0.3 Messen — Waagen, Dichte, Einheiten
Was misst eine Waage eigentlich? Warum funktioniert die eine auf dem Mond und die andere nicht? Und wie kommst du von zwei Messwerten zur Dichte eines Stoffes?
- Masse und Gewichtskraft als zwei verschiedene Grössen auseinanderhalten und \(F_G = m \cdot g\) anwenden
- den Ortsfaktor \(g\) in seinen beiden gleichwertigen Einheiten \(\text{N/kg}\) und \(\text{m/s}^2\) verwenden
- Balkenwaage, elektronische Waage und Federwaage nach ihrem Messprinzip unterscheiden
- eine Differenzmessung (Tarieren) durchführen und begründen, warum die Schalenmasse dabei herausfällt
- direktes und indirektes Messen unterscheiden und die Fortpflanzung relativer Fehler abschätzen
- die Dichte \(\rho = m/V\) als Stoffeigenschaft verstehen und aus Masse und Volumen bestimmen
- Volumen regelmässiger Körper berechnen und Volumen unregelmässiger Körper durch Verdrängung messen
- Dichteangaben zwischen \(\text{kg/m}^3\), \(\text{g/cm}^3\), \(\text{kg/dm}^3\), \(\text{kg/l}\), \(\text{t/m}^3\) und \(\text{g/l}\) umrechnen
Diese Seite ist zum Nachschlagen gebaut: hineinspringen, einen Abschnitt lesen, weitergehen. Aus dieser Seite stecken im Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» die Schritte 5 bis 8: Masse und Gewichtskraft, Dichte, Druck und Überdruck. Der Vergleich der drei Waagen und das direkte gegen das indirekte Messen stehen nur hier.
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann Masse und Gewichtskraft unterscheiden und begründen, welche der beiden Grössen vom Ort abhängt.
- Ich kann \(F_G = m \cdot g\) auf Erde, Mond und beschleunigten Lift anwenden und dabei zwischen \(\text{N/kg}\) und \(\text{m/s}^2\) wechseln.
- Ich kann für Balkenwaage, Küchenwaage und Federwaage angeben, welche Grösse sie unmittelbar messen und was sie anzeigen.
- Ich kann erklären, warum sich der Ortsfaktor an der Balkenwaage wegkürzt.
- Ich kann mit einer Differenzmessung die Kraft auf einen Körper bestimmen, der in einer Waagschale liegt.
- Ich kann eine Messung als direkt oder indirekt einordnen und meine Einordnung begründen.
- Ich kann abschätzen, wie sich relative Fehler bei einer Dichtebestimmung fortpflanzen.
- Ich kann die Dichte aus Masse und Volumen berechnen und mit Tabellenwerten einen Stoff eingrenzen.
- Ich kann das Volumen eines unregelmässigen Körpers durch Verdrängung bestimmen und die Stolperstellen dabei vermeiden.
- Ich kann Dichteangaben zwischen allen gebräuchlichen Einheiten umrechnen und die Umrechnung selbst herleiten.
Einstieg — derselbe Stein, drei Waagen
Du hast einen Stein von \(200\;\text{g} = 0.20\;\text{kg}\) und misst ihn nacheinander mit drei Geräten: einer Balkenwaage aus dem Physikzimmer, einer Küchenwaage und einer Federwaage (Kraftmesser). Im Schulzimmer passt alles zusammen. Nimm die drei Geräte aber mit auf den Mond oder in einen beschleunigenden Lift — und plötzlich zeigen sie ganz verschiedene Dinge an.
Drei Beobachtungen, die zusammen die ganze Seite tragen:
- Die Balkenwaage bleibt stur. Sie zeigt an jedem Ort dieselben \(200\;\text{g}\) — auch dort, wo alles andere leichter wird.
- Die Küchenwaage lügt im Lift. Beim Anfahren nach oben zeigt sie plötzlich mehr an, obwohl niemand etwas nachgelegt hat.
- Die Federwaage sagt die Wahrheit — aber über eine andere Grösse. Sie zeigt Newton statt Gramm, und ihr Wert ändert sich mit dem Ort völlig zu Recht.
❓ Nur eine der vier Anzeigen bleibt an allen Orten gleich — welche, und warum?
Gleich bleiben die Balkenwaage und die aus der Federwaage berechnete Masse — beide zeigen die Masse, und die ist eine Eigenschaft des Steins. Die Federwaage selbst zeigt eine Kraft, und die ändert sich mit dem Ort; die Küchenwaage zeigt zwar Gramm an, misst aber ebenfalls eine Kraft und rechnet mit einem fest einprogrammierten \(g\).
✏️ Mini-Check
Welches Gerät zeigt auf dem Mond ohne jede Umrechnung die richtige Masse an?
- die Küchenwaage
- die Balkenwaage
- die Federwaage
Lösung anzeigen
Die Balkenwaage vergleicht , die Federwaage misst dagegen eine .
Lösung anzeigen
Auf der Erde zeigt die Federwaage mit Schale und Stein \(2.453\;\text{N}\), mit leerer Schale \(0.491\;\text{N}\). Wie gross ist die Kraft auf den Stein allein?
Lösung anzeigen
Stelle in Animation 1 den aufwärts beschleunigenden Lift ein. Warum zeigt ausgerechnet die Küchenwaage zu viel an, obwohl der Stein derselbe geblieben ist?
Lösungsweg anzeigen
Masse und Gewichtskraft — zwei verschiedene Grössen
Umgangssprachlich sagen wir «die Packung wiegt 1 Kilo». Physikalisch stecken darin zwei Grössen, die man auseinanderhalten muss.
Die Masse \(m\) beschreibt, wie viel Stoff in einem Körper steckt und wie träge er ist. Einheit: Kilogramm (kg). Die Masse ist eine Eigenschaft des Körpers — sie ändert sich nicht, wenn du den Körper an einen anderen Ort bringst.
Die Gewichtskraft \(F_G\) ist die Kraft, mit der ein Himmelskörper an diesem Körper zieht. Einheit: Newton (N).
\[ F_G = m \cdot g \]Dabei ist \(g\) der Ortsfaktor (Fallbeschleunigung).
Die Schreibweise \(\text{N/kg}\) betont die Rolle als Kraft pro Masse — sie ist beim Wiegen praktischer, weil \(0.20\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{N/kg}\) direkt Newton ergibt. Die Schreibweise \(\text{m/s}^2\) betont die Rolle als Fallbeschleunigung — sie ist beim Fallen und Werfen praktischer. Auf dieser Seite steht deshalb überall beides.
Der Wert von \(g\) hängt davon ab, wo du bist:
| Ort | \(g\) in \(\text{m/s}^2 = \text{N/kg}\) | Bemerkung |
|---|---|---|
| Erdoberfläche (Rechenwert) | 9.81 | zwischen rund 9.78 am Äquator und 9.83 an den Polen |
| Mondoberfläche | 1.62 | rund ein Sechstel des Erdwerts |
| Lift, mit \(3.0\;\text{m/s}^2\) aufwärts beschleunigt | 12.81 | effektiver Wert: \(9.81 + 3.0\) |
| Lift, mit \(3.0\;\text{m/s}^2\) abwärts beschleunigt | 6.81 | effektiver Wert: \(9.81 - 3.0\) |
Genau hier trennen sich die Waagen: Manche Geräte reagieren auf die Masse, andere auf die Kraft.
✏️ Mini-Check
Ein Koffer wird vom Mond zur Erde gebracht. Was ändert sich dabei?
- nur die Masse
- nur die Gewichtskraft
- Masse und Gewichtskraft
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Es gilt \(1\;\text{N/kg} = 1\;\). Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Grösse, den .
Lösung anzeigen
Ein Koffer der Masse \(m = 12\;\text{kg}\) steht auf dem Mond (\(g = 1.62\;\text{N/kg}\)). Wie gross ist seine Gewichtskraft dort, wie gross auf der Erde?
Lösung anzeigen
Ansatz: Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\).
\[ F_{G,\text{Mond}} = 12\;\text{kg} \cdot 1.62\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 19.4\;\text{N} \]\[ F_{G,\text{Erde}} = 12\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 118\;\text{N} \]Die Masse bleibt in beiden Fällen \(12\;\text{kg}\).
Warum ist es sinnvoll, für ein und dieselbe Grösse zwei Einheiten (\(\text{N/kg}\) und \(\text{m/s}^2\)) in Gebrauch zu haben?
Lösungsweg anzeigen
Die drei Waagen im Vergleich
Balkenwaage — sie vergleicht Massen
Auf der einen Schale liegt der Körper, auf der anderen Wägestücke mit bekannter Masse. Die Waage ist im Gleichgewicht, wenn die Drehmomente links und rechts gleich sind. Bei gleich langen Hebelarmen \(l\) heisst das:
\[ m_\text{Körper} \cdot g \cdot l = m_\text{Stücke} \cdot g \cdot l \] \[ m_\text{Körper} = m_\text{Stücke} \]Das \(g\) kürzt sich weg. Deshalb liefert die Balkenwaage überall dasselbe Resultat — auf dem Mond, im Lift, auf einem Berggipfel. Sie braucht nur irgendeinen Ortsfaktor, damit sich die Schalen überhaupt senken.
Küchen- oder Haushaltswaage — sie misst eine Kraft und rechnet um
In einer elektronischen Waage sitzt eine Wägezelle: ein Metallkörper, der sich unter Belastung minimal verformt. Aufgeklebte Dehnungsmessstreifen wandeln diese Verformung in ein elektrisches Signal um. Gemessen wird also die Kraft auf die Plattform. Angezeigt wird trotzdem eine Masse, denn die Elektronik rechnet:
\[ m_\text{Anzeige} = \frac{F_\text{gemessen}}{g_\text{Kalibrierung}} \]Der Wert \(g_\text{Kalibrierung}\) ist bei der Justierung fest einprogrammiert worden. Steht die Waage danach an einem Ort mit anderem \(g\), stimmt die Anzeige nicht mehr. Bei einer Küchenwaage ist das egal — die \(0.5\;\%\) Unterschied zwischen Äquator und Pol merkst du beim Kuchen nicht. Bei geeichten Ladenwaagen ist es nicht egal: Sie werden für die Region justiert, in der sie eingesetzt werden.
Federwaage — sie misst die Kraft und zeigt sie auch als Kraft an
Eine Feder dehnt sich proportional zur Zugkraft (Hooke'sches Gesetz):
\[ F = D \cdot s \]mit der Federkonstanten \(D\) in N/m und der Dehnung \(s\) in m. Die Skala ist direkt in Newton beschriftet, und der Messgegenstand hängt am Haken unterhalb des Zylinders, in dem die Feder sitzt. Eine Federwaage misst deshalb immer korrekt — auf dem Mond zeigt sie einfach eine kleinere Kraft an, und das ist auch richtig so. Willst du daraus die Masse haben, musst du selbst rechnen: \(m = F_G/g\), und dazu musst du \(g\) am Messort kennen.
Differenzmessung — die Schale muss weggerechnet werden
Einen unförmigen Stein kannst du nicht direkt an den Haken hängen. Du legst ihn in dieselbe Waagschale, die auch an der Balkenwaage hängt — sie hat dafür eine Aufhängeschlaufe. Damit misst die Federwaage aber immer Schale und Stein zusammen. Die Lösung ist eine Differenzmessung in zwei Schritten:
- Erste Messung: nur die leere Schale einhängen und ablesen → \(F_\text{Schale}\)
- Zweite Messung: Stein in die Schale legen und ablesen → \(F_\text{ges}\)
Mit einer Schale von \(50\;\text{g}\) und dem Stein von \(200\;\text{g}\) ergibt das auf der Erde:
\[ F_\text{Schale} = 0.050\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 0.491\;\text{N} \] \[ F_\text{ges} = 0.250\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 2.453\;\text{N} \] \[ F_\text{Stein} = 2.453\;\text{N} - 0.491\;\text{N} = 1.962\;\text{N} \]Und daraus die gesuchte Masse:
\[ m = \frac{F_\text{Stein}}{g} = \frac{1.962\;\text{N}}{9.81\;\text{N/kg}} = 0.200\;\text{kg} = 200\;\text{g} \]Das ist derselbe Gedanke wie das Tarieren an der elektronischen Waage — dort erledigt die Elektronik die Subtraktion auf Knopfdruck, an der Federwaage machst du sie selbst. Der Vorteil der Differenzmessung: Der Wert der Schalenmasse muss gar nicht bekannt sein, er fällt beim Subtrahieren heraus.
| Gerät | Prinzip | misst unmittelbar | Anzeige | ortsabhängig? | versagt bei |
|---|---|---|---|---|---|
| Balkenwaage | Hebelgesetz, Vergleich mit Wägestücken | Massenverhältnis | \(\text{kg}\) | nein — \(g\) kürzt sich weg | schiefem Untergrund; verbogenem Balken |
| Küchenwaage (elektronisch) | Wägezelle, Verformung → Signal | Kraft auf die Plattform | kg (umgerechnet mit gespeichertem \(g\)) | ja — falsche Anzeige bei anderem \(g\) | Beschleunigung (Lift, Schiff); schräger Aufstellung; anderem Ortsfaktor |
| Federwaage | Hooke'sches Gesetz \(F = D \cdot s\); Schale per Differenzmessung wegrechnen | Kraft | \(\text{N}\) | Anzeige ändert sich mit \(g\) — der Messwert ist trotzdem richtig | Überlastung der Feder; Ablesen im Schwingen |
Du stehst mit allen drei Geräten und dem 200-g-Stein in einem Lift, der mit \(a = 3.0\;\text{m/s}^2\) nach oben beschleunigt. Der effektive Ortsfaktor ist dann
\[ g_\text{eff} = 9.81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} + 3.0\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 12.81\;\frac{\text{m}}{\text{s}^2} = 12.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} \]- Balkenwaage: beide Seiten werden gleich stärker heruntergezogen, das Gleichgewicht bleibt → \(200\;\text{g}\), korrekt.
- Küchenwaage: sie misst \(F = 0.200\;\text{kg} \cdot 12.81\;\text{N/kg} = 2.562\;\text{N}\) und teilt durch \(9.81\;\text{N/kg}\) → Anzeige \(261\;\text{g}\), zu viel.
- Federwaage: sie zeigt für Schale und Stein zusammen \(3.203\;\text{N}\), für die leere Schale \(0.641\;\text{N}\). Die Differenz ist \(2.562\;\text{N}\) — die Kraft auf den Stein ist tatsächlich so gross, die Anzeige stimmt.
❓ Warum muss die Masse der Waagschale für die Differenzmessung nicht bekannt sein?
Weil in beiden Messungen dieselbe Schale hängt. Es ist \(F_\text{ges} = (m_\text{Schale} + m_\text{Stein}) \cdot g\) und \(F_\text{Schale} = m_\text{Schale} \cdot g\); in der Differenz fällt der Term \(m_\text{Schale} \cdot g\) heraus. Übrig bleibt \(F_\text{Stein} = m_\text{Stein} \cdot g\) — ganz gleich, wie schwer die Schale ist.
✏️ Mini-Check
Was misst die Wägezelle einer elektronischen Küchenwaage unmittelbar?
- die Masse des Körpers
- die Kraft auf die Plattform
- die Dichte des Körpers
Lösung anzeigen
An der Balkenwaage steht auf beiden Seiten derselbe Faktor \(g\) — er sich weg. Deshalb ist ihre Anzeige .
Lösung anzeigen
Der 200-g-Stein liegt auf der Küchenwaage in einem Lift, der mit \(3.0\;\text{m/s}^2\) aufwärts beschleunigt. Welche Masse zeigt die Waage an?
Lösung anzeigen
Ansatz: gemessene Kraft mit \(g_\text{eff}\), Anzeige mit dem gespeicherten Erdwert.
\[ F = 0.200\;\text{kg} \cdot 12.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 2.562\;\text{N} \]\[ m_\text{Anzeige} = \frac{2.562\;\text{N}}{9.81\;\text{N/kg}} = 0.261\;\text{kg} = 261\;\text{g} \]Eine Ladenwaage in einer Bergregion wird im Flachland justiert und dann hinauftransportiert. Zeigt sie danach zu viel oder zu wenig an — und warum?
Lösungsweg anzeigen
Direkt oder indirekt gemessen?
Der Waagenvergleich zeigt ein Muster, das durch die ganze Physik geht: Manche Grössen liest du unmittelbar ab, andere rechnest du aus.
Direkt messen heisst: Du vergleichst die gesuchte Grösse unmittelbar mit einem Normal oder einer geeichten Skala. Eine Länge legst du neben einen Massstab, ein Volumen liest du am Messzylinder ab, eine Masse vergleichst du auf der Balkenwaage mit Wägestücken.
Indirekt messen heisst: Du misst andere Grössen und berechnest die gesuchte über eine physikalische Beziehung. Die Dichte etwa lässt sich mit keinem Gerät direkt ablesen — du brauchst \(m\) und \(V\) und die Formel \(\rho = m/V\).
| Messung | Art | Begründung |
|---|---|---|
| Länge mit dem Massstab | direkt | Vergleich mit der Längenskala |
| Zeit mit der Stoppuhr | direkt | Vergleich mit dem Uhrentakt |
| Volumen im Messzylinder | direkt | Ablesen an der Volumenskala |
| Masse mit der Balkenwaage | direkt | Vergleich mit Wägestücken |
| Masse mit der Küchenwaage | indirekt | gemessen wird die Kraft, umgerechnet über \(m = F/g\) |
| Volumen eines Quaders aus den Kanten | indirekt | berechnet über \(V = a \cdot b \cdot c\) |
| Durchschnittstempo | indirekt | berechnet über \(v = s/t\) |
| Dichte | indirekt | berechnet über \(\rho = m/V\) |
Streng genommen ist die Grenze eine Frage des Standpunkts: Auch die Federwaage wandelt intern eine Dehnung in eine Kraft um, und der Massstab beruht auf einem Vergleich mit dem Urmeter. Für die Praxis ist die Frage aber eindeutig: Musst du nach dem Ablesen noch rechnen? Dann hast du indirekt gemessen.
Bei einer indirekten Messung stecken die Unsicherheiten aller Teilmessungen im Endresultat. Für ein Produkt oder einen Quotienten addieren sich die relativen Fehler näherungsweise:
\[ \frac{\Delta\rho}{\rho} \approx \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V} \]Beim Quader kommt das Volumen selbst schon aus drei Längenmessungen — dort addieren sich also drei relative Längenfehler:
\[ \frac{\Delta V}{V} \approx \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} \]Deshalb ist bei Dichtebestimmungen fast immer das Volumen der unsichere Teil, nicht die Masse: Eine gute Waage misst auf \(0.1\;\%\) genau, ein Messschieber an einem kantigen Werkstück selten besser als \(1\;\%\).
✏️ Mini-Check
Welche der drei Messungen ist indirekt?
- Länge mit dem Meterstab
- Volumen im Messzylinder
- Dichte eines Steins
Lösung anzeigen
Bei Produkten und Quotienten addieren sich näherungsweise die Fehler der Teilmessungen.
Lösung anzeigen
Du misst einen Würfel mit \(2.0\;\text{cm}\) Kante auf \(0.5\;\text{mm}\) genau. Wie gross ist der relative Fehler im Volumen?
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Ansatz: relativer Fehler pro Kante, dann dreifach addieren.
\[ \frac{\Delta a}{a} = \frac{0.05\;\text{cm}}{2.0\;\text{cm}} = 0.025 = 2.5\;\% \]\[ \frac{\Delta V}{V} \approx 3 \cdot 2.5\;\% = 7.5\;\% \]Bei \(V = 8.0\;\text{cm}^3\) sind das rund \(0.6\;\text{cm}^3\). Die Dichte ist damit bestenfalls auf \(8\;\%\) genau — Aluminium (2.70) und eine Aluminiumlegierung (2.80) lassen sich so nicht unterscheiden.
Warum entscheidet bei einer Dichtebestimmung meist die Volumenmessung über die Genauigkeit — und nicht die Wägung?
Lösungsweg anzeigen
Dichte bestimmen
Die Dichte \(\rho\) (griechisch «rho») gibt an, wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt:
\[ \rho = \frac{m}{V} \qquad [\rho] = \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Sie ist eine Stoffeigenschaft: Ein Aluminiumspan und ein Aluminiumblock haben dieselbe Dichte, obwohl sich Masse und Volumen um Grössenordnungen unterscheiden. Angaben gelten immer für eine bestimmte Temperatur, weil sich Stoffe beim Erwärmen ausdehnen.
Die Dichte kannst du nicht ablesen — du misst immer zwei Grössen einzeln.
Schritt 1: Masse messen
- Waage auf null stellen (Tara), Körper auflegen, ablesen.
- Bei Flüssigkeiten: leeres Gefäss auf die Waage stellen, tarieren, dann einfüllen. So misst du nur die Flüssigkeit.
- Waage waagrecht aufstellen und Erschütterungen vermeiden — sie misst eine Kraft, und die reagiert auf jede Schräglage.
Schritt 2: Volumen bestimmen — rechnen oder messen
Regelmässige Körper: rechnen (indirekt). Du misst die Kantenlängen und setzt in die Formel ein.
| Körper | Volumenformel | zu messen |
|---|---|---|
| Quader | \(V = a \cdot b \cdot c\) | drei Kantenlängen |
| Würfel | \(V = a^3\) | eine Kantenlänge |
| Zylinder | \(V = \pi r^2 h\) | Durchmesser und Höhe |
| Kugel | \(V = \tfrac{4}{3}\pi r^3\) | Durchmesser |
| Rohr | \(V = \pi (r_\text{a}^2 - r_\text{i}^2) \, h\) | Aussen- und Innendurchmesser, Länge |
Unregelmässige Körper: verdrängen (direkt). Nach dem Prinzip des Archimedes verdrängt ein vollständig eingetauchter Körper genau sein eigenes Volumen an Flüssigkeit. Du füllst einen Messzylinder mit Wasser, liest \(V_1\) ab, tauchst den Körper ein und liest \(V_2\) ab:
\[ V_\text{Körper} = V_2 - V_1 \]Für grössere Stücke nimmst du ein Überlaufgefäss: Das übergelaufene Wasser wird im Messzylinder aufgefangen.
- Der Körper muss vollständig unter der Wasseroberfläche sein — sonst misst du zu wenig.
- Keine Luftblasen an der Oberfläche haften lassen; sie täuschen ein zu grosses Volumen vor.
- Der Stoff darf sich nicht auflösen (Zucker, Salz) und kein Wasser aufsaugen (Holz, Gips, Papier).
- Schwimmende Körper mit einer dünnen Nadel oder einem Senkkörper untertauchen — nicht mit dem Finger, der verdrängt selber Wasser.
- Auf Augenhöhe am tiefsten Punkt des Meniskus ablesen.
Der Stein hat die Masse \(m = 200\;\text{g}\). Im Messzylinder steht das Wasser vorher bei \(50\;\text{ml}\), nach dem Eintauchen bei \(120\;\text{ml}\).
Ansatz: Volumen aus der Verdrängung, dann Dichte als Quotient aus Masse und Volumen.
\[ V = V_2 - V_1 = 120\;\text{ml} - 50\;\text{ml} = 70\;\text{ml} = 70\;\text{cm}^3 \] \[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{200\;\text{g}}{70\;\text{cm}^3} = 2.86\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 2857\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Der Tabellenvergleich deutet auf ein dichtes Gestein: Basalt liegt bei \(2.9\;\text{g/cm}^3\), Gneis bei \(2.75\;\text{g/cm}^3\). Granit (\(2.7\;\text{g/cm}^3\)) und Sandstein (\(2.2\;\text{g/cm}^3\)) sind deutlich leichter. Die Dichte allein legt die Gesteinsart also nicht eindeutig fest — sie grenzt sie aber stark ein. Für eine sichere Bestimmung brauchst du zusätzlich Merkmale wie Farbe, Korngrösse oder Härte.
Ein Quader misst \(a = 4.0\;\text{cm}\), \(b = 3.0\;\text{cm}\), \(c = 2.0\;\text{cm}\) und hat die Masse \(m = 64.8\;\text{g}\).
Ansatz: Volumen aus der Quaderformel, dann Dichte als Quotient aus Masse und Volumen.
\[ V = a \cdot b \cdot c = 4.0\;\text{cm} \cdot 3.0\;\text{cm} \cdot 2.0\;\text{cm} = 24\;\text{cm}^3 \] \[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{64.8\;\text{g}}{24\;\text{cm}^3} = 2.7\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 2700\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Der Tabellenvergleich ergibt Aluminium — oder Granit, denn beide haben dieselbe Dichte.
❓ Ein Holzklotz schwimmt im Messzylinder. Warum darfst du das abgelesene \(\Delta V\) nicht verwenden?
Weil ein schwimmender Körper nur so viel Wasser verdrängt, wie seiner Gewichtskraft entspricht — nicht seinem Volumen. Du misst also nur den eingetauchten Teil, erhältst ein zu kleines Volumen und damit eine zu grosse Dichte. Lösung: den Klotz mit einer dünnen Nadel ganz untertauchen. Zusätzliches Problem beim Holz: Es saugt sich mit Wasser voll, was die Masse verfälscht.
✏️ Mini-Check
Ein Holzklotz schwimmt im Messzylinder. Das abgelesene \(\Delta V\) ist …
- zu klein
- genau richtig
- zu gross
Lösung anzeigen
Für Wasser gilt \(1\;\text{ml} = 1\;\). Das Volumen eines unregelmässigen Körpers misst man deshalb als zweier Ablesungen.
Lösung anzeigen
Ein Körper der Masse \(m = 200\;\text{g}\) hebt den Wasserstand von \(50\;\text{ml}\) auf \(120\;\text{ml}\). Bestimme seine Dichte.
Lösung anzeigen
Ansatz: Volumen als Differenz, dann \(\rho = m/V\).
\[ V = 120\;\text{ml} - 50\;\text{ml} = 70\;\text{cm}^3 \]\[ \rho = \frac{200\;\text{g}}{70\;\text{cm}^3} = 2.86\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \]Zwei Proben ergeben beide \(\rho = 2.7\;\text{g/cm}^3\). Die eine ist Aluminium, die andere Granit. Warum genügt die Dichte hier nicht zur Bestimmung, und was hilft weiter?
Lösungsweg anzeigen
Dichte-Einheiten vergleichen
Die SI-Einheit der Dichte ist \(\text{kg/m}^3\). In der Werkstatt und im Labor sind aber andere Einheiten üblich, weil die Zahlenwerte handlicher sind. Die Umrechnung leitest du dir am besten einmal selbst her, statt einen Faktor auswendig zu lernen:
\[ 1\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{0.001\;\text{kg}}{0.000001\;\text{m}^3} = \frac{10^{-3}\;\text{kg}}{10^{-6}\;\text{m}^3} = 10^{3}\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Der Faktor 1000 entsteht also nicht willkürlich: Das Gramm ist 1000-mal kleiner als das Kilogramm, der Kubikzentimeter aber eine Million Mal kleiner als der Kubikmeter. Das Volumen «gewinnt» um den Faktor 1000.
| Einheit | in \(\text{kg/m}^3\) | typisch verwendet für | Beispiel Wasser |
|---|---|---|---|
| \(\text{kg/m}^3\) | 1 | SI-Einheit; Gase, Baustoffe, Rechnungen | 1000 |
| \(\text{g/cm}^3\) | 1000 | Labor, Metalle, Tabellenwerke | 1.000 |
| \(\text{kg/dm}^3\) | 1000 | identisch mit \(\text{g/cm}^3\) | 1.000 |
| \(\text{kg/l}\) | 1000 | Flüssigkeiten (\(1\;\text{l} = 1\;\text{dm}^3\)) | 1.000 |
| \(\text{t/m}^3\) | 1000 | Bauwesen, Transport | 1.000 |
| \(\text{g/l}\) | 1 | Gase (identisch mit \(\text{kg/m}^3\)) | 1000 |
Diese Angaben bedeuten exakt dasselbe:
\[ 1\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \;=\; 1\;\frac{\text{kg}}{\text{dm}^3} \;=\; 1\;\frac{\text{kg}}{\text{l}} \;=\; 1\;\frac{\text{t}}{\text{m}^3} \;=\; 1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Merkbild Wasser: 1 Liter Wasser hat \(1\;\text{kg}\) Masse. Von dort aus kommst du auf jede andere Einheit — und du merkst sofort, wenn ein Resultat um den Faktor 1000 danebenliegt.
❓ Warum ist der Umrechnungsfaktor zwischen \(\text{g/cm}^3\) und \(\text{kg/m}^3\) gerade 1000 und nicht eine Million?
Beide Umrechnungen wirken gleichzeitig und gegenläufig: Im Zähler wird das Gramm zum Kilogramm — Faktor \(10^{-3}\). Im Nenner wird der Kubikzentimeter zum Kubikmeter — Faktor \(10^{-6}\). Der Quotient ist \(10^{-3} : 10^{-6} = 10^{3}\), also 1000.
Dichten einiger Stoffe
| Stoff | \(\rho\) in \(\text{g/cm}^3\) | \(\rho\) in \(\text{kg/m}^3\) | Bemerkung |
|---|---|---|---|
| Luft (\(20\,^\circ\text{C}\), \(1013\;\text{hPa}\)) | 0.0012 | 1.2 | bei Gasen stark druck- und temperaturabhängig |
| Styropor | 0.02 | 20 | fast nur Luft |
| Fichtenholz | 0.47 | 470 | je nach Feuchte verschieden |
| Benzin | 0.75 | 750 | schwimmt auf Wasser |
| Eis (\(0\,^\circ\text{C}\)) | 0.917 | 917 | kleinere Dichte als Wasser — deshalb schwimmt es |
| Wasser (\(4\,^\circ\text{C}\)) | 1.000 | 1000 | Referenzwert |
| Sandstein | 2.2 | 2200 | porös, je nach Sorte verschieden |
| Beton | 2.4 | 2400 | je nach Zuschlag |
| Granit | 2.7 | 2700 | gleiche Dichte wie Aluminium |
| Aluminium | 2.70 | 2700 | |
| Basalt | 2.9 | 2900 | dichtes Ergussgestein |
| Stahl | 7.85 | 7850 | |
| Kupfer | 8.93 | 8930 | |
| Blei | 11.3 | 11300 | |
| Quecksilber | 13.6 | 13600 | flüssiges Metall |
| Gold | 19.3 | 19300 |
✏️ Mini-Check
Welche Angabe bedeutet nicht dasselbe wie \(1\;\text{g/cm}^3\)?
- \(1\;\text{kg/l}\)
- \(1\;\text{t/m}^3\)
- \(1\;\text{g/l}\)
Lösung anzeigen
Es gilt \(1\;\text{g/cm}^3 = \)\(\;\text{kg/m}^3\). Das Merkbild dazu: 1 Liter Wasser hat die Masse .
Lösung anzeigen
Rechne \(0.917\;\text{g/cm}^3\) in \(\text{kg/m}^3\) um und nenne den Stoff.
Lösung anzeigen
Das ist Eis — und weil \(917 < 1000\), schwimmt es auf Wasser.
Bei Gasen findet man Dichteangaben meist in \(\text{g/l}\), bei Metallen in \(\text{g/cm}^3\). Warum haben sich für verschiedene Stoffklassen verschiedene Einheiten durchgesetzt?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Eine Gesteinsprobe liegt auf einer gewöhnlichen elektronischen Küchenwaage, die auf der Erde justiert wurde. Auf dem Mond zeigt die Waage \(0.42\;\text{kg}\) an.
- Welche Masse hat die Probe wirklich?
- Was würde eine Balkenwaage anzeigen?
- Ansatz: Die Waage misst die Gewichtskraft und teilt durch den gespeicherten Erdwert \(g_\text{E}\). Rückwärts gerechnet ergibt das die tatsächlich gemessene Kraft: \[ F_G = m_\text{Anzeige} \cdot g_\text{E} = 0.42\;\text{kg} \cdot 9.81\;\frac{\text{N}}{\text{kg}} = 4.12\;\text{N} \] Diese Kraft entsteht auf dem Mond, dort gilt also \(F_G = m \cdot g_\text{M}\): \[ m = \frac{F_G}{g_\text{M}} = \frac{4.12\;\text{N}}{1.62\;\text{N/kg}} = 2.54\;\text{kg} \]
- Die Balkenwaage würde direkt \(2.54\;\text{kg}\) anzeigen, weil sich der Ortsfaktor im Gleichgewicht wegkürzt.
Ein Zylinder aus unbekanntem Metall hat einen Durchmesser von \(2.40\;\text{cm}\) und eine Höhe von \(5.00\;\text{cm}\). Auf der Waage zeigt er \(202\;\text{g}\). Um welches Metall handelt es sich?
Ansatz: Volumen des Zylinders berechnen, dann \(\rho = m/V\).
\[ V = \pi r^2 h = \pi \cdot (1.20\;\text{cm})^2 \cdot 5.00\;\text{cm} = 22.6\;\text{cm}^3 \] \[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{202\;\text{g}}{22.6\;\text{cm}^3} = 8.93\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 8930\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Der Tabellenvergleich ergibt Kupfer.
Achtung beim Radius: Gemessen wird der Durchmesser, in die Formel gehört der halbe Wert.
Eine Handvoll Schrauben wird gewogen: \(78.5\;\text{g}\). Ein Messzylinder ist bis \(50.0\;\text{ml}\) mit Wasser gefüllt; nach dem Eintauchen der Schrauben steht der Wasserspiegel bei \(60.0\;\text{ml}\).
- Bestimme die Dichte und nenne das Material.
- Warum ist diese Methode hier besser als Ausmessen und Rechnen?
- Ansatz: Volumen aus der Verdrängung, dann \(\rho = m/V\). Es gilt \(1\;\text{ml} = 1\;\text{cm}^3\). \[ V = V_2 - V_1 = 60.0\;\text{cm}^3 - 50.0\;\text{cm}^3 = 10.0\;\text{cm}^3 \] \[ \rho = \frac{78.5\;\text{g}}{10.0\;\text{cm}^3} = 7.85\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = 7850\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \] Das ist Stahl.
- Schrauben haben Gewinde, Köpfe und Fasen — dafür gibt es keine einfache Volumenformel. Die Verdrängung erfasst die gesamte unregelmässige Form auf einen Schlag und misst das Volumen direkt statt über drei fehleranfällige Längenmessungen. Wichtig: alle Schrauben müssen vollständig untergetaucht und blasenfrei sein.
Rechne um und nenne jeweils den Stoff:
- \(0.917\;\text{g/cm}^3\) in \(\text{kg/m}^3\)
- \(13\,600\;\text{kg/m}^3\) in \(\text{g/cm}^3\)
- \(1.2\;\text{kg/m}^3\) in \(\text{g/l}\) und in \(\text{g/cm}^3\)
- \(2.7\;\text{t/m}^3\) in \(\text{kg/m}^3\)
- \(0.917\;\text{g/cm}^3 \cdot 1000 = 917\;\text{kg/m}^3\) — Eis.
- \(13\,600\;\text{kg/m}^3 : 1000 = 13.6\;\text{g/cm}^3\) — Quecksilber.
- Wegen \(1\;\text{g/l} = 1\;\text{kg/m}^3\) ist \(1.2\;\text{kg/m}^3 = 1.2\;\text{g/l}\). Und \(1.2 : 1000 = 0.0012\;\text{g/cm}^3\) — Luft.
- Wegen \(1\;\text{t} = 1000\;\text{kg}\) ist \(2.7\;\text{t/m}^3 = 2700\;\text{kg/m}^3 = 2.7\;\text{g/cm}^3\) — Aluminium (oder Granit).
Ein Barren soll aus reinem Gold bestehen (\(\rho_\text{Gold} = 19\,300\;\text{kg/m}^3\)).
- Welches Volumen hat \(1.00\;\text{kg}\) reines Gold? Wie lang wäre die Kante, wenn es ein Würfel wäre?
- Der geprüfte Barren hat die Masse \(1.00\;\text{kg}\) und verdrängt \(62.0\;\text{cm}^3\) Wasser. Was folgt daraus?
- Ansatz: Die Dichteformel nach dem Volumen auflösen. \[ \rho = \frac{m}{V} \qquad \Longrightarrow \qquad V = \frac{m}{\rho} = \frac{1.00\;\text{kg}}{19\,300\;\text{kg/m}^3} = 5.18 \cdot 10^{-5}\;\text{m}^3 = 51.8\;\text{cm}^3 \] \[ a = \sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{51.8\;\text{cm}^3} = 3.73\;\text{cm} \] Ein Kilogramm Gold ist also ein Würfel von knapp \(4\;\text{cm}\) Kante — Gold ist erstaunlich kompakt.
- Ansatz: Dichte aus den Messwerten berechnen und mit dem Tabellenwert vergleichen. \[ \rho = \frac{1000\;\text{g}}{62.0\;\text{cm}^3} = 16.1\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} \] \(16.1\;\text{g/cm}^3\) liegt deutlich unter den \(19.3\;\text{g/cm}^3\) von reinem Gold. Der Barren ist keine reine Goldprobe — entweder eine Legierung oder ein Kern aus einem leichteren Metall mit Goldüberzug. Die Dichtebestimmung ist damit eine zerstörungsfreie Echtheitsprüfung.
Ein Klassenzimmer misst \(10.0\;\text{m} \times 6.0\;\text{m} \times 3.0\;\text{m}\). Welche Masse hat die Luft darin (\(\rho_\text{Luft} = 1.2\;\text{kg/m}^3\))?
Ansatz: Volumen des Raums berechnen, dann die Dichteformel nach der Masse auflösen.
\[ V = 10.0\;\text{m} \cdot 6.0\;\text{m} \cdot 3.0\;\text{m} = 180\;\text{m}^3 \] \[ m = \rho \cdot V = 1.2\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \cdot 180\;\text{m}^3 = 216\;\text{kg} \]Über \(200\;\text{kg}\) Luft — etwa so viel wie drei Personen. Luft ist zwar dünn, aber nicht nichts.
Zusammenfassung
Grössen und Formeln
| Grösse | Formelzeichen | Formel | SI-Einheit |
|---|---|---|---|
| Masse | \(m\) | \(m = \dfrac{F_G}{g}\) | \(\text{kg}\) (Kilogramm) |
| Gewichtskraft | \(F_G\) | \(F_G = m \cdot g\) | \(\text{N}\) (Newton) |
| Ortsfaktor | \(g\) | — | \(\text{N/kg} = \text{m/s}^2\) |
| Federkraft | \(F\) | \(F = D \cdot s\) | \(\text{N}\) (Newton) |
| Volumen (Verdrängung) | \(V\) | \(V = V_2 - V_1\) | \(\text{m}^3\) · \(1\;\text{ml} = 1\;\text{cm}^3\) |
| Volumen (Quader) | \(V\) | \(V = a \cdot b \cdot c\) | \(\text{m}^3\) |
| Dichte | \(\rho\) | \(\rho = \dfrac{m}{V}\) | \(\text{kg/m}^3\) |
| Fehlerfortpflanzung | \(\dfrac{\Delta\rho}{\rho}\) | \(\dfrac{\Delta\rho}{\rho} \approx \dfrac{\Delta m}{m} + \dfrac{\Delta V}{V}\) | dimensionslos (in %) |
Die drei Waagen auf einen Blick
| Grösse | Womit gemessen | Art | ortsabhängig? |
|---|---|---|---|
| Masse \(m\) | Balkenwaage | direkt | nein |
| Masse \(m\) | Küchenwaage (Kraft → Umrechnung) | indirekt | ja |
| Gewichtskraft \(F_G\) | Federwaage | direkt | Anzeige ja, Messwert richtig |
| Volumen \(V\) (regelmässig) | Massstab + Formel | indirekt | nein |
| Volumen \(V\) (unregelmässig) | Messzylinder, Überlaufgefäss | direkt | nein |
| Dichte \(\rho\) | Waage + Volumenbestimmung | immer indirekt | nein |
Kernpunkte
- Die Masse ist eine Eigenschaft des Körpers und überall gleich; die Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) hängt vom Ort ab.
- Der Ortsfaktor hat zwei gleichwertige Einheiten: \(1\;\text{N/kg} = 1\;\text{m/s}^2\).
- Die Balkenwaage vergleicht Massen — \(g\) kürzt sich weg, sie stimmt an jedem Ort.
- Küchenwaage und Federwaage messen Kräfte; die Küchenwaage rechnet mit einem gespeicherten \(g\) in eine Masse um und liegt an fremden Orten oder in beschleunigten Systemen falsch.
- Die Differenzmessung rechnet die Waagschale heraus — ihre Masse muss dafür nicht bekannt sein. Elektronisch heisst dasselbe Verfahren Tarieren.
- Direkt gemessen heisst: mit einem Normal oder einer Skala verglichen. Indirekt gemessen heisst: nach dem Ablesen noch gerechnet.
- Bei Produkten und Quotienten addieren sich die relativen Fehler — beim Quadervolumen gleich dreimal.
- Die Dichte \(\rho = m/V\) lässt sich nie direkt ablesen; sie ist immer eine indirekte Messung.
- Unregelmässige Körper: Volumen als Differenz \(V = V_2 - V_1\) im Messzylinder — vollständig untergetaucht und blasenfrei.
- \(1\;\text{g/cm}^3 = 1\;\text{kg/dm}^3 = 1\;\text{kg/l}\) \(= 1\;\text{t/m}^3 = 1000\;\text{kg/m}^3\); Merkbild: 1 Liter Wasser hat \(1\;\text{kg}\) Masse.
Clips
Clips zu den Animationen — was jede Animation zeigt
Transkripte — der gesprochene Text zum Mitlesen
Ein Stein, vier Orte: welche Waage auf dem Mond noch stimmt
- 0:00In der Animation liegt derselbe Stein von zweihundert Gramm auf drei Waagen: einer Balkenwaage, einer Küchenwaage und einer Federwaage. Dann wechselt der Ort. Welche Anzeige bleibt richtig?
- 0:12Auf der Erde ist g gleich neun Komma acht eins Newton pro Kilogramm. Balkenwaage und Küchenwaage zeigen zweihundert Gramm. Die Federwaage misst mit und ohne Stein, die Differenz ist seine Gewichtskraft: eins Komma neun sechs zwei Newton.
- 0:26Auf dem Mond ist g nur eins Komma sechs zwei Newton pro Kilogramm. Die Balkenwaage zeigt weiter zweihundert Gramm, der Ortsfaktor kürzt sich weg. Die Küchenwaage teilt die kleinere Kraft durch den Erdwert und zeigt dreiunddreissig Gramm.
- 0:41Im Lift, der mit drei Metern pro Sekundenquadrat aufwärts beschleunigt, ist g effektiv zwölf Komma acht eins Newton pro Kilogramm. Die Küchenwaage zeigt zweihunderteinundsechzig Gramm, zu viel. Aus der Federwaage folgt mit dem richtigen g wieder zweihundert Gramm.
- 0:56Beschleunigt der Lift abwärts, ist g effektiv nur sechs Komma acht eins Newton pro Kilogramm. Jetzt zeigt die Küchenwaage zu wenig, hundertneununddreissig Gramm. Die Balkenwaage bleibt bei zweihundert Gramm, und aus der Federwaage folgt mit dem richtigen g ebenfalls zweihundert Gramm.
- 1:13Merke: Die Masse eines Körpers ist überall gleich, seine Gewichtskraft hängt vom Ort ab. Die Balkenwaage vergleicht Massen und stimmt überall. Die Küchenwaage misst eine Kraft und stimmt nur dort, wofür sie eingestellt ist.
Eintauchen oder Kanten messen: zwei Wege zum Volumen, einer zur Dichte
- 0:00In der Animation wird die Dichte eines Körpers bestimmt. Die Masse zeigt die Waage. Das Volumen muss man erst ermitteln: bei einem Stein durch Eintauchen, bei einem Quader durch Messen der Kanten.
- 0:11Der Stein wiegt zweihundert Gramm. Im Messzylinder steigt das Wasser von fünfzig auf hundertzwanzig Milliliter. Die Differenz, siebzig Kubikzentimeter, ist sein Volumen. Seine Dichte beträgt zwei Komma acht sechs Gramm pro Kubikzentimeter, passend zu Basalt oder Gneis.
- 0:28Bei gleichem Volumen, aber nur hundertneunundachtzig Gramm, ergeben sich zwei Komma sieben null Gramm pro Kubikzentimeter. Das passt zu Granit, genauso aber zu Aluminium. Die Dichte grenzt einen Stoff ein, legt ihn aber nicht eindeutig fest.
- 0:42Ein Quader lässt sich ausmessen: vier mal drei mal zwei Zentimeter ergibt vierundzwanzig Kubikzentimeter. Mit vierundsechzig Komma acht Gramm folgt wieder zwei Komma sieben null Gramm pro Kubikzentimeter. Hier entsteht das Volumen nicht durch Ablesen, sondern durch eine Rechnung.
- 0:58Ist derselbe Quader aus Fichtenholz, wiegt er nur elf Komma drei Gramm. Die Dichte sinkt auf null Komma vier sieben Gramm pro Kubikzentimeter, und der Zeiger auf der Skala rückt weit nach links zum Holz. Das Volumen ist gleich geblieben, nur die Masse hat sich geändert.
- 1:14Merke: Die Dichte ist Masse durch Volumen, man muss sie immer ausrechnen. Das Volumen eines unregelmässigen Körpers bestimmt man durch Eintauchen, das eines Quaders über seine Kanten.
Eine Dichte, viele Einheiten: warum zwischen g/cm³ und kg/m³ der Faktor 1000 steht
- 0:00In der Animation gibt man eine Dichte mit Zahl und Einheit ein, und sie erscheint in allen gängigen Einheiten. Wie hängen diese Angaben zusammen?
- 0:09Eingegeben sind zwei Komma sieben Gramm pro Kubikzentimeter, die Dichte von Aluminium. In Kilogramm pro Kubikmeter sind das zweitausendsiebenhundert. Der Faktor tausend kommt so zustande: Aus dem Gramm wird ein Tausendstel Kilogramm, aus dem Kubikzentimeter ein Millionstel Kubikmeter.
- 0:26Stellt man bei derselben Zahl die Einheit auf Tonnen pro Kubikmeter um, ändern sich die Ergebnisse nicht. Gramm pro Kubikzentimeter, Kilogramm pro Liter und Tonnen pro Kubikmeter haben denselben Zahlenwert. Ebenso sind Gramm pro Liter und Kilogramm pro Kubikmeter zahlengleich.
- 0:42Eis hat neunhundertsiebzehn Kilogramm pro Kubikmeter. In Gramm pro Kubikzentimeter wird durch tausend geteilt: null Komma neun eins sieben. Das ist weniger als bei Wasser mit eins, darum schwimmt Eis.
- 0:55Gold hat neunzehn Komma drei Gramm pro Kubikzentimeter, also neunzehntausenddreihundert Kilogramm pro Kubikmeter. Ein Liter Gold hat eine Masse von neunzehn Komma drei Kilogramm. Für Metalle ist Gramm pro Kubikzentimeter handlich, für Gase Gramm pro Liter.
- 1:10Merke: Ein Gramm pro Kubikzentimeter sind tausend Kilogramm pro Kubikmeter. Am sichersten rechnet man immer über Kilogramm pro Kubikmeter um.
Dichte: warum das grosse Stück nicht dichter ist
- 0:00Ein Aluminiumspan und ein Aluminiumklotz. Der Klotz hat mehr Masse — ist er darum dichter?
- 0:09Die Dichte fragt nicht, wie viel Masse da ist, sondern wie viel Masse in einem bestimmten Volumen steckt. Sie ist ein Quotient.
- 0:17Beim Klotz ist die Masse hundertmal grösser — aber das Volumen eben auch. Der Quotient bleibt derselbe.
- 0:25Im Labor rechnet man in Gramm je Kubikzentimeter, im SI in Kilogramm je Kubikmeter. Der Faktor tausend ist kein Zufall: Das Gramm ist tausendmal kleiner, der Kubikzentimeter aber eine Million mal.
- 0:38Weil die Dichte nicht von der Menge abhängt, ist sie eine charakteristische Eigenschaft des Stoffs. Miss Masse und Volumen, teile, und vergleiche mit der Tabelle.
- 0:47Merke: Die Dichte ist Masse je Volumen und darum eine Eigenschaft des Stoffs, nicht der Menge. Weil sich die meisten Stoffe beim Erwärmen ausdehnen, gehört zu jedem Tabellenwert eine Temperatur.
Druck: warum die Nadel eindringt und der Daumen nicht
- 0:00Mit dem Daumen gegen ein Brett drücken — nichts passiert. Mit derselben Kraft gegen eine Nadel, und sie steckt im Holz.
- 0:09Der Druck sagt, wie sich eine Kraft auf eine Fläche verteilt: Kraft geteilt durch Fläche. Die Einheit heisst Pascal und ist ein Newton je Quadratmeter.
- 0:19Eine Person von sechzig Kilogramm drückt mit rund sechshundert Newton. Auf zwei Schuhsohlen verteilt sind das knapp zwanzig Kilopascal. Auf zwei schmale Absätze verteilt fast drei Megapascal.
- 0:31Weil ein Pascal so klein ist, rechnet man meist mit grösseren Einheiten. Ein bar sind hunderttausend Pascal, also tausend Hektopascal — und ungefähr so gross ist der Luftdruck.
- 0:42In einem Gas oder einer Flüssigkeit hat der Druck keine Richtung. An einer Stelle wirkt er nach allen Seiten gleich stark und steht auf jeder Wand senkrecht.
- 0:51Merke: Bei gleicher Kraft senkt eine grössere Fläche den Druck, eine kleinere steigert ihn. Breite Skier tragen im Schnee, ein schmaler Nagel dringt ein.
Überdruck und absoluter Druck: was das Manometer verschweigt
- 0:00Der Reifenprüfer steht auf null. Trotzdem ist Luft im Reifen — und zwar ziemlich genau gleich viel Druck wie draussen.
- 0:09Ein gewöhnliches Manometer misst nicht den Druck im Behälter, sondern den Unterschied zur Umgebung. Es vergleicht innen mit aussen.
- 0:17Den absoluten Druck bekommt man, indem man den Luftdruck dazuzählt. Zeigt der Prüfer zwei Komma fünf bar, sind es im Reifen absolut drei Komma fünf bar.
- 0:27Ist innen weniger Druck als draussen, wird der Überdruck negativ. Man nennt ihn dann Unterdruck — der absolute Druck bleibt trotzdem positiv.
- 0:36Für die Frage, ob der Reifen hart genug ist, genügt der Überdruck. Sobald der Druck in einer Formel steht, muss er absolut sein — sonst stimmt schon das Verhältnis nicht.
- 0:46Kurz: Was du abliest, ist der Überdruck. Was du einsetzt, ist der absolute Druck. Dazwischen liegt genau ein bar.
Masse und Gewicht: was die Waage wirklich zeigt
- 0:00Die Packung wiegt ein Kilo, sagen wir. Physikalisch stecken darin zwei verschiedene Grössen.
- 0:09Die Masse sagt, wie viel Stoff im Körper steckt und wie träge er ist. Sie gehört zum Körper und ändert sich nicht, wenn er den Ort wechselt.
- 0:18Die Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Himmelskörper an dieser Masse zieht. Sie ist Masse mal Ortsfaktor und wird in Newton gemessen.
- 0:26Auf dem Mond ist der Ortsfaktor nur ein Komma sechs zwei. Dieselbe Packung, ein Sechstel der Kraft — die Masse bleibt.
- 0:36Eine Küchenwaage misst die Kraft und rechnet mit dem Ortsfaktor der Erde in Kilogramm um. Auf dem Mond zeigte sie darum falsch.
- 0:44Die Einheit verrät, welche Grösse gemeint ist: Kilogramm ist Masse, Newton ist Kraft.