So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Du bestimmst das Tempo selbst. Wichtig ist nur die Reihenfolge — jeder Schritt setzt den vorherigen voraus. Am dichtesten hängen die letzten beiden zusammen: Ohne Kraft und Fläche gibt es keinen Druck, und ohne Druck keinen Überdruck.
Dieses Leitprogramm ist ein Kurs: Er führt in acht Schritten durch den Kern und prüft am Schluss. Zum Nachschlagen ist die Vorwissen-Reihe da — sechs Seiten mit Animationen, Mini-Checks und weiteren Themen, die hier keinen Platz haben: 0.1 Rechnen und Schliessen, 0.2 Grössen, Einheiten und Messen, 0.3 Messen — Waagen, Dichte, Einheiten, dazu der Einheitentrainer und 0.5 Die sieben SI-Basiseinheiten. In den beiden Auswertungstabellen steht bei jeder Aufgabe, wo der Stoff ausführlich nachzulesen ist.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine notierte falsche Vermutung lernt sich besser als eine gelesene richtige.
- Clip anschauen. Jeder Schritt beginnt mit einem vertonten Erklärclip von rund einer Minute. Er ersetzt den Lehrtext nicht, sondern stellt die Frage, die der Text beantwortet.
- Simulation selbst bewegen. Wo ein Regler steht, gehört er gezogen. Beobachte, welche Anzeige mitgeht und welche stehen bleibt — das ist meist der ganze Lerninhalt.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen. Wer zuerst schaut, betrügt sich um den Lerneffekt.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht. Wer nur die Kernaufgaben rechnet, kommt mit den angesetzten vier Lektionen aus.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Gesamttest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 20 Minuten, nur Taschenrechner.
Was du am Ende können musst
Grössen mit Zahlenwert und Einheit angeben, Vorsilben als Zehnerpotenzen lesen und im Rechner eingeben, Längen, Flächen und Volumen umrechnen, Ergebnisse auf drei signifikante Stellen runden.
Masse von Gewichtskraft unterscheiden, mit Dichte rechnen, Druck als Kraft je Fläche bestimmen und Überdruck in absoluten Druck umrechnen.
Drei Regeln, die in diesem Lehrmittel überall gelten
Erstens: Das Dezimaltrennzeichen ist der Punkt — 9.81, nicht 9,81.
Zweitens: Zu jedem Zahlenwert gehört eine Einheit. Eine Zahl ohne Einheit ist in der Physik keine Antwort.
Drittens: Gerundet wird erst am Schluss, und dann auf drei signifikante Stellen.
Vortest: Was solltest du schon können?
Sechs kurze Aufgaben aus der Sekundarstufe. Sie zeigen dir, wo du bereits stehst — und welchen Schritt du besonders aufmerksam lesen solltest.
Rechne alle sechs Aufgaben, bevor du eine einzige Lösung aufklappst. Rechne mit \(g = 9.81\,\mathrm{N/kg}\) und mit einem Luftdruck von \(1.0\,\mathrm{bar}\).
V.1 Rechne \(2.5\,\mathrm{km}\) in Meter und in Millimeter um.
V.2 Ein würfelförmiger Behälter hat \(30\,\mathrm{cm}\) Kantenlänge. Wie viele Liter fasst er?
V.3 Runde \(0.0072461\) auf drei signifikante Stellen.
V.4 Ein Körper hat die Masse \(250\,\mathrm{g}\) und das Volumen \(92\,\mathrm{cm^3}\). Wie gross ist seine Dichte in \(\mathrm{g/cm^3}\) und in \(\mathrm{kg/m^3}\)?
V.5 Welche Gewichtskraft wirkt auf der Erde auf eine Masse von \(4.0\,\mathrm{kg}\)?
V.6 Ein Reifendruckprüfer zeigt \(3.0\,\mathrm{bar}\). Wie gross ist der absolute Druck im Reifen?
Alle Lösungen und die Auswertung anzeigen
V.1 \(2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \cdot 10^{3}\,\mathrm{m} = 2500\,\mathrm{m}\)
und weiter \(2500\,\mathrm{m} = 2.5 \cdot 10^{6}\,\mathrm{mm}\)
V.2 \(V = (30\,\mathrm{cm})^3 = 27\,000\,\mathrm{cm^3} = 27\,\mathrm{l}\)
V.3 \(0.0072461 \to 0.00725\). Die führenden Nullen zählen nicht mit.
V.4 \(\rho = \dfrac{250\,\mathrm{g}}{92\,\mathrm{cm^3}} = 2.72\,\mathrm{g/cm^3} = 2720\,\mathrm{kg/m^3}\)
V.5 \(F_G = m \cdot g = 4.0\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\mathrm{N/kg} = 39.2\,\mathrm{N}\)
V.6 \(p_\text{abs} = p_\text{ü} + p_\text{L} = 3.0\,\mathrm{bar} + 1.0\,\mathrm{bar} = 4.0\,\mathrm{bar}\)
Auswertung. Alles richtig? Dann arbeite die Schritte 1 bis 6 zügig als Auffrischung durch und nimm dir für 7 und 8 Zeit — Druck und Überdruck sind für die meisten neu. Bei drei oder mehr Fehlern gehst du den ganzen Weg der Reihe nach.
| Fehler bei | Dieser Schritt ist für dich wichtig | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| V.1 | Schritt 2 — Vorsilben als Zehnerpotenzen | 0.2 Einheitenpräfixe |
| V.2 | Schritt 3 — Volumen, Kubikeinheiten und Hohlmass | 0.2 Einheiten umrechnen |
| V.3 | Schritt 4 — Runden auf signifikante Stellen | 0.1 Genauigkeit und Runden |
| V.4 | Schritt 6 — Dichte und die Umrechnung der Einheiten | 0.3 Dichte bestimmen |
| V.5 | Schritt 5 — Masse und Gewichtskraft | 0.3 Masse und Gewichtskraft |
| V.6 | Schritt 8 — Überdruck und absoluter Druck | 4.5 Grundbegriffe |
Ein Fehler, der in V.1 bis V.3 nur lästig ist, kostet später in jeder Aufgabe Punkte: Alle folgenden Kapitel rechnen mit denselben Umformungen.
Jede Grösse hat Zahlenwert und Einheit
Du unterscheidest Grösse, Zahlenwert und Einheit und weisst, warum eine Zahl allein in der Physik keine Antwort ist.
Einstiegsfrage. Eine Kollegin schreibt als Resultat einer Rechnung nur «\(0.75\)» auf. Was fehlt — und warum ist das nicht bloss Formsache? Notiere deine Antwort.
Eine physikalische Grösse ist alles, was sich messen lässt: eine Länge, eine Masse, eine Zeit, ein Druck. Angegeben wird sie immer als Produkt aus zwei Teilen:
\[ \text{Grösse} = \text{Zahlenwert} \cdot \text{Einheit} \]
In \(l = 0.75\,\mathrm{m}\) ist \(l\) das Formelzeichen, \(0.75\) der Zahlenwert und \(\mathrm{m}\) die Einheit. Der Zahlenwert allein sagt nichts: \(0.75\) kann ein Dreiviertelmeter sein, ein Dreiviertelkilogramm oder eine Dreiviertelsekunde. Erst die Einheit legt fest, wovon die Rede ist — und sie legt zugleich fest, wie gross die Zahl ausfällt. Dieselbe Länge heisst \(0.75\,\mathrm{m}\) oder \(75\,\mathrm{cm}\) oder \(750\,\mathrm{mm}\).
Die Einheiten der Physik bilden ein System mit sieben Basisgrössen. Alle übrigen Einheiten entstehen daraus durch Multiplizieren und Dividieren: Eine Fläche ist Länge mal Länge, also \(\mathrm{m^2}\); eine Dichte ist Masse durch Volumen, also \(\mathrm{kg/m^3}\); ein Druck ist Kraft durch Fläche, also \(\mathrm{N/m^2}\). Wer die Einheit einer abgeleiteten Grösse vergessen hat, kann sie aus der Formel jederzeit wieder herstellen.
Merksatz
Eine Zahl ohne Einheit ist in der Physik keine Antwort. Und die Einheit ist keine Verzierung, sondern eine Rechengrösse: Sie wird beim Einsetzen mitgeschleppt und beim Kürzen mitgekürzt.
Die Einheit rechnet mit
Setzt man Einheiten konsequent mit ein, kontrollieren sie das Ergebnis von selbst. Kommt in einer Kraftaufgabe am Schluss \(\mathrm{kg\,m/s^2}\) heraus, stimmt der Ansatz — das ist genau ein Newton. Kommt \(\mathrm{kg/s}\) heraus, ist irgendwo eine Grösse falsch eingesetzt, und man sieht es, ohne die Zahlen zu prüfen.
A1.1 KERN Welche der folgenden Angaben sind physikalische Grössen, welche sind reine Zahlen? \(3.5\,\mathrm{kg}\) — \(12\) — \(9.81\,\mathrm{N/kg}\) — \(\pi\) — \(0.75\)
Lösung anzeigen
Grössen sind \(3.5\,\mathrm{kg}\) und \(9.81\,\mathrm{N/kg}\) — beide tragen eine Einheit. Reine Zahlen sind \(12\), \(\pi\) und \(0.75\). Reine Zahlen kommen in der Physik durchaus vor, etwa als Wirkungsgrad oder als Verhältnis zweier gleichartiger Grössen; dann haben sie bewusst keine Einheit, weil sie sich weggekürzt hat.
A1.2 KERN Stelle aus der Formel \(\rho = \dfrac{m}{V}\) die Einheit der Dichte her, wenn \(m\) in Kilogramm und \(V\) in Kubikmeter angegeben wird.
Lösung anzeigen
Die Einheit entsteht genauso wie die Formel: \([\rho] = \dfrac{[m]}{[V]} = \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} = \mathrm{kg/m^3}\). Mehr als Einsetzen ist nicht nötig.
A1.3 VERTIEFUNG Ein Rezept verlangt «\(60\) Mehl». Ein Tank «fasst \(60\)». Beide Angaben sind unbrauchbar, aber aus verschiedenen Gründen mehrdeutig. Erkläre, welche Einheiten jeweils in Frage kämen und wie stark sich die Ergebnisse unterscheiden.
Lösung anzeigen
Beim Mehl kämen \(60\,\mathrm{g}\) oder \(60\,\mathrm{kg}\) in Frage — ein Faktor \(1000\) zwischen Guetzli und Bäckerei. Beim Tank sind \(60\,\mathrm{l}\) oder \(60\,\mathrm{m^3}\) denkbar; auch das ist ein Faktor \(1000\), diesmal zwischen Autotank und Heizöllager.
Beide Male ist es dieselbe Verwechslung: Ohne Einheit fehlt nicht nur der Massstab, sondern auch die Grössenordnung. Genau davon handelt der nächste Schritt.
Vorsilben sind Zehnerpotenzen
Du liest jede Vorsilbe als Zehnerpotenz, rechnest damit ohne Kommaschieben und gibst sie im Taschenrechner mit der EE-Taste ein.
Einstiegsfrage. Wie viele Nullen stehen in \(5\,\mathrm{\mu m}\), wenn man die Länge in Metern ausschreibt? Schätze zuerst, zähle dann nach.
Eine Vorsilbe ist nichts anderes als der Kurzname einer Zehnerpotenz. «Milli» heisst \(10^{-3}\), «Kilo» heisst \(10^{3}\) — und zwar bei jeder Einheit gleich, ob Meter, Gramm, Watt oder Sekunde. Wer die Vorsilbe durch ihre Potenz ersetzt, muss nichts mehr schieben, sondern nur noch Exponenten zusammenzählen:
\[ 5\,\mathrm{\mu m} = 5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{m} = 0.000005\,\mathrm{m} \]
| Vorsilbe | Zeichen | Faktor | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Tera | T | \(10^{12}\) | \(1\,\mathrm{TB}\) |
| Giga | G | \(10^{9}\) | \(2.4\,\mathrm{GHz}\) |
| Mega | M | \(10^{6}\) | \(3\,\mathrm{MW}\) |
| Kilo | k | \(10^{3}\) | \(47\,\mathrm{kN}\) |
| Hekto | h | \(10^{2}\) | \(1013\,\mathrm{hPa}\) |
| Dezi | d | \(10^{-1}\) | \(5\,\mathrm{dl}\) |
| Zenti | c | \(10^{-2}\) | \(75\,\mathrm{cm}\) |
| Milli | m | \(10^{-3}\) | \(250\,\mathrm{ml}\) |
| Mikro | µ | \(10^{-6}\) | \(5\,\mathrm{\mu m}\) |
| Nano | n | \(10^{-9}\) | \(820\,\mathrm{nm}\) |
Die EE-Taste
Zehnerpotenzen tippt man nicht als «mal zehn hoch», sondern mit der Taste EE (auf manchen Geräten EXP oder ×10ˣ). Sie erzeugt einen einzigen Zahlenwert. Das ist kein Komfort, sondern eine Fehlerquelle weniger:
Warum EE und nicht «mal zehn hoch»
Getippt als Malrechnung zerfällt der Wert in zwei Faktoren, und im Nenner wird nur der erste davon geteilt. Der Unterschied ist keine Kleinigkeit:
\[ 1 : (6.7\;\text{EE}\;{-}11) = 1.49 \cdot 10^{10} \qquad\text{aber}\qquad 1 : 6.7 \times 10^{-11} = 1.49 \cdot 10^{-12} \]
Das sind \(10^{22}\) Zehnerpotenzen Unterschied — und der Rechner meldet keinen Fehler.
Merksatz
Vorsilbe als Potenz lesen, Potenz mit EE eingeben. Dann stimmt die Grössenordnung von selbst, und man muss nie Nullen zählen.
A2.1 KERN Schreibe als Zehnerpotenz der Grundeinheit: \(47\,\mathrm{kN}\) — \(0.25\,\mathrm{MJ}\) — \(820\,\mathrm{nm}\) — \(1013\,\mathrm{hPa}\).
Lösung anzeigen
\(47\,\mathrm{kN} = 47 \cdot 10^{3}\,\mathrm{N} = 4.7 \cdot 10^{4}\,\mathrm{N}\)
\(0.25\,\mathrm{MJ} = 0.25 \cdot 10^{6}\,\mathrm{J} = 2.5 \cdot 10^{5}\,\mathrm{J}\)
\(820\,\mathrm{nm} = 820 \cdot 10^{-9}\,\mathrm{m} = 8.20 \cdot 10^{-7}\,\mathrm{m}\)
\(1013\,\mathrm{hPa} = 1013 \cdot 10^{2}\,\mathrm{Pa} = 1.013 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\)
A2.2 KERN Berechne mit der EE-Taste \(\dfrac{1}{1.6 \cdot 10^{-19}}\) und gib das Ergebnis auf drei signifikante Stellen an.
Lösung anzeigen
Eingabe: 1 ÷ ( 1.6 EE −19 ) = ergibt \(6.25 \cdot 10^{18}\). Die Klammer ist nötig, weil sonst nur durch \(1.6\) geteilt wird.
A2.3 VERTIEFUNG Jemand tippt \(1 : 2 \times 10^{3}\) mit der Potenztaste statt mit EE und ohne Klammer. Welches Ergebnis erscheint, welches wäre richtig, und um welchen Faktor liegt er daneben?
Lösung anzeigen
Der Rechner arbeitet von links nach rechts: \(1 : 2 = 0.5\), dann \(0.5 \cdot 10^{3} = 500\).
Richtig wäre \(\dfrac{1}{2 \cdot 10^{3}} = 5 \cdot 10^{-4} = 0.0005\).
Der Faktor zwischen beiden beträgt \(10^{6}\) — eine Million. Mit EE getippt wäre \(2\;\text{EE}\;3\) ein einziger Wert gewesen, und der Fehler hätte gar nicht entstehen können.
Fläche und Volumen umrechnen
Du weisst, warum der Umrechnungsfaktor bei Flächen quadriert und bei Volumen hoch drei genommen wird, und rechnest zwischen Kubikmass und Hohlmass um.
Einstiegsfrage. Von Meter auf Dezimeter ist der Faktor \(10\). Wie viele Quadratdezimeter sind ein Quadratmeter — und wie viele Kubikdezimeter ein Kubikmeter? Schätze, bevor du weiterliest.
Eine Länge hat eine Richtung, eine Fläche zwei, ein Volumen drei. Beim Umrechnen wird jede dieser Richtungen umgerechnet — der Faktor zählt also so oft, wie die Einheit Exponenten hat:
\[ 1\,\mathrm{m} = 10\,\mathrm{dm} \qquad 1\,\mathrm{m^2} = 10\,\mathrm{dm} \cdot 10\,\mathrm{dm} = 100\,\mathrm{dm^2} \qquad 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{dm^3} \]
Der Exponent an der Einheit sagt damit unmittelbar, wie oft der Faktor zählt. Von Meter auf Zentimeter ist der Faktor \(100\); für Quadratzentimeter zählt er zweimal, also \(10\,000\), für Kubikzentimeter dreimal, also eine Million.
n = 10: 10 → 10² = 100 → 10³ = 1000
Kubikmass und Hohlmass
Für Flüssigkeiten trägt derselbe Raum einen zweiten Namen. Das ist keine neue Grösse, sondern nur eine andere Bezeichnung:
\[ 1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l} \qquad 1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{ml} \qquad 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l} \]
Merksatz
Der Exponent an der Einheit ist der Exponent am Faktor. Wer bei Fläche und Volumen den Faktor der Länge nimmt, liegt um das Zehn- bis Tausendfache daneben — der häufigste Umrechnungsfehler überhaupt.
A3.1 KERN Rechne um: \(2.4\,\mathrm{m^2}\) in \(\mathrm{cm^2}\) — \(350\,\mathrm{cm^3}\) in Liter — \(0.75\,\mathrm{l}\) in \(\mathrm{cm^3}\).
Lösung anzeigen
\(2.4\,\mathrm{m^2} = 2.4 \cdot 10^{4}\,\mathrm{cm^2} = 24\,000\,\mathrm{cm^2}\)
\(350\,\mathrm{cm^3} = 350\,\mathrm{ml} = 0.350\,\mathrm{l}\)
\(0.75\,\mathrm{l} = 750\,\mathrm{ml} = 750\,\mathrm{cm^3}\)
A3.2 KERN Ein Aquarium misst innen \(80\,\mathrm{cm} \times 35\,\mathrm{cm} \times 40\,\mathrm{cm}\). Wie viele Liter fasst es randvoll?
Lösung anzeigen
\[ V = a \cdot b \cdot c = 80\,\mathrm{cm} \cdot 35\,\mathrm{cm} \cdot 40\,\mathrm{cm} = 112\,000\,\mathrm{cm^3} \]
\(112\,000\,\mathrm{cm^3} = 112\,000\,\mathrm{ml} = 112\,\mathrm{l}\)
A3.3 VERTIEFUNG Eine Zimmerdecke von \(4.20\,\mathrm{m} \times 3.60\,\mathrm{m}\) soll gestrichen werden. Ein Liter Farbe reicht laut Etikette für \(9\,\mathrm{m^2}\). Wie viel Farbe wird gebraucht?
Lösung anzeigen
\[ A = 4.20\,\mathrm{m} \cdot 3.60\,\mathrm{m} = 15.1\,\mathrm{m^2} \]
\(\dfrac{15.12\,\mathrm{m^2}}{9\,\mathrm{m^2/l}} = 1.68\,\mathrm{l}\) — also zwei Liter kaufen. Beachte, dass hier mit dem ungerundeten Zwischenwert \(15.12\,\mathrm{m^2}\) weitergerechnet wurde; gerundet wird erst das Endergebnis.
Runden auf drei signifikante Stellen
Du rundest Ergebnisse auf drei signifikante Stellen und begründest, warum «zwei Stellen nach dem Komma» eine schlechte Regel ist.
Einstiegsfrage. Dieselbe Länge lautet \(0.048107\,\mathrm{m}\) oder \(48.107\,\mathrm{mm}\). Was passiert, wenn man beide Angaben «auf zwei Stellen nach dem Komma» rundet? Notiere deine Vermutung, bevor du es ausrechnest.
Kommastellen zählen ab dem Dezimalpunkt. Signifikante Stellen — auch geltende Ziffern genannt — zählen ab der ersten Ziffer, die nicht null ist; führende Nullen zählen nie mit. In \(0.0481\) sind es also drei geltende Ziffern, nicht fünf.
Der Unterschied wird dort entscheidend, wo eine Vorsilbe ins Spiel kommt. Der Dezimalpunkt wandert beim Umrechnen mit — die erste geltende Ziffer nicht. Genau darum hängen Kommastellen an der Einheit und signifikante Stellen nicht.
Die untere Zeile ändert sich nicht — die obere schon.
Merksatz
In diesem Lehrmittel wird auf drei signifikante Stellen gerundet, sofern eine Aufgabe nichts anderes verlangt. Das passt zur Genauigkeit üblicher Schulmessgeräte und liefert in jeder Einheit dieselbe Aussage.
Gerundet wird erst am Schluss. Zwischenwerte bleiben im Rechner stehen, sonst summieren sich die Rundungsfehler.
A4.1 KERN Runde auf drei signifikante Stellen: \(1234.7\) — \(0.0035829\) — \(96.57\).
Lösung anzeigen
\(1234.7 \to 1.23 \cdot 10^{3}\) — geschrieben als \(1230\) wäre unklar, ob die Null noch eine geltende Ziffer ist. Die Zehnerpotenz macht es eindeutig.
\(0.0035829 \to 0.00358\)
\(96.57 \to 96.6\)
A4.2 KERN Ein Rechner zeigt für eine Länge \(0.0416666\ldots\,\mathrm{m}\). Gib sie auf drei signifikante Stellen an, in Meter und in Millimeter.
Lösung anzeigen
\(0.0417\,\mathrm{m} = 41.7\,\mathrm{mm}\). Beide Angaben tragen drei geltende Ziffern und sagen dasselbe — genau das ist der Zweck der Regel.
A4.3 VERTIEFUNG Runde denselben Wert \(0.0416666\ldots\,\mathrm{m}\) stattdessen auf zwei Stellen nach dem Komma. Wie gross ist der Rundungsfehler in Prozent, und was ergäbe dieselbe Regel, angewandt auf die Angabe in Millimetern?
Lösung anzeigen
Auf zwei Kommastellen: \(0.04\,\mathrm{m}\). Der Fehler beträgt \(\dfrac{0.0416\overline{6} - 0.04}{0.0416\overline{6}} = 4.0\,\%\) — von drei geltenden Ziffern bleibt eine übrig.
In Millimetern angewandt ergibt dieselbe Regel \(41.67\,\mathrm{mm}\), also vier geltende Ziffern und einen Fehler von fast null. Zwei Angaben derselben Länge, zwei völlig verschiedene Genauigkeiten: Die Regel taugt nichts, weil sie an der Vorsilbe hängt.
Masse und Gewichtskraft
Du unterscheidest Masse und Gewichtskraft, rechnest die Gewichtskraft aus Masse und Ortsfaktor und erklärst, was eine Küchenwaage tatsächlich misst.
Einstiegsfrage. «Die Packung wiegt ein Kilo.» Welche zwei verschiedenen physikalischen Grössen stecken in diesem Alltagssatz — und welche davon zeigt die Waage an?
Die Masse \(m\) sagt, wie träge ein Körper ist — wie schwer er in Bewegung zu setzen und wieder anzuhalten ist. Bei gleichem Material wächst sie mit der Menge. Sie ist eine Eigenschaft des Körpers und ändert sich nicht, wenn er den Ort wechselt. Ihre Einheit ist das Kilogramm.
Die Gewichtskraft \(F_G\) ist dagegen die Kraft, mit der ein Himmelskörper an dieser Masse zieht. Sie hängt vom Ort ab und wird in Newton gemessen:
\[ F_G = m \cdot g \qquad g_{\text{Erde}} = 9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} \qquad g_{\text{Mond}} = 1.62\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} \]
Der Ortsfaktor \(g\) gehört nicht zum Körper, sondern zum Ort. Dieselbe Packung Mehl hat auf der Erde und auf dem Mond dieselbe Masse, aber nur ein Sechstel der Gewichtskraft.
Was eine Waage misst
Eine gewöhnliche Küchen- oder Personenwaage misst eine Kraft und rechnet sie mit dem Ortsfaktor der Erde in Kilogramm um. Auf dem Mond zeigte dieselbe Waage bei \(1.0\,\mathrm{kg}\) Mehl rund \(0.17\,\mathrm{kg}\) an — nicht weil sich die Masse geändert hätte, sondern weil sie mit dem falschen \(g\) rechnet.
Merksatz
Die Einheit verrät die Grösse: Kilogramm bedeutet Masse, Newton bedeutet Kraft. Umgangssprachlich meint «Gewicht» fast immer die Masse — im Physikheft nie.
A5.1 KERN Welche Gewichtskraft wirkt auf eine Person von \(75\,\mathrm{kg}\) auf der Erde, welche auf dem Mond?
Lösung anzeigen
\[ F_G = m \cdot g = 75\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} = 736\,\mathrm{N} \]
\[ F_G = 75\,\mathrm{kg} \cdot 1.62\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} = 122\,\mathrm{N} \]
A5.2 KERN Eine Küchenwaage zeigt \(2.0\,\mathrm{kg}\). Welche Kraft hat sie in Wirklichkeit gemessen?
Lösung anzeigen
\(F_G = 2.0\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\mathrm{N/kg} = 19.6\,\mathrm{N}\). Angezeigt hat sie diese Kraft geteilt durch \(g\) — und das nennt sie dann Kilogramm.
A5.3 VERTIEFUNG Eine Astronautin sagt: «Ich bin hier schwerelos, also masselos.» Was stimmt an dem Satz und was nicht? Welche Folge hätte es, wenn sie wirklich masselos wäre?
Lösung anzeigen
Schwerelos ist richtig gemeint, aber nicht ganz richtig begründet: Die Gewichtskraft wirkt weiter — sie ist es ja, die die Station auf ihrer Bahn hält. Was fehlt, ist die Stützkraft des Bodens, weil Astronautin und Station gemeinsam fallen. Darum zeigt eine Waage dort null an, und darum spürt sie nichts. Masselos ist falsch — ihre Masse ist unverändert.
Man merkt es sofort an der Trägheit: Auch in der Station braucht es eine Kraft, um sie in Bewegung zu setzen oder abzubremsen, und einen Werkzeugkasten von \(30\,\mathrm{kg}\) stoppt man dort so wenig mit dem kleinen Finger wie auf der Erde. Wäre sie masselos, ginge das mühelos.
Dichte
Du berechnest die Dichte als Quotient, erklärst, warum sie nicht von der Menge abhängt, und rechnest zwischen den Einheiten g/cm³ und kg/m³ um.
Einstiegsfrage. Ein Aluminiumspan von \(27\,\mathrm{g}\) und ein Aluminiumklotz von \(2700\,\mathrm{g}\). Der Klotz hat hundertmal mehr Masse — ist er darum dichter?
Die Dichte fragt nicht, wie viel Masse vorhanden ist, sondern wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt. Sie ist ein Quotient:
\[ \rho = \frac{m}{V} \qquad [\rho] = \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \quad\text{oder}\quad \frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]
Wächst die Menge, wachsen Masse und Volumen um denselben Faktor — er kürzt sich weg. Darum ist die Dichte eine Stoffeigenschaft: eine charakteristische Grösse, an der sich ein Material erkennen lässt.
ρ = m : V = 2.70 g/cm³ = 2700 kg/m³
Zwischen den beiden Einheiten umrechnen
Der Faktor \(1000\) zwischen \(\mathrm{g/cm^3}\) und \(\mathrm{kg/m^3}\) ist kein Zufall: Das Gramm ist tausendmal kleiner als das Kilogramm, der Kubikzentimeter aber eine Million mal kleiner als der Kubikmeter.
\[ 1\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} = \frac{10^{-3}\,\mathrm{kg}}{10^{-6}\,\mathrm{m^3}} = 10^{3}\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \]
| Stoff | \(\rho\) in \(\mathrm{g/cm^3}\) | \(\rho\) in \(\mathrm{kg/m^3}\) |
|---|---|---|
| Fichtenholz | 0.47 | 470 |
| Ethanol | 0.789 | 789 |
| Speiseöl | 0.92 | 920 |
| Wasser (4 °C) | 1.00 | 1000 |
| Aluminium | 2.70 | 2700 |
| Eisen | 7.87 | 7870 |
| Kupfer | 8.96 | 8960 |
| Gold | 19.30 | 19 300 |
Merksatz
Die Dichte hängt nicht von der Menge ab, wohl aber von der Temperatur. Beim Erwärmen wächst das Volumen, die Masse bleibt — der Quotient wird kleiner. Darum steht in jeder Tabelle eine Temperatur dabei.
A6.1 KERN Welche Masse hat ein Eisenstück von \(3.5\,\mathrm{dm^3}\)?
Lösung anzeigen
Erst die Einheiten angleichen: \(3.5\,\mathrm{dm^3} = 3500\,\mathrm{cm^3}\).
\[ m = \rho \cdot V = 7.87\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \cdot 3500\,\mathrm{cm^3} = 27\,545\,\mathrm{g} \]
Auf drei signifikante Stellen: \(m = 27.5\,\mathrm{kg}\).
A6.2 KERN Welches Volumen nehmen \(180\,\mathrm{g}\) Speiseöl ein? Gib das Ergebnis auch in Litern an.
Lösung anzeigen
\[ V = \frac{m}{\rho} = \frac{180\,\mathrm{g}}{0.92\,\mathrm{g/cm^3}} = 196\,\mathrm{cm^3} \]
\(196\,\mathrm{cm^3} = 196\,\mathrm{ml} = 0.196\,\mathrm{l}\)
A6.3 VERTIEFUNG Ein Ring hat die Masse \(12.4\,\mathrm{g}\) und verdrängt im Messzylinder \(0.72\,\mathrm{cm^3}\) Wasser. Ist er aus reinem Gold?
Lösung anzeigen
\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{12.4\,\mathrm{g}}{0.72\,\mathrm{cm^3}} = 17.2\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]
Reines Gold hat \(19.30\,\mathrm{g/cm^3}\). Der Ring liegt deutlich darunter, besteht also nicht durchgehend aus reinem Gold. Am wahrscheinlichsten ist eine Legierung — bei Schmuck der Normalfall, weil reines Gold zu weich wäre; denkbar wären auch ein Hohlraum oder ein Messfehler. Beachte allerdings, wie empfindlich die Rechnung ist: Ein Ablesefehler von \(0.02\,\mathrm{cm^3}\) verschiebt das Ergebnis schon um rund einen halben Punkt.
Druck ist Kraft je Fläche
Du berechnest den Druck aus Kraft und Fläche, beherrschst die Einheiten Pascal, Hektopascal und bar und erklärst, warum ein schmaler Absatz mehr Druck erzeugt als ein Elefantenfuss.
Einstiegsfrage. Mit dem Daumen gegen ein Brett zu drücken tut nichts. Mit derselben Kraft gegen eine Nadel steckt sie im Holz. Woran liegt das — an der Kraft oder an etwas anderem?
Der Druck sagt, wie sich eine Kraft auf eine Fläche verteilt. Die Kraft steht dabei senkrecht auf der Fläche:
\[ p = \frac{F}{A} \qquad [\,p\,] = \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m^2}} = \mathrm{Pa} \]
Ein Pascal ist sehr wenig: Ein Blatt Papier drückt mit knapp \(1\,\mathrm{Pa}\) auf den Tisch. Darum sind im Alltag grössere Einheiten üblich:
\[ 1\,\mathrm{hPa} = 100\,\mathrm{Pa} \qquad 1\,\mathrm{kPa} = 1000\,\mathrm{Pa} \qquad 1\,\mathrm{bar} = 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 1000\,\mathrm{hPa} \]
Der Luftdruck auf Meereshöhe beträgt rund \(1\,\mathrm{bar}\), genauer \(1013\,\mathrm{hPa}\) — deshalb rechnet der Wetterbericht in Hektopascal und die Werkstatt in bar, obwohl beide dieselbe Grösse meinen.
p = F : A = 589 N : 0.0080 m² = 73.6 kPa
Genau das ist der Grund für den Vergleich, der oft überrascht: Eine Person von \(60\,\mathrm{kg}\) drückt mit rund \(589\,\mathrm{N}\). Auf zwei Schuhsohlen von zusammen \(0.030\,\mathrm{m^2}\) sind das \(19.6\,\mathrm{kPa}\); auf zwei schmale Absätze von zusammen \(0.00020\,\mathrm{m^2}\) werden daraus \(2.94\,\mathrm{MPa}\) — hundertfünfzigmal so viel und mehr als unter einem Elefantenfuss.
Druck in Gasen und Flüssigkeiten
Dort hat der Druck keine Richtung — er ist eine skalare Grösse. An einer Stelle wirkt er nach allen Seiten gleich stark, und die Druckkraft auf eine Wand steht immer senkrecht auf ihr, gleich wie diese liegt. Darum wird ein Ballon rundum prall und nicht nur oben, und darum drückt Wasser auch seitlich gegen die Beckenwand.
Vertiefung — Schweredruck in einer Flüssigkeit
Eine Flüssigkeitssäule drückt mit ihrem eigenen Gewicht auf alles, was darunter liegt. Der Druck hängt allein von Dichte, Ortsfaktor und Tiefe ab — nicht von der Form des Gefässes:
\[ p = \rho \cdot g \cdot h \]
In \(10\,\mathrm{m}\) Wassertiefe ergibt das:
\[ p = 1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \cdot 9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} \cdot 10\,\mathrm{m} = 98\,100\,\mathrm{Pa} \]
Das ist fast genau \(1\,\mathrm{bar}\). Je zehn Meter Wasser kommt rund ein bar dazu — eine Faustregel, die jede Taucherin kennt. Ausführlich behandelt wird der Schweredruck auf der Themenseite 4.5 Hydrostatik.
Merksatz
Bei gleicher Kraft senkt eine grössere Fläche den Druck und eine kleinere steigert ihn. Breite Skier tragen im Schnee, ein schmaler Nagel dringt ein — beides ist dieselbe Formel.
A7.1 KERN Ein Koffer mit \(18\,\mathrm{kg}\) steht auf vier Rollen von je \(2.0\,\mathrm{cm^2}\) Auflagefläche. Welchen Druck übt er auf den Boden aus? Gib das Ergebnis in Pascal und in bar an.
Lösung anzeigen
Zuerst die Gewichtskraft, dann die Gesamtfläche in Quadratmetern:
\[ F_G = m \cdot g = 18\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} = 176.6\,\mathrm{N} \]
\[ A = 4 \cdot 2.0\,\mathrm{cm^2} = 8.0\,\mathrm{cm^2} = 8.0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2} \]
\[ p = \frac{F}{A} = \frac{176.6\,\mathrm{N}}{8.0 \cdot 10^{-4}\,\mathrm{m^2}} = 2.21 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} \]
Das sind \(221\,\mathrm{kPa}\) oder \(2.21\,\mathrm{bar}\) — mehr als in einem Autoreifen.
A7.2 KERN Rechne \(1.5\,\mathrm{bar}\) in Pascal und in Hektopascal um.
Lösung anzeigen
\(1.5\,\mathrm{bar} = 1.5 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 150\,000\,\mathrm{Pa}\)
\(150\,000\,\mathrm{Pa} = 1500\,\mathrm{hPa}\)
A7.3 VERTIEFUNG Wie gross ist der Schweredruck des Wassers in \(25\,\mathrm{m}\) Tiefe? Und welcher Druck lastet dort insgesamt auf einer Taucherin, wenn an der Oberfläche \(1.0\,\mathrm{bar}\) Luftdruck herrscht?
Lösung anzeigen
\[ p = \rho \cdot g \cdot h = 1000\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \cdot 9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} \cdot 25\,\mathrm{m} = 2.45 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 2.45\,\mathrm{bar} \]
Der Luftdruck kommt dazu, denn er lastet auf der Wasseroberfläche: \(p_\text{ges} = 2.45\,\mathrm{bar} + 1.0\,\mathrm{bar} = 3.45\,\mathrm{bar}\). Genau diese Unterscheidung ist das Thema des nächsten Schritts.
Überdruck und absoluter Druck
Du rechnest zwischen Überdruck und absolutem Druck um und entscheidest, welcher von beiden in eine Formel gehört.
Einstiegsfrage. Ein Reifenprüfer steht auf null. Ist im Reifen dann keine Luft mehr? Notiere deine Antwort mit Begründung.
Ein gewöhnliches Manometer misst nicht den Druck im Behälter, sondern den Unterschied zur Umgebung. Seine Skala beginnt beim Umgebungsdruck, nicht bei null. Dieser Messwert heisst Überdruck \(p_\text{ü}\), auch Relativdruck genannt. Der absolute Druck \(p_\text{abs}\) ist das, was wirklich im Behälter herrscht:
\[ p_\text{abs} = p_\text{ü} + p_\text{L} \qquad p_\text{L} \approx 1.0\,\mathrm{bar} \]
Zeigt der Prüfer also \(2.5\,\mathrm{bar}\), stehen im Reifen absolut \(3.5\,\mathrm{bar}\). Und ein «leerer» Reifen ist nicht luftleer: Er enthält Luft von \(1.0\,\mathrm{bar}\) absolut, genau wie die Umgebung.
p_abs = p_ü + p_L = 2.50 bar + 1.00 bar = 3.50 bar
Unterdruck
Ist im Behälter weniger Druck als draussen, wird der Überdruck negativ; man spricht dann von Unterdruck. Der absolute Druck bleibt dabei immer positiv — unter null kann er nicht fallen, weil dann gar nichts mehr da wäre. Ein Saugnapf mit \(p_\text{ü} = -0.4\,\mathrm{bar}\) enthält Luft von \(0.6\,\mathrm{bar}\) absolut.
Auch am Trinkhalm saugt niemand: Man senkt den Druck im Halm, und der Luftdruck von aussen drückt die Flüssigkeit hinauf. Deshalb ist bei Wasser bei rund \(10\,\mathrm{m}\) Schluss — mehr schafft ein bar Luftdruck nicht.
Merksatz
Abgelesen wird relativ, gerechnet wird absolut. Für die Frage, ob ein Reifen hart genug ist, genügt der Überdruck. Sobald der Druck in einer Formel steht — etwa im Gasgesetz \(\dfrac{p \cdot V}{T} = \text{konstant}\) — muss er absolut sein.
Wer dort \(2.5\) statt \(3.5\,\mathrm{bar}\) einsetzt, liegt um \(40\,\%\) daneben, und der Rechner meldet nichts.
A8.1 KERN Ein Manometer an einem Druckbehälter zeigt \(4.2\,\mathrm{bar}\). Wie gross ist der absolute Druck in bar und in Pascal?
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\[ p_\text{abs} = p_\text{ü} + p_\text{L} = 4.2\,\mathrm{bar} + 1.0\,\mathrm{bar} = 5.2\,\mathrm{bar} \]
\(5.2\,\mathrm{bar} = 5.2 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 520\,000\,\mathrm{Pa}\)
A8.2 KERN Eine Vakuumpumpe erreicht in einem Behälter \(p_\text{abs} = 0.05\,\mathrm{bar}\). Welchen Wert zeigt ein Manometer an?
Lösung anzeigen
Nach \(p_\text{ü} = p_\text{abs} - p_\text{L}\):
\[ p_\text{ü} = 0.05\,\mathrm{bar} - 1.0\,\mathrm{bar} = -0.95\,\mathrm{bar} \]
Das Manometer zeigt also einen Unterdruck von \(0.95\,\mathrm{bar}\). Weiter als \(-1.0\,\mathrm{bar}\) kann keine Pumpe kommen, denn dort wäre der absolute Druck null.
A8.3 VERTIEFUNG Warum ist die Angabe \(p_\text{L} \approx 1.0\,\mathrm{bar}\) eine bewusste Rundung — und in welcher Situation darf man sie nicht verwenden?
Lösung anzeigen
Der Luftdruck hängt von der Höhe über Meer und vom Wetter ab. Auf Meereshöhe sind es im Mittel \(1013\,\mathrm{hPa}\), in Bern rund \(950\,\mathrm{hPa}\), und ein Sturmtief drückt ihn nochmals um einige Hektopascal. Ein fester Wert für ganz Europa gibt es nicht — \(1.0\,\mathrm{bar}\) ist eine brauchbare Näherung, so wie man den Luftwiderstand vernachlässigt.
Nicht verwenden darf man sie, wenn der Umgebungsdruck selbst gemessen wurde oder in der Aufgabe steht. Dann rechnet man mit diesem Wert, sonst wirft man eine gemessene Grösse zugunsten einer Faustregel weg.
Gesamttest zur Selbstkontrolle
Zwanzig Punkte, zwanzig Minuten. Danach weisst du, ob das Vorwissen sitzt.
Bedingungen
Erlaubt ist der Taschenrechner, nicht das Leitprogramm. Löse alle sieben Aufgaben am Stück, bevor du eine einzige Lösung aufklappst. Rechne mit \(g = 9.81\,\mathrm{N/kg}\) und runde jedes Endergebnis auf drei signifikante Stellen. Nötige Dichten stehen in der Tabelle von Schritt 6.
T.1 2 Punkte Rechne \(6.4\,\mathrm{dm^3}\) in Kubikzentimeter und in Liter um.
T.2 3 Punkte Ein Kupferquader misst \(12\,\mathrm{cm} \times 5.0\,\mathrm{cm} \times 3.0\,\mathrm{cm}\). Berechne seine Masse in Kilogramm.
T.3 3 Punkte Derselbe Quader liegt auf seiner grössten Fläche. Berechne seine Gewichtskraft und den Druck, den er auf die Unterlage ausübt.
T.4 3 Punkte Eine Messung ergibt \(0.0004821\,\mathrm{m}\). Gib den Wert auf drei signifikante Stellen an, in Meter und in Millimeter, und erkläre in einem Satz, warum die Regel «zwei Stellen nach dem Komma» hier versagt.
T.5 3 Punkte Ein Manometer an einem Kessel zeigt \(2.8\,\mathrm{bar}\). Das Barometer im Raum zeigt \(0.95\,\mathrm{bar}\). Wie gross ist der absolute Druck im Kessel, in bar und in Pascal?
T.6 3 Punkte Ein zylindrischer Behälter mit \(0.28\,\mathrm{m^2}\) Bodenfläche wird ganz mit \(200\,\mathrm{l}\) Ethanol gefüllt. Berechne die Masse des Ethanols und den Schweredruck am Boden.
T.7 3 Punkte (a) Erkläre, warum ein schmaler Absatz mehr Druck auf den Boden ausübt als ein Elefantenfuss, obwohl der Elefant viel schwerer ist. (b) Nenne den Grund, weshalb man den abgelesenen Überdruck nicht in das Gasgesetz einsetzen darf.
Alle Lösungen und die Bewertung anzeigen
T.1 \(6.4\,\mathrm{dm^3} = 6400\,\mathrm{cm^3} = 6.4\,\mathrm{l}\) (je 1 Punkt)
T.2 \(V = 12\,\mathrm{cm} \cdot 5.0\,\mathrm{cm} \cdot 3.0\,\mathrm{cm} = 180\,\mathrm{cm^3}\)
\[ m = \rho \cdot V = 8.96\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \cdot 180\,\mathrm{cm^3} = 1613\,\mathrm{g} = 1.61\,\mathrm{kg} \]
(Volumen 1 P, Ansatz 1 P, Rechnung und Einheit 1 P)
T.3 \(F_G = m \cdot g = 1.613\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\mathrm{N/kg} = 15.8\,\mathrm{N}\)
Die grösste Fläche ist \(12\,\mathrm{cm} \cdot 5.0\,\mathrm{cm} = 60\,\mathrm{cm^2} = 6.0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}\).
\[ p = \frac{F}{A} = \frac{15.82\,\mathrm{N}}{6.0 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2}} = 2.64 \cdot 10^{3}\,\mathrm{Pa} = 2.64\,\mathrm{kPa} \]
(Kraft 1 P, Fläche in m² 1 P, Druck 1 P)
T.4 \(0.0004821\,\mathrm{m} \to 0.000482\,\mathrm{m} = 0.482\,\mathrm{mm}\). Auf zwei Kommastellen gerundet ergäbe der Wert in Metern \(0.00\,\mathrm{m}\) — die Messung wäre restlos verschwunden, während dieselbe Regel in Millimetern vier geltende Ziffern übrig liesse. (Rundung 1 P, Millimeter 1 P, Begründung 1 P)
T.5 Hier ist der Umgebungsdruck gemessen und ersetzt die Faustregel:
\[ p_\text{abs} = p_\text{ü} + p_\text{L} = 2.8\,\mathrm{bar} + 0.95\,\mathrm{bar} = 3.75\,\mathrm{bar} \]
\(3.75\,\mathrm{bar} = 3.75 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\) (Ansatz 1 P, gemessener Wert statt 1.0 bar 1 P, Umrechnung 1 P)
T.6 \(200\,\mathrm{l} = 200\,\mathrm{dm^3} = 0.200\,\mathrm{m^3}\), Ethanol hat \(789\,\mathrm{kg/m^3}\).
\[ m = \rho \cdot V = 789\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \cdot 0.200\,\mathrm{m^3} = 158\,\mathrm{kg} \]
\[ h = \frac{V}{A} = \frac{0.200\,\mathrm{m^3}}{0.28\,\mathrm{m^2}} = 0.714\,\mathrm{m} \]
\[ p = \rho \cdot g \cdot h = 789\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \cdot 9.81\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{kg}} \cdot 0.714\,\mathrm{m} = 5.53 \cdot 10^{3}\,\mathrm{Pa} = 5.53\,\mathrm{kPa} \]
(Masse 1 P, Füllhöhe 1 P, Druck 1 P)
Weil der Querschnitt über die ganze Höhe gleich bleibt, führt hier auch \(F_G/A\) zum selben Wert. Bei einem bauchigen Fass gilt das nicht: Dort nehmen die schrägen Wände einen Teil des Gewichts auf, und am Boden zählt allein \(\rho\,g\,h\).
T.7 (a) Der Druck ist Kraft geteilt durch Fläche. Die Fläche unter einem Absatz ist einige Hundert Mal kleiner als unter einem Elefantenfuss, während die Kraft nur einige Dutzend Mal kleiner ist. Der Quotient fällt darum unter dem Absatz grösser aus. (2 P)
(b) Weil das Manometer nur die Differenz zur Umgebung zeigt. Im Gasgesetz stehen Druckverhältnisse; mit einem um ein bar verschobenen Wert stimmt schon das Verhältnis nicht mehr. (1 P)
Auswertung. Ab 16 Punkten ist das Vorwissen prüfungsfest. Bei 12 bis 15 Punkten hast du eine gezielte Lücke — schau nach, in welchem Schritt die verlorenen Punkte lagen, und arbeite nur diesen nochmals durch. Unter 12 Punkten lohnt sich der Weg ab Schritt 2 von vorn.
Wo du nachschlägst, wenn etwas nicht stimmte.
| Fehler bei | Das gehört noch einmal angeschaut | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| T.1 | Schritt 3 — Kubikeinheiten und Hohlmass | 0.2 Einheiten umrechnen |
| T.2 | Schritt 6 — Dichte, und Schritt 3 für das Volumen | 0.3 Dichte bestimmen |
| T.3 | Schritte 5 und 7 — Gewichtskraft und Druck | 0.3 Masse und Gewichtskraft |
| T.4 | Schritt 4 — signifikante Stellen | 0.1 Genauigkeit und Runden |
| T.5 | Schritt 8 — Überdruck und absoluter Druck | 4.5 Grundbegriffe |
| T.6 | Schritte 3, 6 und 7 zusammen — der typische Mehrschrittweg | 0.4 Einheitentrainer |
| T.7 | Schritte 7 und 8 — die beiden Begründungen | 4.5 Schweredruck |
Wo Punkte typischerweise verloren gehen: Flächen und Volumen mit dem Faktor der Länge umgerechnet, Kubikzentimeter nicht in Quadratmeter beziehungsweise Kubikmeter gebracht, Masse und Gewichtskraft vertauscht, oder der abgelesene Überdruck als absoluter Druck verwendet. Alle vier sind vermeidbar, wenn man vor dem Einsetzen jede Grösse mit ihrer Einheit hinschreibt.
Formeln und Werte auf einen Blick
| Grösse | Formel | Einheit |
|---|---|---|
| Dichte | \(\rho = \dfrac{m}{V}\) | \(\mathrm{kg/m^3}\), \(\mathrm{g/cm^3}\) |
| Gewichtskraft | \(F_G = m \cdot g\) | \(\mathrm{N}\) |
| Druck | \(p = \dfrac{F}{A}\) | \(\mathrm{Pa} = \mathrm{N/m^2}\) |
| Schweredruck | \(p = \rho \cdot g \cdot h\) | \(\mathrm{Pa}\) |
| absoluter Druck | \(p_\text{abs} = p_\text{ü} + p_\text{L}\) | \(\mathrm{bar}\), \(\mathrm{Pa}\) |
| Umrechnung | es gilt |
|---|---|
| Fläche | \(1\,\mathrm{m^2} = 100\,\mathrm{dm^2} = 10\,000\,\mathrm{cm^2}\) |
| Volumen | \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{dm^3} = 10^{6}\,\mathrm{cm^3}\) |
| Hohlmass | \(1\,\mathrm{dm^3} = 1\,\mathrm{l}\), \(\;1\,\mathrm{cm^3} = 1\,\mathrm{ml}\), \(\;1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}\) |
| Dichte | \(1\,\mathrm{g/cm^3} = 1000\,\mathrm{kg/m^3}\) |
| Druck | \(1\,\mathrm{bar} = 10^{5}\,\mathrm{Pa} = 1000\,\mathrm{hPa}\) |
| Wert | Zahl | bemerkt |
|---|---|---|
| Ortsfaktor Erde | \(g = 9.81\,\mathrm{N/kg}\) | auf dem Mond \(1.62\,\mathrm{N/kg}\) |
| Luftdruck | \(p_\text{L} \approx 1.0\,\mathrm{bar}\) | Normwert \(1013\,\mathrm{hPa}\), höhen- und wetterabhängig |
| Schweredruck Wasser | \(\approx 1\,\mathrm{bar}\) je \(10\,\mathrm{m}\) | Faustregel beim Tauchen |
Wie es weitergeht
Der Druck geht auf der Themenseite 4.5 Hydrostatik weiter: Schweredruck, hydraulische Presse und Auftrieb bauen unmittelbar auf Schritt 7 auf.
Wer die Einheiten noch schneller im Griff haben will, übt sie im Einheitentrainer — dort stehen alle Umrechnungen als Aufgabengenerator mit Lern- und Prüfungsmodus.
Mit dem absoluten Druck aus Schritt 8 und der Kelvin-Skala ist danach das Leitprogramm zu den idealen Gasen an der Reihe: Dort wird aus \(p\), \(V\) und \(T\) ein einziges Gesetz. Die Temperaturskalen selbst behandelt die Themenseite 5.1 Temperatur.