5.3 Wärmeausdehnung
Wie sich feste Körper, Flüssigkeiten und Gase mit der Temperatur ausdehnen — von der Eisenbahnschiene über den Meeresspiegel bis zum idealen Gasgesetz.
- den Effekt der Wärmeausdehnung (linear und volumenbezogen) in Abhängigkeit von der Temperatur quantifizieren (z. B. den Meeresspiegelanstieg aufgrund der Wassererwärmung berechnen)
- das Modell der idealen Gase anwenden, um Druck-, Temperatur- und Volumenänderungen von Gasen bei gleichbleibender Teilchenmenge zu berechnen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann die lineare Wärmeausdehnung \(\Delta l=\alpha l_0\Delta T\) berechnen.
- Ich kann die Volumenausdehnung von Festkörpern, Flüssigkeiten und Gasen quantifizieren.
- Ich kann die Anomalie des Wassers erklären und ihre Folgen nennen.
- Ich kann mit dem Modell des idealen Gases Druck-, Volumen- und Temperaturänderungen berechnen.
- Ich kann Anwendungen wie Dehnungsfugen und den Meeresspiegelanstieg einordnen.
Einstieg — warum haben Schienen und Brücken Lücken?
Eisenbahnschienen, Brücken und Betonplatten besitzen an ihren Enden bewusst eingebaute Dehnungslücken (Dilatationsfugen). Der Grund: Bei Erwärmung dehnen sich die Stoffe aus. Im Teilchenbild schwingen die Atome bei höherer Temperatur stärker und stossen ihre Nachbarn weiter weg — der Körper wird länger. Ohne Lücke entstünden enorme Druckspannungen, die das Material verformen oder zerstören könnten.
Die Animation zeigt zwei Schienenstücke mit einer Dehnungslücke. Erhöhe die Temperatur und beobachte, wie sich die Schiene ausdehnt und die Lücke schrumpft. Schliesst sich die Lücke ganz, stossen die Schienen aneinander — es droht eine Verwerfung.
Die Wärmeausdehnung ist meist klein, aber bei grossen Bauteilen und im technischen Alltag entscheidend. Wir berechnen sie zuerst für die Länge, dann für das Volumen von Flüssigkeiten — bis hin zum Meeresspiegel — und schliesslich für Gase, deren Verhalten das ideale Gasgesetz beschreibt.
✏️ Mini-Check
Warum haben Schienen und Brücken Dehnungsfugen?
- um Material zu sparen
- damit sich das Material bei Erwärmung ausdehnen kann
- aus optischen Gründen
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Die meisten Stoffe dehnen sich beim Erwärmen .
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Eine \(10\;\text{m}\)-Stahlschiene (\(\alpha = 12\cdot 10^{-6}\;\text{1/K}\)) erwärmt sich um \(\Delta T = 30\;\text{K}\). Längenänderung?
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Warum verlegt man Hochspannungsleitungen im Sommer absichtlich leicht durchhängend?
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Grundbegriffe
Ein Stab der Anfangslänge \(l_0\) wird bei Erwärmung um \(\Delta T\) länger. Die Längenänderung ist proportional zur Anfangslänge, zur Temperaturänderung und zum stoffabhängigen Längenausdehnungskoeffizienten \(\alpha\):
\[ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T, \qquad l = l_0 + \Delta l \]Die Formel gilt für Erwärmung (\(\Delta T>0\)) wie für Abkühlung (\(\Delta T<0\)). Die relative Längenänderung \(\Delta l / l_0 = \alpha\,\Delta T\) ist einheitenlos. Typische Werte:
| Material | \(\alpha\) [\(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\)] | Material | \(\alpha\) [\(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\)] |
|---|---|---|---|
| Aluminium | 23.8 | Eisen / Stahl | ≈ 12 |
| Messing | 18.4 | Beton | 6–14 |
| Chromstahl | 16 | Wolfram | 4.3 |
Ein Körper dehnt sich in alle Richtungen aus. Für das Volumen gilt analog:
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T \]mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma\). Für feste Körper folgt aus der Längenausdehnung in drei Richtungen näherungsweise
\[ \gamma \approx 3\,\alpha \](die höheren Glieder sind vernachlässigbar klein). Flüssigkeiten haben keine feste Form; für sie wird \(\gamma\) direkt angegeben. Flüssigkeiten dehnen sich deutlich stärker aus als Festkörper:
| Flüssigkeit | \(\gamma\) [\(10^{-3}\,\text{K}^{-1}\)] |
|---|---|
| Ethanol (Alkohol) | 1.10 |
| Quecksilber | 0.18 |
| Wasser (bei 20 °C) | 0.21 |
Da das Volumen mit der Temperatur zunimmt, die Masse aber gleich bleibt, sinkt die Dichte bei Erwärmung:
\[ \rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma\,\Delta T} \]Wasser verhält sich jedoch anomal: Sein Volumen ist bei \(4\,^\circ\text{C}\) am kleinsten, seine Dichte dort am grössten. Beim weiteren Abkühlen unter \(4\,^\circ\text{C}\) dehnt es sich wieder aus. Deshalb sammelt sich das dichteste, \(4\,^\circ\text{C}\) «warme» Wasser am Seegrund, während sich oben eine Eisschicht bildet — Gewässer frieren von oben zu, und die Wassertiere überleben den Winter.
Bei Gasen ändern sich oft alle drei Zustandsgrössen gleichzeitig: Druck \(p\), Volumen \(V\) und Temperatur \(T\). Für eine gleichbleibende Gasmenge verknüpft sie das ideale Gasgesetz:
\[ \frac{p \cdot V}{T} = \text{konstant} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \]Zwei Spezialfälle: bei konstanter Temperatur \(p\cdot V=\text{const}\) (Boyle-Mariotte), bei konstantem Volumen \(p/T=\text{const}\) (Amontons). Wichtig:
| Regel | Bedeutung |
|---|---|
| Temperatur in Kelvin | für das Gasgesetz immer die absolute Temperatur \(T\) verwenden |
| absoluter Druck | zum Manometerdruck (relativ) den Luftdruck (\(\approx 1\,\text{bar}\)) addieren |
| gleiche Einheiten | Zustand 1 und 2 in denselben Einheiten angeben |
✏️ Mini-Check
Der lineare Ausdehnungskoeffizient \(\alpha\) gibt an …
- die relative Längenänderung pro Grad Temperaturänderung
- die Masse pro Volumen
- die zugeführte Wärmemenge
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Die Längenausdehnung ist \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot\) .
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Alustange (\(\alpha = 23\cdot 10^{-6}\)), \(l_0 = 2\;\text{m}\), \(\Delta T = 50\;\text{K}\). Längenänderung?
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Ein Bimetallstreifen (zwei verbundene Metalle mit verschiedenem \(\alpha\)) krümmt sich beim Erwärmen. Warum?
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Längenausdehnung berechnen
Die Längenänderung \(\Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T\) hängt vom Material, der Anfangslänge und der Temperaturänderung ab. Bei langen Bauteilen wie Brücken summiert sie sich zu erstaunlichen Werten.
Verbindet man zwei Metalle mit verschiedenem \(\alpha\) fest miteinander, dehnt sich das eine stärker als das andere. Weil sie nicht aneinander vorbeigleiten können, krümmt sich der Streifen — zur Seite des kleineren \(\alpha\). Genau so schaltet ein Thermostat.
✏️ Mini-Check
Verdoppelt man die Temperaturdifferenz, so wird die Längenänderung …
- doppelt so gross
- viermal so gross
- gleich gross
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Die Längenänderung ist proportional zur und zur Temperaturdifferenz.
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Eine \(50\;\text{m}\)-Brücke (\(\alpha = 12\cdot 10^{-6}\)) erwärmt sich um \(40\;\text{K}\). Längenänderung?
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Eine \(100\;\text{m}\)-Schiene (\(\alpha = 12\cdot 10^{-6}\)) soll sich bei \(\Delta T = 35\;\text{K}\) frei dehnen. Wie breit muss die Fuge mindestens sein?
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Volumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten
Im Raum dehnt sich ein Körper in alle drei Richtungen aus. Für Festkörper gilt \(\gamma\approx 3\alpha\); Flüssigkeiten dehnen sich meist deutlich stärker aus. Vergleiche, wie stark verschiedene Stoffe ihr Volumen ändern.
❓ Was passiert in einem See im Winter, weil Wasser bei 4 °C am dichtesten ist?
Das dichteste Wasser (\(4\,^\circ\text{C}\)) sammelt sich am Grund, kälteres und schliesslich Eis bleiben oben. So friert ein See von oben zu und Fische überleben am Grund — eine direkte Folge der Wasseranomalie.
✏️ Mini-Check
Für die Volumenausdehnung von Festkörpern gilt näherungsweise …
- \(\gamma = \alpha\)
- \(\gamma \approx 3\alpha\)
- \(\gamma \approx \alpha/3\)
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Die Volumenausdehnung ist \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot\) .
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Ein Festkörper hat \(\alpha = 10\cdot 10^{-6}\). Wie gross ist \(\gamma\) näherungsweise?
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Warum läuft ein randvoll gefüllter Wassertopf beim Erhitzen über, obwohl auch der Topf sich ausdehnt?
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Die Anomalie des Wassers
Anders als die meisten Stoffe hat Wasser sein kleinstes Volumen — und damit die grösste Dichte — nicht am Gefrierpunkt, sondern bei \(4\,^\circ\text{C}\). Diese Anomalie sorgt dafür, dass Seen von oben zufrieren und am Grund flüssiges Wasser bleibt.
Beim Gefrieren ordnen sich die Wassermoleküle über ihre Wasserstoffbrücken zu einem offenen, sechseckigen Gitter. Dieses Gitter hat mehr Hohlraum als die dicht gepackte Flüssigkeit — dieselbe Masse braucht deshalb mehr Platz. Beim Schmelzen bricht das Gitter teilweise zusammen, das Volumen nimmt ab. Das ist die Ursache der Anomalie:
\[ \rho_\text{Eis} = 917\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \quad<\quad \rho_\text{Wasser} = 999.9\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Dass Eis damit schwimmen muss, folgt zwingend aus dem Auftrieb (Kapitel 4.5). Im Schwimmgleichgewicht ist die Auftriebskraft gleich der Gewichtskraft:
\[ F_\text{A} = F_\text{G} \] \[ \rho_\text{Wasser} \cdot g \cdot V_\text{ein} = \rho_\text{Eis} \cdot g \cdot V \]Kürzen von \(g\) und Auflösen nach dem eingetauchten Anteil:
\[ \frac{V_\text{ein}}{V} = \frac{\rho_\text{Eis}}{\rho_\text{Wasser}} = \frac{917}{999.9} = 0.917 \]Ein Eisstück schwimmt also mit \(91.7\,\%\) seines Volumens unter Wasser — nur knapp ein Zehntel schaut heraus. Genau das sieht man am Eisberg. Weil \(\rho_\text{Eis} < \rho_\text{Wasser}\) ist, kann das Ergebnis gar nicht anders ausfallen: Eis kann nicht sinken, solange es Eis bleibt.
Wäre Eis schwerer als Wasser, würde ein See von unten zufrieren und im Winter vollständig durchfrieren — Fische und Wasserpflanzen hätten keine Überlebenszone. Weil das Eis oben aufliegt, wirkt es stattdessen als Wärmedämmung: Darunter bleibt flüssiges Wasser, am Grund die dichtesten \(4\,^\circ\text{C}\).
Dieselbe Volumenzunahme von rund \(9\,\%\) sprengt allerdings auch Wasserleitungen und Motorblöcke — und sie ist der Grund für die Frostverwitterung im Gebirge.
✏️ Mini-Check
Wasser hat seine grösste Dichte bei …
- \(0°C\)
- \(4°C\)
- \(100°C\)
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Beim Abkühlen unter \(4°C\) sich Wasser wieder aus.
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Bei welcher Temperatur sammelt sich im Winter das dichteste Wasser am Seeboden?
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Warum gefriert ein See von oben nach unten und nicht umgekehrt?
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Anwendung: Meeresspiegelanstieg
Ein grosser Teil des beobachteten Meeresspiegelanstiegs entsteht nicht durch schmelzendes Eis, sondern allein dadurch, dass sich das erwärmte Meerwasser ausdehnt (thermische Expansion). Schon eine kleine Erwärmung einer kilometertiefen Wassersäule summiert sich zu einer merklichen Höhenänderung.
✏️ Mini-Check
Ein wesentlicher Beitrag zum Meeresspiegelanstieg ist …
- mehr gelöstes Salz
- die thermische Ausdehnung des erwärmten Wassers
- die Anziehung des Mondes
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Erwärmtes Meerwasser nimmt mehr ein.
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Eine \(4000\;\text{m}\) tiefe Wassersäule (\(\gamma = 0.21\cdot 10^{-3}\;\text{1/K}\)) erwärmt sich um \(1\;\text{K}\). Höhenzunahme?
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Warum trägt die thermische Ausdehnung global stark zum Meeresspiegel bei, obwohl \(\gamma\) für Wasser klein ist?
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Das ideale Gasgesetz im Kolben
In einem Zylinder mit beweglichem Kolben lassen sich Temperatur und Volumen einstellen; der Druck folgt aus \(p\,V/T=\text{const}\). Die Teilchen bewegen sich bei höherer Temperatur schneller und stossen häufiger gegen die Wände — der Druck steigt.
✏️ Mini-Check
Das allgemeine Gasgesetz lautet …
- \(pV = \text{const}\)
- \(\dfrac{pV}{T} = \text{const}\)
- \(\dfrac{p}{V} = \text{const}\)
Lösung anzeigen
Im allgemeinen Gasgesetz muss die Temperatur in eingesetzt werden.
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Ein Gas (\(2\;\text{L}\), \(300\;\text{K}\), konstanter Druck) wird auf \(600\;\text{K}\) erwärmt. Neues Volumen?
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Ein geschlossener Behälter (festes Volumen) mit Gas wird von \(300\;\text{K}\) auf \(450\;\text{K}\) erwärmt, Anfangsdruck \(1\;\text{bar}\). Neuer Druck?
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Die beiden Spezialfälle grafisch
Hält man eine Grösse konstant, ergeben sich einfache Zusammenhänge: bei konstanter Temperatur eine Hyperbel (Boyle-Mariotte), bei konstantem Volumen eine Ursprungsgerade (Amontons). Wähle den Fall und verschiebe den Arbeitspunkt.
❓ Was passiert mit dem Druck in einem geschlossenen Gasbehälter, wenn du die absolute Temperatur verdoppelst?
Der Druck verdoppelt sich (bei konstantem Volumen), denn \(p/T=\text{const}\). Wichtig: \(T\) muss in Kelvin stehen — eine Verdopplung von \(20\,^\circ\text{C}\) ist nicht \(40\,^\circ\text{C}\), sondern von \(293\;\text{K}\) auf \(586\;\text{K}\).
✏️ Mini-Check
Bei konstanter Temperatur (Gesetz von Boyle): verdoppelt man den Druck, so …
- verdoppelt sich das Volumen
- halbiert sich das Volumen
- bleibt das Volumen gleich
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Bei konstanter Temperatur ist das Produkt \(p\cdot V\) .
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Gas: \(p_1 = 2\;\text{bar}\), \(V_1 = 3\;\text{L}\) bei konstanter Temperatur. Volumen bei \(p_2 = 6\;\text{bar}\)?
Lösung anzeigen
Bei konstanter Temperatur ergibt das \(p\)-\(V\)-Diagramm eine Hyperbel, bei konstantem Volumen das \(p\)-\(T\)-Diagramm eine Ursprungsgerade. Warum diese verschiedenen Formen?
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Aufgaben
Eine Stahlbrücke ist \(l_0 = 300\,\text{m}\) lang (\(\alpha = 12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\)). Im Winter misst man \(-10\,^\circ\text{C}\), im Sommer \(40\,^\circ\text{C}\).
- Um wie viel ändert sich die Länge zwischen Winter und Sommer?
- Wie gross ist die relative Längenänderung \(\Delta l/l_0\) in Prozent?
- Begründe, warum Brücken Dehnungsfugen oder Rollenlager brauchen.
- \(\Delta T = 40-(-10)=50\,\text{K}\); mit \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\): \(\Delta l = 12\cdot10^{-6}\cdot 300\cdot 50 = 0.18\,\text{m} = 18\,\text{cm}\).
- \(\Delta l/l_0 = \alpha\,\Delta T = 12\cdot10^{-6}\cdot 50 = 6\cdot10^{-4} = 0.06\,\%\).
- Ohne Bewegungsmöglichkeit würden die \(18\,\text{cm}\) Ausdehnung enorme Druckspannungen erzeugen, die die Brücke verformen oder beschädigen. Dehnungsfugen und Lager lassen die Längenänderung spannungsfrei zu.
Ein Aluminiumblock und gleich viel Ethanol, je \(V_0 = 2\,\text{L}\), werden um \(\Delta T = 80\,\text{K}\) erwärmt. Verwende \(\alpha_\text{Al}=23.8\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\) und \(\gamma_\text{Ethanol}=1.10\cdot10^{-3}\,\text{K}^{-1}\).
- Berechne die Volumenänderung des Aluminiumblocks (beachte \(\gamma=3\alpha\)).
- Berechne die Volumenänderung des Ethanols.
- Um welchen Faktor dehnt sich das Ethanol stärker aus?
- \(\gamma_\text{Al}=3\,\alpha=3\cdot23.8\cdot10^{-6}=71.4\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\); mit \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\): \(\Delta V = 71.4\cdot10^{-6}\cdot 2\cdot 80 = 0.0114\,\text{L} \approx 11.4\,\text{mL}\).
- \(\Delta V = 1.10\cdot10^{-3}\cdot 2\cdot 80 = 0.176\,\text{L} = 176\,\text{mL}\).
- \(176 / 11.4 \approx 15\)-mal stärker — Flüssigkeiten dehnen sich viel stärker aus als Festkörper.
Im Spätherbst kühlt ein See ab.
- Bei welcher Temperatur hat Wasser seine grösste Dichte?
- Erkläre, warum sich am Seegrund Wasser von etwa \(4\,^\circ\text{C}\) sammelt und der See von oben her zufriert.
- Welche Bedeutung hat das für Lebewesen im Wasser?
- Bei \(4\,^\circ\text{C}\).
- Das dichteste Wasser (\(4\,^\circ\text{C}\)) sinkt nach unten. Kälteres Wasser (\(0\!-\!4\,^\circ\text{C}\)) ist leichter und bleibt oben, wo es zu Eis gefriert. So friert der See von der Oberfläche her zu, während der Grund flüssig bleibt.
- Am Grund herrschen \(4\,^\circ\text{C}\) und flüssiges Wasser — Fische und andere Wassertiere können den Winter überleben.
Eine \(h_0 = 700\,\text{m}\) tiefe Meerwasserschicht erwärmt sich um \(\Delta T = 2\,\text{K}\). Für die thermische Ausdehnung gilt \(\Delta h = \gamma\,h_0\,\Delta T\) mit \(\gamma_\text{Wasser}=0.21\cdot10^{-3}\,\text{K}^{-1}\).
- Um wie viele Zentimeter steigt der Pegel allein durch die Ausdehnung?
- Warum ist das nur eine grobe Abschätzung?
- Mit \(\Delta h = \gamma \cdot h_0 \cdot \Delta T\): \(\Delta h = 0.21\cdot10^{-3}\cdot 700\cdot 2 = 0.294\,\text{m} \approx 29\,\text{cm}\).
- Der Ausdehnungskoeffizient \(\gamma\) hängt selbst von der Temperatur ab, und in Wirklichkeit erwärmen sich nicht alle Tiefen gleich. Zudem ist hier das schmelzende Eis nicht berücksichtigt. Das Ergebnis zeigt nur die Grössenordnung des thermischen Anteils.
Eine Luftblase mit \(V_1 = 50\,\text{cm}^3\) steigt aus \(30\,\text{m}\) Tiefe auf. Unten: \(\vartheta_1 = 10\,^\circ\text{C}\) und absoluter Druck \(p_1 = 4.0\,\text{bar}\). An der Oberfläche: \(\vartheta_2 = 25\,^\circ\text{C}\) und \(p_2 = 1.0\,\text{bar}\).
- Rechne beide Temperaturen in Kelvin um.
- Berechne das Volumen kurz vor der Oberfläche mit \(\dfrac{p_1V_1}{T_1}=\dfrac{p_2V_2}{T_2}\).
- Was beeinflusst das Ergebnis stärker — die Druck- oder die Temperaturänderung?
- \(T_1 = 10 + 273 = 283\,\text{K}\), \(T_2 = 25 + 273 = 298\,\text{K}\).
- \(V_2 = \dfrac{p_1 V_1 T_2}{T_1 p_2} = \dfrac{4.0\cdot 50\cdot 298}{283\cdot 1.0} \approx 211\,\text{cm}^3\) — rund viermal so gross.
- Der Druck: Er sinkt auf ein Viertel (Faktor 4), während die Temperatur nur um den Faktor \(298/283\approx 1.05\) zunimmt.
- Boyle-Mariotte: \(6\,\text{L}\) Luft bei \(1.0\,\text{bar}\) werden bei konstanter Temperatur auf \(2\,\text{L}\) zusammengedrückt. Welcher Druck stellt sich ein?
- Amontons: Ein Reifen ist auf \(2.2\,\text{bar}\) Manometerdruck (also \(3.2\,\text{bar}\) absolut) bei \(20\,^\circ\text{C}\) aufgepumpt. Auf welchen absoluten Druck steigt er bei \(50\,^\circ\text{C}\) (Volumen konstant)?
- \(p_1V_1 = p_2V_2 \Rightarrow p_2 = \dfrac{1.0\cdot 6}{2} = 3.0\,\text{bar}\).
- \(\dfrac{p_1}{T_1}=\dfrac{p_2}{T_2}\) mit \(T_1=293\,\text{K}\), \(T_2=323\,\text{K}\): \(p_2 = 3.2\cdot\dfrac{323}{293} \approx 3.53\,\text{bar}\) absolut (also \(\approx 2.53\,\text{bar}\) am Manometer).
Zusammenfassung
| Grösse / Konzept | Formel / Aussage | Bezug |
|---|---|---|
| Längenausdehnung | \(\Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T\) | \(\alpha\) in \(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\) |
| relative Änderung | \(\Delta l/l_0 = \alpha\,\Delta T\) | einheitenlos |
| Volumenausdehnung | \(\Delta V = \gamma\,V_0\,\Delta T\), Festkörper \(\gamma\approx 3\alpha\) | Flüssigkeiten stärker |
| Dichte | \(\rho = \rho_0/(1+\gamma\,\Delta T)\) | sinkt bei Erwärmung |
| Wasseranomalie | grösste Dichte bei \(4\,^\circ\text{C}\) | Seen frieren von oben |
| Gasgesetz | \(p\,V/T = \text{const}\) | \(T\) in K, \(p\) absolut |
| Boyle / Amontons | \(pV=\text{const}\) / \(p/T=\text{const}\) | \(T\) bzw. \(V\) konstant |
Kernpunkte
- Festkörper dehnen sich beim Erwärmen aus: \(\Delta l=\alpha l_0\Delta T\).
- Die Volumenausdehnung folgt \(\Delta V=\gamma V_0\Delta T\); bei Festkörpern gilt \(\gamma\approx 3\alpha\).
- Flüssigkeiten und Gase dehnen sich stärker aus als Festkörper.
- Bei Erwärmung sinkt die Dichte: \(\rho=\rho_0/(1+\gamma\Delta T)\).
- Wasseranomalie: grösste Dichte bei \(4\,^\circ\text{C}\) — Seen frieren von oben zu.
- Ideales Gasgesetz: \(pV/T=\text{const}\) (mit \(T\) in Kelvin und absolutem Druck).
- Dehnungsfugen in Schienen und Brücken fangen die Längenausdehnung auf.
Zusatzmaterial
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