8 Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Verwende \(\alpha_\text{Al}=23.8\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\), \(\alpha_\text{Stahl}=12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\), \(\gamma_\text{Ethanol}=1.10\cdot10^{-3}\,\text{K}^{-1}\), \(\gamma_\text{Wasser}=0.21\cdot10^{-3}\,\text{K}^{-1}\). Beim Gasgesetz: Temperatur in Kelvin, Druck als Absolutdruck. Lösungen am Ende.
In einer Heizungsanlage verläuft ein \(l_0 = 15\,\text{m}\) langes Stahlrohr. Beim Aufheizen steigt seine Temperatur von \(20\,^\circ\text{C}\) auf \(80\,^\circ\text{C}\).
(a) Um wie viel verlängert sich das Rohr? (b) Warum baut man Kompensatoren (Bögen oder Faltenbälge) ein?
Lösungsweg:
Ein \(l_0 = 12\,\text{m}\) langes Aluminiumprofil an einer Fassade erlebt zwischen Winter (\(-10\,^\circ\text{C}\)) und sonnigem Sommertag (\(50\,^\circ\text{C}\)) eine grosse Temperaturspanne.
(a) Berechne die maximale Längenänderung. (b) Vergleiche mit einem gleich langen Stahlprofil — welches dehnt sich stärker und um welchen Faktor?
Ein Tank ist randvoll mit \(V_0 = 200\,\text{L}\) Ethanol gefüllt. Über den Tag erwärmt sich der Inhalt um \(\Delta T = 25\,\text{K}\).
(a) Wie viel Ethanol läuft über, wenn der Tank nicht nachgibt? (b) Warum füllt man solche Tanks nie ganz randvoll?
Eine \(h_0 = 1000\,\text{m}\) tiefe Meerwasserschicht erwärmt sich im Mittel um \(\Delta T = 1.5\,\text{K}\). Für die thermische Ausdehnung gilt \(\Delta h = \gamma\,h_0\,\Delta T\).
(a) Um wie viele Zentimeter steigt der Pegel allein dadurch? (b) Nenne zwei Gründe, warum dies nur eine grobe Abschätzung ist.
Eine Stahlflasche (festes Volumen) enthält Gas mit \(200\,\text{bar}\) absolut bei \(15\,^\circ\text{C}\). Sie wird in der Sonne auf \(45\,^\circ\text{C}\) erwärmt.
(a) Welcher absolute Druck stellt sich ein (Amontons)? (b) Was bedeutet das für die Sicherheit?
Ein Taucher hält an der Oberfläche (\(1.0\,\text{bar}\)) einen Ballon mit \(V_1 = 6\,\text{L}\) Luft und taucht damit auf eine Tiefe ab, wo der absolute Druck \(3.0\,\text{bar}\) beträgt (Temperatur als konstant angenommen).
(a) Welches Volumen hat der Ballon dann (Boyle-Mariotte)? (b) Was passiert beim Auftauchen ohne Druckausgleich?
In einem Zylinder sind \(V_1 = 5\,\text{L}\) Gas bei \(1.0\,\text{bar}\) und \(20\,^\circ\text{C}\). Das Gas wird auf \(V_2 = 4\,\text{L}\) zusammengedrückt und gleichzeitig auf \(80\,^\circ\text{C}\) erwärmt.
Berechne den neuen Druck mit dem vollständigen Gasgesetz \(\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}\).
Im Winter platzen gefüllte Wasserleitungen und Felsen werden gesprengt.
(a) Erkläre mithilfe der Wasseranomalie, warum Wasser beim Gefrieren Schäden anrichtet. (b) Begründe, warum man bei Frostgefahr Aussenleitungen entleert.
(a) \( \Delta T = 60\,\text{K} \); \( \Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T = 12\cdot10^{-6}\cdot 15\cdot 60 = 0.0108\,\text{m} = 10.8\,\text{mm} \). (b) Ohne Bewegungsmöglichkeit erzeugt die behinderte Ausdehnung grosse Druckspannungen, die Rohre und Halterungen beschädigen. Kompensatoren nehmen die rund \(11\,\text{mm}\) Längenänderung spannungsfrei auf.
(a) \( \Delta T = 50-(-10) = 60\,\text{K} \); \( \Delta l_\text{Al} = 23.8\cdot10^{-6}\cdot 12\cdot 60 \approx 0.0171\,\text{m} = 17.1\,\text{mm} \). (b) Stahl: \( \Delta l_\text{Stahl} = 12\cdot10^{-6}\cdot 12\cdot 60 \approx 8.6\,\text{mm} \). Aluminium dehnt sich um den Faktor \(23.8/12 \approx 2.0\) stärker aus.
(a) \( \Delta V = \gamma\,V_0\,\Delta T = 1.10\cdot10^{-3}\cdot 200\cdot 25 = 5.5\,\text{L} \) laufen über. (b) Genau wegen dieser Volumenzunahme: Lässt man keinen Ausdehnungsraum, läuft die Flüssigkeit über oder es entsteht gefährlicher Überdruck. Deshalb bleibt immer ein Luftpolster.
(a) \( \Delta h = \gamma\,h_0\,\Delta T = 0.21\cdot10^{-3}\cdot 1000\cdot 1.5 = 0.315\,\text{m} \approx 31.5\,\text{cm} \). (b) Erstens ist \(\gamma\) selbst temperaturabhängig; zweitens erwärmen sich nicht alle Tiefen gleich (oben mehr als unten). Zudem ist schmelzendes Eis hier nicht berücksichtigt — die Rechnung zeigt nur den thermischen Anteil als Grössenordnung.
(a) \( T_1 = 288\,\text{K} \), \( T_2 = 318\,\text{K} \). Volumen konstant (Amontons): \( p_2 = p_1\cdot\dfrac{T_2}{T_1} = 200\cdot\dfrac{318}{288} \approx 220.8\,\text{bar} \). (b) Der Druck steigt um rund \(21\,\text{bar}\) — Druckgasflaschen dürfen nicht in der prallen Sonne oder in heissen Fahrzeugen gelagert werden, weil sonst das Sicherheitsventil ansprechen kann.
(a) \( p_1 V_1 = p_2 V_2 \Rightarrow V_2 = \dfrac{p_1 V_1}{p_2} = \dfrac{1.0\cdot 6}{3.0} = 2.0\,\text{L} \). Der Ballon schrumpft auf ein Drittel. (b) Beim Auftauchen sinkt der Druck wieder, das Gas dehnt sich aus — hält man die Luft an, kann sich Lungengas gefährlich ausdehnen. Deshalb gilt beim Tauchen: nie die Luft anhalten.
\( T_1 = 293\,\text{K} \), \( T_2 = 353\,\text{K} \). Aus \( \dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2} \) folgt \( p_2 = \dfrac{p_1 V_1 T_2}{T_1 V_2} = \dfrac{1.0\cdot 5\cdot 353}{293\cdot 4} = \dfrac{1765}{1172} \approx 1.51\,\text{bar} \). Sowohl die Verkleinerung des Volumens als auch die Erwärmung erhöhen den Druck.
(a) Wegen der Anomalie dehnt sich Wasser unter \(4\,^\circ\text{C}\) wieder aus und nimmt beim Gefrieren zu Eis sogar deutlich mehr Volumen ein als flüssig. In einer geschlossenen Leitung oder in Felsspalten erzeugt diese Volumenzunahme enorme Drücke, die das Material sprengen. (b) Entleert man Aussenleitungen, ist kein Wasser mehr da, das gefrieren und sich ausdehnen könnte — die Leitung bleibt unbeschädigt.