12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite alle Aufgaben in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: Formelsammlung, Taschenrechner. Zeitvorgabe: ca. 50 Minuten. Konstanten: \( g = 9.81\;\text{m/s}^2 \), \( \rho_W = 1000\;\text{kg/m}^3 \), \( p_0 = 1013\;\text{hPa} \).
Vervollständige:
Rechne um:
(a) \( 2.5\;\text{bar} \) in Pa (b) \( 850\;\text{hPa} \) in bar
(c) \( 5500\;\text{Pa} \) in mbar (d) \( 0.04\;\text{MPa} \) in hPa
Zwei Gefässe — eine schmale Röhre und ein weiter Becher — sind gleich hoch mit Wasser gefüllt. Welche Aussagen treffen zu?
(a) Bodendruck ist gleich. (b) Wassergewicht ist gleich. (c) Bodenkraft ist gleich.
Welcher Schweredruck wirkt auf einen Taucher in \( 25\;\text{m} \) Tiefe in einem Süsswassersee? Wie gross ist der Gesamtdruck?
Wie hoch steht die Quecksilbersäule in einem Torricelli-Barometer bei Normaldruck \( p_0 = 1013\;\text{hPa} \)? (\( \rho_{\text{Hg}} = 13\,600\;\text{kg/m}^3 \))
Ein Aquarium ist \( 1.0\;\text{m} \) lang, \( 0.50\;\text{m} \) breit und \( 0.80\;\text{m} \) tief gefüllt.
(a) Druck am Boden? (b) Kraft auf den Boden? (c) Wassermasse?
Eine Presse hat \( A_1 = 4\;\text{cm}^2 \), \( A_2 = 200\;\text{cm}^2 \). Mit \( F_1 = 80\;\text{N} \) wird gedrückt.
(a) Welche Kraft \(F_2\) entsteht am grossen Kolben? (b) Wie weit hebt sich der grosse Kolben, wenn der kleine \( 30\;\text{cm} \) gedrückt wird?
Eine Eisenkugel der Masse \( 1.0\;\text{kg} \) wird in Wasser getaucht (\( \rho_{\text{Eisen}} = 7870\;\text{kg/m}^3 \)).
(a) Welches Volumen hat die Kugel? (b) Welche Auftriebskraft wirkt? (c) Welche scheinbare Gewichtskraft hat die Kugel im Wasser?
Ein Eichenwürfel (\( \rho = 700\;\text{kg/m}^3 \)) mit Kantenlänge \( 10\;\text{cm} \) schwimmt im Wasser.
(a) Wieviel Prozent des Würfels sind eingetaucht? (b) Wie tief ragt der Würfel ins Wasser?
Ein Eisbrocken (\( \rho_{\text{Eis}} = 917\;\text{kg/m}^3 \)) wird in einen Süsswassersee gelegt. Welcher Anteil ragt aus dem Wasser?
In den linken Schenkel eines U-Rohrs (mit Wasser gefüllt) werden \( 8\;\text{cm} \) Öl (\( \rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} = 800\;\text{kg/m}^3 \)) gegossen. Welcher Höhenunterschied der Flüssigkeitsspiegel ergibt sich?
Ein Frachtschiff hat die Gesamtmasse \( 10\,000\;\text{t} \) (\( = 10^7\;\text{kg} \)) inklusive Ladung. Der durchschnittliche Querschnitt unter Wasser beträgt \( 2500\;\text{m}^2 \). Wie tief taucht das Schiff ein? Nehme die Wasserlinie als horizontal an, das Schiff schwimmt in Süsswasser.
Ein Tauchboot hat ein konstantes Aussenvolumen \( V = 14\;\text{m}^3 \), eine Leermasse von
\( m_\text{leer} = 12\;\text{t} \) und Ballasttanks mit zusammen \( V_\text{tank} = 4\;\text{m}^3 \)
Innenvolumen. Es soll im Süsswasser schweben (\( F_A = F_G \)).
(a) Welche Wassermasse muss in die Tanks geflutet werden?
(b) Welchen Prozentanteil des Tank-Innenvolumens entspricht das?
(c) Welche mittlere Dichte hat das Tauchboot dann insgesamt? Vergleiche mit \( \rho_W \).
\( p = F/\text{Fläche} \), Einheit Pa (Pascal). \( p_S = \rho \cdot g \cdot h \). \( F_A = \rho_{\text{Fl}} \cdot V_e \cdot g \), gerichtet nach oben.
(a) \( 2.5\;\text{bar} = 250\,000\;\text{Pa} \) (b) \( 850\;\text{hPa} = 0.850\;\text{bar} \)
(c) \( 5500\;\text{Pa} = 55\;\text{mbar} \) (d) \( 0.04\;\text{MPa} = 40\,000\;\text{Pa} = 400\;\text{hPa} \)
(a) ✓ Der Bodendruck hängt nur von der Füllhöhe ab (hydrostatisches Paradoxon).
(b) ✗ Im weiten Becher steht mehr Wasser → grösseres Gewicht.
(c) ✗ Bodenfläche ist verschieden, also auch \(F = p \cdot A\). Im weiten Becher grössere Bodenkraft.
Gesamtdruck: \( p = p_0 + p_S \approx 1.013 + 2.45 \approx 3.47\;\text{bar} \).
Aus \( p_0 = \rho_{\text{Hg}} \cdot g \cdot h \):
\[ h = \frac{p_0}{\rho_{\text{Hg}} \cdot g} = \frac{101\,325}{13\,600 \cdot 9.81} \approx 0.759\;\text{m} = 759\;\text{mm} \]Daher die alte Druckeinheit „760 Torr" \(\approx 1\) atm.
(a) \( p = 1000 \cdot 9.81 \cdot 0.80 \approx 7848\;\text{Pa} \approx 7.85\;\text{kPa} \)
(b) Bodenfläche \( A = 1.0 \cdot 0.50 = 0.50\;\text{m}^2 \): \( F = p \cdot A \approx 3924\;\text{N} \)
(c) \( m = \rho \cdot V = 1000 \cdot (1.0 \cdot 0.5 \cdot 0.8) = 400\;\text{kg} \). Gewicht: \( F_G = 400 \cdot 9.81 \approx 3924\;\text{N} \) — identisch mit Bodenkraft (senkrechte Wände).
(a) \( p = F_1/A_1 = 80/(4 \cdot 10^{-4}) = 200\,000\;\text{Pa} = 2\;\text{bar} \). Damit \( F_2 = p \cdot A_2 = 200\,000 \cdot 0.020 = 4000\;\text{N} \).
Alternativ direkt: \( F_2 = F_1 \cdot A_2/A_1 = 80 \cdot 50 = 4000\;\text{N} \).
(b) \( s_2 = s_1 \cdot A_1/A_2 = 0.30 \cdot (4/200) = 0.006\;\text{m} = 0.6\;\text{cm} \).
(a) \( V = m/\rho = 1.0/7870 \approx 1.271 \cdot 10^{-4}\;\text{m}^3 \approx 127\;\text{cm}^3 \).
(b) \( F_A = \rho_W \cdot V \cdot g = 1000 \cdot 1.271 \cdot 10^{-4} \cdot 9.81 \approx 1.25\;\text{N} \).
(c) Scheinbares Gewicht: \( F_{\text{schein}} = F_G - F_A = 1.0 \cdot 9.81 - 1.25 \approx 8.56\;\text{N} \). Die Kugel sinkt — \( F_G \gg F_A \).
(a) Anteil: \( V_e/V = \rho_K/\rho_W = 700/1000 = 0.70 = 70\,\% \).
(b) Bei Kantenlänge \( 10\;\text{cm} \): Eintauchtiefe \( h_e = 0.70 \cdot 10 = 7.0\;\text{cm} \). Es ragen also \( 3.0\;\text{cm} \) aus dem Wasser.
\( V_e/V = 917/1000 = 0.917 \). Über Wasser: \( 1 - 0.917 = 0.083 = 8.3\,\% \) — also etwa \( 8\,\% \) sichtbar.
Druck-Gleichgewicht an der Grenzfläche: \( \rho_{\ddot{\text{O}}\text{l}} \cdot h_{\ddot{\text{O}}\text{l}} = \rho_W \cdot h_W \).
\[ h_W = \frac{800}{1000} \cdot 8 = 6.4\;\text{cm} \]Der Wasserspiegel rechts steht \( 6.4\;\text{cm} \) über der Öl-Wasser-Grenze. Der Öl-Spiegel links steht \( 8\;\text{cm} \) über der Grenze. Höhenunterschied der oberen Spiegel: \( 8 - 6.4 = 1.6\;\text{cm} \) (Öl-Spiegel höher).
Im Gleichgewicht: \( F_A = F_G \). Mit \( F_A = \rho_W \cdot V_e \cdot g = \rho_W \cdot A \cdot h \cdot g \):
\[ h = \frac{m}{\rho_W \cdot A} = \frac{10^7}{1000 \cdot 2500} = 4.0\;\text{m} \]Das Schiff hat einen Tiefgang von \( 4.0\;\text{m} \). (In Meerwasser etwas weniger: \( 4.0 \cdot 1000/1025 \approx 3.90\;\text{m} \) — vgl. die Plimsoll-Marken auf Schiffen, die genau diese Differenz markieren.)
(a) Schwebebedingung \( F_A = F_G \), also \( \rho_W \cdot V \cdot g = (m_\text{leer} + m_\text{ballast}) \cdot g \):
\[ m_\text{ballast} = \rho_W \cdot V - m_\text{leer} = 1000 \cdot 14 - 12\,000 = 2000\;\text{kg} = 2.0\;\text{t} \](b) Wasservolumen \( V_\text{wasser} = m_\text{ballast}/\rho_W = 2.0\;\text{m}^3 \). Anteil am Tank: \( 2.0/4.0 = 0.50 = 50\,\% \). Die Tanks sind also genau halb geflutet.
(c) Gesamtmasse: \( m_\text{ges} = 12\,000 + 2000 = 14\,000\;\text{kg} \). Mit \( V = 14\;\text{m}^3 \): \( \rho_\text{Boot} = 14\,000/14 = 1000\;\text{kg/m}^3 = \rho_W \). Genau die Schwebebedingung — die mittlere Dichte des Tauchboots ist gleich der Wasserdichte. Zum Auftauchen wird Druckluft in die Tanks gepresst, die das Wasser hinausdrückt; das Boot wird leichter und steigt.
Wenn du 10 oder mehr der ersten 12 Aufgaben richtig gelöst hast, beherrschst du die Grundlagen. Bei weniger als 8: Handout nochmals durcharbeiten und Aufgaben 1–7 erneut versuchen. Wer die Knacknuss (Aufgabe 13) sauber löst, zeigt souveräne Beherrschung — sie verbindet Auftrieb, Dichtevergleich und Schwebe-Gleichgewicht.