0.1 Rechnen und Schliessen
Die Rechenwerkzeuge aus der Sek I und die Denkschritte dahinter — Proportionalität, Formeln umstellen, sauber schliessen und jedes Resultat prüfen.
- direkte und indirekte Proportionalität erkennen und mit dem Dreisatz rechnen
- Flächen- und Volumenformeln anwenden (Rechteck, Kreis, Quader, Zylinder) und zwischen Kubikmetern und Litern umrechnen
- mit der Kreiszahl π, dem Umfang und dem Bogenmass umgehen
- Brüche, Potenzen und Zehnerpotenzen sicher verwenden — inklusive wissenschaftlicher und Engineering-Schreibweise
- Formeln nach einer Grösse auflösen und Resultate sinnvoll runden
- «Je … desto»-Aussagen deuten und dabei Ursache und Wirkung sauber trennen
- Variablen und Konstanten in Formeln unterscheiden und einer Herleitung Schritt für Schritt folgen
- proportional schliessen und einfache Verhältnisrechnungen (Dreisatz) durchführen
- Bedingungen prüfen und Fallunterscheidungen treffen («gilt nur, wenn …»)
- ein Ergebnis mit Grössenordnung, Einheiten-Check und Gegenrechnung auf Plausibilität kontrollieren
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann direkte und indirekte Proportionalität an Alltagsbeispielen erkennen und damit rechnen.
- Ich kann Flächen und Volumen von Rechteck, Kreis, Quader und Zylinder berechnen und zwischen m³ und Litern umrechnen.
- Ich kann Winkel in Grad und im Bogenmass angeben und Bogenlängen mit \(s = r \cdot \varphi\) berechnen.
- Ich kann Zahlen in wissenschaftlicher und in Engineering-Schreibweise schreiben und mit Zehnerpotenzen rechnen.
- Ich kann eine Formel Schritt für Schritt nach jeder ihrer Grössen auflösen.
- Ich kann Resultate nach Kommastellen oder nach signifikanten Stellen runden und weiss, was in der Physik üblich ist.
- Ich kann in einer Je-desto-Aussage Ursache, Wirkung und die konstant gehaltenen Grössen benennen.
- Ich kann in einer Formel entscheiden, welche Grössen Variablen und welche Konstanten sind — je nach Situation.
- Ich kann eine kleine Herleitung Schritt für Schritt nachvollziehen und jeden Schritt begründen.
- Ich kann mit dem Dreisatz proportional schliessen und weiss, wann der Dreisatz nicht erlaubt ist.
- Ich kann eine Bedingung prüfen und eine Fallunterscheidung sauber durchführen.
- Ich kann ein Resultat mit Grössenordnung, Einheiten-Check und Gegenrechnung kontrollieren.
Einstieg — Doppelt so tief, doppelt so viel Druck
Beim Schnorcheln spürst du es sofort in den Ohren: Je tiefer du tauchst, desto stärker drückt das Wasser. Und zwar sehr regelmässig — pro Meter Tiefe kommt immer gleich viel Druck dazu, nämlich rund \(9.81\;\text{kPa}\) (1 Kilopascal = 1000 Pascal):
\[ p_S = 9.81\;\frac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot h \]In \(2\;\text{m}\) Tiefe ist der Schweredruck also doppelt so gross wie in \(1\;\text{m}\), in \(4\;\text{m}\) viermal so gross. Dieses Muster — «doppelter Einsatz, doppelte Wirkung» — heisst Proportionalität, und es steckt in fast jeder Physik-Formel. Wer es sicher erkennt, hat den halben Physik-Werkzeugkasten schon in der Hand.
Vier Alltags-Erfahrungen mit demselben mathematischen Kern:
- Einkaufen — doppelte Menge Äpfel, doppelte Kosten. Der Preis (Franken je Kilogramm) bleibt gleich.
- Tauchen — doppelte Tiefe, doppelter Druck. Der Druck wächst mit der Tiefe.
- Butter aufs Brot — du hast immer gleich viel Butter. Je grösser die Fläche, auf der du sie verteilst, desto dünner die Schicht. Doppelte Fläche → halb so dicke Schicht.
- Unterwegs — bei fester Strecke: doppeltes Tempo, halbe Fahrzeit.
Die ersten beiden sind direkt proportional, die letzten beiden indirekt — beides schauen wir uns jetzt genauer an.
Warum gerade diese Beispiele? Weil bei allen vieren beide Grössen stetig sind: Fläche, Dicke, Tempo und Zeit können jeden Zwischenwert annehmen. Beim Flaschenzug oder beim Fahrradgang stimmt der Zusammenhang «weniger Kraft, mehr Weg» zwar auch — aber es gibt nur ganze Rollen und ganze Gänge. Man kann dort nicht stufenlos verdoppeln, und genau das braucht man, um Proportionalität als Kurve zu verstehen.
✏️ Mini-Check
In \(3\;\text{m}\) Wassertiefe beträgt der Schweredruck rund \(29.4\;\text{kPa}\). Wie gross ist er in \(6\;\text{m}\) Tiefe?
- \(29.4\;\text{kPa}\)
- \(58.9\;\text{kPa}\)
- \(88.3\;\text{kPa}\)
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Beim Tauchen gilt: doppelte Tiefe → Schweredruck.
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Berechne den Schweredruck in \(5\;\text{m}\) Tiefe mit \(p_S = 9.81\;\frac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot h\).
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Der Luftdruck an der Erdoberfläche beträgt rund \(100\;\text{kPa}\). In welcher Wassertiefe ist der Schweredruck des Wassers gleich gross?
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Ursache, Wirkung und faire Vergleiche
Eine Wandergruppe steigt zum Grat auf. Wer den schwersten Rucksack trägt, ist als Letzte oben — die Gruppe formuliert es so: «Je voller der Rucksack, desto langsamer die Wanderung.» Ein unscheinbarer Satz, aber er enthält bereits die halbe Physik-Denkweise:
- Was wird verändert? Die Masse des Rucksacks — sie ist die Ursache.
- Was reagiert darauf? Das Gehtempo — es ist die Wirkung.
- Was bleibt gleich? Derselbe Weg, dasselbe Wetter, dieselbe Person. Nur so ist der Vergleich fair — sonst weiss niemand, ob wirklich der Rucksack schuld war.
Physik besteht zu einem grossen Teil aus genau solchen Sätzen — nur werden sie später als Formeln geschrieben. Die nächsten Abschnitte frischen genau diese Denkwerkzeuge auf: Ursache und Wirkung trennen, Variablen von Konstanten unterscheiden und proportional schliessen. Danach folgt das Rechenwerkzeug dazu — Flächen und Volumen, Bogenmass, Zehnerpotenzen und das Umstellen von Formeln. Zum Schluss geht es ums Prüfen: Bedingungen kontrollieren, sinnvoll runden und jedes Resultat gegenrechnen.
Drei Je-desto-Sätze aus dem Alltag — bestimme jeweils Ursache, Wirkung und was konstant bleiben muss:
- «Je stärker ich in die Pedale trete, desto schneller rollt das Velo.» — Ursache: Tretkraft, Wirkung: Tempo; konstant: Strecke, Gegenwind, Velo.
- «Je länger das Ladekabel eingesteckt ist, desto voller der Akku.» — Ursache: Ladezeit, Wirkung: Ladestand; konstant: Ladegerät, Handy.
- «Je mehr Personen im Lift stehen, desto näher rückt man zusammen.» — Ursache: Personenzahl, Wirkung: Platz pro Person; konstant: die Grösse der Kabine.
✏️ Mini-Check
«Je voller der Rucksack, desto langsamer die Wanderung.» Welche Grösse ist hier die Ursache?
- Die Masse des Rucksacks.
- Das Gehtempo.
- Die Länge der Wanderung.
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In einer Je-desto-Aussage nennt der «Je»-Teil die , der «desto»-Teil die Wirkung.
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Eine Wanderin geht mit konstanten \(4\;\text{km/h}\). Welche Strecke schafft sie in \(2.5\;\text{h}\)?
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«Je steiler der Weg, desto langsamer das Tempo.» Welche Grössen müssen konstant bleiben, damit dieser Vergleich fair ist?
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Je-desto und Ursache-Wirkung
Eine Je-desto-Aussage verknüpft zwei Grössen: «Je grösser A, desto grösser (oder kleiner) B.» Dabei ist die Ursache die Grösse, die aktiv verändert wird, und die Wirkung die Grösse, die darauf reagiert. Alle übrigen Grössen müssen konstant gehalten werden — sonst ist nicht klar, welche Änderung die Wirkung ausgelöst hat.
Wachsen zwei Grössen gemeinsam, ohne dass die eine die andere verursacht, spricht man von einer Korrelation. Alltagsbeispiel: Im Sommer steigen der Glacé-Verkauf und die Zahl der Sonnenbrände gemeinsam an. Das Glacé verursacht aber keinen Sonnenbrand — beide Grössen haben eine gemeinsame Ursache: das sonnige, heisse Wetter. Eine Je-desto-Beobachtung ist darum noch kein Beweis für eine Ursache-Wirkung-Beziehung; erst wenn nur eine Grösse verändert wird und alle anderen konstant bleiben, wird die Wirkrichtung sichtbar.
Genau das leistet ein Experiment: eine Grösse wird per Regler verändert, der Rest bleibt fest. Das folgende Beispiel ist ein Klassiker aus der Sek I — eine Schraubenfeder, an die ein Massestück gehängt wird. Die Feder dehnt sich um so mehr, je grösser die angehängte Masse ist.
❓ In Dörfern mit vielen Störchen werden mehr Kinder geboren. Bringen also die Störche die Babys?
Nein — das ist das berühmte Schulbeispiel einer Korrelation ohne Kausalität. Beide Grössen hängen von einer dritten ab: Ländliche Dörfer haben mehr Storchennester und traditionell mehr Kinder pro Familie als Stadtquartiere. Die gemeinsame Ursache ist die ländliche Struktur, nicht der Storch. Prüffrage: Könnte man die eine Grösse gezielt verändern und würde die andere dann nachziehen? Hier klar nein.
✏️ Mini-Check
An einer Feder mit \(D = 50\;\text{N/m}\) wird die angehängte Masse verdoppelt. Was macht die Dehnung \(x\)?
- Sie halbiert sich.
- Sie verdoppelt sich.
- Sie bleibt gleich.
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Wachsen zwei Grössen gemeinsam, ohne dass die eine die andere verursacht, nennt man das — nicht Kausalität.
Lösung anzeigen
An eine Feder mit \(D = 25\;\text{N/m}\) wird \(m = 0.8\;\text{kg}\) gehängt. Berechne \(F = m \cdot g\) und die Dehnung \(x = F/D\). (\(g = 9.81\;\text{m/s}^2\))
Lösung anzeigen
Im Sommer steigen Glacé-Verkauf und Sonnenbrände gemeinsam. Wie könntest du zeigen, dass keine direkte Ursache-Wirkung-Beziehung vorliegt?
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Variablen und Konstanten
Formeln wie \(s = v \cdot t\) enthalten mehrere Buchstaben — aber nicht alle spielen dieselbe Rolle. Welche Grösse sich ändert und welche fest bleibt, entscheidet die Situation, nicht die Formel:
Eine Variable ist eine Grösse, die sich im betrachteten Vorgang ändert. Eine Konstante ist eine Grösse, die während des Vorgangs fest bleibt — entweder, weil sie festgehalten wird (die gewählte Feder in Animation 1), oder weil sie eine Naturkonstante ist (\(g = 9.81\;\text{m/s}^2\)). Vor jeder Rechnung lohnt sich die Frage: Was ändert sich hier — und was nicht?
Am Beispiel einer Velofahrt mit \(s = v \cdot t\):
- Tempomat-Sicht: Das Tempo \(v\) ist konstant (z.B. \(6\;\text{m/s}\)). Dann sind \(t\) und \(s\) die Variablen — die Strecke wächst linear mit der Zeit.
- Feste-Fahrzeit-Sicht: Die Fahrzeit \(t\) ist konstant (z.B. genau \(45\;\text{s}\) bis zur Ampel). Dann sind \(v\) und \(s\) die Variablen — die Strecke wächst linear mit dem Tempo.
Wie kommt man von der Tempo-Definition zu \(s = v \cdot t\) und \(t = s/v\)? In einer sauberen Herleitung passiert pro Zeile genau ein begründeter Schritt:
Ausgangspunkt — Definition des Tempos bei konstanter Geschwindigkeit (Strecke pro Zeit):
\[ v = \frac{s}{t} \]Schritt 1 — beide Seiten mit \(t\) multiplizieren. Begründung: Äquivalenzumformung; erlaubt, weil \(t \neq 0\) (eine Bewegung ohne Zeitdauer gibt es nicht). Rechts kürzt sich \(t\):
\[ v \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t = s \qquad\Rightarrow\qquad s = v \cdot t \]Schritt 2 — in \(s = v \cdot t\) beide Seiten durch \(v\) teilen. Begründung: Äquivalenzumformung; erlaubt nur, falls \(v \neq 0\) (ein stehendes Fahrzeug kommt nie an). Links kürzt sich \(v\):
\[ \frac{s}{v} = \frac{v \cdot t}{v} = t \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{s}{v} \]Fazit: Alle drei Formeln \(v = s/t\), \(s = v \cdot t\) und \(t = s/v\) sagen dasselbe — sie sind nur nach verschiedenen Grössen aufgelöst. Wer die Begründung jedes Schritts kennt (was wurde gemacht, warum ist es erlaubt), kann jede Formel selbst umstellen, statt drei Formeln auswendig zu lernen.
❓ Ist die Erdbeschleunigung g = 9.81 m/s² eine Variable oder eine Konstante?
In allen Rechnungen dieser Seite eine Konstante: An der Erdoberfläche ist \(g \approx 9.81\;\text{m/s}^2\) praktisch fest. Aber «konstant» heisst immer: im betrachteten Vorgang fest. Auf dem Mond gilt \(g_{\text{Mond}} \approx 1.62\;\text{m/s}^2\) — dort wäre dieselbe Formel mit einem anderen (dort wieder konstanten) Wert zu rechnen. Die Rolle einer Grösse hängt also vom Kontext ab.
✏️ Mini-Check
Ein Auto fährt mit Tempomat: \(s = v \cdot t\). Welche Grösse ist in dieser Situation konstant?
- die Strecke \(s\)
- das Tempo \(v\)
- die Zeit \(t\)
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Eine Grösse, die sich während des betrachteten Vorgangs ändert, heisst .
Lösung anzeigen
Ein Velo fährt mit konstanten \(v = 6\;\text{m/s}\). Welche Strecke legt es in \(t = 45\;\text{s}\) zurück?
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Jetzt sei die Fahrzeit fest: \(t = 1\;\text{h}\). Was bewirkt eine Verdopplung des Tempos \(v\) — und welche Grösse ist nun die Konstante?
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Direkte und indirekte Proportionalität
Zwei Grössen \(x\) und \(y\) sind direkt proportional, wenn zum Doppelten von \(x\) das Doppelte von \(y\) gehört, zum Dreifachen das Dreifache usw. Dann gilt
\[ y = k \cdot x \qquad \text{mit konstantem Quotienten} \quad k = \frac{y}{x} \]Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung. Kurzschreibweise: \(y \sim x\). Beispiel Tauchen: \(p_S = 9.81\;\frac{\text{kPa}}{\text{m}} \cdot h\) — der Quotient \(p_S / h\) ist immer \(9.81\;\text{kPa/m}\).
Zwei Grössen \(x\) und \(y\) sind indirekt proportional (auch: umgekehrt proportional), wenn zum Doppelten von \(x\) die Hälfte von \(y\) gehört. Dann gilt
\[ y = \frac{k}{x} \qquad \text{mit konstantem Produkt} \quad x \cdot y = k \]Der Graph ist eine Hyperbel. Beispiel: Für eine feste Strecke \(s\) gilt für die Fahrzeit \(t = s / v\) — wer doppelt so schnell fährt, ist in der halben Zeit am Ziel.
«Mehr ergibt mehr» stimmt nur bei direkter Proportionalität. Bei indirekter Proportionalität heisst «doppelt» nicht «minus die Hälfte irgendwo», sondern exakt halbieren: doppeltes Tempo → halbe Zeit. Und nicht jeder Zusammenhang ist überhaupt proportional — prüfe immer: Ist der Quotient konstant (direkt) oder das Produkt (indirekt)?
❓ Doppeltes Tempo — halbe Fahrzeit. Gilt bei dreifachem Tempo dann ein Drittel der Zeit?
Ja. Bei indirekter Proportionalität ist das Produkt \(v \cdot t\) konstant. Wird \(v\) verdreifacht, muss \(t\) auf einen Drittel schrumpfen, damit das Produkt gleich bleibt. Kontrolle mit Animation 5: bei \(40\;\text{km/h}\) dauert die Fahrt \(3\;\text{h}\), bei \(120\;\text{km/h}\) noch \(1\;\text{h}\).
✏️ Mini-Check
Welches Grössen-Paar ist indirekt proportional?
- Fahrzeit und Tempo bei fester Strecke
- Preis und Menge beim Einkaufen
- Schweredruck und Tauchtiefe
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Bei direkter Proportionalität ist der zweier zusammengehörender Werte konstant, bei indirekter das Produkt.
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\(3\;\text{kg}\) Äpfel kosten \(8.70\;\text{CHF}\) Wie viel kosten \(5\;\text{kg}\)?
Lösung anzeigen
Eine Pumpe füllt ein Schwimmbecken in \(12\;\text{h}\). Wie lange brauchen 3 gleiche Pumpen zusammen — und welche Proportionalität steckt dahinter?
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Proportionales Schliessen — der Dreisatz
Zwei Grössen sind proportional, wenn ihr Quotient konstant ist: doppelte Menge → doppelter Wert, halbe Menge → halber Wert. Im Diagramm liegen alle Wertepaare auf einer Geraden durch den Ursprung. Beispiele von dieser Seite: Dehnung und Masse an der Feder (\(x/m\) konstant), Strecke und Zeit beim Tempomat (\(s/t = v\) konstant), Preis und Menge beim Einkauf (Kilopreis konstant).
3 kg Äpfel kosten 7.50 CHF. Was kosten 5 kg? Der Dreisatz führt in zwei Schritten über die Einheit «1 kg»:
Gegeben:
\[ 3\;\text{kg} \;\longrightarrow\; 7.50\;\text{CHF} \]Schritt 1 — auf 1 zurückführen (beide Seiten durch 3 teilen):
\[ 1\;\text{kg} \;\longrightarrow\; \frac{7.50\;\text{CHF}}{3} = 2.50\;\text{CHF} \]Schritt 2 — auf die Zielmenge hochrechnen (beide Seiten mal 5):
\[ 5\;\text{kg} \;\longrightarrow\; 2.50\;\text{CHF} \cdot 5 = 12.50\;\text{CHF} \]Der Zwischenwert 2.50 CHF/kg ist der konstante Quotient (Kilopreis) — er macht das Hochrechnen auf jede beliebige Menge erlaubt.
Achtung: Der Dreisatz setzt Proportionalität voraus. Nicht alles im Alltag ist proportional — bei Mengenrabatt sinkt der Kilopreis mit der Menge, und eine Pizza mit doppeltem Durchmesser hat die vierfache Fläche. Vor dem Dreisatz immer fragen: Ist der Quotient wirklich konstant?
✏️ Mini-Check
3 kg Äpfel kosten 7.50 CHF. Was kostet 1 kg?
- 2.50 CHF
- 3.00 CHF
- 4.50 CHF
Lösung anzeigen
Beim Dreisatz rechnet man zuerst auf Einheit zurück und dann auf die Zielmenge hoch.
Lösung anzeigen
Was kosten \(4.5\;\text{kg}\) Äpfel bei einem Kilopreis von \(2.50\;\text{CHF/kg}\)?
Lösung anzeigen
Eine Pizza mit 24 cm Durchmesser kostet 12 CHF. Jemand rechnet per Dreisatz: «48 cm Durchmesser → 24 CHF.» Warum sind das keine fairen Kosten?
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Flächen und Volumen
Physik-Aufgaben brauchen ständig Flächen (Druck = Kraft pro Fläche) und Volumen (Dichte = Masse pro Volumen). Die vier wichtigsten Formeln:
Dabei ist \(r\) der Radius des Kreises — der halbe Durchmesser: \(r = d/2\). Einheit der Fläche: \(\text{m}^2\), \(\text{cm}^2\), …
Beide folgen demselben Bauplan: Grundfläche mal Höhe. Beim Zylinder ist die Grundfläche der Kreis \(A = \pi r^2\).
Ansatz: Zylinder-Volumen mit \(r = 0.4\;\text{m}\) und \(h = 0.9\;\text{m}\):
\[ V = \pi \cdot r^{\,2} \cdot h = \pi \cdot (0.4\;\text{m})^2 \cdot 0.9\;\text{m} \approx 0.452\;\text{m}^3 \]Umrechnung in Liter — beim ersten Mal ganz ausgeschrieben:
\[ 1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L} \qquad (1\;\text{dm}^3 = 1\;\text{L},\quad 1\;\text{cm}^3 = 1\;\text{mL}) \] \[ V \approx 0.452 \cdot 1000\;\text{L} = 452\;\text{L} \]✏️ Mini-Check
Der Radius eines Kreises wird verdoppelt. Was passiert mit der Kreisfläche?
- Sie wird doppelt so gross.
- Sie wird achtmal so gross.
- Sie wird viermal so gross.
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Es gilt: \(1\;\text{m}^3 = \) Liter.
Lösung anzeigen
Ein Aquarium ist innen \(40\;\text{cm}\) lang, \(25\;\text{cm}\) breit und \(30\;\text{cm}\) hoch. Wie viele Liter fasst es?
Lösung anzeigen
Ein zylindrisches Trinkglas hat innen \(8\;\text{cm}\) Durchmesser und \(12\;\text{cm}\) Höhe. Wie viel passt hinein?
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Kreiszahl π und Bogenmass
Die Kreiszahl \(\pi \approx 3.14159\) ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser — bei jedem Kreis gleich:
\[ \pi = \frac{U}{d} \qquad\Rightarrow\qquad U = \pi \cdot d = 2 \pi \cdot r \]Ein Rad mit \(70\;\text{cm}\) Durchmesser legt pro Umdrehung also \(U = \pi \cdot 0.7\;\text{m} \approx 2.20\;\text{m}\) zurück.
Winkel kann man statt in Grad auch im Bogenmass (Einheit: Radiant, rad) angeben: Der Winkel ist dann die Länge des Kreisbogens geteilt durch den Radius,
\[ \varphi_{\text{rad}} = \frac{s}{r} \qquad\Rightarrow\qquad s = r \cdot \varphi_{\text{rad}} \]Der volle Kreis hat den Bogen \(U = 2\pi r\), also ist der Vollwinkel \(360° = 2\pi\;\text{rad}\). Umrechnung:
\[ \varphi_{\text{rad}} = \varphi_{\text{Grad}} \cdot \frac{\pi}{180°} \]| Grad | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Bogenmass | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
❓ Was bedeutet ein Winkel von genau 1 rad anschaulich?
Bei \(1\;\text{rad}\) ist der Kreisbogen genau so lang wie der Radius (\(s = r \cdot 1\)). In Grad: \(1\;\text{rad} = \dfrac{180°}{\pi} \approx 57.3°\). Stelle in Animation 8 den Winkel \(57°\) ein und vergleiche Bogenlänge und Radius in der Live-Anzeige.
✏️ Mini-Check
Was gibt die Kreiszahl \(\pi\) an?
- das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser
- das Verhältnis von Fläche zu Radius
- das Verhältnis von Durchmesser zu Umfang
Lösung anzeigen
Der Vollwinkel beträgt \(360°\), im Bogenmass also rad.
Lösung anzeigen
Rechne \(90°\) ins Bogenmass um.
Lösung anzeigen
Eine Riesenrad-Gondel fährt auf einem Kreis mit \(r = 20\;\text{m}\) um \(135°\) weiter. Welche Strecke legt sie dabei zurück?
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Brüche, Potenzen und Zehnerpotenzen
Ein Bruch ist eine Division: \(\dfrac{s}{t}\) heisst \(s\) geteilt durch \(t\). Die wichtigsten Regeln:
\[ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \qquad\qquad \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \]Division durch einen Bruch = Multiplikation mit dem Kehrwert. Das braucht man z.B., wenn in einer Formel ein Bruch im Nenner steht (Doppelbruch).
\(a^n\) bedeutet: \(a\) wird \(n\)-mal mit sich selbst multipliziert. Beim Rechnen gilt:
\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n} \]Speziell wichtig sind die Zehnerpotenzen: \(10^3 = 1000\), \(10^{-3} = 0.001\). Sie machen sehr grosse und sehr kleine Zahlen handlich.
Wissenschaftliche Schreibweise: Zahl als \(m \cdot 10^{n}\) mit Mantisse \(1 \le m \lt 10\). Beispiel Haardurchmesser:
\[ 0.00007\;\text{m} = 7 \cdot 10^{-5}\;\text{m} \]Engineering-Schreibweise: Der Exponent ist ein Vielfaches von 3 (die Mantisse darf dann 1 bis 999 betragen) — passend zu den SI-Vorsätzen:
\[ 7 \cdot 10^{-5}\;\text{m} = 70 \cdot 10^{-6}\;\text{m} = 70\;\text{µm} \]| Vorsatz | µ (Mikro) | m (Milli) | — | k (Kilo) | M (Mega) | G (Giga) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Faktor | \(10^{-6}\) | \(10^{-3}\) | \(10^{0} = 1\) | \(10^{3}\) | \(10^{6}\) | \(10^{9}\) |
❓ Warum schreibt die Physik lieber \(3 \cdot 10^{8}\;\text{m/s}\) statt \(300000000\;\text{m/s}\)?
Drei Gründe: Die Grössenordnung (der Exponent 8) ist sofort sichtbar, ohne Nullen zu zählen. Das Rechnen wird leichter, weil sich Exponenten einfach addieren und subtrahieren. Und die Schreibweise zeigt klar, welche Stellen signifikant sind — \(3.00 \cdot 10^{8}\) verspricht drei verlässliche Stellen (dazu mehr im Abschnitt «Genauigkeit und Runden»).
✏️ Mini-Check
Wie lang ist \(4.5 \cdot 10^{-3}\;\text{m}\)?
- \(0.45\;\text{mm}\)
- \(4.5\;\text{mm}\)
- \(45\;\text{mm}\)
Lösung anzeigen
Beim Multiplizieren von Zehnerpotenzen werden die Exponenten .
Lösung anzeigen
Berechne \((2 \cdot 10^{3}) \cdot (3 \cdot 10^{4})\) und gib das Resultat in wissenschaftlicher Schreibweise an.
Lösung anzeigen
Wie oft passt ein Haardurchmesser (\(7 \cdot 10^{-5}\;\text{m}\)) in \(1\;\text{mm}\)?
Lösungsweg anzeigen
Gleichungen umstellen
Die häufigste Stolperstelle in Physik-Aufgaben ist nicht die Physik — es ist das Auflösen einer Formel nach der gesuchten Grösse. Die gute Nachricht: Es braucht nur eine einzige Idee.
Eine Gleichung ist wie eine Waage im Gleichgewicht. Sie bleibt im Gleichgewicht, wenn auf beiden Seiten dieselbe Operation ausgeführt wird: beide Seiten mal derselben Grösse, geteilt durch dieselbe Grösse (sofern sie nicht null ist), plus/minus derselbe Term, auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.
Beispiel 1: \(v = \dfrac{s}{t}\) nach \(t\) auflösen. Das \(t\) steht störend im Nenner — also zuerst beide Seiten mal \(t\):
\[ v \cdot t = s \]Jetzt steht \(t\) im Zähler, aber noch mit \(v\) multipliziert — beide Seiten durch \(v\) teilen:
\[ t = \frac{s}{v} \]Kontrolle mit Zahlen: \(s = 120\;\text{km}\), \(v = 80\;\text{km/h}\) → \(t = \dfrac{120}{80} = 1.5\;\text{h}\) ✓ (vgl. Animation 5).
Beispiel 2: \(V = \pi \cdot r^{\,2} \cdot h\) nach \(r\) auflösen. Zuerst alles wegdividieren, was nicht \(r\) ist — beide Seiten durch \(\pi \cdot h\):
\[ \frac{V}{\pi \cdot h} = r^{\,2} \]Dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen:
\[ r = \sqrt{\frac{V}{\pi \cdot h}} \]Kontrolle: Tank aus Animation 7 mit \(V = 0.785\;\text{m}^3\) und \(h = 1\;\text{m}\) → \(r = \sqrt{\dfrac{0.785}{\pi}} \approx 0.5\;\text{m}\) ✓.
- Nur auf einer Seite operieren — wer rechts durch \(t\) teilt, muss es auch links tun, sonst kippt die Waage.
- Reihenfolge: erst isolieren, dann Wurzel ziehen. Bei \(V = \pi r^2 h\) zuerst durch \(\pi h\) teilen und erst dann die Wurzel ziehen — nicht umgekehrt.
- Zu früh Zahlen einsetzen: erst symbolisch nach der gesuchten Grösse auflösen, dann einsetzen. Das ist das Ansatz-Prinzip dieses Lehrmittels.
❓ Warum darfst du in \(v = \dfrac{s}{t}\) nicht einfach das \(t\) «streichen»?
Weil «streichen» keine erlaubte Umformung ist — die Gleichheit geht dabei verloren. Erlaubt ist nur, auf beiden Seiten dieselbe Operation auszuführen. Multiplizierst du beide Seiten mit \(t\), kürzt sich das \(t\) rechts von selbst weg: \(v \cdot t = s\). Das sieht am Schluss ähnlich aus, ist aber sauber begründet — und funktioniert auch dann noch, wenn die Formel komplizierter wird.
✏️ Mini-Check
Löse \(F = m \cdot a\) nach \(a\) auf.
- \(a = F \cdot m\)
- \(a = \dfrac{m}{F}\)
- \(a = \dfrac{F}{m}\)
Lösung anzeigen
Eine Gleichung bleibt gültig, wenn auf beiden Seiten Operation ausgeführt wird.
Lösung anzeigen
Ein Hula-Hoop-Reifen hat den Umfang \(U = 3.0\;\text{m}\). Stelle \(U = 2\pi r\) nach \(r\) um und berechne den Radius.
Lösung anzeigen
Ein rundes Trampolin soll eine Sprungfläche von \(A = 2.0\;\text{m}^2\) haben. Welchen Radius braucht es? (Formel \(A = \pi r^2\) zuerst nach \(r\) auflösen.)
Lösungsweg anzeigen
Fallunterscheidungen — «gilt nur, wenn …»
Viele Formeln gelten nur unter einer Bedingung — zum Beispiel darf durch eine Differenz nur geteilt werden, wenn sie nicht null ist. Eine Fallunterscheidung behandelt die möglichen Situationen getrennt: Fall 1 (Bedingung erfüllt) und Fall 2 (Bedingung verletzt) führen zu verschiedenen Antworten. Sauberes Schliessen heisst: die Bedingung vor dem Einsetzen prüfen, nicht erst, wenn der Taschenrechner streikt.
Das klassische Beispiel ist das Einholproblem: Läuferin A startet bei \(0\), Läufer B hat \(d\) Meter Vorsprung. Beide laufen mit konstantem Tempo. Die Orte zur Zeit \(t\):
\[ s_A(t) = v_A \cdot t \qquad\qquad s_B(t) = d + v_B \cdot t \]Einholen heisst «gleicher Ort zur gleichen Zeit», also \(s_A(t) = s_B(t)\):
\[ v_A \cdot t = d + v_B \cdot t \] \[ v_A \cdot t - v_B \cdot t = d \] \[ t \cdot (v_A - v_B) = d \]Jetzt kommt die Bedingung: Durch \((v_A - v_B)\) darf nur geteilt werden, wenn diese Differenz nicht null ist — und ein positiver Zeitpunkt ergibt sich nur, wenn sie positiv ist:
- Fall 1: \(v_A \gt v_B\) — A ist schneller und holt ein bei \(t^* = \dfrac{d}{v_A - v_B}\).
- Fall 2: \(v_A \le v_B\) — A holt nie ein. Bei \(v_A = v_B\) bleibt der Abstand konstant \(d\) (parallele Geraden), bei \(v_A \lt v_B\) wächst er sogar.
Zahlenbeispiel für Fall 1: \(d = 40\;\text{m}\), \(v_A = 5\;\text{m/s}\), \(v_B = 3\;\text{m/s}\):
\[ t^* = \frac{d}{v_A - v_B} = \frac{40\;\text{m}}{5\;\text{m/s} - 3\;\text{m/s}} = \frac{40\;\text{m}}{2\;\text{m/s}} = 20\;\text{s} \]Treffpunkt: \(s_A(20) = 5 \cdot 20 = 100\;\text{m}\) — und zur Kontrolle \(s_B(20) = 40 + 3 \cdot 20 = 100\;\text{m}\). Beide Rechnungen stimmen überein.
❓ Was passiert genau am Grenzfall v_A = v_B?
Der Abstand bleibt für alle Zeiten konstant \(d\): Beide legen in jeder Sekunde gleich viel Strecke zurück. In der Gleichung \(t \cdot (v_A - v_B) = d\) steht links null, rechts \(d \neq 0\) — es gibt keine Lösung, und die Division durch \((v_A - v_B)\) wäre eine verbotene Division durch null. Im Diagramm sind die beiden Geraden exakt parallel. Der Grenzfall ist die Fallgrenze: knapp darüber wird \(t^*\) riesig, darunter existiert \(t^*\) gar nicht.
✏️ Mini-Check
Läuferin A (\(v_A = 4\;\text{m/s}\)) startet 20 m hinter Läufer B (\(v_B = 4\;\text{m/s}\)). Wann holt A ein?
- nach 5 s
- nach 20 s
- nie
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Die Formel \(t^* = d/(v_A - v_B)\) darf nur verwendet werden, wenn \(v_A\) \(v_B\) ist.
Lösung anzeigen
\(d = 24\;\text{m}\), \(v_A = 5\;\text{m/s}\), \(v_B = 2\;\text{m/s}\). Prüfe die Bedingung und berechne \(t^*\).
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\(v_A\) liegt nur ganz knapp über \(v_B\). Was passiert mit der Einholzeit \(t^*\) — und was sagt das über die Fallgrenze aus?
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Genauigkeit und Runden
Der Taschenrechner liefert \(0.4523893…\;\text{m}^3\) — aber wie viele Stellen davon sind sinnvoll? Es gibt zwei verschiedene Runde-Arten, und sie werden oft verwechselt:
Runden auf Kommastellen zählt die Stellen nach dem Komma: auf 2 Kommastellen wird \(19.618\) zu \(19.62\) — aber \(0.048107\) zu \(0.05\).
Runden auf signifikante Stellen zählt die geltenden Ziffern ab der ersten Ziffer, die nicht null ist: auf 3 signifikante Stellen wird \(19.618\) zu \(19.6\) und \(0.048107\) zu \(0.0481\). Führende Nullen zählen nie zu den signifikanten Stellen.
| Taschenrechner-Wert | auf 2 Kommastellen | auf 3 signifikante Stellen |
|---|---|---|
| \(452.39\) | \(452.39\) | \(452\) |
| \(19.618\) | \(19.62\) | \(19.6\) |
| \(0.048107\) | \(0.05\) | \(0.0481\) |
Die dritte Zeile zeigt das Problem: Auf 2 Kommastellen gerundet bleibt von \(0.048107\) nur noch \(0.05\) — eine einzige geltende Ziffer, über 4 % Rundungsfehler. Das Runden nach signifikanten Stellen behandelt dagegen grosse und kleine Zahlen gleich fair.
- Endergebnisse üblicherweise auf 3 signifikante Stellen runden (BM-Standard) — bzw. nicht genauer, als die Eingangswerte es hergeben.
- Zwischenresultate nicht runden: im Taschenrechner mit allen Stellen weiterrechnen und erst das Endergebnis runden.
- Die wissenschaftliche Schreibweise zeigt die Genauigkeit direkt: \(4.58 \cdot 10^{3}\;\text{L}\) bedeutet 3 verlässliche Stellen.
✏️ Mini-Check
Wie viele signifikante Stellen hat die Angabe \(0.00450\;\text{m}\)?
- zwei
- drei
- fünf
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In der BM werden Endergebnisse üblicherweise auf signifikante Stellen gerundet.
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Runde \(0.037249\) auf 3 signifikante Stellen.
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Dein Taschenrechner zeigt für ein Tank-Volumen \(0.4523893\;\text{m}^3\). Gib das Resultat in Litern mit 3 signifikanten Stellen an.
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Plausibilitätskontrolle — traue keinem Resultat ungeprüft
Ein Resultat ist erst fertig, wenn es geprüft ist. Drei Werkzeuge, die fast jeden Rechenfehler auffliegen lassen:
- (a) Grössenordnung schätzen: Passt die Zahl grob zur Alltagserfahrung? Ein Fussgänger schafft etwa \(5\;\text{km}\) pro Stunde, ein Auto auf der Autobahn etwa \(100\;\text{km}\) — weicht das Resultat um Faktor 100 ab, stimmt etwas nicht.
- (b) Einheiten-Check: Auf beiden Seiten einer Gleichung müssen dieselben Einheiten stehen. Wer \(\text{m/s}\) mit Stunden multipliziert, erhält keine Meter — gemischte Einheiten sind die häufigste Fehlerquelle.
- (c) Gegenrechnung: Das Resultat auf einem zweiten, unabhängigen Weg berechnen — oder rückwärts einsetzen. Stimmen beide Wege überein, ist das Resultat sehr wahrscheinlich richtig.
Ein Velo fährt mit \(5\;\text{m/s}\). Wie weit kommt es in \(2\;\text{h}\)? Jemand rechnet:
\[ s = v \cdot t = 5 \cdot 2 = 10\;\text{m} \quad\text{(falsch!)} \]Alle drei Checks schlagen an:
- Grössenordnung: 10 m in zwei Stunden — das schafft eine Schnecke. Ein Velo legt in \(2\;\text{h}\) eher \(20\;\text{km}\) bis \(50\;\text{km}\) zurück.
- Einheiten-Check: \(\text{m/s} \cdot \text{h}\) ergibt keine Meter — hier wurden Sekunden und Stunden gemischt. Erst umrechnen: \(2\;\text{h} = 2 \cdot 3600\;\text{s} = 7200\;\text{s}\).
- Korrekt: \(s = 5\;\text{m/s} \cdot 7200\;\text{s} = 36000\;\text{m} = 36\;\text{km}\).
- Gegenrechnung: \(v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{36000\;\text{m}}{7200\;\text{s}} = 5\;\text{m/s}\) ✓ — das Resultat besteht die Rückwärtsprobe.
Die Gegenrechnung ist das stärkste der drei Werkzeuge — sie prüft die ganze Rechnung, nicht nur ihre Form. Besonders elegant ist sie, wenn sich ein Resultat von zwei Seiten berechnen lässt:
❓ Ein Resultat besteht den Einheiten-Check. Ist es damit bewiesen richtig?
Nein. Der Einheiten-Check ist eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung: Stimmen die Einheiten nicht, ist die Rechnung sicher falsch — stimmen sie, kann die Zahl trotzdem falsch sein (z.B. ein vergessener Faktor 2 oder ein Tippfehler beim Eintippen). Darum ergänzen sich die drei Werkzeuge: Der Einheiten-Check prüft die Form, die Grössenordnung den groben Wert, und erst die Gegenrechnung prüft die ganze Rechnung.
✏️ Mini-Check
Ein Resultat lautet: «Ein Fussgänger legt in 1 h eine Strecke von 250 km zurück.» Welches Prüf-Werkzeug schlägt am schnellsten an?
- die Gegenrechnung
- die Grössenordnung
- der Taschenrechner
Lösung anzeigen
Beim Einheiten-Check müssen auf beiden Seiten der Gleichung dieselben stehen.
Lösung anzeigen
Zwei Velos fahren auf einer \(100\;\text{m}\)-Strecke aufeinander zu (\(v_A = 6\;\text{m/s}\), \(v_B = 4\;\text{m/s}\)). Berechne den Treffpunkt von links und prüfe ihn per Gegenrechnung von rechts.
Lösung anzeigen
Warum ersetzt ein bestandener Einheiten-Check die Gegenrechnung nicht?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Stelle in Animation 7 die Schieber auf \(r = 0.6\;\text{m}\) und \(h = 1.2\;\text{m}\). Lies Grundfläche und Volumen aus der Live-Anzeige ab und prüfe beide Werte mit der Formel nach.
Grundfläche: \(A = \pi r^2 = \pi \cdot 0.6^2 = \pi \cdot 0.36 \approx 1.13\;\text{m}^2\) (Live-Anzeige bestätigt).
Volumen: \(V = A \cdot h = 1.131 \cdot 1.2 \approx 1.36\;\text{m}^3 = 1357\;\text{L}\).
- \(4.5\;\text{kg}\) Kartoffeln kosten \(10.80\;\text{CHF}\) Wie viel kosten \(7\;\text{kg}\)?
- Ein Heuvorrat reicht für 12 Pferde 30 Tage. Wie lange reicht er für 18 Pferde?
- Direkte Proportionalität — der Quotient Kosten durch Menge, also der Preis, ist konstant: \[ \frac{10.80}{4.5} = 2.40\;\text{CHF/kg} \qquad\Rightarrow\qquad 7 \cdot 2.40 = 16.80\;\text{CHF} \]
- Indirekte Proportionalität — das Produkt (Pferde \(\cdot\) Tage) ist konstant: \[ 12 \cdot 30 = 360 \qquad\Rightarrow\qquad t = \frac{360}{18} = 20\;\text{Tage} \]
Ein Aquarium ist innen \(80\;\text{cm}\) lang, \(35\;\text{cm}\) breit und \(45\;\text{cm}\) hoch. Daneben steht eine zylindrische Regentonne mit Innendurchmesser \(60\;\text{cm}\) und Höhe \(90\;\text{cm}\).
- Wie viele Liter fasst das Aquarium?
- Wie viele Liter fasst die Regentonne?
- Wie viele volle 10-Liter-Giesskannen lassen sich aus der randvollen Tonne füllen?
- Quader: \[ V = a \cdot b \cdot c = 80 \cdot 35 \cdot 45 = 126000\;\text{cm}^3 = 126\;\text{L} \]
- Zylinder mit \(r = d/2 = 30\;\text{cm}\): \[ V = \pi \cdot r^{\,2} \cdot h = \pi \cdot 30^2 \cdot 90 \approx 254469\;\text{cm}^3 \approx 254\;\text{L} \]
- \(254 / 10 = 25.4\) — es lassen sich \(25\) volle Giesskannen füllen.
Stelle jeweils zuerst symbolisch um, setze erst danach die Zahlen ein.
- \(v = \dfrac{s}{t}\) nach \(t\); berechne \(t\) für \(s = 210\;\text{km}\) und \(v = 84\;\text{km/h}\).
- \(\rho = \dfrac{m}{V}\) nach \(m\); berechne die Masse von \(0.35\;\text{m}^3\) Wasser (\(\rho = 1000\;\text{kg/m}^3\)).
- \(U = 2\pi r\) nach \(r\); ein Gymnastikreifen hat den Umfang \(U = 1.35\;\text{m}\).
- \(V = \pi r^2 h\) nach \(r\); eine Getränkedose fasst \(V = 330\;\text{cm}^3\) bei einer Höhe von \(h = 11.5\;\text{cm}\).
- Beide Seiten mal \(t\), dann durch \(v\): \[ t = \frac{s}{v} = \frac{210}{84} = 2.5\;\text{h} = 2\;\text{h}\;30\;\text{min} \]
- Beide Seiten mal \(V\): \[ m = \rho \cdot V = 1000 \cdot 0.35 = 350\;\text{kg} \]
- Beide Seiten durch \(2\pi\): \[ r = \frac{U}{2\pi} = \frac{1.35}{2\pi} \approx 0.215\;\text{m} = 21.5\;\text{cm} \]
- Beide Seiten durch \(\pi h\), dann Wurzel: \[ r = \sqrt{\frac{V}{\pi \cdot h}} = \sqrt{\frac{330}{\pi \cdot 11.5}} \approx 3.02\;\text{cm} \]
- Schreibe in wissenschaftlicher Schreibweise: die mittlere Distanz Erde–Mond von \(384000\;\text{km}\) in Metern, und \(0.00052\;\text{m}\).
- Berechne \((3 \cdot 10^{5}) \cdot (2 \cdot 10^{-2})\).
- Gib \(2.5 \cdot 10^{-5}\;\text{m}\) in Engineering-Schreibweise und mit SI-Vorsatz an.
- Wie oft passt der Erddurchmesser (\(1.27 \cdot 10^{7}\;\text{m}\)) zwischen Erde und Mond (\(3.84 \cdot 10^{8}\;\text{m}\))?
- \(384000\;\text{km} = 384000000\;\text{m} = 3.84 \cdot 10^{8}\;\text{m}\); \(\;0.00052\;\text{m} = 5.2 \cdot 10^{-4}\;\text{m}\).
- Mantissen und Potenzen getrennt: \[ (3 \cdot 2) \cdot 10^{5 + (-2)} = 6 \cdot 10^{3} = 6000 \]
- Exponent auf das nächste Vielfache von 3 bringen: \(2.5 \cdot 10^{-5} = 25 \cdot 10^{-6}\;\text{m} = 25\;\text{µm}\).
- \[ \frac{3.84 \cdot 10^{8}}{1.27 \cdot 10^{7}} = \frac{3.84}{1.27} \cdot 10^{1} \approx 30.2 \] — rund 30-mal.
Ein zylindrischer Regenwasser-Speicher mit Innendurchmesser \(1.8\;\text{m}\) soll \(4000\;\text{L}\) fassen.
- Stelle \(V = \pi r^2 h\) nach \(h\) um.
- Berechne die nötige Höhe \(h\).
- Gebaut wird der Speicher schliesslich \(1.8\;\text{m}\) hoch. Wie viele Liter fasst er wirklich? Gib das Resultat mit 3 signifikanten Stellen an.
- Warum wäre die Angabe \(h = 1.5719007\;\text{m}\) in Teilaufgabe 2 unsinnig?
- Beide Seiten durch \(\pi r^2\): \[ h = \frac{V}{\pi \cdot r^{\,2}} \]
- Mit \(V = 4000\;\text{L} = 4\;\text{m}^3\) und \(r = 0.9\;\text{m}\): \[ h = \frac{4}{\pi \cdot 0.9^2} = \frac{4}{\pi \cdot 0.81} \approx 1.57\;\text{m} \]
- \[ V = \pi \cdot 0.81 \cdot 1.8 \approx 4.58\;\text{m}^3 = 4.58 \cdot 10^{3}\;\text{L} \approx 4580\;\text{L} \]
- Die Eingangswerte (\(1.8\;\text{m}\), \(4000\;\text{L}\)) sind höchstens auf 2–3 Stellen genau — 8 Stellen im Resultat täuschen eine Genauigkeit vor, die es nicht gibt. Beim Bau sind Bruchteile von Millimetern ohnehin bedeutungslos. Sinnvoll: \(h \approx 1.57\;\text{m}\).
Stelle in Animation 1 die harte Feder (\(D = 50\;\text{N/m}\)) und \(m = 1.2\;\text{kg}\) ein.
- Lies die Gewichtskraft \(F\) und die Dehnung \(x\) aus der Live-Box ab.
- Formuliere die zugehörige Je-desto-Aussage und benenne Ursache, Wirkung und die konstant gehaltene Grösse.
- Wechsle bei gleicher Masse zur weichen Feder (\(D = 25\;\text{N/m}\)). Was passiert mit der Dehnung — und warum?
- \(F = m \cdot g = 1.2 \cdot 9.81 \approx 11.77\;\text{N}\) und \(x = \dfrac{F}{D} = \dfrac{11.77}{50} \approx 0.235\;\text{m} \approx 23.5\;\text{cm}\).
- «Je grösser die angehängte Masse, desto grösser die Dehnung.» Ursache: Masse \(m\); Wirkung: Dehnung \(x\); konstant: die Federkonstante \(D\) (dieselbe Feder).
- Die Dehnung verdoppelt sich auf \(x = \dfrac{11.77}{25} \approx 0.471\;\text{m} \approx 47.1\;\text{cm}\): Bei halbiertem \(D\) bewirkt dieselbe Kraft die doppelte Dehnung (\(x = F/D\)).
4 kg Kartoffeln kosten 6.00 CHF.
- Was kostet 1 kg?
- Was kosten 7 kg? Schreibe den Dreisatz vollständig auf (auf 1 zurückführen, dann hochrechnen).
- Auf 1 zurückführen: \[ 1\;\text{kg} \;\longrightarrow\; \frac{6.00\;\text{CHF}}{4} = 1.50\;\text{CHF} \]
- Hochrechnen auf die Zielmenge: \[ 7\;\text{kg} \;\longrightarrow\; 1.50\;\text{CHF} \cdot 7 = 10.50\;\text{CHF} \] Erlaubt, weil der Kilopreis (der Quotient Preis/Menge) konstant ist.
Bestimme für jede Situation, welche Grössen Variablen und welche Konstanten sind.
- \(s = v \cdot t\) für ein Auto mit Tempomat auf der Autobahn.
- \(x = \dfrac{F}{D}\) für eine bestimmte Schraubenfeder, an die verschiedene Massestücke gehängt werden. Berechne zusätzlich \(x\) für \(F = 3.0\;\text{N}\) und \(D = 25\;\text{N/m}\).
- \(K = 2.50\;\text{CHF/kg} \cdot m\) an der Gemüsewaage — Kosten aus Menge und Preis.
- Konstante: \(v\) (vom Tempomat festgehalten). Variablen: \(t\) und \(s\) — die Strecke wächst mit der Zeit.
- Konstante: \(D\) (Eigenschaft der gewählten Feder). Variablen: \(F\) und \(x\). Rechnung: \(x = \dfrac{F}{D} = \dfrac{3.0\;\text{N}}{25\;\text{N/m}} = 0.12\;\text{m} = 12\;\text{cm}\).
- Konstante: der Preis \(2.50\;\text{CHF/kg}\). Variablen: die Menge \(m\) und die Kosten \(K\).
Die Herleitung von \(t = s/v\) aus der Tempo-Definition ist durcheinandergeraten:
- Bringe die vier Zeilen in die richtige Reihenfolge:
(A) \(t = \dfrac{s}{v}\) · (B) \(v = \dfrac{s}{t}\) · (C) beide Seiten durch \(v\) teilen: \(\dfrac{s}{v} = t\) · (D) beide Seiten mit \(t\) multiplizieren: \(v \cdot t = s\) - Begründe jeden Schritt: Was wurde gemacht, und warum ist es erlaubt?
- Richtige Reihenfolge: B → D → C → A.
- Begründungen Schritt für Schritt:
(B) Ausgangspunkt: Definition des Tempos bei konstanter Geschwindigkeit.
(D) Äquivalenzumformung «mal \(t\)» auf beiden Seiten — erlaubt, weil \(t \neq 0\); rechts kürzt sich \(t\).
(C) Äquivalenzumformung «durch \(v\)» auf beiden Seiten — erlaubt nur, falls \(v \neq 0\); links kürzt sich \(v\).
(A) Ergebnis, nach \(t\) aufgelöst — nur die Seiten der Gleichung wurden vertauscht.
Läuferin A (\(v_A = 4.0\;\text{m/s}\)) startet 30 m hinter Läufer B (\(v_B = 2.5\;\text{m/s}\)); beide laufen gleichzeitig los.
- Prüfe zuerst die Bedingung: Holt A überhaupt ein?
- Berechne die Einholzeit \(t^*\).
- Berechne den Treffpunkt über Läuferin A und kontrolliere ihn per Gegenrechnung über Läufer B.
- Wie lautet die Antwort, wenn A nur mit \(v_A = 2.5\;\text{m/s}\) läuft?
- \(v_A - v_B = 4.0 - 2.5 = 1.5\;\text{m/s} \gt 0\) — Fall 1, A holt ein.
- Ansatz: \(v_A \cdot t = d + v_B \cdot t\), aufgelöst: \[ t^* = \frac{d}{v_A - v_B} = \frac{30\;\text{m}}{1.5\;\text{m/s}} = 20\;\text{s} \]
- Über A: \(s_A = v_A \cdot t^* = 4.0 \cdot 20 = 80\;\text{m}\). Gegenrechnung über B: \(s_B = d + v_B \cdot t^* = 30 + 2.5 \cdot 20 = 80\;\text{m}\) ✓.
- Dann ist \(v_A = v_B\) — Fall 2: A holt nie ein, der Abstand bleibt konstant 30 m. Die Formel aus Teil 2 darf hier nicht verwendet werden (Division durch null).
Timo rechnet: «Ein Auto fährt mit \(90\;\text{km/h}\). In 20 Minuten legt es \(s = v \cdot t = 90 \cdot 20 = 1800\;\text{km}\) zurück.»
- Zeige mit der Grössenordnung und mit dem Einheiten-Check, dass das Resultat falsch sein muss.
- Korrigiere die Rechnung.
- Bestätige dein Resultat mit einer Gegenrechnung.
- Grössenordnung: 1800 km sind mehr als die Strecke Zürich–Madrid — in 20 Minuten unmöglich; bei \(90\;\text{km/h}\) sind es in einer ganzen Stunde erst 90 km. Einheiten-Check: \(\text{km/h} \cdot \text{min}\) ergibt keine Kilometer — Stunden und Minuten wurden gemischt.
- Zuerst die Zeit umrechnen: \(20\;\text{min} = \dfrac{20}{60}\;\text{h} = \dfrac{1}{3}\;\text{h}\). Ansatz: \[ s = v \cdot t = 90\;\text{km/h} \cdot \tfrac{1}{3}\;\text{h} = 30\;\text{km} \]
- Gegenrechnung: \(v = \dfrac{s}{t} = \dfrac{30\;\text{km}}{1/3\;\text{h}} = 90\;\text{km/h}\) ✓ — das korrigierte Resultat besteht die Rückwärtsprobe, und 30 km in 20 Minuten passt auch zur Grössenordnung.
Zusammenfassung
Rechnen — Werkzeuge und Formeln
| Werkzeug | Regel / Formel | Merkhilfe |
|---|---|---|
| Direkte Proportionalität | \(y = k \cdot x\), Quotient \(y/x\) konstant | doppelt → doppelt |
| Indirekte Proportionalität | \(y = k/x\), Produkt \(x \cdot y\) konstant | doppelt → halb |
| Flächen | \(A = a \cdot b\) (Rechteck), \(A = \pi r^2\) (Kreis) | \(r\) im Quadrat: \(2r \to 4A\) |
| Volumen | \(V = a b c\) (Quader), \(V = \pi r^2 h\) (Zylinder) | Grundfläche mal Höhe; \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L}\) |
| Kreis und Bogenmass | \(U = 2\pi r\), \(\;\varphi_{\text{rad}} = s/r\), \(\;360° = 2\pi\;\text{rad}\) | \(1\;\text{rad} \approx 57.3°\): Bogen = Radius |
| Zehnerpotenzen | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\); wissenschaftlich \(m \cdot 10^{n}\) mit \(1 \le m \lt 10\) | Engineering: Exponent 3, 6, 9, … → µ, m, k, M, G |
| Gleichungen umstellen | auf beiden Seiten dieselbe Operation | Waage im Gleichgewicht |
| Runden | Endergebnis auf 3 signifikante Stellen | Zwischenresultate nie runden |
Schliessen — Denkwerkzeuge
| Denkwerkzeug | Kernidee | Beispiel |
|---|---|---|
| Je-desto-Aussage | Eine Grösse ändern, Wirkung beobachten — alle anderen Grössen konstant halten | je grösser \(m\), desto grösser \(x\) (Feder) |
| Korrelation vs. Kausalität | Gemeinsames Wachsen beweist keine Ursache — nach der gemeinsamen Ursache fragen | Glacé-Verkauf und Sonnenbrände |
| Variablen & Konstanten | Vor dem Rechnen klären: Was ändert sich, was bleibt fest? | \(s = v \cdot t\) mit \(v = \text{const.}\) |
| Dreisatz | Auf 1 Einheit zurückführen, dann hochrechnen — nur bei konstantem Quotienten | \(3\;\text{kg} \to 1\;\text{kg} \to 5\;\text{kg}\) |
| Fallunterscheidung | Bedingung vor dem Einsetzen prüfen — Fälle getrennt behandeln | \(t^* = \dfrac{d}{v_A - v_B}\) nur für \(v_A \gt v_B\) |
| Plausibilitäts-Check | Grössenordnung, Einheiten-Check, Gegenrechnung | 1800 km in 20 min? Unmöglich. |
Kernpunkte
- Direkt proportional: Quotient konstant, Gerade durch den Ursprung. Indirekt proportional: Produkt konstant, Hyperbel.
- Volumen = Grundfläche mal Höhe — beim Zylinder \(V = \pi r^2 h\); der Radius geht im Quadrat ein.
- \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L}\) und \(1\;\text{cm}^3 = 1\;\text{mL}\) — Einheiten immer mit umrechnen.
- \(\pi = U/d\); im Bogenmass ist der Winkel «Bogen pro Radius», der Vollwinkel ist \(2\pi\;\text{rad}\).
- Zehnerpotenzen machen Grössenordnungen sichtbar; wissenschaftliche und Engineering-Schreibweise unterscheiden sich nur im erlaubten Exponenten.
- Formeln werden mit dem Waage-Prinzip umgestellt: erst symbolisch auflösen, dann Zahlen einsetzen.
- Gerundet wird am Schluss — üblicherweise auf 3 signifikante Stellen.
- In einer Je-desto-Aussage wird EINE Grösse verändert (Ursache), eine zweite reagiert (Wirkung) — alle übrigen bleiben konstant.
- Korrelation ist keine Kausalität: Zwei Grössen können gemeinsam wachsen, weil eine dritte beide antreibt.
- Ob ein Buchstabe Variable oder Konstante ist, entscheidet die Situation — nicht die Formel.
- Herleitungen bestehen aus einzelnen, begründeten Äquivalenzumformungen; wer die Schritte versteht, muss keine umgestellten Formeln auswendig lernen.
- Der Dreisatz führt auf 1 zurück und rechnet dann hoch — erlaubt nur bei proportionalen Grössen (konstanter Quotient).
- Formeln gelten oft nur unter Bedingungen; Fallunterscheidungen behandeln «Bedingung erfüllt» und «Bedingung verletzt» getrennt.
- Jedes Resultat wird geprüft: Grössenordnung schätzen, Einheiten checken, Gegenrechnung machen.