0.2 Grössen, Einheiten und Messen
Von der Grundgrösse zur Einheit und zurück — Dichte, Kraft und Energie, dann Präfixe, Umrechnen, Diagramme und der Taschenrechner.
- die Grundgrössen Weg, Zeit, Masse und Volumen mit ihren SI-Einheiten sicher verwenden und typische Alltagsgrössenordnungen einschätzen
- die Dichte als Stoffeigenschaft verstehen und Masse von Gewichtskraft unterscheiden
- Arbeit, Energie und Leistung im Alltag auseinanderhalten und einfache Beispiele mit \(W = F \cdot s\) und \(P = W/t\) rechnen
- die Aggregatzustände im Teilchenmodell beschreiben und den Alltagsbegriff Temperatur von Wärme abgrenzen
- sicheres Rechnen mit Einheiten und Einheitenpräfixen (µ, m, c, d, h, k, M)
- Umrechnungen wie km/h ↔ m/s (Faktor 3.6) sowie Flächen- und Volumeneinheiten (cm² ↔ m², m³ ↔ L)
- Diagramme lesen und interpretieren: Achsen, Einheiten, Steigung
- Umgang mit Messwerten und Grössenordnungs-Abschätzungen («pro 10 m Wassertiefe ≈ 1 bar»)
- Grundhandling des Taschenrechners (Wurzel, Potenz, Winkelfunktionen, Zehnerpotenzen)
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Weg, Zeit, Masse und Volumen mit Formelzeichen und SI-Einheit angeben und Alltagswerte einordnen.
- Ich kann mit der Dichte \(\rho = m/V\) die Masse eines Körpers aus seinem Volumen berechnen.
- Ich kann Masse und Gewichtskraft unterscheiden und \(F_G = m \cdot g\) auf Erde, Mond und Mars anwenden.
- Ich kann Arbeit, Energie und Leistung an Alltagsbeispielen auseinanderhalten und Hubarbeit sowie Leistung berechnen.
- Ich kann die drei Aggregatzustände im Teilchenmodell beschreiben und Temperatur von Wärme abgrenzen.
- Ich kann Einheitenpräfixe (µ, m, c, d, h, k, M) den Zehnerpotenzen zuordnen und Grössen zwischen Präfixen umrechnen.
- Ich kann Geschwindigkeiten mit dem Faktor 3.6 zwischen km/h und m/s umrechnen — und weiss, warum der Faktor 3.6 ist.
- Ich kann Flächen- und Volumeneinheiten umrechnen (1 m² = 10 000 cm², 1 m³ = 1000 L).
- Ich kann aus einem Diagramm Werte ablesen und die Steigung als Änderungsrate interpretieren.
- Ich kann Messwerte mit sinnvoller Stellenzahl angeben und Grössenordnungen abschätzen.
- Ich kann Wurzeln, Potenzen, Winkelfunktionen und Zehnerpotenzen sicher in den Taschenrechner eingeben.
Einstieg — 1 kg Federn oder 1 kg Blei?
Die alte Scherzfrage lautet: «Was ist schwerer — ein Kilogramm Federn oder ein Kilogramm Blei?» Natürlich sind beide gleich schwer, es ist ja je ein Kilogramm. Trotzdem fallen viele darauf herein. Warum? Weil unser Alltag zwei ganz verschiedene Dinge vermischt: wie schwer etwas ist und wie gross es ist.
Ein voller Wasserkasten ist klein, aber schwer zu tragen. Ein leerer Reisekoffer ist gross, aber federleicht. «Schwer» und «gross» sind also nicht dasselbe — die Physik trennt die beiden Eindrücke in zwei eigene Grössen: die Masse (wie viel Materie drinsteckt) und das Volumen (wie viel Platz etwas einnimmt). Wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt, hängt vom Stoff ab — das ist die Spur, der wir auf dieser Seite folgen.
Drei Alltagserfahrungen, hinter denen dieselbe Physik steckt:
- Wasserkasten vs. Daunendecke — der Kasten ist viel kleiner, aber deutlich schwerer: verschiedene Stoffe, verschiedene Dichte.
- Koffer wägen am Flughafen — die Waage misst, wie stark die Erde den Koffer anzieht: die Gewichtskraft.
- Treppe statt Lift — oben angekommen bist du ausser Atem: du hast Arbeit verrichtet, und zwar umso «anstrengender pro Sekunde», je schneller du warst.
✏️ Mini-Check
Was ist schwerer: \(1\;\text{kg}\) Federn oder \(1\;\text{kg}\) Blei?
- das Blei
- beide sind gleich schwer
- die Federn
Lösung anzeigen
Wie viel Platz ein Körper einnimmt, beschreibt sein ; wie viel Materie in ihm steckt, beschreibt seine .
Lösung anzeigen
Ein Wasserkasten enthält 6 Flaschen zu je \(1.5\;\text{L}\). Wie viele Liter Wasser sind das?
Lösung anzeigen
Am Flughafen wird ein riesiger Koffer problemlos als Handgepäck akzeptiert, ein kleiner Rucksack aber nicht. Welche zwei physikalischen Grössen prüft die Airline hier — und warum reicht eine allein nicht?
Lösungsweg anzeigen
Die Grundgrössen Weg, Zeit, Masse und Volumen
Die Physik misst. Damit alle vom Gleichen sprechen, hat jede Grösse ein Formelzeichen und eine SI-Einheit (das internationale Einheitensystem). Vier Grundgrössen begleiten dich durch das ganze Lehrmittel:
Der Weg \(s\) gibt an, welche Strecke zurückgelegt wird oder wie weit zwei Punkte auseinanderliegen. SI-Einheit: Meter (m). Gebräuchlich sind auch Millimeter, Zentimeter und Kilometer, mit
\[ 1\;\text{km} = 1000\;\text{m}, \qquad 1\;\text{m} = 100\;\text{cm} = 1000\;\text{mm}. \]Grössenordnungen aus dem Alltag: Türhöhe \(\approx 2\;\text{m}\), Fussballfeld \(\approx 100\;\text{m}\), Schulweg einige Kilometer.
Die Zeit \(t\) misst die Dauer eines Vorgangs. SI-Einheit: Sekunde (s). Gebräuchlich sind Minute und Stunde, mit
\[ 1\;\text{min} = 60\;\text{s}, \qquad 1\;\text{h} = 60\;\text{min} = 3600\;\text{s}. \]Grössenordnungen: ein Herzschlag \(\approx 1\;\text{s}\), eine Lektion \(2700\;\text{s}\) (45 min), ein Tag \(86\,400\;\text{s}\).
Die Masse \(m\) gibt an, wie viel Materie in einem Körper steckt. SI-Einheit: Kilogramm (kg). Gebräuchlich sind Gramm und Tonne, mit
\[ 1\;\text{kg} = 1000\;\text{g}, \qquad 1\;\text{t} = 1000\;\text{kg}. \]Grössenordnungen: Tafel Schokolade \(0.1\;\text{kg}\), Wasserflasche \(1.5\;\text{kg}\), Mensch \(\approx 70\;\text{kg}\), Auto \(\approx 1.5\;\text{t}\). Wichtig: Die Masse ist eine Eigenschaft des Körpers selbst — sie ist überall gleich gross, auch auf dem Mond.
Das Volumen \(V\) gibt an, wie viel Raum ein Körper einnimmt. SI-Einheit: Kubikmeter (m³). Im Alltag dominieren Liter und Kubikzentimeter:
\[ 1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{dm}^3 = 1000\;\text{L}, \qquad 1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3 = 1000\;\text{cm}^3. \]Weil \(1\;\text{L} = 1000\;\text{cm}^3\) und zugleich \(1\;\text{L} = 1000\;\text{mL}\) ist, gilt die wichtigste Merkregel überhaupt:
\[ 1\;\text{cm}^3 = 1\;\text{mL} \]Damit lässt sich jede Angabe in beide Richtungen lesen:
| Einheit | in Litern | in \(\text{dm}^3\) | in \(\text{cm}^3\) | in mL |
|---|---|---|---|---|
| \(1\;\text{L}\) | \(1\) | \(1\) | \(1000\) | \(1000\) |
| \(1\;\text{dL}\) (Deziliter) | \(0.1\) | \(0.1\) | \(100\) | \(100\) |
| \(1\;\text{cL}\) (Zentiliter) | \(0.01\) | \(0.01\) | \(10\) | \(10\) |
| \(1\;\text{mL}\) (Milliliter) | \(0.001\) | \(0.001\) | \(1\) | \(1\) |
Die Vorsilben sind dieselben wie überall: dezi = ein Zehntel, centi = ein Hundertstel, milli = ein Tausendstel — jeweils bezogen auf den Liter.
Ein Würfel mit Kantenlänge \(a\) hat das Volumen \(V = a^3\); ein Quader mit den Kanten \(l\), \(b\), \(h\) hat \(V = l \cdot b \cdot h\). Grössenordnungen: Sirup-Glas \(2\;\text{dL} = 200\;\text{cm}^3\), PET-Flasche \(1.5\;\text{L}\), Badewanne \(\approx 150\;\text{L}\).
Wie hängen Masse und Volumen zusammen? Das entscheidet der Stoff: Ein Würfel aus Styropor und ein gleich grosser Würfel aus Blei haben dasselbe Volumen, aber völlig verschiedene Masse. Probiere es aus — die Stoffeigenschaft dahinter, die Dichte \(\rho\), schauen wir im nächsten Abschnitt genauer an.
❓ Ein Liter Wasser — wie viele Kubikzentimeter sind das, und welche Masse hat er?
\(1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3 = 1000\;\text{cm}^3\). Wegen \(\rho_W = 1000\;\text{kg/m}^3\) hat ein Liter Wasser genau die Masse \(1\;\text{kg}\) — eine der praktischsten Merkzahlen der Physik: 1 Liter Wasser = 1 Kilogramm. Prüfe es in Animation 1 mit Stoff «Wasser» und \(a = 10\;\text{cm}\).
✏️ Mini-Check
Welches ist die SI-Einheit der Masse?
- Gramm
- Kilogramm
- Tonne
Lösung anzeigen
Ein Kubikmeter enthält Liter.
Lösung anzeigen
Ein Würfel hat die Kantenlänge \(a = 2\;\text{dm}\). Wie gross ist sein Volumen in Litern?
Lösung anzeigen
Eine PET-Flasche fasst \(500\;\text{cm}^3\). Wie viele solche Flaschen braucht es, um einen Kubikmeter zu füllen?
Lösungsweg anzeigen
Dichte und Gewichtskraft
Die Dichte \(\rho\) (griechisch «rho») gibt an, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen eines Stoffes steckt:
\[ \rho = \frac{m}{V} \]SI-Einheit: kg/m³ (auch g/cm³ gebräuchlich, mit \(1\;\text{g/cm}^3 = 1000\;\text{kg/m}^3\)). Die Dichte ist eine Stoffeigenschaft — sie hängt nicht davon ab, wie gross das Stück ist. Typische Werte:
- Styropor \(\approx 20\;\text{kg/m}^3\) · Holz (Fichte) \(\approx 500\;\text{kg/m}^3\)
- Wasser \(1000\;\text{kg/m}^3\) · Aluminium \(2700\;\text{kg/m}^3\)
- Stahl \(\approx 7850\;\text{kg/m}^3\) · Blei \(11\,340\;\text{kg/m}^3\)
Welche Masse hat das Wasser in einer vollen \(1.5\)-Liter-Flasche?
Ansatz: Umstellen von \(\rho = m/V\) nach der Masse:
\[ m = \rho \cdot V \]Einheiten umrechnen: \(1.5\;\text{L} = 1.5\;\text{dm}^3 = 0.0015\;\text{m}^3\). Einsetzen:
\[ m = 1000\;\text{kg/m}^3 \cdot 0.0015\;\text{m}^3 = 1.5\;\text{kg} \]Und was misst nun die Waage im Badezimmer? Streng genommen nicht deine Masse, sondern wie stark die Erde dich anzieht — die Gewichtskraft.
Die Gewichtskraft \(F_G\) ist die Kraft, mit der ein Himmelskörper eine Masse anzieht:
\[ F_G = m \cdot g \]SI-Einheit der Kraft: Newton (N). Dabei ist \(g\) der Ortsfaktor (die Fallbeschleunigung): auf der Erde \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\), auf dem Mond nur \(1.62\;\text{m/s}^2\), auf dem Mars \(3.71\;\text{m/s}^2\). Faustregel für die Erde: 1 kg wiegt rund 10 N (genauer \(9.81\;\text{N}\)).
Der entscheidende Unterschied: Die Masse eines Körpers ist überall gleich — die Gewichtskraft hängt vom Ort ab. Ein Astronaut hat auf dem Mond dieselbe Masse wie auf der Erde, aber nur rund einen Sechstel der Gewichtskraft.
❓ Du bringst deine Badezimmerwaage auf den Mond. Was zeigt sie an — und was ist mit deiner Masse passiert?
Deine Masse ist unverändert — sie ist eine Eigenschaft deines Körpers. Die Waage misst aber die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\), und auf dem Mond ist \(g\) nur \(1.62\;\text{m/s}^2\) statt \(9.81\;\text{m/s}^2\). Die Waage zeigt darum nur rund einen Sechstel des gewohnten Wertes an, obwohl sich an dir nichts geändert hat.
✏️ Mini-Check
Ein Astronaut fliegt von der Erde zum Mond. Was ändert sich?
- seine Masse
- seine Gewichtskraft
- beides
Lösung anzeigen
Die Dichte verknüpft die Masse eines Körpers mit seinem .
Lösung anzeigen
Wie gross ist die Gewichtskraft eines \(2\;\text{kg}\)-Pakets auf der Erde?
Lösung anzeigen
Stahl sinkt in Wasser (\(\rho = 7850\;\text{kg/m}^3\)). Warum schwimmt trotzdem ein Schiff aus Stahl?
Lösungsweg anzeigen
Arbeit, Energie und Leistung
«Ich habe heute viel gearbeitet», «mir fehlt die Energie», «das Auto hat viel Leistung» — im Alltag gehen die drei Begriffe durcheinander. Die Physik trennt sie sauber, und die Grundidee ist einfacher, als sie klingt.
Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft einen Körper entlang eines Weges bewegt — kurz: Kraft mal Weg:
\[ W = F \cdot s \]SI-Einheit: Joule (J), mit \(1\;\text{J} = 1\;\text{N} \cdot 1\;\text{m}\). Wer eine Kiste hochhebt, arbeitet gegen die Gewichtskraft: die Hubarbeit ist
\[ W = F_G \cdot h = m \cdot g \cdot h. \]Wichtig: Wer eine schwere Tasche nur hält, verrichtet im physikalischen Sinn keine Arbeit — es fehlt der Weg.
Energie ist gespeicherte Arbeitsfähigkeit: Wer Energie besitzt, kann damit Arbeit verrichten. Die gehobene Kiste besitzt Lageenergie (potenzielle Energie) — genau so viel, wie Hubarbeit hineingesteckt wurde: \(E_{pot} = m \cdot g \cdot h\). Ein bewegter Körper besitzt Bewegungsenergie (kinetische Energie). Energie wird wie Arbeit in Joule gemessen.
Das Fundament der ganzen Physik ist die Energieerhaltung: Energie kann von einer Form in eine andere umgewandelt, aber weder erzeugt noch vernichtet werden. Die Gesamtenergie bleibt konstant.
Die Leistung \(P\) gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet wird — Arbeit pro Zeit:
\[ P = \frac{W}{t} \]SI-Einheit: Watt (W), mit \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\). Zwei Personen, die dieselbe Treppe hochsteigen, verrichten die gleiche Arbeit — wer schneller oben ist, hat die grössere Leistung. Zum Vergleich: Ein Mensch leistet dauerhaft rund \(100\;\text{W}\), die alte Einheit Pferdestärke entspricht \(1\;\text{PS} \approx 735\;\text{W}\).
❓ Zwei Personen tragen je einen gleich schweren Koffer in den zweiten Stock. Person A braucht 30 s, Person B 60 s. Wer verrichtet mehr Arbeit — und wer hat die grössere Leistung?
Die Arbeit ist gleich: \(W = m \cdot g \cdot h\) hängt nur von Masse und Höhe ab, nicht von der Zeit. Aber Person A hat die doppelte Leistung, denn \(P = W/t\) — gleiche Arbeit in der halben Zeit. Genau das unterscheidet Arbeit (die Gesamtmenge) von Leistung (dem Tempo, mit dem sie verrichtet wird).
Hinweis: Hier bleibt alles bewusst auf Alltagsniveau — die Formeln für Bewegungsenergie, Wirkungsgrad und weitere Energieformen kommen in Kapitel 4.3 systematisch dazu.
✏️ Mini-Check
In welcher Einheit wird die Leistung gemessen?
- Joule
- Watt
- Newton
Lösung anzeigen
Arbeit ist Kraft mal ; Leistung ist Arbeit pro .
Lösung anzeigen
Du hebst eine Kiste mit \(m = 10\;\text{kg}\) um \(h = 2\;\text{m}\) hoch. Wie viel Hubarbeit verrichtest du?
Lösung anzeigen
Ein Kind sitzt oben auf der Rutsche und rutscht hinunter. Beschreibe mit den Begriffen Lageenergie, Bewegungsenergie und Energieerhaltung, was dabei passiert.
Lösungsweg anzeigen
Aggregatzustände und Temperatur
Wasser kennst du in drei Formen: als Eis, als flüssiges Wasser und als Wasserdampf. Das sind die drei Aggregatzustände — und der Schlüssel zu ihrem Verständnis ist das Teilchenmodell: Alle Stoffe bestehen aus winzigen Teilchen, die sich ständig bewegen.
- fest — die Teilchen sitzen auf festen Plätzen in einem Gitter und schwingen nur um diese Plätze. Der Körper behält Form und Volumen.
- flüssig — die Teilchen bleiben dicht beieinander, können aber aneinander vorbeigleiten. Das Volumen bleibt, die Form passt sich dem Gefäss an.
- gasförmig — die Teilchen fliegen frei und schnell durch den ganzen verfügbaren Raum. Weder Form noch Volumen sind fest.
Die Übergänge haben eigene Namen: fest → flüssig heisst schmelzen (umgekehrt erstarren), flüssig → gasförmig heisst verdampfen (umgekehrt kondensieren). Bei Wasser unter Normaldruck: Schmelzen bei \(0\;^\circ\text{C}\), Sieden bei \(100\;^\circ\text{C}\).
Die Temperatur beschreibt einen Zustand: Sie ist ein Mass dafür, wie heftig sich die Teilchen eines Körpers bewegen. Gemessen wird sie im Alltag in Grad Celsius (°C).
Wärme dagegen ist Energie unterwegs: die Energie, die von einem warmen zu einem kalten Körper übertragen wird — deshalb wird sie wie jede Energie in Joule gemessen. Die heisse Bratpfanne «enthält» keine Wärme; sie hat eine hohe Temperatur und gibt Wärme an die Hand ab, wenn man sie berührt. Wärme fliesst von selbst immer nur vom wärmeren zum kälteren Körper.
❓ Ein Metallgeländer und ein Holzgeländer stehen beide draussen bei 5 °C. Warum fühlt sich das Metall viel kälter an?
Beide haben exakt dieselbe Temperatur — dein Handrücken misst aber nicht die Temperatur, sondern den Wärmestrom aus deiner Hand. Metall leitet Wärme viel besser als Holz: es transportiert die Energie deiner \(\approx 33\;^\circ\text{C}\) warmen Haut rasch ab, darum fühlt es sich kälter an. Das Gefühl «kalt» zeigt also Wärmeabfluss an, nicht die Temperatur des Materials.
❓ Nasse Wäsche trocknet auch bei 20 °C an der Leine — obwohl Wasser doch erst bei 100 °C siedet. Wie passt das zusammen?
Die Temperatur beschreibt nur die durchschnittliche Teilchenbewegung. Auch bei 20 °C sind einzelne Wasserteilchen an der Oberfläche zufällig schnell genug, um die Flüssigkeit zu verlassen — das ist Verdunsten. Beim Sieden bei 100 °C reicht die Energie dagegen im ganzen Volumen: es bilden sich Dampfblasen. Verdunsten geht darum langsam und nur an der Oberfläche, Sieden schnell und überall.
✏️ Mini-Check
In welchem Aggregatzustand haben die Teilchen feste Plätze?
- fest
- flüssig
- gasförmig
Lösung anzeigen
Der Übergang flüssig → gasförmig heisst , der Übergang fest → flüssig heisst .
Lösung anzeigen
Wasser von \(20\;^\circ\text{C}\) wird erhitzt, bis es siedet. Um wie viele Grad muss die Temperatur steigen?
Lösung anzeigen
Warum kühlt Schwitzen den Körper? Argumentiere mit dem Teilchenmodell.
Lösungsweg anzeigen
Dieselbe Grösse, zwei Einheiten
Auf der Autobahn zeigt der Tacho 108 km/h. Ein Physikbuch behauptet: «Das Auto legt in jeder Sekunde 30 m zurück.» Stimmt das — und wie rechnet man das nach, ohne einen Umrechnungsfaktor auswendig zu wissen?
Die Antwort steckt vollständig in den Einheiten: km/h heisst «Kilometer pro Stunde», und sowohl Kilometer als auch Stunde lassen sich in die SI-Basiseinheiten Meter und Sekunde zerlegen. Wer mit Einheiten umgehen kann, braucht dafür keine Formelsammlung. Genau dieses Handwerkszeug frischt diese Seite auf — die Auflösung des Tacho-Rätsels folgt im Abschnitt Einheiten umrechnen.
Technisches Handwerkszeug begegnet dir täglich — meist ohne dass du es merkst:
- Präfixe — die Speicherkarte hat 512 GB, die Kopfschmerztablette 500 mg, der Schulweg 2.5 km. Immer dieselbe Idee: Zehnerpotenz statt Nullenkolonne.
- Diagramme — die Wetter-App zeigt den Temperaturverlauf des Tages als Kurve. Wer die Achsen liest, weiss mehr als nur «warm oder kalt».
- Abschätzen — Tauchlehrer rechnen im Kopf: «pro 10 m Wassertiefe kommt rund 1 bar dazu». Ohne Taschenrechner, aber erstaunlich genau.
✏️ Mini-Check
Wie viele Meter sind ein Kilometer?
- \(100\;\text{m}\)
- \(1000\;\text{m}\)
- \(10\,000\;\text{m}\)
Lösung anzeigen
Jede physikalische Grösse besteht aus einem Zahlenwert und einer .
Lösung anzeigen
Der Schulweg ist \(2.5\;\text{km}\) lang. Wie viele Meter sind das?
Lösung anzeigen
Ein Sprinter läuft \(100\;\text{m}\) in \(10\;\text{s}\). Wie schnell ist er in m/s — und ist er damit schneller oder langsamer als ein Velo mit \(20\;\text{km/h}\)? (Tipp: \(10\;\text{m/s} = 36\;\text{km/h}\).)
Lösungsweg anzeigen
Einheitenpräfixe — Zehnerpotenzen mit Namen
Statt «0.000005 m» schreibt die Technik «5 µm»: Ein Präfix vor der Einheit ersetzt eine Zehnerpotenz. Die Präfixe funktionieren bei jeder Einheit gleich — bei Metern genauso wie bei Gramm, Watt oder Sekunden.
Ein Einheitenpräfix ist ein Vorsatz vor einer Einheit, der für eine feste Zehnerpotenz steht: \(1\;\text{km} = 10^{3}\;\text{m}\), \(1\;\text{mm} = 10^{-3}\;\text{m}\). Der Zahlenwert einer Grösse ändert sich beim Präfix-Wechsel — die Grösse selbst bleibt gleich: \(0.005\;\text{km} = 5\;\text{m} = 500\;\text{cm} = 5000\;\text{mm}\).
| Präfix | Symbol | Faktor | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Mega | M | \(10^{6} = 1\,000\,000\) | \(1\;\text{MW} = 1\,000\,000\;\text{W}\) |
| Kilo | k | \(10^{3} = 1000\) | \(1\;\text{km} = 1000\;\text{m}\) |
| Hekto | h | \(10^{2} = 100\) | \(1\;\text{hPa} = 100\;\text{Pa}\) |
| Dezi | d | \(10^{-1} = 0.1\) | \(1\;\text{dm} = 0.1\;\text{m}\) |
| Zenti | c | \(10^{-2} = 0.01\) | \(1\;\text{cm} = 0.01\;\text{m}\) |
| Milli | m | \(10^{-3} = 0.001\) | \(1\;\text{mm} = 0.001\;\text{m}\) |
| Mikro | µ | \(10^{-6} = 0.000001\) | \(1\;\text{µm} = 0.000001\;\text{m}\) |
Merke: Zwischen benachbarten «grossen» Präfixen (k, M) liegen jeweils drei Zehnerpotenzen; c, d und h füllen den Alltagsbereich dazwischen. Bei der Zeit hört das dezimale System oberhalb der Sekunde auf — dort rechnet der Alltag mit Minuten (60 s) und Stunden (3600 s) weiter, also nicht dezimal.
✏️ Mini-Check
Welches Präfix steht für den Faktor \(10^{-3}\)?
- Mikro (µ)
- Milli (m)
- Zenti (c)
Lösung anzeigen
1 Megawatt sind Watt.
Lösung anzeigen
Rechne \(2500\;\text{g}\) in kg um.
Lösung anzeigen
Eine Tablette enthält \(500\;\text{µg}\) Wirkstoff. Wie viele Tabletten braucht es für \(1\;\text{mg}\)?
Lösungsweg anzeigen
Einheiten umrechnen — km/h ↔ m/s, Flächen und Volumen
Der wichtigste Umrechnungsfaktor der ganzen Mechanik ist der zwischen km/h und m/s. Er muss nicht auswendig gelernt werden — er lässt sich in zwei Zeilen herleiten:
Kilometer und Stunde werden durch ihre Basiseinheiten ersetzt: \(1\;\text{km} = 1000\;\text{m}\) und \(1\;\text{h} = 3600\;\text{s}\). Damit gilt
\[ 1\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{1000\;\text{m}}{3600\;\text{s}} = \frac{1}{3.6}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \]Also:
\[ \text{km/h} \;\to\; \text{m/s}: \;\text{durch } 3.6 \text{ teilen} \qquad \text{m/s} \;\to\; \text{km/h}: \;\text{mit } 3.6 \text{ multiplizieren} \]Ansatz: Umrechnung über die Basiseinheiten,
\[ v = 108\;\frac{\text{km}}{\text{h}} = \frac{108\,000\;\text{m}}{3600\;\text{s}} = \frac{108}{3.6}\;\frac{\text{m}}{\text{s}} = 30\;\frac{\text{m}}{\text{s}} \]Das Physikbuch hat recht: Bei Tacho 108 km/h legt das Auto in jeder Sekunde 30 m zurück — etwa sieben Autolängen.
Auch Flächen und Volumen haben ihre Stolperstelle: Der Längenfaktor geht dort quadratisch bzw. kubisch ein. Aus \(1\;\text{m} = 100\;\text{cm}\) folgt
\[ 1\;\text{m}^2 = (100\;\text{cm})^2 = 10\,000\;\text{cm}^2 \qquad 1\;\text{m}^3 = (100\;\text{cm})^3 = 1\,000\,000\;\text{cm}^3 \]Für Volumen ist zusätzlich der Liter gebräuchlich: \(1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3\), also \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{dm}^3 = 1000\;\text{L}\).
❓ Warum ist der Umrechnungsfaktor von m² zu cm² 10 000 und nicht 100?
Weil die Fläche zwei Längen enthält. Beim Übergang m → cm wird jede Seite mit 100 multipliziert: \(1\;\text{m}^2 = 100\;\text{cm} \cdot 100\;\text{cm} = 10\,000\;\text{cm}^2\). Der Längenfaktor 100 geht also im Quadrat ein — sichtbar in Animation 10 bei 100 Teilungen pro Seite.
❓ Ein Tank fasst 0.8 m³. Wie viele Liter sind das — und wie überlegst du das ohne Formelsammlung?
Über den Würfel mit 10 cm = 1 dm Kante: \(1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3\), und in einen Kubikmeter passen \(10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\) solcher Würfel. Also \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L}\) und damit \(0.8\;\text{m}^3 = 800\;\text{L}\).
✏️ Mini-Check
Wie schnell sind \(54\;\text{km/h}\) in m/s?
- \(15\;\text{m/s}\)
- \(19.4\;\text{m/s}\)
- \(54\;\text{m/s}\)
Lösung anzeigen
Beim Umrechnen von km/h in m/s teilt man durch .
Lösung anzeigen
Rechne \(3\;\text{m}^2\) in cm² um.
Lösung anzeigen
Ein Aquarium ist innen \(80\;\text{cm}\) lang, \(40\;\text{cm}\) breit und \(50\;\text{cm}\) hoch. Wie viele Liter fasst es randvoll?
Lösungsweg anzeigen
Messwerte und Grössenordnungen abschätzen
Physik arbeitet mit gemessenen Zahlen — und Messwerte sind nie beliebig genau. Zwei Handwerksregeln gehören darum zur Grundausstattung:
Beim Ablesen eines Messgeräts ist die letzte angegebene Stelle geschätzt: Ein Massband mit Millimeter-Teilung liefert z.B. 1.234 m — die 4 ist bereits Schätzung zwischen zwei Strichen. Mehr Stellen anzugeben täuscht eine Genauigkeit vor, die das Gerät nicht hat.
Ergebnisse werden darum mit sinnvoller Stellenzahl angegeben — in der BM üblich sind 3 signifikante Stellen. Ein Taschenrechner-Ergebnis wie 3.0289126 s wird zu \(3.03\;\text{s}\).
Eine Grössenordnung ist die Zehnerpotenz eines Werts. Abschätzen heisst: mit gerundeten Zahlen und Faustregeln überschlagen, ob ein Ergebnis bei 4, 40 oder 400 liegt. Das entlarvt Rechenfehler sofort — wer für eine Badewanne 40 000 L ausrechnet, merkt: da stimmt eine Zehnerpotenz nicht.
Klassiker aus dem Tauchsport: «Pro 10 m Wassertiefe steigt der Druck um rund 1 bar.» Wie gut diese Faustregel ist, zeigt Animation 11 im Vergleich mit der exakten Rechnung.
❓ Warum ist die Angabe «Tischlänge = 3.4627 m» bei einer Massband-Messung unsinnig?
Ein Massband mit Millimeter-Teilung kann höchstens auf den Millimeter genau abgelesen werden — also 3.463 m, wobei die letzte Stelle bereits geschätzt ist. Die Angabe 3.4627 m behauptet eine Genauigkeit von einem Zehntelmillimeter, die das Messgerät gar nicht liefern kann. Die Stellenzahl eines Werts ist immer auch eine Genauigkeits-Aussage.
✏️ Mini-Check
Ein Tisch wird mit dem Massband (mm-Teilung) gemessen. Welche Angabe ist sinnvoll?
- \(1.2\;\text{m}\)
- \(1.234\;\text{m}\)
- \(1.23412\;\text{m}\)
Lösung anzeigen
Bei einem abgelesenen Messwert ist die letzte angegebene Stelle .
Lösung anzeigen
Schätze mit der Faustregel den Druck in \(30\;\text{m}\) Wassertiefe ab.
Lösung anzeigen
Schätze die Grössenordnung ab: Wie viele Liter Wasser verbraucht eine 10-minütige Dusche? (Faustregel: eine Duschbrause liefert rund \(10\;\text{L}\) pro Minute.)
Lösungsweg anzeigen
Diagramme lesen und interpretieren
Ein Diagramm beantwortet drei Fragen — wenn man es richtig liest:
- Wert ablesen: Zu einem Wert auf der waagrechten Achse den zugehörigen Wert auf der senkrechten Achse finden — immer mit Einheit («um 08:00 sind es 8.3 °C», nicht «8.3»).
- Steigung deuten: Die Steigung sagt, wie schnell sich die abgebildete Grösse ändert. Steil = schnelle Änderung, waagrecht = keine Änderung. Ihre Einheit ist «senkrechte Einheit pro waagrechte Einheit», z.B. °C/h.
- Achsen prüfen: Zuerst immer klären, was gegen was aufgetragen ist und in welchen Einheiten — sonst liest man Unsinn ab.
❓ Um 05:00 verläuft die Temperaturkurve waagrecht. Was bedeutet das physikalisch?
Die Änderungsrate ist in diesem Moment null: Die Temperatur ändert sich gerade nicht. Zusammen mit dem Verlauf davor (fallend) und danach (steigend) heisst das: Um 05:00 ist das Tagesminimum erreicht. Eine waagrechte Stelle sagt aber nichts über den Wert — der steht auf der senkrechten Achse (hier 6 °C).
✏️ Mini-Check
Was gibt die Steigung in einem Temperatur-Zeit-Diagramm an?
- die aktuelle Temperatur
- wie schnell sich die Temperatur ändert
- die höchste Temperatur des Tages
Lösung anzeigen
An jeder Diagrammachse stehen die abgebildete Grösse und ihre .
Lösung anzeigen
Zwischen 06:00 und 12:00 steigt die Temperatur von \(8\;\text{°C}\) auf \(20\;\text{°C}\). Wie gross ist die mittlere Änderungsrate?
Lösung anzeigen
In einem Weg-Zeit-Diagramm verläuft die Kurve ab einem bestimmten Zeitpunkt waagrecht. Was macht das Fahrzeug — und was wäre stattdessen eine fallende Kurve?
Lösungsweg anzeigen
Taschenrechner — TI-30X Pro MathPrint
An der BM ist ein wissenschaftlicher Rechner wie der TI-30X Pro MathPrint das Standardwerkzeug. Dank MathPrint-Darstellung erscheinen Brüche, Wurzeln und Potenzen auf dem Display so, wie sie im Heft stehen — Eingabefehler fallen dadurch schneller auf. Für die Physik brauchst du vor allem vier Handgriffe:
| Ziel | Eingabe | Beispiel | Ergebnis |
|---|---|---|---|
| Quadratwurzel | Wurzelfunktion: 2nd + x² | \(\sqrt{2.25}\) | \(1.5\) |
| Potenz | Potenztaste ^ | \(1.5^{4}\) | \(5.0625\) |
| Winkelfunktion | sin / cos / tan — vorher DEG-Modus prüfen! | \(\sin 30°\) | \(0.5\) |
| Zehnerpotenz | Taste EE (Anzeige ×10ⁿ) | \(3\,\text{EE}\,8 \;\widehat{=}\; 3 \cdot 10^{8}\) | \(300\,000\,000\) |
Im MathPrint-Modus zeigt der Rechner Brüche zweizeilig und Wurzeln mit echtem Wurzelzeichen an. Exakte Ergebnisse (Bruch, Wurzelterm) lassen sich mit der Umschalt-Taste ↔ in die Dezimaldarstellung umwandeln und zurück: \( \tfrac{3}{4} \;\leftrightarrow\; 0.75 \). Für Physik-Resultate ist am Ende fast immer die Dezimaldarstellung gefragt — mit sinnvoller Stellenzahl gerundet.
Zehnerpotenzen gibst du immer über die EE-Taste ein, nicht über «×10^»: Die Eingabe \(6.7\,\text{EE}\,{-}11\) bleibt für den Rechner ein einziger Zahlenwert — das verhindert Klammerfehler in Brüchen.
Der Rechner kennt zwei Winkelmasse: DEG (Grad) und RAD (Radiant). Steht er auf RAD, liefert \(\sin(30)\) nicht \(0.5\), sondern \(-0.988\) — ein klassischer Prüfungsfehler. Vor jeder Rechnung mit Winkelfunktionen: Modus-Anzeige im Display kontrollieren. In der BM-Physik wird praktisch immer in Grad gerechnet.
Schnelltest, der in jeder Prüfung 10 Sekunden kostet und viel rettet: \(\sin 30° = 0.5\) eintippen. Kommt etwas anderes heraus, steht der Modus falsch.
❓ Dein Rechner zeigt für sin(45) den Wert 0.851 statt 0.707. Was ist passiert?
Der Rechner steht auf RAD: Er hat \(\sin(45\;\text{rad}) \approx 0.851\) berechnet statt \(\sin(45°) \approx 0.707\). Modus auf DEG umstellen und mit dem Schnelltest \(\sin 30° = 0.5\) kontrollieren.
❓ Warum lohnt sich die EE-Taste, wenn man doch «× 10 ^» tippen könnte?
Weil \(6.7\,\text{EE}\,{-}11\) für den Rechner eine Zahl ist, die getippte Kette «6.7 × 10 ^ −11» dagegen eine Rechnung aus mehreren Teilen. Sobald so ein Ausdruck im Nenner eines Bruchs steht, braucht die Tipp-Variante zusätzliche Klammern — wer sie vergisst, rechnet falsch, ohne es zu merken. Die EE-Eingabe ist kürzer und klammersicher.
✏️ Mini-Check
Der Rechner zeigt \(\sin(30) = -0.988\). Woran liegt das?
- Der Rechner ist defekt.
- Der Rechner steht im RAD-Modus.
- Die Batterie ist schwach.
Lösung anzeigen
Vor jeder Rechnung mit Winkelfunktionen prüfst du den -Modus des Rechners.
Lösung anzeigen
Berechne \(\sqrt{5.29}\) mit dem Rechner.
Lösung anzeigen
Berechne \(6.7 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{5}\) mit der EE-Taste. Wie lautet das Ergebnis in Zehnerpotenz-Schreibweise?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Stelle in Animation 1 die Kantenlänge auf \(a = 10\;\text{cm}\) und wähle den Stoff Aluminium.
- Lies Volumen und Masse aus der Live-Anzeige ab und prüfe die Masse mit \(m = \rho \cdot V\) nach.
- Wechsle zu Blei. Wie gross ist die Masse jetzt — bei unverändertem Volumen?
- Anzeige: \(V = 1\;\text{dm}^3 = 0.001\;\text{m}^3\), \(m = 2.70\;\text{kg}\). Kontrolle: \[ m = \rho \cdot V = 2700\;\text{kg/m}^3 \cdot 0.001\;\text{m}^3 = 2.7\;\text{kg} \]
- \(m = 11\,340\;\text{kg/m}^3 \cdot 0.001\;\text{m}^3 = 11.34\;\text{kg}\) — gleiches Volumen, mehr als viermal so viel Masse wie Aluminium.
Ein Schulrucksack hat die Masse \(m = 6.0\;\text{kg}\). Berechne seine Gewichtskraft auf der Erde (\(g = 9.81\;\text{m/s}^2\)) und auf dem Mond (\(g = 1.62\;\text{m/s}^2\)).
Ansatz: Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\).
\[ F_{G,\text{Erde}} = 6.0\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 = 58.86\;\text{N} \approx 58.9\;\text{N} \] \[ F_{G,\text{Mond}} = 6.0\;\text{kg} \cdot 1.62\;\text{m/s}^2 = 9.72\;\text{N} \]Die Masse ist an beiden Orten \(6.0\;\text{kg}\) — nur die Gewichtskraft ist auf dem Mond rund sechsmal kleiner.
Ein Quader aus Aluminium (\(\rho = 2700\;\text{kg/m}^3\)) misst \(20\;\text{cm} \times 10\;\text{cm} \times 5\;\text{cm}\).
- Berechne das Volumen in \(\text{cm}^3\) und in \(\text{m}^3\).
- Berechne die Masse des Quaders.
- Berechne seine Gewichtskraft auf der Erde.
- \(V = l \cdot b \cdot h = 20\;\text{cm} \cdot 10\;\text{cm} \cdot 5\;\text{cm} = 1000\;\text{cm}^3\). Umrechnen: \(1000\;\text{cm}^3 = 1\;\text{dm}^3 = 0.001\;\text{m}^3\).
- Mit \(m = \rho \cdot V\): \[ m = 2700\;\text{kg/m}^3 \cdot 0.001\;\text{m}^3 = 2.7\;\text{kg} \]
- Mit \(F_G = m \cdot g\): \[ F_G = 2.7\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \approx 26.5\;\text{N} \]
Du hebst eine Getränkekiste (\(m = 12\;\text{kg}\)) vom Boden auf die Ladekante eines Autos in \(h = 1.2\;\text{m}\) Höhe.
- Wie gross ist die Gewichtskraft der Kiste?
- Wie viel Hubarbeit verrichtest du?
- Mit \(F_G = m \cdot g\): \[ F_G = 12\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 = 117.72\;\text{N} \approx 118\;\text{N} \]
- Hubarbeit ist Kraft mal Weg, \(W = F_G \cdot h\): \[ W = 117.72\;\text{N} \cdot 1.2\;\text{m} \approx 141\;\text{J} \]
Eine Person (\(m = 65\;\text{kg}\)) rennt ein Treppenhaus mit \(h = 8.0\;\text{m}\) Höhenunterschied in \(t = 20\;\text{s}\) hinauf.
- Welche Hubarbeit verrichtet sie?
- Welche Leistung erbringt sie dabei? Gib das Ergebnis mit Einheit an.
- Vergleiche mit der Dauerleistung eines Menschen von rund \(100\;\text{W}\).
- Mit \(W = m \cdot g \cdot h\): \[ W = 65\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 8.0\;\text{m} = 5101.2\;\text{J} \approx 5.1\;\text{kJ} \]
- Mit \(P = W/t\): \[ P = \frac{5101.2\;\text{J}}{20\;\text{s}} \approx 255\;\text{W} \] Die Einheit ist Watt: \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\).
- \(255\;\text{W}\) ist gut das \(2.5\)-Fache der Dauerleistung — solche Spitzen hält man nur kurze Zeit durch.
Ein Kind (\(m = 30\;\text{kg}\)) klettert auf eine \(h = 4.0\;\text{m}\) hohe Rutsche und rutscht hinunter.
- Wie viel Hubarbeit verrichtet das Kind beim Hochklettern, und in welcher Form ist diese Energie oben gespeichert?
- Beschreibe mit der Energieerhaltung, was beim Hinunterrutschen mit dieser Energie geschieht — einmal ohne und einmal mit Reibung.
- Ordne zu: Welcher der Begriffe Arbeit, Energie, Leistung passt zu jeder Aussage? (1) «Der gespannte Bogen kann den Pfeil beschleunigen.» (2) «Sie hat die Kiste aufs Regal gehoben.» (3) «Der Bergläufer schafft denselben Aufstieg in der halben Zeit.»
- Mit \(W = m \cdot g \cdot h\): \[ W = 30\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 4.0\;\text{m} \approx 1177\;\text{J} \approx 1.2\;\text{kJ} \] Oben steckt diese Energie als Lageenergie \(E_{pot}\) im Kind.
- Ohne Reibung wird die Lageenergie vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt — unten ist das Kind am schnellsten, die Summe \(E_{pot} + E_{kin}\) bleibt konstant. Mit Reibung wird ein Teil in Wärme umgewandelt (Rutschfläche und Hose werden warm); das Kind kommt langsamer unten an, aber die Gesamtenergie inklusive Wärme bleibt erhalten.
- (1) Energie — gespeicherte Arbeitsfähigkeit. (2) Arbeit — Kraft mal Weg wurde verrichtet. (3) Leistung — gleiche Arbeit pro kürzerer Zeit.
Stelle in Animation 8 die Grösse Länge und den Exponenten \(n = 0\) ein (dargestellte Grösse: \(5\;\text{m}\)).
- Lies die vier Anzeigen ab: Wie lautet dieselbe Länge in km, m, cm und mm?
- Ordne die Präfixe µ, c, k und M aufsteigend nach ihrer Zehnerpotenz und gib zu jedem den Faktor an.
- \(0.005\;\text{km} = 5\;\text{m} = 500\;\text{cm} = 5000\;\text{mm}\) — viermal dieselbe Länge, nur der Zahlenwert wechselt mit dem Präfix.
- µ (Mikro, \(10^{-6}\)) — c (Zenti, \(10^{-2}\)) — k (Kilo, \(10^{3}\)) — M (Mega, \(10^{6}\)).
Rechne um und begründe jeweils mit dem Faktor 3.6:
- \(90\;\text{km/h}\) in m/s.
- \(15\;\text{m/s}\) in km/h.
- Wer ist schneller: ein Motorboot mit \(20\;\text{m/s}\) oder ein Auto mit \(68\;\text{km/h}\)?
- \(v = \dfrac{90}{3.6}\;\text{m/s} = 25\;\text{m/s}\)
- \(v = 15 \cdot 3.6\;\text{km/h} = 54\;\text{km/h}\)
- Gleiche Einheit herstellen: \(20\;\text{m/s} = 20 \cdot 3.6\;\text{km/h} = 72\;\text{km/h}\). Das Motorboot (\(72\;\text{km/h}\)) ist schneller als das Auto (\(68\;\text{km/h}\)).
Rechne um. Überlege jeweils zuerst, ob der Längenfaktor quadratisch oder kubisch eingeht.
- \(2.5\;\text{m}^2\) in cm².
- \(750\;\text{cm}^2\) in m².
- \(0.4\;\text{m}^3\) in Liter.
- \(1500\;\text{cm}^3\) in Liter.
- \(2.5\;\text{m}^2 = 2.5 \cdot 10\,000\;\text{cm}^2 = 25\,000\;\text{cm}^2\)
- \(750\;\text{cm}^2 = \dfrac{750}{10\,000}\;\text{m}^2 = 0.075\;\text{m}^2\)
- \(0.4\;\text{m}^3 = 0.4 \cdot 1000\;\text{L} = 400\;\text{L}\)
- \(1500\;\text{cm}^3 = \dfrac{1500}{1000}\;\text{L} = 1.5\;\text{L}\) — denn \(1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3 = 1000\;\text{cm}^3\).
Arbeite mit dem Temperaturverlauf aus Animation 12 (Ablesepunkt ziehen und Live-Anzeige nutzen).
- Lies die Temperatur um 08:00 und um 17:00 ab.
- Zu welchen Uhrzeiten beträgt die Temperatur genau \(14\;\text{°C}\)?
- Bestimme die mittlere Änderungsrate zwischen 06:00 (\(6.3\;\text{°C}\)) und 12:00 (\(16.1\;\text{°C}\)) und interpretiere das Ergebnis in einem Satz.
- Um 08:00 rund \(8.3\;\text{°C}\), um 17:00 rund \(22\;\text{°C}\) (Tagesmaximum, Kurve waagrecht).
- Um 11:00 (beim Aufwärmen) und um 23:00 (beim Abkühlen) — eine waagrechte Linie bei \(14\;\text{°C}\) schneidet die Kurve zweimal.
- Ansatz: mittlere Änderungsrate als Steigung der Sekante, \[ \frac{\Delta T}{\Delta t} = \frac{16.1\;\text{°C} - 6.3\;\text{°C}}{6\;\text{h}} \approx 1.6\;\text{°C/h} \] Am Vormittag erwärmt sich die Luft im Mittel um gut \(1.6\;\text{°C}\) pro Stunde.
Erst überschlagen, dann (wo verlangt) exakt rechnen.
- Ein Taucher ist \(25\;\text{m}\) tief. Schätze den Druck mit der Faustregel «1 bar pro 10 m» ab.
- Berechne den Druck exakt mit \(p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h\) (\(p_0 = 1013\;\text{hPa}\), \(\rho = 1000\;\text{kg/m}^3\), \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\)). Wie gross ist die Abweichung der Faustregel?
- Schätze die Grössenordnung des Volumens einer Badewanne in Litern ab (innen etwa \(1.6\;\text{m} \times 0.6\;\text{m} \times 0.4\;\text{m}\)).
- \(p \approx 1\;\text{bar} + \dfrac{25}{10}\;\text{bar} = 3.5\;\text{bar}\)
- Ansatz: hydrostatischer Druck plus Luftdruck, \[ p = p_0 + \rho \cdot g \cdot h = 101\,300\;\text{Pa} + 1000 \cdot 9.81 \cdot 25\;\text{Pa} = 346\,550\;\text{Pa} \approx 3.47\;\text{bar} \] Die Faustregel weicht um rund \(1\;\%\) ab — für eine Kopfrechnung hervorragend.
- \(V \approx 1.6 \cdot 0.6 \cdot 0.4\;\text{m}^3 \approx 0.4\;\text{m}^3 = 400\;\text{L}\). Grössenordnung \(10^2\;\text{L}\) — einige hundert Liter.
Rechne mit dem Taschenrechner und runde jedes Ergebnis auf 3 signifikante Stellen. Kontrolliere vorher den Winkelmodus (DEG).
- Fallzeit aus \(45\;\text{m}\) Höhe: \(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{9.81}}\;\text{s}\).
- \(2.5^{4}\)
- \(\sin 35°\) — und zum Vergleich: Was zeigt der Rechner im RAD-Modus an?
- \(6.0 \cdot 10^{4} \cdot 2.5 \cdot 10^{-2}\) — Eingabe über die EE-Taste.
- \(t = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 45}{9.81}}\;\text{s} = \sqrt{9.174\ldots}\;\text{s} \approx 3.03\;\text{s}\)
- \(2.5^{4} = 39.0625 \approx 39.1\)
- \(\sin 35° \approx 0.574\). Im RAD-Modus erschiene \(\sin(35\;\text{rad}) \approx -0.428\) — negatives Vorzeichen als Alarmsignal für den falschen Modus.
- Eingabe \(6.0\,\text{EE}\,4 \times 2.5\,\text{EE}\,{-}2\): Ergebnis \(1500\) — die Exponenten addieren sich zu \(10^{2}\), die Mantissen ergeben \(15\).
Zusammenfassung
Grössen und Formeln
| Grösse | Formelzeichen | Formel | SI-Einheit |
|---|---|---|---|
| Weg | \(s\) | — | m (Meter) |
| Zeit | \(t\) | — | s (Sekunde) |
| Masse | \(m\) | — | kg (Kilogramm) |
| Volumen | \(V\) | \(V = a^3\) (Würfel) | m³ · \(1\;\text{L} = 1\;\text{dm}^3\) |
| Dichte | \(\rho\) | \(\rho = \dfrac{m}{V}\) | kg/m³ |
| Gewichtskraft | \(F_G\) | \(F_G = m \cdot g\) | N (Newton) |
| Arbeit | \(W\) | \(W = F \cdot s\) | J (Joule) · \(1\;\text{J} = 1\;\text{N·m}\) |
| Leistung | \(P\) | \(P = \dfrac{W}{t}\) | W (Watt) · \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\) |
Einheiten, Messen und Ablesen
| Handwerkszeug | Regel |
|---|---|
| Präfixe | M \(= 10^{6}\) · k \(= 10^{3}\) · h \(= 10^{2}\) · d \(= 10^{-1}\) · c \(= 10^{-2}\) · m \(= 10^{-3}\) · µ \(= 10^{-6}\) |
| Tempo | \(\text{km/h} \to \text{m/s}\): durch \(3.6\) teilen (\(108\;\text{km/h} = 30\;\text{m/s}\)) |
| Fläche | \(1\;\text{m}^2 = 10\,000\;\text{cm}^2\) — Längenfaktor im Quadrat |
| Volumen | \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L} = 1\,000\,000\;\text{cm}^3\) — Längenfaktor in der dritten Potenz |
| Diagramm | Achsen mit Einheiten lesen; Steigung = Änderungsrate (z.B. °C/h) |
| Abschätzen | pro \(10\;\text{m}\) Wassertiefe \(\approx 1\;\text{bar}\) dazu; Ergebnisse mit 3 signifikanten Stellen |
| Rechner | Wurzel (2nd + x²), Potenz (^), Winkel nur im DEG-Modus, Zehnerpotenzen mit EE |
Kernpunkte
- Masse (wie viel Materie) und Volumen (wie viel Platz) sind unabhängige Grössen — die Dichte \(\rho = m/V\) verknüpft sie als Stoffeigenschaft.
- Merkzahl: 1 Liter Wasser hat die Masse 1 kg (\(\rho_W = 1000\;\text{kg/m}^3\)).
- Die Masse ist überall gleich; die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) hängt vom Ortsfaktor ab (Erde \(9.81\), Mars \(3.71\), Mond \(1.62\;\text{m/s}^2\)).
- Arbeit ist Kraft mal Weg (\(W = F \cdot s\)), Energie ist gespeicherte Arbeitsfähigkeit, Leistung ist Arbeit pro Zeit (\(P = W/t\)).
- Energie kann umgewandelt, aber weder erzeugt noch vernichtet werden — beim Rutschen wird Lageenergie zu Bewegungsenergie (und mit Reibung zu Wärme).
- Im Teilchenmodell entscheidet die Teilchenbewegung über den Aggregatzustand: schwingen (fest), gleiten (flüssig), frei fliegen (gasförmig).
- Temperatur ist ein Zustand (Mass für die Teilchenbewegung), Wärme ist übertragene Energie — sie fliesst von selbst nur von warm nach kalt.
- Ein Präfix ist eine Zehnerpotenz mit Namen — beim Präfix-Wechsel ändert der Zahlenwert, nie die Grösse.
- Der Faktor 3.6 zwischen km/h und m/s folgt direkt aus \(1\;\text{km} = 1000\;\text{m}\) und \(1\;\text{h} = 3600\;\text{s}\).
- Flächen skalieren quadratisch, Volumen kubisch: \(1\;\text{m}^2 = 10\,000\;\text{cm}^2\), \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{L}\).
- Diagramme liest man dreifach: Achsen (mit Einheiten) prüfen, Werte ablesen, Steigung als Änderungsrate deuten.
- Die letzte Stelle eines Messwerts ist geschätzt — Ergebnisse darum mit sinnvoller Stellenzahl (3 signifikante Stellen) angeben.
- Grössenordnungs-Abschätzungen («1 bar pro 10 m») prüfen jede Rechnung auf Plausibilität.
- Taschenrechner: DEG-Modus kontrollieren (\(\sin 30° = 0.5\)), Zehnerpotenzen immer über die EE-Taste.