8 Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Verwende \(c_\text{W}=4182\,\text{J/(kg·K)}\), \(L_\text{f}=334\,\text{kJ/kg}\), \(L_\text{v}=2256\,\text{kJ/kg}\) und \(1\,\text{kWh}=3.6\,\text{MJ}\). Achte darauf, ob ein Phasenübergang beteiligt ist. Lösungen am Ende.
Ein Boiler erwärmt \(80\,\text{L}\) Wasser (\(80\,\text{kg}\)) von \(12\,^\circ\text{C}\) auf \(60\,^\circ\text{C}\).
(a) Berechne die benötigte Wärme in MJ. (b) Rechne das Ergebnis in Kilowattstunden um.
Lösungsweg:
In eine Wanne werden \(1.2\,\text{kg}\) Wasser von \(90\,^\circ\text{C}\) und \(0.8\,\text{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\text{C}\) gegeben (Modellmengen).
Berechne die Mischtemperatur und gib an, welcher Portion sie näher liegt.
In \(0.4\,\text{kg}\) Wasser von \(25\,^\circ\text{C}\) wird ein Eiswürfel von \(0.05\,\text{kg}\) (\(0\,^\circ\text{C}\)) gegeben. Das Eis schmilzt vollständig.
(a) Welche Wärme ist nötig, um das Eis zu schmelzen? (b) Berechne die Endtemperatur (Schmelzen + Erwärmen des Schmelzwassers, Gefäss vernachlässigt).
Propan hat einen Heizwert von rund \(13\,\text{kWh/kg}\). Ein Brenner verbrennt \(2\,\text{kg}\) Propan und arbeitet mit einem Wirkungsgrad von \(90\,\%\).
(a) Wie viel Nutzenergie steht zur Verfügung (in kWh und MJ)? (b) Wohin geht der Rest?
Ein Wasserkocher erwärmt \(2.0\,\text{kg}\) Wasser von \(18\,^\circ\text{C}\) auf \(100\,^\circ\text{C}\) und nimmt dabei \(750\,\text{kJ}\) elektrische Energie auf.
(a) Berechne die genutzte Wärme. (b) Bestimme den Wirkungsgrad.
Eine Luft-Wärmepumpe entnimmt der Aussenluft bei \(2\,^\circ\text{C}\) (\(275\,\text{K}\)) Wärme und gibt sie an eine Fussbodenheizung von \(35\,^\circ\text{C}\) (\(308\,\text{K}\)) ab.
(a) Berechne die maximal mögliche Leistungszahl \(\text{COP}_\text{max} = \dfrac{T_\text{warm}}{T_\text{warm}-T_\text{kalt}}\). (b) Was bedeutet der Wert anschaulich?
Welche Wärme ist nötig, um \(0.5\,\text{kg}\) Wasser, das bereits \(100\,^\circ\text{C}\) hat, vollständig zu verdampfen?
Vergleiche kurz mit der Wärme, die du brauchst, um dieselbe Masse von \(0\,^\circ\text{C}\) auf \(100\,^\circ\text{C}\) zu erwärmen.
\(0.3\,\text{kg}\) Eis von \(-15\,^\circ\text{C}\) sollen zu Wasser von \(30\,^\circ\text{C}\) werden (\(c_\text{Eis}=2100\,\text{J/(kg·K)}\)).
Berechne die Wärme für die drei Schritte (Eis erwärmen, schmelzen, Wasser erwärmen) und die Gesamtwärme.
(a) \( Q = m\,c\,\Delta T = 80 \cdot 4182 \cdot 48 = 16\,058\,880\,\text{J} \approx 16.06\,\text{MJ} \). (b) \( 16.06\,\text{MJ} / 3.6\,\text{MJ/kWh} \approx 4.46\,\text{kWh} \).
Beide sind Wasser, \(c\) kürzt sich: \( \vartheta_\text{m} = \dfrac{1.2 \cdot 90 + 0.8 \cdot 20}{1.2 + 0.8} = \dfrac{124}{2.0} = 62\,^\circ\text{C} \). Sie liegt näher bei \(90\,^\circ\text{C}\), weil die heisse Portion die grössere Masse hat.
(a) Schmelzen: \( Q_\text{f} = m\,L_\text{f} = 0.05 \cdot 334\,000 = 16\,700\,\text{J} \approx 16.7\,\text{kJ} \).
(b) Energiebilanz: Das warme Wasser gibt Wärme ab, das Eis schmilzt und das Schmelzwasser erwärmt sich von \(0\,^\circ\text{C}\) auf \(\vartheta_\text{m}\): \( 0.4 \cdot c\,(25-\vartheta_\text{m}) = 0.05\,L_\text{f} + 0.05\,c\,(\vartheta_\text{m}-0) \). Auflösen: \( \vartheta_\text{m} = \dfrac{0.4 \cdot c \cdot 25 - 0.05\,L_\text{f}}{0.45 \cdot c} \approx 13.3\,^\circ\text{C} \).
(a) Zugeführt: \( 13 \cdot 2 = 26\,\text{kWh} \). Nutzenergie: \( \eta \cdot E_\text{zu} = 0.90 \cdot 26 = 23.4\,\text{kWh} \approx 84.2\,\text{MJ} \). (b) Der Rest (\(2.6\,\text{kWh}\)) geht als Verlustwärme (Abgase, Strahlung) an die Umgebung.
(a) \( Q_\text{nutz} = 2.0 \cdot 4182 \cdot 82 = 685\,848\,\text{J} \approx 686\,\text{kJ} \). (b) \( \eta = \dfrac{686\,\text{kJ}}{750\,\text{kJ}} \approx 0.91 = 91\,\% \).
(a) \( \text{COP}_\text{max} = \dfrac{308}{308-275} = \dfrac{308}{33} \approx 9.3 \). (b) Im Idealfall liefert die Wärmepumpe je eingesetzter Einheit elektrischer Energie rund \(9\) Einheiten Heizwärme; der Rest stammt kostenlos aus der Aussenluft. Reale Geräte erreichen nur einen Bruchteil dieses theoretischen Maximums.
Verdampfen: \( Q = m\,L_\text{v} = 0.5 \cdot 2\,256\,000 = 1\,128\,000\,\text{J} \approx 1.13\,\text{MJ} \). Zum Vergleich Erwärmen \(0 \to 100\,^\circ\text{C}\): \( Q = 0.5 \cdot 4182 \cdot 100 = 209\,100\,\text{J} \approx 0.21\,\text{MJ} \). Das Verdampfen braucht also rund das Fünffache — latente Wärme ist sehr energieintensiv.
Eis \(-15 \to 0\): \( Q_1 = 0.3 \cdot 2100 \cdot 15 = 9450\,\text{J} \). Schmelzen: \( Q_2 = 0.3 \cdot 334\,000 = 100\,200\,\text{J} \). Wasser \(0 \to 30\): \( Q_3 = 0.3 \cdot 4182 \cdot 30 = 37\,638\,\text{J} \). Gesamt: \( Q \approx 147\,288\,\text{J} \approx 147.3\,\text{kJ} \). Der grösste Anteil entfällt auf das Schmelzen (latente Wärme).