So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Du bestimmst das Tempo selbst. Wichtig ist nur, dass du die Reihenfolge einhältst — jeder Schritt baut auf dem vorherigen auf.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine falsche Vermutung, die du notiert hast, lernt sich besser als eine richtige, die du nur gelesen hast.
- Clip anschauen. Jeder Schritt beginnt mit einem vertonten Erklärclip von rund einer Minute. Er ersetzt den Lehrtext nicht, sondern stellt die Frage, die der Text beantwortet.
- Lehrtext durcharbeiten, nicht überfliegen. Rechne die Musterbeispiele mit dem Taschenrechner nach.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen. Wer zuerst schaut, betrügt sich um den Lerneffekt.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht. Wer nur die Kernaufgaben rechnet, kommt mit den angesetzten drei Lektionen aus.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Dein Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Kapiteltest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 20 Minuten, keine Hilfsmittel ausser Taschenrechner und Formelblatt.
Was du am Ende können musst
C4 Gasgesetz — Du berechnest Druck, Volumen und Temperatur einer abgeschlossenen Gasmenge bei einer Zustandsänderung und erklärst den Zusammenhang mit dem Teilchenmodell.
C5 Normbedingungen und Gasmasse — Du rechnest ein Gasvolumen auf Normbedingungen um und bestimmst daraus die Masse des Gases.
Zwei Regeln, die nie verhandelbar sind
Du begegnest ihnen in jedem Schritt, und sie kosten in der Prüfung die meisten Punkte:
Erstens: Temperaturen immer in Kelvin. Zweitens: Drücke immer absolut, das heisst inklusive Luftdruck.
Skalen, Einheiten und Annahmen, bevor es losgeht
Fast alle Fehler in diesem Kapitel entstehen an zwei Stellen: beim Druck und bei der Temperatur. Beide Male steht die Null an einem anderen Ort, als man denkt. Dazu kommen die Druckeinheit und ein paar Annahmen, unter denen die Rechnungen überhaupt gelten. Arbeite das durch, bevor du den Vortest löst.
Absolutdruck
\[ p_\text{abs} = p_\text{ü} + p_\text{L} \qquad p_\text{L} \approx 1.0\,\mathrm{bar} \]
Die SI-Einheit des Drucks ist das Pascal: ein Newton je Quadratmeter. Für Gase ist es unhandlich klein, darum rechnet die Technik in Bar. Zwischen beiden steht eine glatte Zehnerpotenz:
bar und Pascal
\[ 1\,\mathrm{Pa} = 1\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2} \qquad 1\,\mathrm{bar} = 10^{5}\,\mathrm{Pa} \qquad 1\,\mathrm{hPa} = 100\,\mathrm{Pa} \]
Das Hektopascal kennst du aus dem Wetterbericht: 1013 hPa sind 1.013 bar. Innerhalb einer Rechnung darf die Einheit nicht wechseln — entweder überall bar oder überall Pascal.
Kelvin
\[ T = \vartheta + 273.15 \qquad \Delta T = \Delta\vartheta \]
Die Regel für alles Weitere
In die Gasgleichung gehören Absolutdruck und Kelvin. Eine Differenz darfst du dagegen in beiden Skalen angeben — eine Erwärmung um 10 °C ist eine Erwärmung um 10 K.
Womit wir rechnen — und was wir dabei weglassen
Wir setzen den Umgebungsdruck durchgehend mit \(p_\text{L} \approx 1.0\,\mathrm{bar}\) an. Das ist gerundet: Der wirkliche Luftdruck hängt von Höhe und Wetter ab und liegt im Mittelland eher bei 0.95 bar, bei Sturm oder auf 2000 m deutlich darunter. Für Schulaufgaben rundet man ihn wie den Luftwiderstand oder die Reibung weg — nicht weil es ihn nicht gäbe, sondern weil die Rechnung sonst mehr Aufwand als Erkenntnis bringt. Steht in einer Aufgabe ein genauerer Wert, nimm diesen.
Wann das Gasgesetz gilt
Alle Rechnungen hier setzen das Modell des idealen Gases voraus. Vier Bedingungen gehören dazu:
- Die Gasmenge bleibt gleich — nichts strömt hinein oder hinaus.
- Es ist wirklich ein Gas, deutlich oberhalb des Siedepunkts, nicht kurz vor dem Kondensieren.
- Kein extremer Druck, sonst fällt das Eigenvolumen der Teilchen ins Gewicht.
- Temperatur in Kelvin, Druck absolut — sonst stimmt schon der Ansatz nicht.
Die ersten drei Punkte schauen wir uns in Schritt 6 genauer an, wenn du die Gesetze kennen. Bis dahin gilt: In allen Aufgaben dieses Leitprogramms sind sie erfüllt — mit einer Ausnahme, den Druckflaschen mit 200 bar, die dort ausdrücklich als Näherung gekennzeichnet sind.
Vortest: Hast du alles dabei?
Fünf Fragen zum Vorwissen. Löse sie ohne Hilfsmittel.
Dieses Leitprogramm setzt Kenntnisse aus der Mechanik und der Wärmelehre voraus — vor allem Druck und Überdruck aus dem Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck». Prüfe zuerst, ob sie sitzen — sonst verlierst du später Zeit an der falschen Stelle.
V.1 Ein Reifendruckprüfer zeigt \(p_\text{ü} = 2.5\,\mathrm{bar}\). Wie gross ist der absolute Druck im Reifen?
V.2 Rechne \(\vartheta = -18\,^\circ\mathrm{C}\) in Kelvin um.
V.3 Wie viele Liter sind \(V = 0.35\,\mathrm{m^3}\)?
V.4 Löse \(\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}\) nach \(V_2\) auf.
V.5 Ein geschlossener Stahlbehälter wird erwärmt. Warum steigt der Druck darin? Erkläre mit den Teilchen.
Lösungen anzeigen
V.1 Der Prüfer zeigt den Überdruck gegenüber der Umgebung. Absolut: \(p = p_\text{ü} + p_\text{L} = 2.5\,\mathrm{bar} + 1.0\,\mathrm{bar} = 3.5\,\mathrm{bar}\).
V.2 \(T = \vartheta + 273.15\,\mathrm{K}\), also \(-18 + 273.15 = 255.15\,\mathrm{K}\)
und gerundet \(T = 255\,\mathrm{K}\).
V.3 \(V = 0.35\,\mathrm{m^3} = 350\,\mathrm{l}\), denn \(V = 1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}\).
V.4 \(V_2 = \dfrac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot p_2}\)
V.5 Höhere Temperatur bedeutet schnellere Teilchen. Sie treffen häufiger und heftiger auf die Wand, also steigt der Druck.
Auswertung
Vier oder fünf richtig: Du kannst direkt mit Schritt 1 beginnen. Weniger als vier: Arbeite zuerst das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» durch — Schritt 8 dort behandelt genau den Überdruck, und die Temperaturskalen stehen auf der Themenseite 5.1 Temperatur. Sonst häufen sich später Folgefehler.
| Fehler bei | Das schlägst du zuerst nach |
|---|---|
| V.1 | Absolutdruck — die Druckskala oben in «Zwei Skalen» |
| V.2 | Kelvin — die Temperaturskala oben in «Zwei Skalen» |
| V.3 | Volumeneinheiten — 1 m³ = 1000 l, siehe Vorwissen 0.2 |
| V.4 | Gleichungen nach einer Grösse umstellen, siehe Vorwissen 0.1 |
| V.5 | Teilchenmodell — es kommt gleich in Schritt 1 |
Der Zustand eines Gases
Du beschreibst ein Gas durch drei Grössen und erklärst den Druck mit dem Teilchenmodell.
Einstiegsfrage. Du sollst einer Kollegin die Luft in einem verschlossenen Glas so beschreiben, dass sie den Zustand genau nachbauen kann. Welche Angaben brauchst du mindestens? Notiere deine Vermutung.
Drei Angaben beschreiben den Zustand — sofern die Gasmenge feststeht: Für eine feste, abgeschlossene Gasmenge wird der Zustand durch den Druck \(p\), das Volumen \(V\) und die absolute Temperatur \(T\) beschrieben. Sind sie festgelegt, ist der Zustand des Gases festgelegt. Ändert sich eine davon, sprechen wir von einer Zustandsänderung — vom Zustand 1 zum Zustand 2.
Damit die ganze Theorie funktioniert, muss eine vierte Grösse konstant bleiben, die man leicht vergisst: die Gasmenge. Alles Folgende gilt nur, solange kein Gas hinein- oder herausströmt.
Das Bild im Kopf
Wir arbeiten mit dem Modell des idealen Gases. Darin besteht ein Gas aus winzigen Teilchen, die sich ununterbrochen und ungeordnet bewegen. Sie gelten als punktförmig — ihr Eigenvolumen ist gegenüber dem Gasraum vernachlässigbar. Ausser während der elastischen Stösse wirken zwischen ihnen keine Kräfte: Sie ziehen sich nicht an, fliegen geradlinig und stossen elastisch gegeneinander und gegen die Wand. Jeder einzelne Stoss ist unmerklich klein — aber es sind unvorstellbar viele pro Sekunde, und ihre Summe ist genau das, was wir als Druck messen.
Merksatz
Der Druck eines Gases ist das Trommelfeuer der Teilchen auf die Wand. Er steigt, wenn die Teilchen häufiger anklopfen (kleineres Volumen) oder heftiger (höhere Temperatur).
A1.1 KERN Du presst eine abgeschlossene Luftmenge auf die Hälfte des Volumens zusammen, ohne die Temperatur zu ändern. Begründe mit dem Teilchenmodell, warum der Druck steigt.
Lösung anzeigen
Die Teilchenzahl bleibt gleich, aber der Weg zwischen zwei Wandstössen wird kürzer. Jedes Teilchen trifft also häufiger auf die Wand. Die Geschwindigkeit ändert sich nicht, weil die Temperatur gleich bleibt — die Stösse sind gleich heftig, nur zahlreicher. Mehr Stösse pro Zeit auf eine kleinere Fläche bedeuten höheren Druck.
A1.2 VERTIEFUNG Warum darf man bei einer Zustandsänderung nach dem Gasgesetz das Ventil nicht öffnen?
Lösung anzeigen
Weil dann Gas hinein- oder herausströmt. Das Gasgesetz vergleicht zwei Zustände derselben Gasmenge. Ändert sich die Teilchenzahl, ist die Voraussetzung verletzt und die Gleichung liefert falsche Werte.
Temperatur festhalten — das Gesetz von Boyle und Mariotte
Du berechnest Druck und Volumen bei gleichbleibender Temperatur.
Einstiegsfrage. Du hältst den Ausgang einer Velopumpe zu und drückst den Kolben langsam auf die Hälfte hinunter. Wird der Druck darin doppelt so gross, weniger als doppelt oder mehr als doppelt? Notiere deine Vermutung.
Bleibt die Temperatur konstant, nennt man die Zustandsänderung isotherm — griechisch iso «gleich», therme «Wärme», also gleiche Temperatur. Dasselbe iso steckt in isochor (gleicher Raum) und isobar (gleicher Druck). Messungen zeigen: Halbiert man das Volumen, verdoppelt sich der Druck. Verdreifacht man den Druck, sinkt das Volumen auf einen Drittel. Das Produkt aus beiden bleibt gleich.
p · V = 250 bar·cm³
Gesetz von Boyle und Mariotte · isotherm
\[ p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2 \qquad (T = \text{konstant}) \]
Musterbeispiel
In einer Spritze sind \(V_1 = 250\,\mathrm{cm^3}\) Luft bei \(p_1 = 1.0\,\mathrm{bar}\) eingeschlossen. Du drückst den Kolben langsam auf \(V_2 = 100\,\mathrm{cm^3}\). Wie gross ist der Druck?
\[ p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1}{V_2} = \frac{1.0\,\mathrm{bar} \cdot 250\,\mathrm{cm^3}}{100\,\mathrm{cm^3}} = 2.5\,\mathrm{bar} \]
Warum langsam? Wer schnell komprimiert, erwärmt die Luft — dann ist die Zustandsänderung nicht mehr isotherm und die Gleichung stimmt nicht. Probiere es an einer Velopumpe: Nach kräftigem Pumpen ist der Zylinder spürbar warm.
A2.1 KERN Eine Taucherin lässt in \(h = 20\,\mathrm{m}\) Tiefe eine Luftblase von \(V_1 = 2.0\,\mathrm{l}\) los. Dort herrscht \(p_1 = 3.0\,\mathrm{bar}\). Welches Volumen hat die Blase an der Wasseroberfläche bei \(p_2 = 1.0\,\mathrm{bar}\)? Die Temperatur sei überall gleich.
Lösung anzeigen
\[ V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1}{p_2} = \frac{3.0\,\mathrm{bar} \cdot 2.0\,\mathrm{l}}{1.0\,\mathrm{bar}} = 6.0\,\mathrm{l} \]
Die Blase wird dreimal so gross. Genau deshalb dürfen Taucher beim Auftauchen nie die Luft anhalten: Die Luft in der Lunge dehnt sich ebenso aus.
A2.2 VERTIEFUNG Ein Gas wird isotherm von \(p_1 = 1.2\,\mathrm{bar}\) auf \(p_2 = 4.8\,\mathrm{bar}\) verdichtet. Auf welchen Bruchteil des ursprünglichen Volumens?
Lösung anzeigen
\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} = \frac{1.2\,\mathrm{bar}}{4.8\,\mathrm{bar}} = 0.25 \]
Auf einen Viertel. Der Druck wird viermal so gross, das Volumen viermal so klein — umgekehrt proportional.
Volumen festhalten — das Gesetz von Amontons
Du rechnest mit Druck und Temperatur im starren Behälter und verstehst, woher der absolute Nullpunkt kommt.
Einstiegsfrage. Eine volle Spraydose liegt im Sommer im Auto. Warum steht auf der Dose eine Warnung vor Hitze? Notiere deine Erklärung mit den Teilchen.
Als Modellversuch taugt die Dose allerdings nicht: In Aerosoldosen steckt meist ein verflüssigtes Treibmittel, und dann liegt keine einfache isochore Zustandsänderung eines Gases vor. Für die Herleitung nehmen wir darum einen starren Stahlbehälter.
Bleibt das Volumen konstant — ein starrer Stahlbehälter, eine Glasflasche, näherungsweise auch ein Autoreifen —, nennt man die Zustandsänderung isochor. Die Teilchen haben gleich viel Platz, werden aber schneller. Sie treffen häufiger und heftiger auf die Wand: Der Druck steigt.
Der Befund, der die Kelvin-Skala erzwingt
Misst man den Druck über einen möglichst grossen Temperaturbereich und trägt die Wertepaare auf, liegen sie auf einer Geraden. Verlängert man diese Gerade rückwärts über den Messbereich hinaus, schneidet sie die Temperaturachse — und zwar immer bei ungefähr derselben Stelle, unabhängig von der Gasmenge und von der Gasart.
Druck null heisst im Teilchenbild: keine Stösse mehr. Im klassischen Modell des idealen Gases geht die mittlere Bewegungsenergie der Teilchen für \(T \rightarrow 0\,\mathrm{K}\) gegen null. Tiefer geht es nicht. Dieser Punkt ist der absolute Nullpunkt, und er ist der Grund, warum wir im Gasgesetz mit der Kelvin-Skala rechnen: Nur sie beginnt dort, wo die Grösse selbst bei null ist. Ein Verhältnis von Celsius-Werten wäre sinnlos — \(20\,^\circ\mathrm{C}\) ist nicht doppelt so warm wie \(10\,^\circ\mathrm{C}\).
p / T = 0.00341 bar/K
Gesetz von Amontons · isochor
\[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \qquad (V = \text{konstant}) \]
mit \(T = \vartheta + 273.15\,\mathrm{K}\)
A3.1 KERN Ein Veloreifen ist bei \(\vartheta_1 = 15\,^\circ\mathrm{C}\) auf einen Überdruck von \(p_{\text{ü},1} = 2.2\,\mathrm{bar}\) aufgepumpt. Nach einer Abfahrt hat sich die Luft darin auf \(\vartheta_2 = 45\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmt. Welchen Überdruck zeigt der Prüfer jetzt? Das Volumen bleibe konstant.
Lösung anzeigen
Zuerst beide Regeln anwenden: absoluter Druck \(p_1 = 2.2\,\mathrm{bar} + 1.0\,\mathrm{bar} = 3.2\,\mathrm{bar}\), Temperaturen \(T_1 = 288.15\,\mathrm{K}\) und \(T_2 = 318.15\,\mathrm{K}\).
\[ p_2 = \frac{p_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{3.2\,\mathrm{bar} \cdot 318.15\,\mathrm{K}}{288.15\,\mathrm{K}} = 3.53\,\mathrm{bar} \]
Der Prüfer zeigt den Überdruck: \(p_{\text{ü},2} = 3.53\,\mathrm{bar} - 1.0\,\mathrm{bar} = 2.5\,\mathrm{bar}\). Der Anstieg beträgt also nur rund \(0.3\,\mathrm{bar}\) — deutlich weniger, als die meisten schätzen. Wer mit Celsius gerechnet hätte, käme auf das Dreifache und damit auf Unsinn.
A3.2 VERTIEFUNG In einem starren Stahlbehälter steht Luft unter \(p_1 = 5.0\,\mathrm{bar}\) bei \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\mathrm{C}\). Der Behälter wird auf \(\vartheta_2 = 150\,^\circ\mathrm{C}\) erhitzt. Welcher Druck stellt sich ein?
Lösung anzeigen
\(T_1 = 293.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 423.15\,\mathrm{K}\).
\[ p_2 = \frac{p_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{5.0\,\mathrm{bar} \cdot 423.15\,\mathrm{K}}{293.15\,\mathrm{K}} = 7.2\,\mathrm{bar} \]
Druck festhalten — das Gesetz von Gay-Lussac
Du rechnest mit Volumen und Temperatur bei konstantem Druck.
Einstiegsfrage. Ein aufgeblasener Luftballon kommt in den Gefrierschrank. Er wird kleiner — aber warum bleibt der Druck darin ungefähr gleich, statt zu sinken?
Weil die Ballonhülle nachgibt. Sie ist so weich, dass sie sich immer gerade so weit zusammenzieht, bis der Druck innen wieder dem Aussendruck entspricht. Der Ballon ist der Schiedsrichter, der den Druck festhält — dafür muss das Volumen ausweichen. Eine solche Zustandsänderung heisst isobar. Genau genommen hält ein Latexballon den Druck nur näherungsweise konstant — zum Aussendruck kommt die Spannung der Hülle dazu. Sauber konstant ist der Druck im Modellversuch mit Zylinder, beweglichem Kolben und konstantem Gewicht darauf.
Trägt man das Volumen über der absoluten Temperatur auf, erhält man wieder eine Gerade, und ihre Verlängerung trifft die Temperaturachse an derselben Stelle wie in Schritt 3. Das ist der zweite unabhängige Hinweis auf den absoluten Nullpunkt.
V / T = 0.00683 l/K
Gesetz von Gay-Lussac · isobar
\[ \frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2} \qquad (p = \text{konstant}) \]
A4.1 KERN Ein Luftballon enthält \(V_1 = 2.0\,\mathrm{l}\) Luft bei \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\mathrm{C}\). Er kommt in den Gefrierschrank mit \(\vartheta_2 = -18\,^\circ\mathrm{C}\). Welches Volumen hat er dort?
Lösung anzeigen
\(T_1 = 293.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 255.15\,\mathrm{K}\).
\[ V_2 = \frac{V_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{2.0\,\mathrm{l} \cdot 255.15\,\mathrm{K}}{293.15\,\mathrm{K}} = 1.7\,\mathrm{l} \]
Er schrumpft um gut \(0.25\,\mathrm{l}\), also etwa \(13\,\%\).
A4.2 VERTIEFUNG Bei welcher Temperatur wäre das Volumen der Luft im Ballon rechnerisch null? Und warum beobachtet man das in Wirklichkeit nie?
Lösung anzeigen
Rechnerisch bei \(T = 0\,\mathrm{K}\), also \(\vartheta = -273.15\,^\circ\mathrm{C}\).
In Wirklichkeit wird die Luft lange vorher flüssig — Sauerstoff bei \(T = 90\,\mathrm{K}\), Stickstoff bei \(T = 77\,\mathrm{K}\). Ab da gilt das Modell des idealen Gases nicht mehr. Die Gerade ist eine gedankliche Verlängerung, kein Versprechen.
Alles zusammen — die allgemeine Gasgleichung
Du löst Aufgaben, bei denen sich alle drei Grössen gleichzeitig ändern.
Einstiegsfrage. Du hast drei Gesetze für drei Spezialfälle. Was tust du, wenn sich Druck, Volumen und Temperatur alle gleichzeitig ändern?
Du zerlegst die Änderung gedanklich in zwei Etappen, die du beide schon kennst. Zuerst isotherm auf das Endvolumen, dann isochor auf die Endtemperatur. Setzt man die beiden bekannten Gleichungen ineinander ein, fällt der Zwischenzustand heraus und es bleibt:
Allgemeine Gasgleichung
\[ \frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Sie gilt für eine feste, abgeschlossene Gasmenge. Du hast nichts Neues gelernt — nur zwei bekannte Schritte hintereinandergehängt.
Bleibt keine Grösse konstant, steht die volle Gleichung da.
\[ \frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} \]
Diese eine Gleichung ersetzt alle drei Teilgesetze. Bleibt eine Grösse konstant, steht sie auf beiden Seiten gleich und kürzt sich heraus — dann bist du automatisch wieder bei Boyle-Mariotte, Amontons oder Gay-Lussac. Du musst dir also nur eine Formel merken.
Selber ausprobieren
Wähle eine Betriebsart und zieh an einem Regler. Die gesperrte Grösse bleibt stehen, die dritte stellt sich so ein, dass \(\frac{p \cdot V}{T}\) konstant bleibt — genau das sagt die Gasgleichung.
bleibt konstant
Das Lösungsschema, das Punkte rettet
Bevor du irgendetwas einsetzt, fülle diese Tabelle aus. Jede Zelle in Kelvin und als Absolutdruck. Erst wenn sie vollständig ist, greifst du zur Formel.
| Grösse | Zustand 1 | Zustand 2 |
|---|---|---|
| p | absolut, in bar oder Pa | absolut, gleiche Einheit |
| V | in l, cm³ oder m³ | gleiche Einheit wie oben |
| T | in Kelvin | in Kelvin |
Musterbeispiel · Gerätetauchen
Eine Taucherin nimmt in \(h = 30\,\mathrm{m}\) Tiefe eine Luftblase von \(V_1 = 50\,\mathrm{cm^3}\) in einem weichen Beutel mit. Dort herrschen \(p_1 = 4.0\,\mathrm{bar}\) und \(\vartheta_1 = 10\,^\circ\mathrm{C}\). An der Oberfläche sind es \(p_2 = 1.0\,\mathrm{bar}\) und \(\vartheta_2 = 25\,^\circ\mathrm{C}\). Welches Volumen hat die Luft dann?
Tabelle: \(T_1 = 283.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 298.15\,\mathrm{K}\), Drücke bereits absolut, Volumen in \(\mathrm{cm^3}\).
\[ V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot p_2} = \frac{4.0\,\mathrm{bar} \cdot 50\,\mathrm{cm^3} \cdot 298.15\,\mathrm{K}}{283.15\,\mathrm{K} \cdot 1.0\,\mathrm{bar}} = 211\,\mathrm{cm^3} \]
Abschätzen vor dem Rechnen: Der Druck sinkt auf einen Viertel, das vervierfacht das Volumen. Die Temperatur steigt nur um den Faktor \(1.05\). Der Druck macht die Musik — das Ergebnis muss knapp über \(200\,\mathrm{cm^3}\) liegen. Wer so abschätzt, merkt einen Tippfehler sofort.
A5.1 KERN Ein Veloschlauch enthält \(V_1 = 2.0\,\mathrm{l}\) Luft bei \(p_1 = 4.0\,\mathrm{bar}\) absolut und \(\vartheta_1 = 5\,^\circ\mathrm{C}\). In der Sonne erwärmt sich die Luft auf \(\vartheta_2 = 35\,^\circ\mathrm{C}\), und der Schlauch dehnt sich dabei leicht auf \(V_2 = 2.1\,\mathrm{l}\). Welcher Druck herrscht dann?
Lösung anzeigen
\(T_1 = 278.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 308.15\,\mathrm{K}\).
\[ p_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2} = \frac{4.0\,\mathrm{bar} \cdot 2.0\,\mathrm{l} \cdot 308.15\,\mathrm{K}}{278.15\,\mathrm{K} \cdot 2.1\,\mathrm{l}} = 4.2\,\mathrm{bar} \]
Die Erwärmung würde den Druck stärker anheben, aber die Ausdehnung des Schlauchs nimmt einen Teil davon wieder weg.
A5.2 VERTIEFUNG Ein Wetterballon enthält am Boden \(V_1 = 5.0\,\mathrm{m^3}\) Helium bei \(p_1 = 1.0\,\mathrm{bar}\) und \(\vartheta_1 = 15\,^\circ\mathrm{C}\). In \(h = 20\,\mathrm{km}\) Höhe herrschen \(p_2 = 0.055\,\mathrm{bar}\) und \(\vartheta_2 = -55\,^\circ\mathrm{C}\). Welches Volumen hat er dort?
Lösung anzeigen
\(T_1 = 288.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 218.15\,\mathrm{K}\).
\[ V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot p_2} = \frac{1.0\,\mathrm{bar} \cdot 5.0\,\mathrm{m^3} \cdot 218.15\,\mathrm{K}}{288.15\,\mathrm{K} \cdot 0.055\,\mathrm{bar}} = 69\,\mathrm{m^3} \]
Fast das Vierzehnfache. Die Kälte verkleinert zwar, aber der Druckabfall überwiegt bei Weitem. Deshalb werden Wetterballone am Boden nur schlaff gefüllt — sonst platzen sie zu früh.
Wo das Modell aufhört
Du beurteilst, ob das Gasgesetz auf eine gegebene Situation überhaupt angewendet werden darf.
Einstiegsfrage. Ein Ballon wird in flüssigen Stickstoff getaucht. Er fällt viel stärker zusammen, als die Rechnung nach Gay-Lussac vorhersagt. Woran könnte das liegen?
Das ideale Gas ist ein Modell mit zwei Annahmen: Die Teilchen ziehen sich nicht an, und ihr Eigenvolumen ist gegenüber dem Gasvolumen verschwindend klein. Reale Gase erfüllen das nur, wenn die Teilchen weit genug auseinander sind.
Die Faustregel
Verdünnt und weit weg vom Flüssigwerden. Konkret:
- Deutlich oberhalb des Siedepunkts. Nahe an der Kondensation ziehen sich die Teilchen an — das Modell versagt.
- Kein extremer Druck. Bei mässigem Druck ist das Eigenvolumen der Teilchen vernachlässigbar.
Und die Druckflaschen mit 200 bar? Dort rechnen wir bewusst mit dem idealen Gasmodell weiter, obwohl bei so hohen Drücken bereits Abweichungen auftreten — für den Schulgebrauch ist die Näherung brauchbar. Genaue technische Berechnungen verwenden Realgasmodelle oder einen Kompressibilitätsfaktor \(Z\) in \(p\,V = Z\,n\,R\,T\); für nahezu ideales Verhalten ist \(Z \approx 1\). Damit musst du in der BM nicht rechnen — aber du solltest wissen, dass die Flaschenrechnungen eine Näherung sind.
Gase mit sehr tiefem Siedepunkt — Helium, Wasserstoff, Stickstoff — verhalten sich deshalb über einen weiten Bereich fast ideal. Wasserdampf knapp über \(\vartheta = 100\,^\circ\mathrm{C}\) dagegen nicht.
A6.1 KERN Beurteile für jeden Fall, ob das Gasgesetz brauchbare Ergebnisse liefert, und begründe kurz. (a) Luft in einem Veloreifen bei \(p = 4\,\mathrm{bar}\) und Zimmertemperatur. (b) Butan in einem Feuerzeug bei Zimmertemperatur. (c) Helium in einem Wetterballon in grosser Höhe.
Lösung anzeigen
(a) Ja. Luft ist bei Zimmertemperatur weit von ihrem Siedepunkt entfernt, und \(p = 4\,\mathrm{bar}\) ist ein mässiger Druck.
(b) Nein. Im Feuerzeug ist das Butan grösstenteils flüssig — man sieht es durch das Gehäuse. Ein verflüssigtes Gas ist kein ideales Gas.
(c) Ja, sehr gut sogar. Helium siedet bei \(T = 4\,\mathrm{K}\) und ist in der Höhe stark verdünnt — das sind ideale Bedingungen im Wortsinn.
Normbedingungen
Du rechnest ein beliebiges Gasvolumen auf Normbedingungen um.
Einstiegsfrage. Benzin wird in Litern verkauft, Erdgas an derselben Tankstelle in Kilogramm. Warum dieser Unterschied?
Weil die Dichte eines Gases nicht nur von der Temperatur abhängt, sondern auch stark vom Druck. Ein Liter Erdgas bei \(p = 200\,\mathrm{bar}\) enthält rund zweihundertmal so viel Materie wie ein Liter bei Umgebungsdruck. Eine Volumenangabe wäre ohne Druckangabe wertlos — die Masse dagegen ist eindeutig.
Damit Gasmengen überhaupt vergleichbar werden, hat man einen Referenzzustand festgelegt, die Normbedingungen nach DIN 1343:
Normbedingungen
\[ T_\text{N} = 273.15\,\mathrm{K} \qquad p_\text{N} = 101\,325\,\mathrm{Pa} = 1013.25\,\mathrm{hPa} \]
Das Normvolumen \(V_\text{N}\) ist das Volumen, das dieselbe Gasmenge bei diesen Bedingungen einnehmen würde. Du erhältst es, indem du die allgemeine Gasgleichung auf den Normzustand anwendest:
\[ V_\text{N} = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_\text{N}}{p_\text{N} \cdot T_1} \]
Achtung, klassische Verwechslung
Achte bei Dichtetabellen immer auf den angegebenen Bezugszustand — er ist nicht in jedem Tabellenwerk derselbe. Die hier verwendeten Gasdichten beziehen sich auf Normbedingungen, also \(\vartheta = 0\,^\circ\mathrm{C}\); Werte für Flüssigkeiten und Festkörper stehen häufig bei \(\vartheta = 20\,^\circ\mathrm{C}\). Wer den Bezugszustand übersieht, rechnet mit einem um Prozente falschen Wert weiter.
A7.1 KERN Eine Druckluftflasche mit \(V_1 = 12\,\mathrm{l}\) steht unter \(p_1 = 200\,\mathrm{bar}\) absolut bei \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\mathrm{C}\). Berechne das Normvolumen der enthaltenen Luft.
Lösung anzeigen
\(T_1 = 293.15\,\mathrm{K}\), \(p_\text{N} = 1.01325\,\mathrm{bar}\).
\[ V_\text{N} = \frac{200\,\mathrm{bar} \cdot 12\,\mathrm{l} \cdot 273.15\,\mathrm{K}}{1.01325\,\mathrm{bar} \cdot 293.15\,\mathrm{K}} = 2207\,\mathrm{l} = 2.21\,\mathrm{m^3} \]
Aus zwölf Litern Flascheninhalt werden über zwei Kubikmeter Atemluft. Das ist der Grund, warum eine kleine Flasche einen Tauchgang trägt.
Von der Flasche zur Masse
Du bestimmst die Masse eines Gases in drei Schritten.
Jetzt fügen sich die beiden Lernziele zusammen. Ist eine Normdichte gegeben, führt der Weg vom gemessenen Zustand zur Masse zweckmässig über das Normvolumen — nur dort passt der Tabellenwert.
Die drei Schritte
1. Zustand 1 vollständig notieren, Kelvin und Absolutdruck. 2. Normvolumen \(V_\text{N}\) über die Gasgleichung berechnen. 3. Masse mit \(m = \rho_\text{N} \cdot V_\text{N}\) bestimmen.
A8.1 KERN Bestimme die Masse der Luft in der Druckluftflasche aus Aufgabe A7.1. Die Normdichte von Luft beträgt \(\rho_\text{N} = 1.293\,\mathrm{kg/m^3}\).
Lösung anzeigen
Das Normvolumen ist bereits bekannt: \(V_\text{N} = 2.207\,\mathrm{m^3}\).
\[ m = \rho_\text{N} \cdot V_\text{N} = 1.293\,\mathrm{kg/m^3} \cdot 2.207\,\mathrm{m^3} = 2.85\,\mathrm{kg} \]
Fast drei Kilogramm Luft — das erklärt, warum eine volle Flasche spürbar schwerer ist als eine leere.
A8.2 VERTIEFUNG Ein Erdgastank mit \(V_1 = 75\,\mathrm{l}\) ist auf \(p_1 = 200\,\mathrm{bar}\) absolut gefüllt, die Temperatur beträgt \(\vartheta_1 = 15\,^\circ\mathrm{C}\). Die Normdichte von Erdgas hängt von der Zusammensetzung ab; rechne hier mit dem Beispielwert \(\rho_\text{N} = 0.79\,\mathrm{kg/m^3}\). Wie viele Kilogramm sind getankt?
Lösung anzeigen
Schritt 2: \(T_1 = 288.15\,\mathrm{K}\).
\[ V_\text{N} = \frac{200\,\mathrm{bar} \cdot 75\,\mathrm{l} \cdot 273.15\,\mathrm{K}}{1.01325\,\mathrm{bar} \cdot 288.15\,\mathrm{K}} = 14\,030\,\mathrm{l} = 14.0\,\mathrm{m^3} \]
Schritt 3:
\[ m = 0.79\,\mathrm{kg/m^3} \cdot 14.0\,\mathrm{m^3} = 11\,\mathrm{kg} \]
Der Wert passt zur Praxis: Erdgastanks fassen zwischen \(12\,\mathrm{kg}\) und \(37\,\mathrm{kg}\).
Kapiteltest zur Selbstkontrolle
Zwanzig Punkte, zwanzig Minuten. Danach weisst du, ob du prüfungsbereit bist.
Bedingungen
Taschenrechner und Formelblatt sind erlaubt, das Leitprogramm nicht. Löse alle fünf Aufgaben am Stück, bevor du eine einzige Lösung aufklappst. Rechne mit \(p_\text{L} = 1.0\,\mathrm{bar}\).
T.1 3 Punkte Ein Manometer an einem starren Behälter zeigt \(p_\text{ü} = 1.8\,\mathrm{bar}\), ein Thermometer \(\vartheta = 35\,^\circ\mathrm{C}\). Gib den absoluten Druck in bar und in Pascal sowie die absolute Temperatur an.
T.2 4 Punkte Derselbe starre Behälter steht unter \(p_1 = 2.0\,\mathrm{bar}\) bei \(\vartheta_1 = 25\,^\circ\mathrm{C}\) und wird auf \(\vartheta_2 = -10\,^\circ\mathrm{C}\) abgekühlt. Berechne den Enddruck.
T.3 5 Punkte Aus \(h = 40\,\mathrm{m}\) Tiefe steigt eine Gasblase von \(V_1 = 15\,\mathrm{cm^3}\) auf. Unten herrschen \(p_1 = 5.0\,\mathrm{bar}\) und \(\vartheta_1 = 8\,^\circ\mathrm{C}\), oben \(p_2 = 1.0\,\mathrm{bar}\) und \(\vartheta_2 = 22\,^\circ\mathrm{C}\). Berechne das Volumen an der Oberfläche.
T.4 4 Punkte Eine Sauerstoffflasche mit \(V_1 = 10\,\mathrm{l}\) steht unter \(p_1 = 150\,\mathrm{bar}\) absolut bei \(\vartheta_1 = 20\,^\circ\mathrm{C}\). Berechne Normvolumen und Masse. Die Normdichte von Sauerstoff beträgt \(\rho_\text{N} = 1.429\,\mathrm{kg/m^3}\).
T.5 4 Punkte (a) Erkläre mit dem Teilchenmodell, warum der Druck in einem starren Behälter beim Abkühlen sinkt. (b) Nenne die zwei Bedingungen, unter denen ein reales Gas sich näherungsweise ideal verhält.
Alle Lösungen und Bewertung anzeigen
T.1 \(p = 1.8 + 1.0 = 2.8\,\mathrm{bar} = 2.8 \cdot 10^{5}\,\mathrm{Pa}\); \(T = 35 + 273.15 = 308.15\,\mathrm{K}\). (je 1 Punkt)
T.2 \(T_1 = 298.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 263.15\,\mathrm{K}\).
\[ p_2 = \frac{p_1 \cdot T_2}{T_1} = \frac{2.0\,\mathrm{bar} \cdot 263.15\,\mathrm{K}}{298.15\,\mathrm{K}} = 1.77\,\mathrm{bar} \]
(Kelvin 1 P, richtige Formel 1 P, Rechnung 1 P, Einheit und Rundung 1 P)
T.3 \(T_1 = 281.15\,\mathrm{K}\), \(T_2 = 295.15\,\mathrm{K}\).
\[ V_2 = \frac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot p_2} = \frac{5.0\,\mathrm{bar} \cdot 15\,\mathrm{cm^3} \cdot 295.15\,\mathrm{K}}{281.15\,\mathrm{K} \cdot 1.0\,\mathrm{bar}} = 78.7\,\mathrm{cm^3} \]
(Zustandstabelle 1 P, Umstellen 2 P, Rechnung 1 P, Einheit 1 P)
T.4 \(T_1 = 293.15\,\mathrm{K}\).
\[ V_\text{N} = \frac{150\,\mathrm{bar} \cdot 10\,\mathrm{l} \cdot 273.15\,\mathrm{K}}{1.01325\,\mathrm{bar} \cdot 293.15\,\mathrm{K}} = 1379\,\mathrm{l} = 1.379\,\mathrm{m^3} \]
\[ m = 1.429\,\mathrm{kg/m^3} \cdot 1.379\,\mathrm{m^3} = 1.97\,\mathrm{kg} \]
(Normvolumen 2 P, Umrechnung auf m³ 1 P, Masse 1 P)
T.5 (a) Tiefere Temperatur bedeutet langsamere Teilchen. Sie treffen seltener und weniger heftig auf die Wand, also sinkt der Druck. Das Volumen bleibt gleich, weil der Behälter starr ist. (2 P) (b) Deutlich oberhalb des Siedepunkts und bei mässigem Druck. (2 P)
Auswertung. Ab 16 Punkten bist du prüfungsbereit. Bei 12 bis 15 Punkten hast du eine gezielte Lücke — schau nach, in welchem Lernschritt die verlorenen Punkte lagen, und arbeite nur diesen nochmals durch. Unter 12 Punkten lohnt sich der Weg ab Schritt 3 von vorn.
Wo du nachschlägst, wenn etwas nicht stimmte. Suche die Aufgabe, bei der es geklemmt hat — daneben steht, wohin du zurückgehst.
| Fehler bei | Das gehört noch einmal angeschaut |
|---|---|
| T.1 | Der Abschnitt «Zwei Skalen, bevor es losgeht» — Absolutdruck und Kelvin |
| T.2 | Schritt 3: Volumen festhalten, Gesetz von Amontons |
| T.3 | Schritt 5: die allgemeine Gasgleichung und das Lösungsschema |
| T.4 | Schritte 7 und 8: Normbedingungen und der Weg zur Gasmasse |
| T.5 (a) | Schritte 1 und 3: das Teilchenmodell und der Druck im starren Behälter |
| T.5 (b) | Schritt 6: wo das ideale Gasmodell aufhört |
Wo Punkte typischerweise verloren gehen: Überdruck statt Absolutdruck eingesetzt, Celsius statt Kelvin, oder Einheiten der beiden Zustände gemischt. Alle drei sind vermeidbar, wenn du die Zustandstabelle aus Schritt 5 konsequent ausfüllst.
Formeln auf einen Blick
| Fall | Konstant | Gleichung |
|---|---|---|
| isotherm | T | \(p_1 V_1 = p_2 V_2\) |
| isochor | V | \(\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}\) |
| isobar | p | \(\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}\) |
| allgemein | Gasmenge | \(\dfrac{p_1 V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 V_2}{T_2}\) |
| Masse | — | \(m = \rho_\text{N} \cdot V_\text{N}\) |
Dazu die beiden Umrechnungen, die du immer zuerst machst: \(T = \vartheta + 273.15\,\mathrm{K}\) und \(p = p_\text{ü} + p_\text{L}\).
Für Schnelle
Eine Taucherflasche mit \(V = 12\,\mathrm{l}\) ist auf \(p = 200\,\mathrm{bar}\) gefüllt. Eine Taucherin atmet in \(h = 20\,\mathrm{m}\) Tiefe pro Minute \(V = 20\,\mathrm{l}\) Atemluft bei Umgebungsdruck. Wie lange reicht die Flasche, wenn ein Restdruck von \(p = 50\,\mathrm{bar}\) als Reserve bleiben muss? Rechne mit konstanter Temperatur.
Lösungsweg anzeigen
Nutzbar ist die Druckdifferenz \(\Delta p = 200 - 50 = 150\,\mathrm{bar}\). Das entspricht bei \(p = 1\,\mathrm{bar}\) einem Luftvolumen von
\[ V = \frac{150\,\mathrm{bar} \cdot 12\,\mathrm{l}}{1.0\,\mathrm{bar}} = 1800\,\mathrm{l} \]
In \(h = 20\,\mathrm{m}\) Tiefe herrscht \(p = 3.0\,\mathrm{bar}\). Die Taucherin atmet dort pro Minute \(20\,\mathrm{l}\) komprimierte Luft, was \(3.0 \cdot 20 = 60\,\mathrm{l}\) Luft bei Umgebungsdruck entspricht.
\[ t = \frac{1800\,\mathrm{l}}{60\,\mathrm{l/min}} = 30\,\mathrm{min} \]