12 Aufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Bearbeite sie in einem Zug, ohne in die Lösungen zu schauen — diese stehen am Ende. Hilfsmittel: Taschenrechner. Zeitvorgabe: ca. 45 Minuten. Verwende \(\alpha_\text{Al}=23.8\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\), \(\alpha_\text{Stahl}=12\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1}\), \(\gamma_\text{Ethanol}=1.10\cdot10^{-3}\,\text{K}^{-1}\), \(\gamma_\text{Hg}=0.18\cdot10^{-3}\,\text{K}^{-1}\).
Vervollständige:
Welches Symbol und welche typische Einheit gehört wozu? (a) Längenausdehnungskoeffizient, (b) Volumenausdehnungskoeffizient, (c) absolute Temperatur, (d) Dichte.
Erkläre in je einem Satz: (a) Warum dehnt sich ein Stoff bei Erwärmung aus? (b) Warum brauchen Brücken und Schienen Dehnungsfugen?
Eine \(l_0 = 6\,\text{m}\) lange Aluminiumstange wird um \(\Delta T = 35\,\text{K}\) erwärmt. Berechne die Längenänderung \(\Delta l\) in mm.
Eine \(l_0 = 25\,\text{m}\) lange Stahlschiene erwärmt sich von \(-15\,^\circ\text{C}\) auf \(35\,^\circ\text{C}\). Um wie viel verlängert sie sich?
Eine \(l_0 = 10\,\text{m}\) lange Aluminiumstange hat sich um \(\Delta l = 7.0\,\text{mm}\) verlängert. Um welche Temperatur \(\Delta T\) wurde sie erwärmt?
Ein Aluminiumkörper mit \(V_0 = 3\,\text{L}\) wird um \(\Delta T = 60\,\text{K}\) erwärmt. Berechne die Volumenänderung \(\Delta V\) (beachte \(\gamma = 3\alpha\)).
Im Vorratsgefäss eines Thermometers sind \(V_0 = 0.5\,\text{mL}\) Quecksilber. Um wie viel ändert sich das Volumen bei \(\Delta T = 50\,\text{K}\)? Gib das Ergebnis in mL an.
Ethanol hat bei Raumtemperatur \(\rho_0 = 789\,\text{kg/m}^3\). Wie gross ist die Dichte nach Erwärmung um \(\Delta T = 40\,\text{K}\)?
Erkläre, warum ein See im Winter von oben her zufriert und am Grund flüssiges Wasser von etwa \(4\,^\circ\text{C}\) bleibt.
\(8\,\text{L}\) Luft bei \(1.0\,\text{bar}\) werden bei konstanter Temperatur auf \(2.5\,\text{L}\) zusammengedrückt. Welcher Druck stellt sich ein?
Eine fest verschlossene Dose enthält Gas bei \(2.0\,\text{bar}\) absolut und \(27\,^\circ\text{C}\). Sie wird auf \(87\,^\circ\text{C}\) erhitzt (Volumen konstant). Auf welchen absoluten Druck steigt das Gas?
\( \Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T \). \( \gamma \approx 3\alpha \). Grösste Dichte bei 4 °C. \( \dfrac{p\,V}{T} = \text{const} \).
(a) Längenausdehnungskoeffizient: \( \alpha \), Einheit \(\text{K}^{-1}\) (Werte in \(10^{-6}\,\text{K}^{-1}\)). (b) Volumenausdehnungskoeffizient: \( \gamma \), Einheit \(\text{K}^{-1}\) (Werte in \(10^{-3}\,\text{K}^{-1}\)). (c) Absolute Temperatur: \( T \), Einheit K (Kelvin). (d) Dichte: \( \rho \), Einheit \(\text{kg/m}^3\).
(a) Bei höherer Temperatur schwingen die Atome heftiger und stossen ihre Nachbarn im Mittel weiter weg; der mittlere Teilchenabstand wächst und der Körper wird grösser. (b) Ohne Bewegungsmöglichkeit entstünden durch die behinderte Ausdehnung enorme Druckspannungen — Dehnungsfugen lassen die Längenänderung spannungsfrei zu.
\( \Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T = 23.8\cdot10^{-6}\cdot 6\cdot 35 \approx 5.0\cdot10^{-3}\,\text{m} = 5.0\,\text{mm} \).
\( \Delta T = 35-(-15) = 50\,\text{K} \), also \( \Delta l = 12\cdot10^{-6}\cdot 25\cdot 50 = 0.015\,\text{m} = 15\,\text{mm} \).
Aus \( \Delta l = \alpha\,l_0\,\Delta T \) folgt \( \Delta T = \dfrac{\Delta l}{\alpha\,l_0} = \dfrac{0.0070}{23.8\cdot10^{-6}\cdot 10} = \dfrac{0.0070}{2.38\cdot10^{-4}} \approx 29.4\,\text{K} \).
\( \gamma = 3\alpha = 3\cdot23.8\cdot10^{-6} = 71.4\cdot10^{-6}\,\text{K}^{-1} \); \( \Delta V = \gamma\,V_0\,\Delta T = 71.4\cdot10^{-6}\cdot 3\cdot 60 \approx 0.0129\,\text{L} \approx 12.9\,\text{mL} \).
\( \Delta V = \gamma\,V_0\,\Delta T = 0.18\cdot10^{-3}\cdot 0.5\cdot 50 = 4.5\cdot10^{-3}\,\text{mL} \). Das wirkt winzig, ist aber genau die Volumenzunahme, die im dünnen Steigrohr als sichtbarer Pegelanstieg erscheint.
\( \rho = \dfrac{\rho_0}{1+\gamma\,\Delta T} = \dfrac{789}{1 + 1.10\cdot10^{-3}\cdot 40} = \dfrac{789}{1.044} \approx 755.7\,\text{kg/m}^3 \). Die Dichte sinkt, weil das Volumen zunimmt.
Wasser hat bei \(4\,^\circ\text{C}\) seine grösste Dichte. Dieses dichteste Wasser sinkt nach unten; kälteres Wasser (\(0\!-\!4\,^\circ\text{C}\)) ist leichter und bleibt oben, wo es zu Eis gefriert. So friert der See von der Oberfläche her zu, während am Grund flüssiges Wasser von etwa \(4\,^\circ\text{C}\) verbleibt — Wassertiere überleben den Winter.
\( p_1 V_1 = p_2 V_2 \Rightarrow p_2 = \dfrac{p_1 V_1}{V_2} = \dfrac{1.0\cdot 8}{2.5} = 3.2\,\text{bar} \).
Temperaturen in Kelvin: \( T_1 = 300\,\text{K} \), \( T_2 = 360\,\text{K} \). Aus \( \dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2} \) folgt \( p_2 = p_1\cdot\dfrac{T_2}{T_1} = 2.0\cdot\dfrac{360}{300} = 2.4\,\text{bar} \) absolut.