6.1a Wellenexperimente
Sieben Experimente am Seil und an der Feder — Störungen, Wellen und stehende Wellen zum Selbst-Einstellen.
- eine einzelne Störung (Puls) und eine harmonische Welle am Seil und an der Spiralfeder beobachten — und die Bewegung der Teilchen von der Bewegung der Welle unterscheiden
- Momentbild \(y(s)\) und Zeitdiagramm \(y(t)\) derselben Welle gegenüberstellen und daraus \(\lambda\) bzw. \(T\) ablesen
- die Reflexion am festen und am losen Seilende vorhersagen und überprüfen
- die Überlagerung (Superposition) zweier Störungen konstruieren — konstruktiv und destruktiv
- stehende Wellen erzeugen und die Eigenschwingungen einer eingespannten Saite (Grundton, Obertöne) untersuchen
🎯 Lernziele — das kann ich nach dieser Seite
- Ich kann beschreiben, wie ein Puls durch ein Seil läuft — und was dabei ein einzelnes Seilstück macht.
- Ich kann Momentbild \(y(s)\) und Zeitdiagramm \(y(t)\) auseinanderhalten und \(\lambda\) bzw. \(T\) daraus ablesen.
- Ich kann Transversal- und Longitudinalwellen an derselben Teilchenkette unterscheiden.
- Ich kann die Reflexion am festen und am losen Ende vorhersagen.
- Ich kann die Überlagerung zweier Störungen konstruieren und erklären, warum sich Wellen ungestört durchdringen.
- Ich kann erklären, wie stehende Wellen entstehen, und \(\lambda_n\) und \(f_n\) einer eingespannten Saite berechnen.
Einstieg — ein Ruck am Seil
Binde ein Seil an eine Türklinke, spanne es leicht und gib am freien Ende einen einzigen kurzen Ruck nach oben. Ein Buckel läuft durch das Seil zur Tür — obwohl kein Stück Seil mitwandert. Jedes Seilstück hebt sich nur kurz und senkt sich wieder; weitergereicht wird allein die Störung. Genau das ist der Kern jeder Welle: Die Form wandert, das Material bleibt.
- Seil oder Gummiband: ein kurzer Ruck quer zum Seil — der Buckel läuft als Transversalpuls davon.
- Spiralfeder (Slinky): ein kurzer Stoss längs der Feder — eine Verdichtung läuft als Longitudinalpuls durch die Windungen.
- Stadion-La-Ola: jede Person steht nur kurz auf und setzt sich wieder — trotzdem läuft die «Welle» einmal ums Stadion.
In der ersten Animation läuft genau so ein Puls durch ein 8 m langes Seil. Oben siehst du das Momentbild \(y(s)\) — die Form des Seils jetzt gerade. Unten schreibt das markierte Teilchen bei \(s = 5\;\text{m}\) seine eigene Bewegung \(y(t)\) mit, wie ein Messschreiber.
✏️ Mini-Check
Ein Puls läuft durch ein Seil. Was macht ein Seilstück, nachdem der Puls vorbeigelaufen ist?
- Es wandert mit dem Puls weiter.
- Es bleibt an seinem Ort in Ruhe.
- Es schwingt dauerhaft weiter.
Lösung anzeigen
Eine Welle transportiert , aber keine Materie.
Lösung anzeigen
Ein Puls braucht für ein \(12\;\text{m}\) langes Seil \(4\;\text{s}\). Wie gross ist \(c\)?
Lösung anzeigen
Bei der La-Ola im Stadion: Was «läuft» ums Stadion, und was bleibt am Platz?
Lösungsweg anzeigen
Vom Wackeln zur Welle
Bewegt man das Seilende nicht einmal, sondern periodisch auf und ab (eine Hand, die gleichmässig wackelt), reiht sich Puls an Puls: Es entsteht eine harmonische Welle. Jedes Teilchen übernimmt die Bewegung seines Nachbarn mit einer kleinen Verzögerung — deshalb schwingen benachbarte Teilchen phasenversetzt, und das Muster wandert mit \(c\) nach rechts.
In einer Periode \(T\) macht der Erreger genau eine volle Schwingung — und die Welle rückt dabei genau um eine Wellenlänge \(\lambda\) weiter. Mit \(f = 1/T\) folgt:
\[ \lambda = c \cdot T = \frac{c}{f} \qquad\Longleftrightarrow\qquad c = \lambda \cdot f \]Die Geschwindigkeit \(c\) ist eine Eigenschaft des Mediums (Seil, Feder, Spannung) — der Erreger bestimmt nur \(f\) und die Amplitude \(A\). Wackelt man schneller, wird die Welle also enger, nicht schneller.
❓ Was passiert mit der Wellenlänge, wenn du die Frequenz des Erregers verdoppelst?
Sie halbiert sich. Die Geschwindigkeit \(c\) ist eine Eigenschaft des Mediums und bleibt gleich — mit \(\lambda = c/f\) bedeutet doppelte Frequenz halbe Wellenlänge. Probiere es in Animation 2: \(f = 1.0\;\text{Hz}\) ergibt \(\lambda = 2\;\text{m}\), \(f = 2.0\;\text{Hz}\) ergibt \(\lambda = 1\;\text{m}\).
✏️ Mini-Check
Der Erreger schwingt schneller (grösseres \(f\)), das Seil bleibt dasselbe. Was passiert mit \(\lambda\)?
- \(\lambda\) wird grösser.
- \(\lambda\) wird kleiner.
- \(\lambda\) bleibt gleich.
Lösung anzeigen
In einer Periode \(T\) rückt die Welle genau um eine weiter.
Lösung anzeigen
Seilwelle mit \(c = 2\;\text{m/s}\) und \(f = 0.8\;\text{Hz}\). Wellenlänge?
Lösung anzeigen
Warum schwingen zwei benachbarte Teilchen der Kette fast, aber nicht genau gleich?
Lösungsweg anzeigen
Die zwei Gesichter der Welle — \(y(s)\) und \(y(t)\)
Eine Welle hängt von zwei Variablen ab: vom Ort \(s\) und von der Zeit \(t\). Die vollständige Beschreibung ist eine Funktion von beiden:
\[ y(s, t) = A \cdot \sin\!\left( 2\pi \left( \frac{t}{T} - \frac{s}{\lambda} \right) \right) \]Ein Diagramm kann aber nur eine Variable auf der Achse zeigen. Deshalb gibt es zwei «Gesichter» derselben Welle:
- Momentbild \(y(s)\): die Zeit ist eingefroren (\(t = \text{const.}\)) — ein Foto des ganzen Seils. Hier liest man die Wellenlänge \(\lambda\) ab (Berg zu Berg auf der \(s\)-Achse).
- Zeitdiagramm \(y(t)\): der Ort ist festgehalten (\(s = \text{const.}\)) — der Mitschrieb eines Teilchens. Hier liest man die Periode \(T\) ab (Maximum zu Maximum auf der \(t\)-Achse).
Beide Diagramme zeigen eine Sinuskurve — aber die Achsen sind verschieden! Der Abstand zweier Berge ist im \(y(s)\)-Bild die Wellenlänge \(\lambda\) (in Metern), im \(y(t)\)-Bild die Periode \(T\) (in Sekunden). Wer die Achse nicht beachtet, verwechselt \(\lambda\) und \(T\) — prüfe immer zuerst: Orts- oder Zeitachse?
❓ Du hast nur ein Foto (Momentbild) des Seils. Kannst du daraus die Geschwindigkeit c bestimmen?
Nein. Aus dem Foto liest du nur die Wellenlänge \(\lambda\) ab — eine reine Ortsinformation. Für \(c = \lambda / T\) brauchst du zusätzlich eine Zeitinformation: die Periode \(T\) oder die Frequenz \(f\), also z.B. den Mitschrieb \(y(t)\) eines Teilchens oder ein zweites Foto kurz danach.
✏️ Mini-Check
Im Momentbild \(y(s)\) liest man direkt ab:
- die Periode \(T\)
- die Wellenlänge \(\lambda\)
- die Frequenz \(f\)
Lösung anzeigen
Im \(y(t)\)-Diagramm eines Teilchens ist der Abstand zweier Maxima die .
Lösung anzeigen
Momentbild: Bergabstand \(2.5\;\text{m}\). Zeitdiagramm: Maxima-Abstand \(0.5\;\text{s}\). Wie gross ist \(c\)?
Lösung anzeigen
Warum sehen \(y(s)\) und \(y(t)\) gleich aus (beides Sinuskurven), obwohl sie Verschiedenes zeigen?
Lösungsweg anzeigen
Reflexion am Seilende
Was passiert, wenn der Puls am Ende des Seils ankommt? Das hängt davon ab, wie das Ende befestigt ist — genau wie beim Seil an der Türklinke (fest) oder an einem lose gleitenden Ring (los):
- Festes Ende (Seil an der Wand): Das Ende kann nicht ausweichen. Der Puls wird mit Umkehrung reflektiert — ein Berg kommt als Tal zurück. Bei der Feder gilt: Eine Verdichtung kommt als Verdichtung zurück.
- Loses Ende (Seilende gleitet frei auf einem Stab): Das Ende schwingt voll mit — sogar doppelt so weit. Der Puls wird ohne Umkehrung reflektiert — ein Berg kommt als Berg zurück. Bei der Feder: Eine Verdichtung kommt als Verdünnung zurück.
✏️ Mini-Check
Ein Wellenberg trifft auf ein festes Seilende. Er kommt zurück als …
- Berg
- Tal
- gar nicht — er wird verschluckt
Lösung anzeigen
Am losen Ende wird der Puls Umkehrung reflektiert.
Lösung anzeigen
Ein Puls läuft ein \(8\;\text{m}\) langes Seil hin und zurück (\(c = 4\;\text{m/s}\)). Wie lange braucht er?
Lösung anzeigen
Du rufst gegen eine Felswand und hörst ein Echo. Was entspricht hier dem «Seil», was dem «festen Ende»?
Lösungsweg anzeigen
Zwei Störungen treffen sich — Superposition
Schicken zwei Personen je einen Puls von beiden Seilenden los, laufen die Pulse aufeinander zu. Beim Treffen gilt das Superpositionsprinzip: Die Auslenkungen addieren sich in jedem Punkt — und danach laufen beide Pulse unverändert weiter, als wäre nichts gewesen.
❓ Löschen sich Berg und Tal beim Treffen dauerhaft aus?
Nein — nur im Treffmoment ist die Auslenkung (fast) überall null. Die Energie der Pulse steckt in diesem Moment vollständig in der Bewegung der Teilchen: sie haben gerade dann ihre grösste Geschwindigkeit. Deshalb laufen beide Pulse danach unverändert weiter. Wellen durchdringen sich ungestört — sonst könnten sich zwei Stimmen im selben Raum gegenseitig zerstören.
✏️ Mini-Check
Ein Berg (6 cm) trifft auf ein gleich breites Tal (6 cm). Was gilt im Treffmoment?
- Auslenkung 12 cm
- Auslenkung 0 cm
- Die Pulse vernichten sich dauerhaft.
Lösung anzeigen
Beim Durchdringen zweier Wellen sich die Auslenkungen.
Lösung anzeigen
Zwei gleichgerichtete Pulse mit \(6\;\text{cm}\) und \(4\;\text{cm}\) überlagern sich genau. Auslenkung im Treffmoment?
Lösung anzeigen
In einem Raum sprechen zwei Personen gleichzeitig. Warum «zerstören» sich die Schallwellen nicht gegenseitig?
Lösungsweg anzeigen
Laufend oder stehend?
Jetzt kombinieren wir Reflexion und Superposition: Eine harmonische Welle läuft nach rechts, ihre reflektierte Gegenwelle läuft nach links — beide dauernd, beide mit gleicher Frequenz und Amplitude. Die Überlagerung ergibt etwas Neues: eine stehende Welle. Das Muster wandert nicht mehr; stattdessen gibt es Punkte, die immer ruhen (Knoten), und Punkte, die maximal schwingen (Bäuche, mit Amplitude \(2A\)).
✏️ Mini-Check
Woran erkennt man eine stehende Welle?
- Das Muster wandert mit \(c\) nach rechts.
- Knoten und Bäuche bleiben am Ort.
- Alle Teilchen ruhen dauerhaft.
Lösung anzeigen
Der Abstand zweier benachbarter Knoten beträgt .
Lösung anzeigen
Bei einer stehenden Welle misst du den Knotenabstand \(0.75\;\text{m}\). Wellenlänge?
Lösung anzeigen
Jede Einzelwelle hat die Amplitude \(A\). Mit welcher Amplitude schwingt ein Teilchen am Bauch — und warum?
Lösungsweg anzeigen
Stehende Wellen am eingespannten Seil — die Gitarrensaite
Spannt man ein Seil oder Gummiband an beiden Enden fest ein, sind beide Enden feste Enden — dort muss ein Knoten sitzen. Eine stehende Welle «passt» dann nur, wenn zwischen die Enden ein ganzzahliges Vielfaches von halben Wellenlängen passt. Genau das passiert auf jeder Gitarrensaite.
Bedingung: Knoten an beiden Enden, also muss die Länge \(L\) ein Vielfaches des Knotenabstands \(\lambda/2\) sein:
\[ L = n \cdot \frac{\lambda_n}{2}, \qquad n = 1, 2, 3, \ldots \]Aufgelöst nach der Wellenlänge und — mit \(f = c/\lambda\) — nach der Frequenz:
\[ \lambda_n = \frac{2L}{n} \qquad\qquad f_n = \frac{c}{\lambda_n} = n \cdot \frac{c}{2L} \]\(n = 1\) ist die Grundschwingung (Grundton), \(n = 2, 3, \ldots\) sind die Oberschwingungen (Obertöne) — ihre Frequenzen sind ganzzahlige Vielfache von \(f_1\).
✏️ Mini-Check
Auf einer beidseitig eingespannten Saite passen nur Wellen mit …
- beliebiger Wellenlänge
- \(\lambda_n = 2L/n\)
- immer genau \(\lambda = L\)
Lösung anzeigen
Die Eigenschwingung mit \(n = 1\) heisst .
Lösung anzeigen
Saite mit \(L = 0.6\;\text{m}\). Wellenlänge der Grundschwingung?
Lösung anzeigen
Ein Gitarrist drückt die Saite genau in der Mitte ab und halbiert so \(L\). Was passiert mit dem Grundton?
Lösungsweg anzeigen
Aufgaben
Stelle Animation 2 auf \(f = 1.0\;\text{Hz}\) (das Seil hat \(c = 2.0\;\text{m/s}\)).
- Lies im Momentbild die Wellenlänge \(\lambda\) ab (Doppelpfeil).
- Lies im Mitschrieb \(y(t)\) die Periode \(T\) ab.
- Prüfe mit den abgelesenen Werten die Wellengleichung \(c = \lambda \cdot f\).
- Der Doppelpfeil (Berg zu Berg) zeigt \(\lambda = 2.0\;\text{m}\) — das bestätigt die Live-Anzeige \(\lambda = c/f = 2.0/1.0 = 2.0\;\text{m}\).
- Zwei Maxima im \(y(t)\)-Bild liegen \(T = 1.0\;\text{s}\) auseinander (\(T = 1/f\)).
- Probe: \(\lambda \cdot f = 2.0\;\text{m} \cdot 1.0\;\text{Hz} = 2.0\;\text{m/s} = c\) — stimmt.
Auf einem gespannten Seil laufen Wellen mit \(c = 2.4\;\text{m/s}\). Die Hand am Seilende schwingt mit \(f = 0.8\;\text{Hz}\). Berechne die Wellenlänge \(\lambda\) und die Periode \(T\).
Ansatz: Wellengleichung \(c = \lambda \cdot f\), aufgelöst nach \(\lambda\):
\[ \lambda = \frac{c}{f} = \frac{2.4\;\text{m/s}}{0.8\;\text{Hz}} = 3.0\;\text{m} \]Periode:
\[ T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.8\;\text{Hz}} = 1.25\;\text{s} \]Von einer Seilwelle liegen zwei Diagramme vor: Im Momentbild \(y(s)\) liegen zwei benachbarte Berge \(4.0\;\text{m}\) auseinander. Im Zeitdiagramm \(y(t)\) eines Teilchens folgen zwei Maxima im Abstand \(0.5\;\text{s}\).
- Welche Grösse liest man aus welchem Diagramm ab? Bestimme sie.
- Berechne die Frequenz \(f\).
- Berechne die Ausbreitungsgeschwindigkeit \(c\).
- Das Momentbild hat eine Ortsachse: Bergabstand = Wellenlänge \(\lambda = 4.0\;\text{m}\). Das Zeitdiagramm hat eine Zeitachse: Maxima-Abstand = Periode \(T = 0.5\;\text{s}\).
- Aus \(f = \dfrac{1}{T}\): \[ f = \frac{1}{0.5\;\text{s}} = 2.0\;\text{Hz} \]
- Aus der Wellengleichung \(c = \lambda \cdot f\): \[ c = 4.0\;\text{m} \cdot 2.0\;\text{Hz} = 8.0\;\text{m/s} \]
Ein Wellenberg mit \(5\;\text{cm}\) Auslenkung läuft auf das Seilende zu.
- Das Ende ist an einer Wand festgeknotet. Wie sieht der reflektierte Puls aus?
- Das Ende gleitet frei auf einem Stab. Wie sieht der reflektierte Puls jetzt aus?
- Auf einer Spiralfeder läuft eine Verdichtung auf ein festes Ende zu. Was kommt zurück?
- Festes Ende: Reflexion mit Umkehrung — der Berg kommt als Tal mit \(5\;\text{cm}\) Auslenkung nach unten zurück (gleiche Form, gleiches Tempo).
- Loses Ende: Reflexion ohne Umkehrung — der Berg kommt als Berg zurück; im Moment der Reflexion schlägt das Ende bis \(10\;\text{cm}\) aus (Überlagerung von ankommendem und reflektiertem Puls).
- Am festen Ende kommt die Verdichtung als Verdichtung zurück (die Auslenkung der Windungen kehrt sich um, das Verdichtungsmuster bleibt) — überprüfbar in Animation 4 im Longitudinal-Modus.
Zwei gleich breite Pulse laufen aufeinander zu: von links ein Berg mit \(+6\;\text{cm}\), von rechts ein Puls mit \(-4\;\text{cm}\) (Tal). Im Treffmoment überlagern sie sich genau.
- Wie gross ist die Auslenkung in der Mitte im Treffmoment?
- Wie gross wäre sie, wenn der zweite Puls ein Berg mit \(+4\;\text{cm}\) wäre?
- Was beobachtet man kurz nach dem Treffen?
- Ansatz: Superposition — Auslenkungen addieren sich mit Vorzeichen: \[ y = y_1 + y_2 = 6\;\text{cm} + (-4\;\text{cm}) = 2\;\text{cm} \] (destruktive Überlagerung).
- Gleichgerichtet: \[ y = 6\;\text{cm} + 4\;\text{cm} = 10\;\text{cm} \] (konstruktive Überlagerung).
- Beide Pulse laufen unverändert weiter (Form, Höhe, Geschwindigkeit) — Wellen durchdringen sich ungestört; die Addition galt nur im Treffmoment.
Auf der hohen e-Saite einer Gitarre (\(L = 0.65\;\text{m}\)) laufen Querwellen mit \(c = 429\;\text{m/s}\).
- Berechne \(\lambda_1\) und die Grundfrequenz \(f_1\).
- Berechne \(\lambda_2\) und \(f_2\) der ersten Oberschwingung.
- Wie gross ist \(f_3\)? Was haben die Obertöne mit dem Klang zu tun?
- Ansatz: \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\) und \(f_n = n \cdot \dfrac{c}{2L}\). \[ \lambda_1 = \frac{2 \cdot 0.65\;\text{m}}{1} = 1.3\;\text{m} \] \[ f_1 = \frac{429\;\text{m/s}}{2 \cdot 0.65\;\text{m}} = 330\;\text{Hz} \] Das ist der Ton e¹.
- \[ \lambda_2 = \frac{2 \cdot 0.65\;\text{m}}{2} = 0.65\;\text{m}, \qquad f_2 = 2 \cdot 330\;\text{Hz} = 660\;\text{Hz} \]
- \[ f_3 = 3 \cdot 330\;\text{Hz} = 990\;\text{Hz} \] Eine angezupfte Saite schwingt in mehreren Moden gleichzeitig; das Mischverhältnis der Obertöne bestimmt die Klangfarbe — deshalb klingen Gitarre und Geige beim selben Grundton verschieden.
Zusammenfassung
| Experiment | Beobachtung | Formel / Regel |
|---|---|---|
| Puls im Seil | Störung wandert, Teilchen bleibt | Laufzeit \(t = s/c\) |
| Erreger erzeugt Welle | Nachbarn schwingen phasenversetzt | \(\lambda = c/f\), \(\;T = 1/f\) |
| Momentbild \(y(s)\) | Foto des Seils, Zeit eingefroren | Bergabstand = \(\lambda\) (in m) |
| Zeitdiagramm \(y(t)\) | Mitschrieb eines Teilchens | Maxima-Abstand = \(T\) (in s) |
| Reflexion | festes Ende: Berg wird Tal · loses Ende: Berg bleibt Berg | mit / ohne Umkehrung |
| Superposition | Pulse durchdringen sich ungestört | \(y_{\text{ges}} = y_1 + y_2\) |
| Stehende Welle | Knoten ruhen, Bäuche schwingen mit \(2A\) | Knotenabstand \(= \lambda/2\) |
| Eingespannte Saite | nur bestimmte Wellenlängen passen | \(\lambda_n = \dfrac{2L}{n}\), \(\;f_n = n \cdot \dfrac{c}{2L}\) |
Kernpunkte
- Eine Welle transportiert Energie, aber keine Materie — jedes Teilchen schwingt nur um seine Ruhelage.
- Transversal (Seil: quer) und longitudinal (Feder: längs) gehorchen denselben Formeln — nur die Schwingungsrichtung der Teilchen unterscheidet sich.
- Der Erreger bestimmt \(f\) und \(A\), das Medium bestimmt \(c\); daraus folgt \(\lambda = c/f\).
- Momentbild \(y(s)\) und Zeitdiagramm \(y(t)\) sind zwei Schnitte durch dieselbe Fläche \(y(s,t)\): im Ortsbild wohnt \(\lambda\), im Zeitbild \(T\).
- Reflexion: festes Ende mit Umkehrung (Berg wird Tal), loses Ende ohne Umkehrung.
- Superposition: Auslenkungen addieren sich punktweise — danach laufen die Wellen ungestört weiter.
- Hin- und rücklaufende Welle ergeben eine stehende Welle: Knoten ruhen, Bäuche schwingen mit \(2A\), Knotenabstand \(\lambda/2\).
- Auf der eingespannten Saite passen nur \(\lambda_n = 2L/n\) — Grundton und Obertöne mit \(f_n = n \cdot c/(2L)\).