8 Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Achte bei jeder Umrechnung darauf, ob ein einzelner Temperaturwert (\(T = \vartheta + 273.15\)) oder eine Differenz (\(\Delta T = \Delta\vartheta\)) gefragt ist. Lösungen am Ende.
In einem Reinraum wird die Temperatur konstant bei \( 21\,^\circ\text{C} \) gehalten. Ein Prozess in der Anlage läuft bei \( 394\,\text{K} \).
(a) Wandle die Raumtemperatur in Kelvin um.
(b) Wandle die Prozesstemperatur in Grad Celsius um.
(c) Um wie viele Kelvin liegt der Prozess über der Raumtemperatur?
Lösungsweg:
Ein Aluminium-Fassadenelement kühlt nachts auf \( 4\,^\circ\text{C} \) ab und erwärmt sich bei Sonneneinstrahlung auf \( 62\,^\circ\text{C} \).
(a) Wie gross ist die Temperaturänderung in \(^\circ\text{C}\) und in Kelvin?
(b) Begründe, warum für die Dimensionierung der Dehnungsfugen die Differenz (nicht der Einzelwert) entscheidend ist und warum die Skala dabei keine Rolle spielt.
Lösungsweg:
Im Labor liegen bei \( 5\,^\circ\text{C} \): Wasser, ein Eiswürfel und Wasserdampf aus einem Sterilisator.
(a) Ordne jedem den Aggregatzustand zu und beschreibe das Teilchenverhalten in einem Stichwort.
(b) Wie heisst der Übergang, wenn der Eiswürfel schmilzt, und bei welcher Temperatur läuft er (Normaldruck) ab?
Lösungsweg:
Eine feste Gasmenge wird bei konstantem Volumen vermessen. Bei \( \vartheta_1 = 0\,^\circ\text{C} \) misst man den Druck \( p_1 = 1.00\;\text{bar} \), bei \( \vartheta_2 = 100\,^\circ\text{C} \) den Druck \( p_2 = 1.366\;\text{bar} \).
(a) Der Druck ist proportional zur absoluten Temperatur. Bestätige das mit den beiden Messpunkten (rechne \(\vartheta\) in \(T\) um und vergleiche \( p/T \)).
(b) Bei welcher Celsius-Temperatur wäre der Druck null? Was bedeutet dieser Wert?
Lösungsweg:
Eine Forscherin beobachtet ein winziges Partikel in einer Zellsuspension. Es zittert regellos. Sie erwärmt die Probe von \( 10\,^\circ\text{C} \) auf \( 60\,^\circ\text{C} \).
(a) Erkläre das Zittern mit dem Teilchenmodell.
(b) Was beobachtet sie nach dem Erwärmen — und warum?
(c) Um wie viele Kelvin hat sie die Temperatur erhöht?
Lösungsweg:
Flüssiger Stickstoff siedet bei \( 77\,\text{K} \), flüssiges Helium bei \( 4.2\,\text{K} \).
(a) Gib beide Siedetemperaturen in Grad Celsius an.
(b) Um wie viele Kelvin ist Helium kälter als Stickstoff?
(c) Eine Probe wird mit Trockeneis auf \( -78.5\,^\circ\text{C} \) gekühlt. Wie viele Kelvin sind das, und liegt das über oder unter der Stickstoff-Siedetemperatur?
Lösungsweg:
Instrumente werden im Autoklav bei \( 121\,^\circ\text{C} \) sterilisiert. Sie kommen mit Raumtemperatur \( 22\,^\circ\text{C} \) hinein.
(a) Wandle Sterilisations- und Raumtemperatur in Kelvin um.
(b) Wie gross ist die Erwärmung in Kelvin?
(c) Eine Anzeige zeigt fälschlich „\(121\,\text{K}\)" statt „\(121\,^\circ\text{C}\)". Welche Celsius-Temperatur wären \(121\,\text{K}\), und wäre damit eine Sterilisation möglich?
Lösungsweg:
Ergänze die fehlenden Werte (auf zwei Nachkommastellen bzw. ganze Grad gerundet).
| Situation | \(\vartheta\) [°C] | \(T\) [K] |
|---|---|---|
| Tiefkühllager | −24 | ? |
| Körpertemperatur | ? | 310.15 |
| Lötkolbenspitze | 350 | ? |
| Sterilisation (Autoklav) | ? | 394.15 |
Lösungsweg:
(a) \( T = 21 + 273.15 = 294.15\;\text{K} \). (b) \( \vartheta = 394 - 273.15 = 120.85\,^\circ\text{C} \approx 121\,^\circ\text{C} \). (c) Differenz: \( 394 - 294.15 = 99.85\;\text{K} \approx 100\;\text{K} \) (gleich der Celsius-Differenz \( 121 - 21 = 100 \)).
(a) \( \Delta\vartheta = 62 - 4 = 58\,^\circ\text{C} \), also \( \Delta T = 58\;\text{K} \). (b) Die Wärmeausdehnung hängt von der Temperaturänderung ab, nicht vom absoluten Wert; deshalb zählt die Differenz. Da beide Skalen dieselbe Schrittweite haben, ist diese Differenz in \(^\circ\text{C}\) und in K zahlengleich — die Skalenwahl ändert das Ergebnis nicht.
(a) Eiswürfel: fest (Teilchen an festen Plätzen, schwingen). Wasser: flüssig (Teilchen verschiebbar). Wasserdampf: gasförmig (Teilchen fliegen frei). (b) Der Übergang heisst schmelzen; bei Wasser unter Normaldruck bei \( 0\,^\circ\text{C} \).
(a) \( T_1 = 273.15\;\text{K} \), \( T_2 = 373.15\;\text{K} \). \( p_1/T_1 = 1.00/273.15 \approx 0.00366\;\text{bar/K} \); \( p_2/T_2 = 1.366/373.15 \approx 0.00366\;\text{bar/K} \). Beide Verhältnisse sind gleich → \( p \propto T \). ✓
(b) Der Druck wird null, wenn die absolute Temperatur null wird, also bei \( T = 0\;\text{K} \), das entspricht \( \vartheta = -273.15\,^\circ\text{C} \). Dieser Wert ist der absolute Nullpunkt — die tiefstmögliche Temperatur; tiefer geht es nicht, weil negativer Druck sinnlos wäre.
(a) Das Partikel wird von unzähligen bewegten Flüssigkeitsteilchen von allen Seiten angestossen; weil die Stösse zufällig mal von der einen, mal von der anderen Seite überwiegen, ergibt sich ein Zufallsweg (Brown'sche Bewegung). (b) Das Zittern wird heftiger und schneller, weil die höhere Temperatur eine intensivere Teilchenbewegung bedeutet. (c) \( \Delta T = \Delta\vartheta = 60 - 10 = 50\;\text{K} \).
(a) Stickstoff: \( 77 - 273.15 = -196.15\,^\circ\text{C} \). Helium: \( 4.2 - 273.15 = -268.95\,^\circ\text{C} \). (b) \( 77 - 4.2 = 72.8\;\text{K} \) kälter. (c) \( -78.5 + 273.15 = 194.65\;\text{K} \); das liegt deutlich über der Stickstoff-Siedetemperatur (\( 77\;\text{K} \)), Trockeneis ist also wärmer als flüssiger Stickstoff.
(a) \( 121 + 273.15 = 394.15\;\text{K} \); \( 22 + 273.15 = 295.15\;\text{K} \). (b) \( \Delta T = 121 - 22 = 99\;\text{K} \). (c) \( 121\;\text{K} = 121 - 273.15 = -152.15\,^\circ\text{C} \) — eisige Kälte, eine Sterilisation wäre damit unmöglich. Die Verwechslung von K und \(^\circ\text{C}\) ist gravierend.
Tiefkühllager: \( -24 + 273.15 = 249.15\;\text{K} \). Körpertemperatur: \( 310.15 - 273.15 = 37\,^\circ\text{C} \). Lötkolbenspitze: \( 350 + 273.15 = 623.15\;\text{K} \). Sterilisation: \( 394.15 - 273.15 = 121\,^\circ\text{C} \).