Form des Gefässes ab.
Gesamtdruck an einem Punkt: \(p = p_0 + p_S\) (Luftdruck + Schweredruck).
Herleitung: Eine Flüssigkeitssäule der Höhe \(h\) und Fläche \(A\) hat Volumen \(V = A\,h\), Masse \(m = \rho\,A\,h\) und Gewichtskraft \(F_G = m\,g\). Der Druck auf den Boden:
\[ p_S = \frac{F_G}{A} = \frac{\rho \cdot A \cdot h \cdot g}{A} = \rho \cdot g \cdot h \]Faustregel: in Wasser kommt pro 10 m Tiefe etwa 1 bar Druck dazu (genau: \(0.981\;\text{bar}\)).
Der Schweredruck am Boden hängt nur von der Füllhöhe ab — nicht von der Gefässform und nicht von der Wassermenge. Schmale Röhre und weiter Becher bei gleicher Füllhöhe → gleicher Bodendruck.
Vorsicht: Die Bodenkraft \(F = p \cdot A\) unterscheidet sich aber, weil die Bodenflächen verschieden sind.
In einer geschlossenen Flüssigkeit pflanzt sich ein zusätzlicher Druck nach allen Seiten gleichmässig fort. Eine kleine Kraft auf einer kleinen Fläche erzeugt denselben Druck wie eine grosse Kraft auf einer grossen Fläche:
\[ \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2} \qquad \Longrightarrow \qquad F_2 = F_1 \cdot \frac{A_2}{A_1} \]Hubverhältnis: Die Flüssigkeit ist (näherungsweise) inkompressibel, also gilt Volumenerhaltung \(A_1 \cdot s_1 = A_2 \cdot s_2\), d.h. \(s_2 = s_1 \cdot A_1/A_2\). Die Arbeit \(W = F \cdot s\) ist auf beiden Seiten gleich (Energieerhaltung): grosse Kraft, kurzer Weg ↔ kleine Kraft, langer Weg.
Anwendungen: hydraulische Werkstattbühne, Wagenheber, Bremsanlage am Auto, Bagger, Laborpresse (z. B. in der chemischen Analytik zur Tablettenherstellung für die Infrarot-Spektroskopie — eine Handhebel-Kraft von wenigen 10 N erzeugt durch das Hebel- und Pascal-Prinzip Press-Drücke von einigen 100 bar).
Auf einen in eine Flüssigkeit eingetauchten Körper wirkt eine vertikal nach oben gerichtete Kraft. Sie ist betragsmässig gleich dem Gewicht der vom Körper verdrängten Flüssigkeitsmenge.
Herleitung: An der Oberseite eines Quaders (in Tiefe \(h_o\)) drückt \(F_o = \rho g h_o A\) nach unten, an der Unterseite (Tiefe \(h_u\)) drückt \(F_u = \rho g h_u A\) nach oben. Differenz:
\[ F_A = F_u - F_o = \rho g A (h_u - h_o) = \rho g V \]| Fall | Dichten | Verhalten |
|---|---|---|
| Schwimmen | \(\rho_K < \rho_{\text{Fl}}\) | taucht teilweise ein bis \(F_A = F_G\) |
| Schweben | \(\rho_K = \rho_{\text{Fl}}\) | bleibt in jeder Tiefe stehen (indifferent) |
| Sinken | \(\rho_K > \rho_{\text{Fl}}\) | fällt zum Boden |
Bei einem schwimmenden Körper passt sich die Eintauchtiefe selbst so an, dass \(F_A = F_G\). Aus dieser Gleichgewichtsbedingung folgt:
\[ \frac{V_e}{V_K} = \frac{\rho_K}{\rho_{\text{Fl}}} \]Beispiel: ein Eisberg (\(\rho = 917\;\text{kg/m}^3\)) in Meerwasser (\(\rho = 1025\;\text{kg/m}^3\)) ist zu \(917/1025 \approx 89.5\,\%\) unter Wasser; nur \(10.5\,\%\) ragen heraus.
In verbundenen Gefässen stellt sich der Flüssigkeitsspiegel überall gleich hoch ein, sofern es nur eine Flüssigkeit ist (Anwendung: Schlauchwaage auf Baustellen, Wasserwaage in Form eines U-Rohrs).
Bei zwei nicht mischbaren Flüssigkeiten in einem U-Rohr stehen die Spiegel verschieden hoch. Am tiefsten gemeinsamen Punkt (bzw. an der Grenzfläche) herrscht links und rechts derselbe Druck — daraus folgt:
\[ \rho_1 \cdot h_1 = \rho_2 \cdot h_2 \]Dabei sind \(h_1\) und \(h_2\) jeweils die Säulenhöhen über der Grenzfläche (nicht die Gesamt-Füllhöhe). Die schwerere Flüssigkeit „drückt" weiter nach unten, die leichtere bleibt höher.
| Konzept | Formel |
|---|---|
| Druck | \(p = F/A\) |
| Dichte | \(\rho = m/V\) |
| Schweredruck | \(p_S = \rho \cdot g \cdot h\) |
| Hydraulik | \(F_2 = F_1 \cdot A_2/A_1\),\(\;s_1 \cdot A_1 = s_2 \cdot A_2\) |
| Auftrieb | \(F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g\) |
| Schwimmen | \(V_e/V_K = \rho_K/\rho_{\text{Fl}}\) |
| U-Rohr mit 2 Flüssigkeiten | \(\rho_1 \cdot h_1 = \rho_2 \cdot h_2\) |