Erhöht man die Temperatur eines Körpers, schwingen seine Atome heftiger um ihre Ruhelage und stossen ihre Nachbarn im Mittel weiter weg. Der mittlere Teilchenabstand wächst — der Körper wird in alle Richtungen grösser. Die Ausdehnung ist meist klein, summiert sich bei grossen Bauteilen (Brücken, Schienen, Rohrleitungen) aber zu erheblichen Werten. Deshalb baut man Dehnungsfugen und Rollenlager ein, damit die Längenänderung spannungsfrei zugelassen wird.
Ein Stab der Anfangslänge \(l_0\) wird bei einer Temperaturänderung \(\Delta T\) um \(\Delta l\) länger. Die Längenänderung ist proportional zur Anfangslänge, zur Temperaturänderung und zum stoffabhängigen Längenausdehnungskoeffizienten \(\alpha\):
\[ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T, \qquad l = l_0 + \Delta l \]Die Formel gilt für Erwärmung (\(\Delta T>0\)) wie für Abkühlung (\(\Delta T<0\)). Die relative Längenänderung \(\Delta l / l_0 = \alpha\,\Delta T\) ist einheitenlos und meist sehr klein. \(\alpha\) wird in \(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\) (pro Kelvin) angegeben.
| Material | \(\alpha\) [\(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\)] | Material | \(\alpha\) [\(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\)] |
|---|---|---|---|
| Aluminium | 23.8 | Eisen / Stahl | ≈ 12 |
| Messing | 18.4 | Beton | 6–14 |
| Chromstahl | 16 | Wolfram | 4.3 |
Da sich ein Körper in alle drei Richtungen ausdehnt, gilt für das Volumen analog:
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T \]mit dem Volumenausdehnungskoeffizienten \(\gamma\). Für feste Körper folgt aus der Ausdehnung in drei Richtungen näherungsweise
\[ \gamma \approx 3\,\alpha \](die höheren Glieder sind vernachlässigbar klein). Flüssigkeiten haben keine feste Form; für sie wird \(\gamma\) direkt angegeben — und sie dehnen sich deutlich stärker aus als Festkörper.
| Flüssigkeit | \(\gamma\) [\(10^{-3}\,\text{K}^{-1}\)] | Flüssigkeit | \(\gamma\) [\(10^{-3}\,\text{K}^{-1}\)] |
|---|---|---|---|
| Ethanol (Alkohol) | 1.10 | Wasser (bei 20 °C) | 0.21 |
| Quecksilber | 0.18 | Festkörper (Stahl, \(3\alpha\)) | ≈ 0.036 |
Beim Erwärmen wächst das Volumen, während die Masse gleich bleibt. Folglich sinkt die Dichte:
\[ \rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma\,\Delta T} \]Erwärmtes Material ist also leichter (geringere Dichte) und steigt nach oben — das ist die Grundlage der Konvektion (warme Luft steigt auf, warmes Wasser ebenso).
Wasser verhält sich anomal: Sein Volumen ist nicht am Gefrierpunkt am kleinsten, sondern bei \(4\,^\circ\text{C}\) — dort hat es seine grösste Dichte. Kühlt man weiter unter \(4\,^\circ\text{C}\) ab, dehnt sich das Wasser wieder aus. Deshalb sammelt sich das dichteste, \(4\,^\circ\text{C}\) «warme» Wasser am Seegrund, während sich oben eine Eisschicht bildet: Gewässer frieren von oben zu, und Wassertiere überleben den Winter im flüssigen Tiefenwasser. Dieselbe Volumenzunahme beim Gefrieren lässt im Frost auch Wasserleitungen platzen.
Ein erheblicher Teil des beobachteten Meeresspiegelanstiegs entsteht nicht durch schmelzendes Eis, sondern allein durch die thermische Ausdehnung des erwärmten Meerwassers. Für eine erwärmte Wassersäule der Tiefe \(h_0\) gilt als Modellabschätzung
\[ \Delta h = \gamma \cdot h_0 \cdot \Delta T \]Schon eine kleine Erwärmung einer kilometertiefen Wassersäule summiert sich zu einer merklichen Höhenänderung. Es bleibt eine grobe Abschätzung, weil \(\gamma\) selbst temperaturabhängig ist und sich nicht alle Tiefen gleich erwärmen.
Bei Gasen ändern sich oft alle drei Zustandsgrössen gleichzeitig: Druck \(p\), Volumen \(V\) und Temperatur \(T\). Für eine gleichbleibende Gasmenge verknüpft sie das ideale Gasgesetz:
\[ \frac{p \cdot V}{T} = \text{konstant} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \]Zwei wichtige Spezialfälle:
\[ p \cdot V = \text{const}\ (\text{Boyle-Mariotte},\ T\ \text{konstant}), \qquad \frac{p}{T} = \text{const}\ (\text{Amontons},\ V\ \text{konstant}) \]Beim Rechnen unbedingt beachten:
| Regel | Bedeutung |
|---|---|
| Temperatur in Kelvin | immer die absolute Temperatur \(T\) einsetzen (\(T/\text{K} = \vartheta/^\circ\text{C} + 273.15\)) |
| absoluter Druck | zum Manometerdruck (relativ) den Luftdruck (\(\approx 1\,\text{bar}\)) addieren |
| gleiche Einheiten | Zustand 1 und 2 in denselben Einheiten angeben |
| Grösse / Konzept | Formel / Aussage | Einheit / Bezug |
|---|---|---|
| Längenausdehnung | \(\Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T\) | \(\alpha\) in \(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\) |
| relative Änderung | \(\Delta l/l_0 = \alpha\,\Delta T\) | einheitenlos |
| Volumenausdehnung | \(\Delta V = \gamma\,V_0\,\Delta T\) | Festkörper \(\gamma\approx 3\alpha\) |
| Dichte | \(\rho = \rho_0/(1+\gamma\,\Delta T)\) | sinkt bei Erwärmung |
| Wasseranomalie | grösste Dichte bei \(4\,^\circ\text{C}\) | Seen frieren von oben |
| Meeresspiegel | \(\Delta h = \gamma\,h_0\,\Delta T\) | thermische Expansion |
| ideales Gasgesetz | \(p\,V/T = \text{const}\) | \(T\) in K, \(p\) absolut |
| Boyle / Amontons | \(pV=\text{const}\) / \(p/T=\text{const}\) | \(T\) bzw. \(V\) konstant |