0.1 Rechnen und Schliessen

Glacé, Sonnenbrand und Sonne: warum eine steigende Punktwolke nichts beweist

1. 0:00In der Animation stehen sechzig Sommertage als Punkte: waagrecht der Glacé-Verkauf, senkrecht die Sonnenbrände. Je mehr Glacé, desto mehr Sonnenbrände. Macht Glacé also Sonnenbrand?
2. 0:11Die Punkte steigen deutlich nach rechts oben. Der Korrelationskoeffizient r beträgt null Komma neun drei. Bei eins lägen alle Punkte genau auf einer steigenden Geraden. Die beiden Grössen wachsen also stark gemeinsam.
3. 0:24Jetzt färbt die Animation dieselben Punkte nach den Sonnenstunden ein. Die blauen Tage mit wenig Sonne liegen unten links, die gelben mit viel Sonne oben rechts. Die Wolke ordnet sich nach der Farbe.
4. 0:35Im Modell der Animation hängen beide Grössen nur von den Sonnenstunden ab. Jede Sonnenstunde bringt rund sechsundzwanzig Portionen Glacé mehr und knapp zweieinhalb Sonnenbrände mehr. Einen direkten Weg von Glacé zu Sonnenbrand gibt es im Modell nicht.
5. 0:50Ob eine Grösse die andere verursacht, zeigt erst ein Experiment: eine Grösse gezielt ändern und alles andere festhalten. Gratis-Glacé an einem bewölkten Tag bringt keinen einzigen Sonnenbrand mehr.
6. 1:03Merke: Wenn zwei Grössen gemeinsam steigen, beweist das keine Ursache. Oft treibt eine dritte Grösse beide. Beweiskraft hat erst das Experiment.

Masse an der Feder: was die Dehnung bestimmt

1. 0:00In der Animation hängt eine Masse an einer Schraubenfeder. Mit dem Regler änderst du nur die Masse, die Feder bleibt dieselbe. Wie weit dehnt sich die Feder?
2. 0:09Ein Kilogramm hängt an der weichen Feder mit fünfundzwanzig Newton pro Meter. Die Gewichtskraft ist neun Komma acht eins Newton. Die Feder dehnt sich um neununddreissig Komma zwei Zentimeter.
3. 0:21Jetzt zwei Kilogramm. Die Dehnung steigt auf achtundsiebzig Komma fünf Zentimeter, genau doppelt so viel. Der Punkt wandert auf einer Geraden durch den Ursprung: Masse und Dehnung sind proportional.
4. 0:33Nun die harte Feder mit fünfzig Newton pro Meter, wieder mit zwei Kilogramm. Die Dehnung ist nur noch neununddreissig Komma zwei Zentimeter, die Gerade ist flacher. Die Federkonstante bestimmt die Steigung.
5. 0:45Ein Kilogramm an der weichen Feder und zwei Kilogramm an der harten ergeben dieselbe Dehnung. Hätte man Masse und Feder zugleich gewechselt, wüsste man nicht, was gewirkt hat. Darum ändert man immer nur eine Grösse.
6. 0:57Merke: Je grösser die Masse, desto grösser die Dehnung, aber nur solange die Feder dieselbe bleibt. Doppelte Masse gibt doppelte Dehnung.

Tempomat oder feste Fahrzeit: was bei der Velofahrt konstant ist

1. 0:00In der Animation fährt ein Velo nach der Formel s gleich v mal t. Einmal ist das Tempo fest, einmal die Fahrzeit. Was ist hier eigentlich konstant?
2. 0:09Zuerst die Tempomat-Sicht: Das Tempo ist fest, sechs Meter pro Sekunde. Waagrecht steht die Zeit. Nach fünfundvierzig Sekunden ist das Velo zweihundertsiebzig Meter weit.
3. 0:21Nach dreissig Sekunden sind es hundertachtzig Meter. Die Gerade bleibt dieselbe, nur der Punkt wandert. Die Strecke wächst linear mit der Zeit, die Steigung ist das Tempo.
4. 0:31Nun die andere Sicht: Die Fahrzeit ist fest, genau fünfundvierzig Sekunden bis zur Ampel. Bei sechs Metern pro Sekunde landet der Punkt wieder bei zweihundertsiebzig Metern. Waagrecht steht jetzt aber das Tempo.
5. 0:44Mit zehn Metern pro Sekunde werden es in derselben Zeit vierhundertfünfzig Meter. Dieselbe Formel, aber jetzt ist das Tempo die Variable und die Zeit die Konstante.
6. 0:54Merke: Welche Grösse in einer Formel fest ist, entscheidet die Situation, nicht die Formel. Vor jeder Rechnung lohnt die Frage: Was ändert sich, was nicht?

Äpfel und Tauchtiefe: der konstante Quotient im Diagramm

1. 0:00In der Animation stehen zwei Beispiele für direkte Proportionalität: Äpfel am Marktstand und ein Taucher in der Tiefe. Was haben die beiden gemeinsam?
2. 0:09Zweieinhalb Kilogramm Äpfel zum Preis von drei Franken zwanzig pro Kilogramm kosten acht Franken. Das Steigungsdreieck zeigt: Ein Kilogramm mehr kostet immer drei Franken zwanzig mehr.
3. 0:21Im zweiten Beispiel taucht jemand zehn Meter tief. Mit der Faustregel ein Bar pro zehn Meter lastet ein Bar zusätzlich auf dem Taucher, über dem Luftdruck. Die Wassersäule über ihm ist die Ursache.
4. 0:33In zwanzig Metern Tiefe ist die Wassersäule doppelt so hoch, der Druck steigt auf zwei Bar. Doppelte Tiefe, doppelter Druck: Der Punkt liegt wieder auf einer Geraden durch den Ursprung.
5. 0:44Der Test für direkte Proportionalität ist der Quotient. Kosten durch Menge ergibt immer drei Franken zwanzig pro Kilogramm, Druck durch Tiefe immer null Komma eins Bar pro Meter. Bleibt der Quotient gleich, sind die Grössen proportional.
6. 0:57Merke: Zwei Grössen sind direkt proportional, wenn ihr Quotient gleich bleibt. Doppelt so viel ergibt doppelt so viel, und im Diagramm entsteht eine Gerade durch den Ursprung.

Butter und Fahrzeit: das konstante Produkt als Rechteck

1. 0:00In der Animation stehen zwei Beispiele für indirekte Proportionalität: Butter, die man auf eine grössere Fläche streicht, und eine Fahrt, die schneller wird. Was bleibt hier gleich?
2. 0:10Zehn Kubikzentimeter Butter auf hundert Quadratzentimetern Brot ergeben eine Schicht von einem Millimeter. Die getönte Fläche unter dem Punkt ist Fläche mal Dicke: immer die zehn Kubikzentimeter Butter.
3. 0:22Im zweiten Beispiel ist eine Strecke von hundertzwanzig Kilometern zu fahren. Mit achtzig Kilometern pro Stunde dauert das eine Komma fünf null Stunden, also neunzig Minuten.
4. 0:33Mit hundertzwanzig Kilometern pro Stunde dauert dieselbe Strecke nur noch eine Stunde. Schneller fahren verkürzt die Zeit, aber die Fläche des Rechtecks bleibt: hundertzwanzig Kilometer.
5. 0:44Der Test für indirekte Proportionalität ist das Produkt. Fläche mal Dicke ergibt immer zehn Kubikzentimeter, Tempo mal Zeit immer hundertzwanzig Kilometer. Bleibt das Produkt gleich, sind die Grössen indirekt proportional.
6. 0:57Merke: Zwei Grössen sind indirekt proportional, wenn ihr Produkt gleich bleibt. Doppelt so viel ergibt halb so viel, und im Diagramm entsteht eine Hyperbel.

Äpfel am Marktstand: der Dreisatz als Gerade durch den Ursprung

1. 0:00In der Animation kosten drei Kilogramm Äpfel sieben Franken fünfzig. Wie viel kosten fünf Kilogramm?
2. 0:09Der erste Schritt geht auf eins zurück: Sieben Franken fünfzig durch drei Kilogramm ergibt den Preis, zwei Franken fünfzig pro Kilogramm. Im Diagramm ist das der violette Punkt bei einem Kilogramm.
3. 0:22Dann wird hochgerechnet: fünf Kilogramm mal zwei Franken fünfzig pro Kilogramm ergibt zwölf Franken fünfzig. Der Punkt liegt auf derselben Geraden durch den Ursprung wie der gegebene.
4. 0:32Sechs Kilogramm sind doppelt so viel wie drei, also kosten sie doppelt so viel: fünfzehn Franken. Die Rechnung über den Preis kommt auf dasselbe.
5. 0:41Der Dreisatz funktioniert nur, weil Menge und Kosten proportional sind. Jeder Punkt hat denselben Quotienten, den Preis. Mit einem Mengenrabatt wäre das nicht mehr so, und der Dreisatz ginge schief.
6. 0:53Merke: Beim Dreisatz rechnet man zuerst auf eins zurück, dann hoch. Das geht nur, wenn die Grössen proportional sind.

Höher oder breiter: warum der doppelte Radius viermal so viel fasst

1. 0:00In der Animation ist ein Zylindertank zu sehen. Mit zwei Reglern änderst du Radius und Höhe. Was bringt mehr Volumen: doppelte Höhe oder doppelter Radius?
2. 0:10Der Tank hat einen halben Meter Radius und einen Meter Höhe. Pi mal null Komma fünf null Meter im Quadrat mal ein Meter ergibt null Komma sieben acht fünf Kubikmeter, also siebenhundertfünfundachtzig Liter.
3. 0:22Bei doppelter Höhe, zwei Metern, fasst der Tank tausendfünfhunderteinundsiebzig Liter: genau doppelt so viel. Das Volumen ist proportional zur Höhe.
4. 0:31Bei doppeltem Radius und wieder einem Meter Höhe sind es dreitausendeinhundertzweiundvierzig Liter: viermal so viel. Der Radius steht im Quadrat, und zwei im Quadrat ist vier.
5. 0:43Die Formel liefert Kubikmeter, wenn Radius und Höhe in Metern stehen. Ein Kubikmeter sind tausend Kubikdezimeter, also tausend Liter. Darum wird aus null Komma sieben acht fünf Kubikmetern siebenhundertfünfundachtzig Liter.
6. 0:56Merke: Beim Zylinder steht der Radius im Quadrat. Doppelter Radius gibt vierfaches Volumen, doppelte Höhe nur doppeltes.

Bogen gegen Radius: wie aus Grad das Bogenmass wird

1. 0:00In der Animation dreht sich ein Radiusarm um den Mittelpunkt eines Kreises, und der Bogen wächst mit. Wie hängen Winkel, Bogen und Radius zusammen?
2. 0:09Der Knopf für ein Radiant stellt siebenundfünfzig Komma drei Grad ein. Bei einem Meter Radius ist der Bogen dann einen Meter lang, genau so lang wie der Radius. Das ist die Idee des Bogenmasses: Bogenlänge geteilt durch Radius.
3. 0:23Bei hundertachtzig Grad läuft der Bogen über den halben Kreis. Er ist drei Komma eins vier Meter lang, also Pi mal den Radius. Hundertachtzig Grad sind darum Pi Radiant, drei Komma eins vier zwei.
4. 0:35Bei dreihundertsechzig Grad ist der Bogen der ganze Umfang: sechs Komma zwei acht Meter, zwei Pi mal der Radius. Der Vollwinkel misst also zwei Pi Radiant.
5. 0:45Jetzt wieder ein Radiant, aber mit zwei Metern Radius. Der Winkel bleibt gleich, der Bogen wird doppelt so lang: zwei Meter. Das Bogenmass hängt nur am Verhältnis von Bogen und Radius, nicht an der Grösse des Kreises.
6. 0:58Merke: Das Bogenmass ist Bogenlänge durch Radius. Ein Radiant ist der Winkel, bei dem der Bogen so lang ist wie der Radius, rund siebenundfünfzig Grad. Hundertachtzig Grad sind Pi Radiant.

Mantisse oder Exponent: wer den Punkt auf der Zehnerleiter wie weit schiebt

1. 0:00In der Animation stellst du eine Länge als Mantisse mal Zehnerpotenz ein. Ein Punkt zeigt sie auf einer Leiter, deren Stufen jeweils mal zehn bedeuten. Was verschiebt die Mantisse, was der Exponent?
2. 0:11Die Starteinstellung ist ein Haar: sieben mal zehn hoch minus fünf Meter. Ausgeschrieben sind das null Komma null null null null sieben Meter, mit Vorsilbe siebzig Mikrometer. Der Punkt sitzt auf der unteren Leiter.
3. 0:24Schiebe die Mantisse bis neun Komma neun. Die Länge wird neunundneunzig Mikrometer. Der Punkt rückt nur innerhalb derselben Stufe nach rechts, bis kurz vor zehn hoch minus vier.
4. 0:35Jetzt wieder sieben, aber mit dem Exponenten minus vier. Der Punkt springt eine ganze Stufe nach rechts: null Komma null null null sieben Meter, siebenhundert Mikrometer. Das ist zehnmal so viel wie das Haar.
5. 0:47Mit eins Komma zwei und dem Exponenten fünf steht der Punkt auf der oberen Leiter bei Bern–Zürich: hundertzwanzigtausend Meter, hundertzwanzig Kilometer. Der Exponent ist von minus fünf auf fünf gestiegen, zehn Stufen über dem Haar.
6. 1:01Merke: Der Exponent gibt die Stufe an, die Grössenordnung. Die Mantisse zwischen eins und zehn legt den Wert innerhalb der Stufe fest. Jede Stufe ist mal zehn, drei Stufen sind eine Vorsilbe.

Die Formel-Waage: warum dasselbe Kärtchen auf beide Schalen muss

1. 0:00In der Animation steht eine Gleichung auf einer Waage: links die eine Seite, rechts die andere. Jede Umformung legt dasselbe Kärtchen auf beide Schalen. Warum bleibt die Waage dabei im Gleichgewicht?
2. 0:12Die Formel v gleich s durch t soll nach t aufgelöst werden. Zuerst stört der Nenner. Also kommt auf beide Schalen mal t. Die Waage bleibt waagrecht, und rechts kürzt sich t weg: v mal t gleich s.
3. 0:23Legt man das Kärtchen nur rechts auf, kippt die Waage. Links steht noch v, rechts s. Aus der Gleichung ist eine Ungleichung geworden. Genau das passiert, wenn man t nur auf einer Seite streicht.
4. 0:35Zurück zur richtigen Umformung. Aus v mal t gleich s wird durch v auf beiden Seiten: t gleich s durch v. Jetzt steht t allein, das Ziel ist erreicht.
5. 0:45Bei V gleich Pi mal r Quadrat mal h, aufgelöst nach r, teilt man zuerst durch Pi mal h. Dann steht r Quadrat allein, und erst jetzt kommt auf beide Seiten die Wurzel. Die Wurzel ist der letzte Schritt.
6. 0:57Merke: Umstellen heisst, auf beiden Seiten dieselbe Operation auszuführen, bis die gesuchte Grösse allein steht. Nenner: mal nehmen. Faktor: teilen. Quadrat: Wurzel ziehen, und zwar zuletzt.

Einholen mit Bedingung: warum t* = d/(vA − vB) nur gilt, wenn A schneller ist

1. 0:00In der Animation startet Läuferin A am Start, Läufer B vierzig Meter weiter vorne. Beide laufen mit konstantem Tempo. Holt A den Läufer B ein, und wann?
2. 0:10Mit fünf gegen drei Meter pro Sekunde macht A in jeder Sekunde zwei Meter gut. Den Vorsprung von vierzig Metern hat sie nach zwanzig Sekunden aufgeholt. Dann sind beide bei hundert Metern.
3. 0:22Mit drei Komma fünf gegen drei Meter pro Sekunde beträgt die Differenz nur noch null Komma fünf. Die Einholzeit wächst auf achtzig Sekunden, der Treffpunkt liegt bei zweihundertachtzig Metern. Je knapper der Unterschied, desto später.
4. 0:36Laufen beide drei Meter pro Sekunde, sind die Geraden parallel. Der Abstand bleibt vierzig Meter, A holt nie ein. In der Formel stünde null im Nenner. Ist A sogar langsamer, wächst der Abstand. Die Formel gilt also nur, wenn A schneller ist.
5. 0:50Zurück zu fünf gegen drei Meter pro Sekunde, aber mit sechzig Metern Vorsprung. Jetzt braucht A dreissig Sekunden und trifft B bei hundertfünfzig Metern. Der Vorsprung steht im Zähler: anderthalbmal so viel Vorsprung, anderthalbmal so lange.
6. 1:06Merke: A holt B nur ein, wenn A schneller ist. Dann ist die Einholzeit der Vorsprung geteilt durch die Tempodifferenz. Bei gleichem oder kleinerem Tempo gibt es keinen Treffpunkt.

Zwei Balken, vier Zahlen: wie viel Genauigkeit jede Rundung kostet

1. 0:00In der Animation wird dieselbe Zahl auf zwei Arten gerundet: auf zwei Kommastellen und auf drei signifikante Stellen. Zwei Balken zeigen den relativen Fehler. Welche Rundung ist fairer?
2. 0:12Bei vierhundertzweiundfünfzig Komma drei neun ändert sich auf zwei Kommastellen nichts, der Fehler ist null. Auf drei signifikante Stellen wird daraus vierhundertzweiundfünfzig, mit null Komma null acht sechs Prozent Fehler. Beide Balken sind winzig.
3. 0:27Jetzt null Komma null vier acht eins null sieben. Auf zwei Kommastellen bleibt null Komma null fünf, eine einzige geltende Ziffer: drei Komma neun drei fünf Prozent Fehler. Drei signifikante Stellen ergeben null Komma null vier acht eins, nur null Komma null eins fünf Prozent.
4. 0:44Bei null Komma null null null sechs zwei acht vier bleibt auf zwei Kommastellen nur null Komma null null. Die Zahl ist weg, der Fehler beträgt hundert Prozent. Drei signifikante Stellen behalten null Komma null null null sechs zwei acht.
5. 0:58Bei neunzehn Komma sechs eins acht liegen beide nahe beieinander, beide unter null Komma eins Prozent Fehler. Mit drei signifikanten Stellen bleibt der Fehler in allen vier Beispielen so klein.
6. 1:10Merke: Kommastellen behandeln grosse und kleine Zahlen ungleich. Signifikante Stellen zählen ab der ersten Ziffer, die nicht null ist, und bleiben bei jeder Grössenordnung genau. Darum runden wir in der Physik auf drei signifikante Stellen.

Zwei Velos, zwei Rechenwege: wie die Gegenrechnung einen Fehler entlarvt

1. 0:00In der Animation fahren zwei Velos auf einer dreihundert Meter langen Strasse aufeinander zu, A von links mit zwölf, B von rechts mit acht Metern pro Sekunde. Wo treffen sie sich, und wie prüft man das?
2. 0:12Zusammen verkürzen die Velos den Abstand um zwanzig Meter pro Sekunde. Für dreihundert Meter brauchen sie also fünfzehn Sekunden. Im Diagramm schneiden sich die beiden Geraden genau dort.
3. 0:23Von links gerechnet ist A nach fünfzehn Sekunden hundertachtzig Meter gefahren. Von rechts gerechnet hat B hundertzwanzig Meter zurückgelegt und ist bei dreihundert minus hundertzwanzig, also ebenfalls hundertachtzig Metern. Zwei unabhängige Wege, dasselbe Ergebnis.
4. 0:39Jetzt ist ein Fehler eingebaut: Die Treffzeit wird als dreihundert durch zwölf gerechnet, fünfundzwanzig Sekunden. Von links wäre A bei dreihundert Metern, von rechts wäre B bei hundert Metern. Zweihundert Meter Unterschied: Die Gegenrechnung deckt den Fehler sofort auf.
5. 0:54Richtig gerechnet, aber mit achtzehn gegen sechs Metern pro Sekunde: Die Treffzeit ist zwölf Komma fünf Sekunden. Von links ergibt das zweihundertfünfundzwanzig Meter, von rechts dreihundert minus fünfundsiebzig, ebenfalls zweihundertfünfundzwanzig. Der schnellere A fährt weiter, der Treffpunkt rückt zu B.
6. 1:12Merke: Ein Ergebnis, das man auf zwei unabhängigen Wegen gleich erhält, ist sehr wahrscheinlich richtig. Weicht die Gegenrechnung ab, steckt sicher ein Fehler in der Rechnung.

Runden: warum drei signifikante Stellen und nicht zwei nach dem Komma

1. 0:00Der Rechner zeigt viele Stellen. Auf wie viele davon soll man runden — und wonach zählt man überhaupt?
2. 0:09Kommastellen zählen ab dem Komma. Signifikante Stellen zählen ab der ersten Ziffer, die nicht null ist — führende Nullen zählen nie mit.
3. 0:19Bei einer kleinen Zahl bricht die erste Art zusammen: Von null Komma null vier acht bleibt auf zwei Kommastellen nur eine einzige geltende Ziffer übrig — fast vier Prozent Fehler.
4. 0:29Und jetzt der eigentliche Grund. Dieselbe Länge in Meter und in Millimeter: Auf Kommastellen gerundet kommen zwei verschiedene Werte heraus. Auf signifikante Stellen derselbe.
5. 0:40Darum runden wir in diesem Lehrmittel auf drei signifikante Stellen, sofern nichts anderes angegeben ist. Das passt zur Genauigkeit üblicher Messgeräte und gilt in jeder Einheit gleich.
6. 0:51Zwei Dinge noch: Gerundet wird erst am Schluss, nicht in jedem Zwischenschritt. Und die Einheit gehört zum Resultat, sonst sagt die Zahl nichts.

Proportional oder nicht: der Test mit Quotient und Produkt

1. 0:00Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Doppeltes Tempo braucht aber nicht den doppelten Bremsweg. Wann darf man verdoppeln?
2. 0:09Direkt proportional heisst: Beide Grössen wachsen im gleichen Verhältnis. Der Quotient bleibt gleich.
3. 0:17Indirekt proportional heisst: Was die eine Grösse zulegt, verliert die andere. Das Produkt bleibt gleich.
4. 0:25Der Test ist immer derselbe: Zwei Wertepaare nehmen, einmal teilen und einmal malnehmen. Was gleich bleibt, sagt, welcher Fall vorliegt.
5. 0:34Beim Bremsweg stimmt keines von beidem. Doppeltes Tempo gibt den vierfachen Weg — der Quotient wächst, das Produkt auch.
6. 0:42Merke: Direkt proportional heisst konstanter Quotient, indirekt proportional konstantes Produkt. Wer keines von beidem findet, hat einen anderen Zusammenhang vor sich.

Der Dreisatz: über die eine Einheit schliessen

1. 0:00Sieben Brötchen kosten fünf Franken sechzig. Was kosten zwölf?
2. 0:09Zuerst der Wert für ein Stück: fünf Franken sechzig, geteilt durch sieben.
3. 0:17Dann mit der gesuchten Anzahl malnehmen: zwölf mal achtzig Rappen sind neun Franken sechzig.
4. 0:25Beide Schritte zusammen ergeben eine Verhältnisgleichung. In der Physik steht dort statt Stückzahl irgendeine Grösse.
5. 0:33Bei indirekter Proportionalität kehrt sich der Bruch um. Sechs Pumpen brauchen nicht länger als vier, sondern kürzer.
6. 0:41Merke: Der Dreisatz geht über die Eins. Bei direkter Proportionalität steht die gesuchte Zahl im Zähler, bei indirekter im Nenner.

Gleichungen umstellen: auf beiden Seiten dasselbe tun

1. 0:00Die Formel gibt den Druck, gesucht ist die Fläche. Umstellen ist kein Auswendiglernen, sondern eine einzige Regel.
2. 0:09Eine Gleichung ist eine Waage. Solange beide Seiten dasselbe erfahren, bleibt sie im Gleichgewicht.
3. 0:17Wegschaffen lässt sich jede Rechnung mit ihrer Gegenoperation: malnehmen gegen teilen, plus gegen minus, Quadrat gegen Wurzel.
4. 0:25Aus Druck gleich Kraft je Fläche wird Fläche gleich Kraft je Druck — in zwei Umformungen.
5. 0:33Mit Zahlen: fünfhundert Newton, geteilt durch zweihunderttausend Pascal, sind null Komma null null zwei fünf Quadratmeter — also fünfundzwanzig Quadratzentimeter.
6. 0:43Merke: Umstellen heisst, beide Seiten gleich zu behandeln. Die Einheiten machen jede Umformung mit — und verraten den Fehler, wenn einer passiert ist.

Plausibilität: drei Proben, bevor man dem Resultat glaubt

1. 0:00Der Rechner zeigt eine Zahl. Er rechnet aber auch Unsinn fehlerfrei — die Kontrolle bleibt an dir.
2. 0:09Erste Probe: Rechne die Einheiten mit. Kommt die gesuchte heraus, ist der Ansatz mindestens formal richtig.
3. 0:17Zweite Probe: Überschlag im Kopf, mit gerundeten Zahlen und Zehnerpotenzen. Stimmt die Zehnerpotenz?
4. 0:25Dritte Probe: Vergleiche mit etwas Bekanntem. Ein Mensch läuft nicht mit hundert Stundenkilometern, ein Auto wiegt keine Tonne pro Rad.
5. 0:34Zehn Kilometer bei zwölf Stundenkilometern: null Komma acht drei Stunden, also fünfzig Minuten. Der Überschlag bestätigt es — fünf Minuten je Kilometer.
6. 0:44Merke: Einheit, Grössenordnung, Alltagsvergleich. Wer diese drei Proben macht, gibt kein Resultat ab, das um eine Zehnerpotenz danebenliegt.