8 Anwendungsaufgaben aus Technik, Architektur und Life Sciences. Verwende \(c_\text{Luft}=340\,\text{m/s}\), \(c_\text{Wasser}=1500\,\text{m/s}\) und \(c_\text{Licht}=3\cdot10^{8}\,\text{m/s}\). Bei Echo- und Laufzeitaufgaben legt die Welle den Weg hin und zurück zurück. Lösungen am Ende.
Ein Schiff sendet mit einem Echolot einen Ultraschallimpuls (\(f = 50\,\text{kHz}\)) senkrecht nach unten. Das Echo vom Meeresboden trifft nach \(0.4\,\text{s}\) wieder ein.
(a) Wie tief ist das Wasser? (b) Welche Wellenlänge hat der Impuls im Wasser?
Lösungsweg:
Ein UKW-Sender strahlt auf \(f = 98\,\text{MHz}\).
(a) Welche Wellenlänge hat die Radiowelle? (b) Eine \(\lambda/4\)-Antenne ist ein Viertel der Wellenlänge lang — wie lang ist sie? (c) Warum breiten sich diese Wellen auch durch das (luftleere) Weltall aus, Schall aber nicht?
In einer Sporthalle steht eine Person \(30\,\text{m}\) vor einer kahlen Wand und klatscht in die Hände.
(a) Nach welcher Zeit hört sie das Echo? (b) Ab etwa \(0.1\,\text{s}\) Verzögerung nimmt das Ohr ein getrenntes Echo wahr — ist das hier der Fall? (c) Welche bauliche Massnahme verhindert störende Echos?
Ein Mikrowellenherd arbeitet mit \(f = 2.45\,\text{GHz}\). Im Inneren bildet sich eine stehende Welle, deren „heisse Stellen\" einen Abstand von \(\lambda/2\) haben.
(a) Berechne die Wellenlänge. (b) Wie weit liegen die heissen Stellen auseinander? (c) Wozu dient der Drehteller?
Eine Fledermaus stösst Ultraschallrufe mit \(f = 50\,\text{kHz}\) aus und ortet ein Insekt in \(5\,\text{m}\) Entfernung.
(a) Nach welcher Zeit kehrt das Echo zurück? (b) Welche Wellenlänge haben die Rufe in Luft? (c) Warum nutzen Fledermäuse so hohe Frequenzen und nicht den hörbaren Bereich?
Bei einem Erdbeben laufen zwei Wellentypen durch den Boden: die schnelle P-Welle (longitudinal, \(c \approx 8\,\text{km/s}\)) und die langsamere S-Welle (transversal, \(c \approx 4.5\,\text{km/s}\)). Eine Messstation ist \(90\,\text{km}\) vom Bebenherd entfernt.
(a) Welche Welle trifft zuerst ein? Begründe mit dem Wellentyp. (b) Berechne die Laufzeiten beider Wellen. (c) Wie gross ist die Zeitdifferenz, aus der man die Entfernung bestimmt?
Der Lesekopf eines DVD-Players verwendet einen roten Laser mit \(\lambda = 650\,\text{nm}\).
(a) Berechne die Frequenz des Lichts. (b) In welchem Bereich des elektromagnetischen Spektrums liegt es? (c) Nenne zwei Eigenschaften, die Laserlicht vom Licht einer Glühlampe unterscheiden.
In einem Gewächshaus wird es an einem sonnigen Tag deutlich wärmer als draussen.
(a) Erkläre dies mit der wellenlängenabhängigen Durchlässigkeit des Glases (kurzwelliges Sonnenlicht hinein, langwellige Wärmestrahlung kaum hinaus). (b) Überträgt die Atmosphäre denselben Mechanismus — welche Gase übernehmen die Rolle des Glases? (c) Was bewirkt eine Zunahme dieser Gase?
(a) Der Schall legt hin und zurück \(2d = c\,t = 1500\cdot0.4 = 600\,\text{m}\) zurück, also \(d = 300\,\text{m}\). (b) \(\lambda = c/f = 1500/50000 = 0.03\,\text{m} = 3\,\text{cm}\).
(a) \(\lambda = c/f = \dfrac{3\cdot10^{8}}{98\cdot10^{6}} \approx 3.06\,\text{m}\). (b) \(\lambda/4 \approx 0.77\,\text{m}\). (c) Radiowellen sind elektromagnetische Wellen und brauchen kein Medium; Schall ist eine mechanische Welle und benötigt schwingfähige Teilchen, die im Vakuum fehlen.
(a) \(t = \dfrac{2\cdot30}{340} \approx 0.18\,\text{s}\). (b) Ja — \(0.18\,\text{s} > 0.1\,\text{s}\), das Echo wird als getrennt wahrgenommen. (c) Schallabsorbierende (poröse, weiche) Materialien an Wand und Decke, etwa Akustikplatten, schlucken die Reflexion.
(a) \(\lambda = c/f = \dfrac{3\cdot10^{8}}{2.45\cdot10^{9}} \approx 0.122\,\text{m} = 12.2\,\text{cm}\). (b) Abstand \(\lambda/2 \approx 6.1\,\text{cm}\). (c) Der Drehteller bewegt die Speise durch die heissen und kalten Stellen, damit sie gleichmässig erwärmt wird.
(a) \(t = \dfrac{2\cdot5}{340} \approx 0.029\,\text{s} = 29\,\text{ms}\). (b) \(\lambda = 340/50000 = 0.0068\,\text{m} = 6.8\,\text{mm}\). (c) Die kurze Wellenlänge erlaubt das Orten kleiner Objekte (Insekten); zudem liegen die Rufe über dem Hörbereich der Beute und der Fledermaus selbst.
(a) Die P-Welle trifft zuerst ein — sie ist longitudinal und schneller. (b) \(t_P = 90/8 = 11.25\,\text{s}\), \(t_S = 90/4.5 = 20\,\text{s}\). (c) \(\Delta t = 20 - 11.25 = 8.75\,\text{s}\); aus dieser Differenz lässt sich die Entfernung zum Herd berechnen.
(a) \(f = c/\lambda = \dfrac{3\cdot10^{8}}{650\cdot10^{-9}} \approx 4.6\cdot10^{14}\,\text{Hz}\). (b) Im sichtbaren Bereich (rotes Ende, nahe \(780\,\text{nm}\)). (c) Laserlicht ist einfarbig (eine Wellenlänge) und kohärent sowie stark gebündelt; Glühlampenlicht ist ein breites Farbspektrum, das ungerichtet abgestrahlt wird.
(a) Das Glas lässt das kurzwellige Sonnenlicht hinein, das Boden und Pflanzen erwärmt. Die langwellige Wärmestrahlung (Infrarot) kann das Glas kaum durchdringen — die Energie bleibt im Gewächshaus, es wird wärmer. (b) Ja — in der Atmosphäre übernehmen Treibhausgase wie CO₂ und Wasserdampf die Rolle des Glases. (c) Mehr Treibhausgas absorbiert mehr Wärmestrahlung und verstärkt den Treibhauseffekt — die Oberfläche erwärmt sich stärker.