So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Du bestimmst das Tempo selbst, die Reihenfolge nicht. Die Schritte bauen streng aufeinander auf: Ohne die zwei Regeln keine Reihenschaltung, ohne Reihen- und Parallelschaltung keine gemischte — und die Leistung zum Schluss braucht alles davor.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine notierte falsche Vermutung lernt sich besser als eine gelesene richtige.
- Clip anschauen. Jeder Schritt beginnt mit einem vertonten Erklärclip von rund einer Minute.
- Simulation selbst bewegen. Wo ein Regler steht, gehört er gezogen. Achte darauf, welche Anzeige mitgeht und welche stehen bleibt — das ist meist der ganze Lerninhalt.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Kapiteltest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 25 Minuten, Taschenrechner.
Was du am Ende können musst
Den Gesamtwiderstand einer Reihen-, Parallel- und gemischten Schaltung berechnen, Teilspannungen und Teilströme bestimmen und beide Proben durchführen.
Einen Spannungsteiler dimensionieren, die Leistung einzelner Bauteile in beiden Schaltungsarten berechnen und begründen, welche von zwei Lampen in Reihe heller leuchtet.
Drei Regeln, die in jedem Schritt gelten
Erstens: Erst der Ansatz, dann die Zahlen. Schreib die Formel symbolisch hin, stelle sie um, und setze erst danach ein — mit Einheiten.
Zweitens: Zu jeder Schaltung gehören zwei Proben. In Reihe müssen sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung addieren, parallel die Teilströme zum Gesamtstrom. Wer beide macht, findet fast jeden Fehler.
Drittens: Ohm gilt überall — aber immer nur für ein Bauteil oder eine Gruppe. \(U = R \cdot I\) mit dem Strom durch genau dieses Bauteil und der Spannung über genau diesem Bauteil.
Vortest: Was solltest du schon können?
Fünf kurze Aufgaben. Sie zeigen, ob das Ohmsche Gesetz und die Grundgrössen sitzen.
Rechne alle fünf, bevor du eine einzige Lösung aufklappst.
V.1 An einem Widerstand von \(220\,\Omega\) liegen \(9.0\,\mathrm{V}\). Welcher Strom fliesst?
Lösung anzeigen
\(I = U/R = 9.0\,\mathrm{V} / 220\,\Omega = 40.9\,\mathrm{mA}\).
V.2 Durch eine Lampe fliessen \(250\,\mathrm{mA}\) bei \(12\,\mathrm{V}\). Wie gross ist ihr Widerstand?
Lösung anzeigen
\(R = U/I = 12\,\mathrm{V} / 0.250\,\mathrm{A} = 48\,\Omega\). Achte auf die Umrechnung \(250\,\mathrm{mA} = 0.250\,\mathrm{A}\) — hier entsteht der häufigste Fehler.
V.3 Was bedeutet es physikalisch, dass an einem Bauteil \(5\,\mathrm{V}\) «abfallen»?
Lösung anzeigen
Jede Ladungseinheit, die durch das Bauteil geht, gibt dort \(5\,\mathrm{J}\) je Coulomb ab — \(U = W/Q\). Die Energie wird im Bauteil in Wärme oder Licht umgesetzt.
V.4 Ein Gerät mit \(1200\,\mathrm{W}\) hängt an \(230\,\mathrm{V}\). Welcher Strom fliesst?
Lösung anzeigen
\(I = P/U = 1200\,\mathrm{W} / 230\,\mathrm{V} = 5.22\,\mathrm{A}\).
V.5 Rechne um: \(0.047\,\mathrm{k\Omega}\), \(1500\,\mathrm{mA}\), \(2.2\,\mathrm{M\Omega}\).
Lösung anzeigen
\(47\,\Omega\); \(1.5\,\mathrm{A}\); \(2\,200\,000\,\Omega = 2.2 \cdot 10^{6}\,\Omega\).
Auswertung
| Aufgabe | worum es geht | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| V.1, V.2 | Ohmsches Gesetz umstellen | 6.2 Das Ohmsche Gesetz |
| V.3 | Spannung als Arbeit je Ladung | 6.2 Grundbegriffe |
| V.4 | Leistung | 6.2 Leistung und Energie |
| V.5 | Vorsilben | 0.2 Vorsilben |
Drei oder mehr richtig? Dann weiter mit Schritt 1. Sonst zuerst die verlinkten Abschnitte durcharbeiten — ohne das Ohmsche Gesetz wird der Rest dieses Leitprogramms zur Formelsucherei.
Die zwei Regeln, aus denen alles folgt
Zwei Sätze über Knoten und Maschen — mehr braucht es für jede Schaltung dieses Kapitels nicht.
Alles, was in diesem Leitprogramm gerechnet wird, folgt aus zwei Beobachtungen. Beide klingen selbstverständlich, und beide werden dauernd verletzt.
Regel 1 — die Knotenregel
An einer Verzweigung ist die Summe der zufliessenden Ströme gleich der Summe der abfliessenden. Ladung sammelt sich nirgends an. Wo sich nichts verzweigt, fliesst überall derselbe Strom.
Regel 2 — die Maschenregel
Geht man einen geschlossenen Weg durch die Schaltung, so ist die Summe aller Teilspannungen gleich der Quellenspannung. Energie verschwindet nicht. Was die Quelle jeder Ladung mitgibt, geben die Bauteile auf dem Weg wieder ab.
Woran man erkennt, was in Reihe und was parallel liegt
Die Frage ist nie, was im Bild nebeneinandersteht, sondern wie die Bauteile verbunden sind:
In Reihe liegen zwei Bauteile, wenn zwischen ihnen kein Abzweig ist — der ganze Strom, der durch das eine fliesst, muss auch durch das andere.
Parallel liegen sie, wenn sie sich beide Anschlusspunkte teilen. Dann liegt über beiden dieselbe Spannung, und der Strom hat zwei Wege.
A1.1 KERN In einem Kreis ohne Verzweigung wird an drei Stellen der Strom gemessen: \(120\,\mathrm{mA}\), \(120\,\mathrm{mA}\) und \(118\,\mathrm{mA}\). Was folgt daraus?
Lösung anzeigen
Nach der Knotenregel muss der Strom überall gleich sein. Die Abweichung von \(2\,\mathrm{mA}\) ist ein Messfehler — Ablesegenauigkeit, Kontaktwiderstände oder der Innenwiderstand des Messgeräts. Physikalisch fliesst an allen drei Stellen derselbe Strom.
A1.2 KERN An einer \(12\text{-V}\)-Quelle hängen zwei Widerstände in Reihe. Über dem ersten werden \(4.5\,\mathrm{V}\) gemessen. Wie gross ist die Spannung über dem zweiten?
Lösung anzeigen
Maschenregel: \(U_2 = 12\,\mathrm{V} - 4.5\,\mathrm{V} = 7.5\,\mathrm{V}\). Man braucht dafür weder die Widerstände noch den Strom zu kennen.
A1.3 VERTIEFUNG Jemand sagt: «In der Parallelschaltung teilt sich die Spannung auf die Zweige auf.» Korrigiere die Aussage und begründe mit einer der beiden Regeln.
Lösung anzeigen
Falsch — parallel teilt sich der Strom auf, die Spannung ist über allen Zweigen gleich. Begründung mit der Maschenregel: Jeder Zweig bildet mit der Quelle eine eigene Masche, und in jeder dieser Maschen muss die Summe der Teilspannungen die Quellenspannung ergeben. Da in einem Zweig nur ein Bauteil sitzt, liegt an ihm die volle Spannung.
Reihenschaltung — ein Strom, geteilte Spannung
Widerstände addieren sich; die Spannungen teilen sich im Verhältnis der Widerstände.
Aus der Knotenregel folgt: In einer Reihenschaltung fliesst überall derselbe Strom \(I\). Aus der Maschenregel folgt: Die Teilspannungen addieren sich zur Quellenspannung. Setzt man in \(U = U_1 + U_2\) je \(U_k = R_k\,I\) ein und klammert \(I\) aus, bleibt:
\[ R_\text{ges} = R_1 + R_2 + \ldots + R_n \]
Merksatz
In der Reihenschaltung ist die Stromstärke überall gleich; die Spannung teilt sich proportional zu den Widerständen auf. Der Gesamtwiderstand ist grösser als der grösste Einzelwiderstand.
U₁ : U₂ = R₁ : R₂ — die Spannungen teilen sich wie die Widerstände
Beispiel — vollständig gerechnet
\(R_1 = 100\,\Omega\) und \(R_2 = 220\,\Omega\) in Reihe an \(12\,\mathrm{V}\). Gesucht sind Strom und Teilspannungen.
Ansatz. Zuerst der Gesamtwiderstand, dann der Strom, dann die Teilspannungen:
\[ R_\text{ges} = R_1 + R_2 = 100\,\Omega + 220\,\Omega = 320\,\Omega \]
\[ I = \frac{U}{R_\text{ges}} = \frac{12\,\mathrm{V}}{320\,\Omega} = 37.5\,\mathrm{mA} \]
Teilspannungen mit genau diesem Strom:
\[ U_1 = R_1\,I = 100\,\Omega \cdot 0.0375\,\mathrm{A} = 3.75\,\mathrm{V} \]
\[ U_2 = R_2\,I = 220\,\Omega \cdot 0.0375\,\mathrm{A} = 8.25\,\mathrm{V} \]
Probe. \(3.75 + 8.25 = 12.00\,\mathrm{V}\) ✓ — und das Verhältnis \(3.75 : 8.25\) ist dasselbe wie \(100 : 220\).
A2.1 KERN \(R_1 = 47\,\Omega\), \(R_2 = 100\,\Omega\) und \(R_3 = 220\,\Omega\) liegen in Reihe an \(9.0\,\mathrm{V}\). Berechne \(R_\text{ges}\), \(I\) und alle drei Teilspannungen. Führe die Probe durch.
Lösung anzeigen
\[ R_\text{ges} = 47 + 100 + 220 = 367\,\Omega \qquad I = \frac{9.0\,\mathrm{V}}{367\,\Omega} = 24.5\,\mathrm{mA} \]
\(U_1 = 47 \cdot 0.02452 = 1.15\,\mathrm{V}\); \(U_2 = 2.45\,\mathrm{V}\); \(U_3 = 5.40\,\mathrm{V}\).
Probe: \(1.15 + 2.45 + 5.40 = 9.00\,\mathrm{V}\) ✓
A2.2 KERN Ohne Rechnung: In einer Reihenschaltung aus \(1\,\mathrm{k\Omega}\) und \(10\,\Omega\) — über welchem Widerstand fällt praktisch die ganze Spannung ab?
Lösung anzeigen
Über dem \(1\,\mathrm{k\Omega}\). Die Spannungen verhalten sich wie \(1000 : 10\), also fallen \(99\,\%\) über dem grossen Widerstand ab. Der kleine ist in dieser Schaltung fast unsichtbar — genau darum stört ein Amperemeter mit \(0.1\,\Omega\) eine Messung kaum.
A2.3 VERTIEFUNG Eine Lernende rechnet: «\(U_1 = 3.75\,\mathrm{V}\), \(U_2 = 8.25\,\mathrm{V}\), also \(U_\text{ges} = 3.75 \cdot 8.25 = 30.9\,\mathrm{V}\).» Wo liegt der Fehler, und welche Probe hätte ihn gefunden?
Lösung anzeigen
Teilspannungen werden addiert, nicht multipliziert — das sagt die Maschenregel. Die Probe hätte es sofort gezeigt: \(30.9\,\mathrm{V}\) an einer \(12\text{-V}\)-Quelle ist unmöglich, eine Teilspannung kann nie grösser sein als die Quellenspannung. Ein multipliziertes Ergebnis hat zudem die Einheit \(\mathrm{V^2}\) — auch die Einheitenkontrolle findet den Fehler.
Der Spannungsteiler
Die Reihenschaltung rückwärts: Aus einer gewünschten Teilspannung folgt der nötige Widerstand.
Weil sich die Spannungen wie die Widerstände teilen, lässt sich jede Zwischenspannung einstellen. Das Verhältnis ist die ganze Formel:
\[ \frac{U_2}{U} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad U_2 = U \cdot \frac{R_2}{R_1 + R_2} \]
U₂ = U · R₂ / (R₁ + R₂) = 12.0 V · 500 Ω / 1500 Ω = 4.00 V
Beispiel — vollständig gerechnet
An \(12\,\mathrm{V}\) sollen über \(R_2\) genau \(4.0\,\mathrm{V}\) abfallen. \(R_1 = 1000\,\Omega\) ist gegeben. Wie gross muss \(R_2\) sein?
Ansatz. Der Weg über den Strom ist kürzer als das Umstellen der Teilerformel:
\[ U_1 = U - U_2 = 12\,\mathrm{V} - 4.0\,\mathrm{V} = 8.0\,\mathrm{V} \]
\[ I = \frac{U_1}{R_1} = \frac{8.0\,\mathrm{V}}{1000\,\Omega} = 8.0\,\mathrm{mA} \]
Derselbe Strom fliesst durch \(R_2\):
\[ R_2 = \frac{U_2}{I} = \frac{4.0\,\mathrm{V}}{0.0080\,\mathrm{A}} = 500\,\Omega \]
Probe mit der Teilerformel: \(12 \cdot 500/1500 = 4.0\,\mathrm{V}\) ✓
Die Grenze der Formel
Sobald am Abgriff ein Verbraucher hängt, stimmt die Rechnung nicht mehr: Der Verbraucher liegt parallel zu \(R_2\), die Gruppe wird niederohmiger, und die Abgriffspannung bricht ein. Ein Spannungsteiler taugt darum für Messzwecke und für hochohmige Eingänge — nicht als Netzteil. Warum das so ist, siehst du in Schritt 4.
A3.1 KERN An \(9.0\,\mathrm{V}\) liegt ein Teiler aus \(R_1 = 680\,\Omega\) und \(R_2 = 220\,\Omega\). Wie gross ist die Spannung über \(R_2\)?
Lösung anzeigen
\[ U_2 = 9.0\,\mathrm{V} \cdot \frac{220}{900} = 2.20\,\mathrm{V} \]
A3.2 KERN Aus \(12\,\mathrm{V}\) sollen \(5.0\,\mathrm{V}\) werden. \(R_1 = 470\,\Omega\). Welchen Wert braucht \(R_2\)?
Lösung anzeigen
\(U_1 = 12 - 5.0 = 7.0\,\mathrm{V}\), also \(I = 7.0/470 = 14.9\,\mathrm{mA}\).
\(R_2 = 5.0 / 0.01489 = 336\,\Omega\) — in der Praxis nimmt man den nächstliegenden Normwert \(330\,\Omega\) und erhält \(12 \cdot 330/800 = 4.95\,\mathrm{V}\).
A3.3 VERTIEFUNG Zwei Teiler liefern beide \(6.0\,\mathrm{V}\) aus \(12\,\mathrm{V}\): einmal mit \(2 \times 100\,\Omega\), einmal mit \(2 \times 100\,\mathrm{k\Omega}\). Wo ist der Unterschied?
Lösung anzeigen
Im Strom, der dauernd durch den Teiler fliesst: \(12/200 = 60\,\mathrm{mA}\) gegen \(12/200\,000 = 0.06\,\mathrm{mA}\). Der niederohmige Teiler verheizt \(0.72\,\mathrm{W}\), der hochohmige \(0.72\,\mathrm{mW}\).
Dafür bricht der hochohmige Teiler unter Last viel stärker ein. Die Wahl ist immer ein Kompromiss: niederohmig = stabil, aber verlustreich; hochohmig = sparsam, aber empfindlich.
Parallelschaltung — eine Spannung, geteilter Strom
Der Gesamtwiderstand sinkt mit jedem Zweig; die Ströme teilen sich umgekehrt zu den Widerständen.
Jetzt greift die Knotenregel: Der Gesamtstrom teilt sich an der Verzweigung auf und vereinigt sich danach wieder. Über jedem Zweig liegt dieselbe Spannung. Setzt man in \(I = I_1 + I_2\) je \(I_k = U/R_k\) ein und kürzt \(U\), bleibt:
\[ \frac{1}{R_\text{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \ldots + \frac{1}{R_n} \]
Der Fehler, der in jeder Klasse passiert
Die Formel liefert den Kehrwert. Wer nach dem Addieren aufhört, hat \(1/R_\text{ges}\) und nicht \(R_\text{ges}\). Eine Kontrolle, die das sofort zeigt: Der Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand. Kommt etwas Grösseres heraus, fehlt der letzte Kehrwert. Darum den Bereich vor der Rechnung bestimmen: Wer den Bereich vorher kennt, merkt den Rechenfehler nachher.
Merksatz
In der Parallelschaltung liegt an jedem Zweig dieselbe Spannung, die Ströme addieren sich — und der Gesamtwiderstand ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
1 / R = 1/100 Ω + 1/220 Ω → R = 68.8 Ω
Beispiel — vollständig gerechnet
\(R_1 = 100\,\Omega\) und \(R_2 = 220\,\Omega\) parallel an \(12\,\mathrm{V}\).
Ansatz. Erst die Kehrwerte, dann zurück:
\[ \frac{1}{R_\text{ges}} = \frac{1}{100\,\Omega} + \frac{1}{220\,\Omega} = 0.01455\,\frac{1}{\Omega} \]
\[ R_\text{ges} = \frac{1}{0.01455\,\Omega^{-1}} = 68.8\,\Omega \]
Für zwei Widerstände geht es auch direkt: \(R_\text{ges} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \dfrac{100 \cdot 220}{320} = 68.8\,\Omega\).
Ströme. Über jedem Zweig liegen \(12\,\mathrm{V}\):
\[ I_1 = \frac{12}{100} = 120\,\mathrm{mA} \qquad I_2 = \frac{12}{220} = 54.5\,\mathrm{mA} \]
Probe. \(120 + 54.5 = 174.5\,\mathrm{mA}\), und \(12/68.8 = 174.4\,\mathrm{mA}\) ✓ (die Differenz ist Rundung). Und \(68.8\,\Omega < 100\,\Omega\) — die Plausibilitätskontrolle stimmt.
A4.1 KERN Gib vor der Rechnung an, in welchem Bereich \(R_\text{ges}\) von \(330\,\Omega\) parallel \(470\,\Omega\) liegen muss. Rechne dann nach.
Lösung anzeigen
Kleiner als \(330\,\Omega\) — und grösser als die Hälfte des kleineren, also über \(165\,\Omega\). Erwartung: zwischen \(165\) und \(330\,\Omega\).
\(R_\text{ges} = (330 \cdot 470)/800 = 194\,\Omega\) ✓ — liegt im erwarteten Bereich.
A4.2 KERN Drei Widerstände \(100\,\Omega\), \(200\,\Omega\) und \(300\,\Omega\) liegen parallel an \(6.0\,\mathrm{V}\). Berechne \(R_\text{ges}\), alle Teilströme und den Gesamtstrom. Probe nicht vergessen.
Lösung anzeigen
\[ \frac{1}{R} = \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{300} = 0.01833\,\frac{1}{\Omega} \quad\Longrightarrow\quad R = 54.5\,\Omega \]
\(I_1 = 60.0\,\mathrm{mA}\); \(I_2 = 30.0\,\mathrm{mA}\); \(I_3 = 20.0\,\mathrm{mA}\).
Probe: \(60.0 + 30.0 + 20.0 = 110\,\mathrm{mA}\), und \(6.0/54.5 = 110\,\mathrm{mA}\) ✓. Auch hier: \(54.5\,\Omega\) ist kleiner als \(100\,\Omega\).
A4.3 VERTIEFUNG Zurück zum Spannungsteiler aus Schritt 3 (\(1000\,\Omega\) und \(500\,\Omega\) an \(12\,\mathrm{V}\), Abgriff \(4.0\,\mathrm{V}\)). Nun wird am Abgriff ein Verbraucher mit \(500\,\Omega\) angeschlossen. Welche Spannung liegt jetzt wirklich an?
Lösung anzeigen
Der Verbraucher liegt parallel zu \(R_2\): \(R_\text{p} = (500 \cdot 500)/1000 = 250\,\Omega\).
Der Teiler besteht jetzt aus \(1000\,\Omega\) und \(250\,\Omega\):
\[ U_2 = 12\,\mathrm{V} \cdot \frac{250}{1250} = 2.40\,\mathrm{V} \]
Statt \(4.0\,\mathrm{V}\) liegen nur noch \(2.4\,\mathrm{V}\) an — die Spannung bricht um \(40\,\%\) ein. Genau das meint die Warnung aus Schritt 3.
Gemischte Schaltungen — von innen nach aussen
Zusammenfassen, bis ein Widerstand übrig ist. Dann rückwärts zu Teilspannungen und Teilströmen.
Neu ist hier nichts. Die beiden Formeln aus Schritt 2 und 4 werden nacheinander angewandt; die einzige Kunst ist die Reihenfolge.
Das Verfahren in drei Schritten
- Innerste Gruppe finden. Welche Widerstände teilen sich beide Anschlusspunkte? Die liegen parallel und werden zuerst zusammengefasst.
- Zusammenfassen und die Schaltung neu zeichnen — mit dem Ersatzwiderstand an Stelle der Gruppe. Wiederholen, bis ein einziger Widerstand übrig ist.
- Rückwärts rechnen. \(I = U/R_\text{ges}\) gibt den Gesamtstrom. Über jeder Gruppe liegt \(U = I \cdot R\); innerhalb einer Parallelgruppe teilt sich der Strom.
Merksatz
Reihengruppen und Parallelgruppen zusammenfassen, wiederholen, bis ein einziger Widerstand übrig ist — dann rückwärts die Teilgrössen bestimmen. Nach jedem Zusammenfassen neu zeichnen.
U = 9.0 V; R₁ = 150 Ω; R₂ = 300 Ω; R₃ = 600 Ω
Beispiel — vollständig gerechnet
\(R_1 = 150\,\Omega\) in Reihe zu \(R_2 = 300\,\Omega\) parallel \(R_3 = 600\,\Omega\), an \(U = 9.0\,\mathrm{V}\).
\[ R_\text{p} = \frac{300 \cdot 600}{900}\,\Omega = 200\,\Omega \qquad R_\text{ges} = 150\,\Omega + 200\,\Omega = 350\,\Omega \]
\[ I = \frac{9.0\,\mathrm{V}}{350\,\Omega} = 25.7\,\mathrm{mA} \]
\[ U_1 = I \cdot R_1 = 3.86\,\mathrm{V} \qquad U_\text{p} = I \cdot R_\text{p} = 5.14\,\mathrm{V} \]
\[ I_2 = \frac{5.14\,\mathrm{V}}{300\,\Omega} = 17.1\,\mathrm{mA} \qquad I_3 = \frac{5.14\,\mathrm{V}}{600\,\Omega} = 8.57\,\mathrm{mA} \]
Zwei Proben. \(3.86 + 5.14 = 9.00\,\mathrm{V}\) ✓ und \(17.1 + 8.57 = 25.7\,\mathrm{mA} = I\) ✓.
A5.1 KERN Nenne nur die Reihenfolge der Zusammenfassung, ohne zu rechnen: \(R_1\) in Reihe zu \(R_2\), das Ganze parallel zu \(R_3\).
Lösung anzeigen
Zuerst \(R_1 + R_2 = R_\text{s}\) — die beiden liegen hintereinander im selben Strompfad. Dann \(R_\text{s}\) parallel zu \(R_3\). Hier ist die Reihenschaltung die innere Gruppe, nicht die Parallelschaltung: Es kommt darauf an, was verbunden ist, nicht auf die Namen.
A5.2 KERN \(R_1 = 100\,\Omega\) in Reihe zu \(R_2 = 150\,\Omega\) parallel \(R_3 = 300\,\Omega\), an \(15\,\mathrm{V}\). Berechne alle Teilgrössen und führe beide Proben durch.
Lösung anzeigen
\(R_\text{p} = (150 \cdot 300)/450 = 100\,\Omega\); \(R_\text{ges} = 200\,\Omega\); \(I = 15/200 = 75.0\,\mathrm{mA}\).
\(U_1 = 7.50\,\mathrm{V}\); \(U_\text{p} = 7.50\,\mathrm{V}\); \(I_2 = 7.50/150 = 50.0\,\mathrm{mA}\); \(I_3 = 7.50/300 = 25.0\,\mathrm{mA}\).
Proben: \(7.50 + 7.50 = 15.0\,\mathrm{V}\) ✓; \(50.0 + 25.0 = 75.0\,\mathrm{mA}\) ✓.
A5.3 VERTIEFUNG Ein vorgelegter Lösungsweg beginnt so: «\(R_1\) und \(R_2\) liegen nebeneinander, also \(R_{12} = 150 + 300 = 450\,\Omega\); dazu \(R_3\) parallel.» Finde den Fehler und sage, woran man ihn erkennt.
Lösung anzeigen
Falsch gruppiert. \(R_2\) und \(R_3\) teilen sich beide Anschlusspunkte, \(R_1\) und \(R_2\) nicht — zwischen ihnen liegt der Verzweigungsknoten.
Erkennbar am Ergebnis: Die falsche Rechnung liefert \(R_\text{ges} = (450 \cdot 600)/1050 = 257\,\Omega\) statt \(350\,\Omega\). Sicherer als das Nachrechnen ist aber die Knotenprobe: Zeichne die Verzweigungspunkte ein und nummeriere sie. Widerstände zwischen denselben zwei Nummern liegen parallel — sonst nicht.
Leistung in der Schaltung
Welche Formel wann gilt — und welche von zwei Lampen in Reihe heller leuchtet.
Aus \(P = U \cdot I\) und \(U = R\,I\) folgen zwei weitere Schreibweisen. Alle drei sind gleichwertig — aber nicht gleich praktisch:
\[ P = U \cdot I \qquad P = R \cdot I^2 \qquad P = \frac{U^2}{R} \]
Welche Formel wann
In Reihe ist der Strom die gemeinsame Grösse. Nimm \(P = R\,I^2\): Bei gleichem Strom setzt der grössere Widerstand mehr Leistung um.
Parallel ist die Spannung die gemeinsame Grösse. Nimm \(P = U^2/R\): Bei gleicher Spannung setzt der kleinere Widerstand mehr Leistung um.
Beispiel — zwei Lampen in Reihe
Eine \(40\text{-W}\)- und eine \(60\text{-W}\)-Lampe, beide für \(230\,\mathrm{V}\), liegen in Reihe an \(230\,\mathrm{V}\).
Schritt 1 — Widerstände aus dem Typenschild. Das Schild gilt bei Nennspannung:
\[ R = \frac{U^2}{P} \qquad R_1 = \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{40\,\mathrm{W}} = 1323\,\Omega \qquad R_2 = \frac{(230\,\mathrm{V})^2}{60\,\mathrm{W}} = 882\,\Omega \]
Schritt 2 — der gemeinsame Strom.
\[ I = \frac{230\,\mathrm{V}}{1323\,\Omega + 882\,\Omega} = \frac{230\,\mathrm{V}}{2205\,\Omega} = 104\,\mathrm{mA} \]
Schritt 3 — die Leistungen.
\[ P_1 = R_1\,I^2 = 14.4\,\mathrm{W} \qquad P_2 = R_2\,I^2 = 9.6\,\mathrm{W} \]
Die 40-W-Lampe leuchtet heller — genau umgekehrt als auf dem Schild. Und zusammen sind es \(24\,\mathrm{W}\) statt \(100\,\mathrm{W}\). Wer das Ergebnis überraschend findet, hat \(P = R\,I^2\) noch nicht verinnerlicht.
Die Modellannahme, die hier steckt
Gerechnet wurde mit dem Heisswiderstand aus den Nennwerten, als fester Widerstand. Glühlampen sind nicht ohmsch. Ein Wolframdraht ist aber ein Kaltleiter: Bei kleinerem Strom bleibt er kühler und wird niederohmiger. Die wirklichen Leistungen liegen darum noch tiefer als \(14.4\) und \(9.6\,\mathrm{W}\). An der Aussage ändert das nichts — der Effekt verstärkt sie sogar.
A6.1 KERN Ein Gerät zieht \(1200\,\mathrm{W}\) an \(230\,\mathrm{V}\). Berechne Strom und Widerstand.
Lösung anzeigen
\(I = P/U = 1200/230 = 5.22\,\mathrm{A}\); \(R = U/I = 230/5.22 = 44.1\,\Omega\) (oder direkt \(R = U^2/P = 44.1\,\Omega\)).
A6.2 KERN Zwei gleiche Widerstände \(220\,\Omega\) liegen an \(12\,\mathrm{V}\), einmal in Reihe, einmal parallel. Berechne die Gesamtleistung beider Schaltungen und erkläre den Faktor.
Lösung anzeigen
In Reihe: \(R_\text{ges} = 440\,\Omega\), \(P = U^2/R = 144/440 = 0.327\,\mathrm{W}\).
Parallel: \(R_\text{ges} = 110\,\Omega\), \(P = 144/110 = 1.31\,\mathrm{W}\).
Der Faktor ist 4. Der Gesamtwiderstand ändert sich von \(440\) auf \(110\,\Omega\), also um den Faktor \(4\) — und bei fester Spannung ist \(P = U^2/R\) umgekehrt proportional zu \(R\).
A6.3 VERTIEFUNG Eine Zuleitung hat \(0.57\,\Omega\). Ein \(3.5\text{-kW}\)-Verbraucher hängt einmal an \(230\,\mathrm{V}\), einmal an \(400\,\mathrm{V}\). Vergleiche die Verlustleistung in der Leitung.
Lösung anzeigen
\(I_{230} = 3500/230 = 15.2\,\mathrm{A}\) und \(P_\text{V} = 0.57 \cdot 15.2^2 = 132\,\mathrm{W}\).
\(I_{400} = 3500/400 = 8.75\,\mathrm{A}\) und \(P_\text{V} = 0.57 \cdot 8.75^2 = 43.6\,\mathrm{W}\).
Ein Drittel. Der Grund: Bei fester Leistung ist \(I \sim 1/U\), und \(P_\text{V} \sim I^2\), also \(P_\text{V} \sim 1/U^2\). Das Verhältnis \((400/230)^2 = 3.0\). Genau darum werden Überlandleitungen mit Hochspannung betrieben.
Kapiteltest zur Selbstkontrolle
25 Minuten, Taschenrechner. Erst alles rechnen, dann auswerten.
Sechs Aufgaben, zusammen \(20\) Punkte. Wer \(14\) Punkte erreicht, beherrscht den Stoff. Die Auswertungstabelle am Schluss sagt, wo nachzuarbeiten ist.
T.1 3 P \(R_1 = 220\,\Omega\) und \(R_2 = 330\,\Omega\) liegen in Reihe an \(24\,\mathrm{V}\). Berechne \(R_\text{ges}\), \(I\) und beide Teilspannungen.
T.2 3 P \(R_1 = 470\,\Omega\) und \(R_2 = 680\,\Omega\) liegen parallel an \(9.0\,\mathrm{V}\). Berechne \(R_\text{ges}\), beide Teilströme und den Gesamtstrom.
T.3 4 P \(R_1 = 100\,\Omega\) in Reihe zu \(R_2 = 150\,\Omega\) parallel \(R_3 = 300\,\Omega\), an \(15\,\mathrm{V}\). Alle Teilgrössen, beide Proben.
T.4 3 P Aus \(9.0\,\mathrm{V}\) sollen mit einem Teiler \(2.5\,\mathrm{V}\) werden. \(R_1 = 1.0\,\mathrm{k\Omega}\). Wie gross ist \(R_2\)?
T.5 3 P Ohne Rechnung, mit Begründung: Ein dritter Widerstand wird zu zwei bereits parallelen hinzugefügt. Was geschieht mit \(R_\text{ges}\) und mit dem Gesamtstrom?
T.6 4 P Zwei Widerstände \(100\,\Omega\) und \(400\,\Omega\) liegen einmal in Reihe, einmal parallel an \(20\,\mathrm{V}\). In welcher Schaltung setzt der \(100\text{-}\Omega\)-Widerstand mehr Leistung um? Rechne beide Fälle.
Lösungen aller sechs Aufgaben anzeigen
T.1 \(R_\text{ges} = 550\,\Omega\); \(I = 24/550 = 43.6\,\mathrm{mA}\); \(U_1 = 9.6\,\mathrm{V}\); \(U_2 = 14.4\,\mathrm{V}\). Probe: \(9.6 + 14.4 = 24.0\,\mathrm{V}\) ✓ (je 1 P für \(R\), \(I\), Teilspannungen)
T.2 \(R_\text{ges} = (470 \cdot 680)/1150 = 278\,\Omega\); \(I_1 = 9.0/470 = 19.1\,\mathrm{mA}\); \(I_2 = 9.0/680 = 13.2\,\mathrm{mA}\); \(I = 32.3\,\mathrm{mA}\). Probe: \(9.0/278 = 32.4\,\mathrm{mA}\) ✓ (je 1 P)
T.3 \(R_\text{p} = 100\,\Omega\); \(R_\text{ges} = 200\,\Omega\); \(I = 75.0\,\mathrm{mA}\); \(U_1 = U_\text{p} = 7.50\,\mathrm{V}\); \(I_2 = 50.0\,\mathrm{mA}\); \(I_3 = 25.0\,\mathrm{mA}\). Proben: \(7.50+7.50 = 15.0\,\mathrm{V}\) ✓, \(50.0+25.0 = 75.0\,\mathrm{mA}\) ✓ (Gruppierung 1 P, \(R_\text{ges}\) und \(I\) 1 P, Teilgrössen 1 P, Proben 1 P)
T.4 \(U_1 = 6.5\,\mathrm{V}\), \(I = 6.5/1000 = 6.5\,\mathrm{mA}\), \(R_2 = 2.5/0.0065 = 385\,\Omega\). (Ansatz 1 P, Strom 1 P, Ergebnis 1 P)
T.5 \(R_\text{ges}\) wird kleiner, der Gesamtstrom grösser. Jeder zusätzliche Zweig ist ein weiterer Weg für den Strom; in der Kehrwertsumme kommt ein positiver Summand dazu, also wächst \(1/R_\text{ges}\) und \(R_\text{ges}\) sinkt. Bei fester Spannung steigt damit \(I = U/R_\text{ges}\). (Richtung 1 P, Begründung über die Kehrwertsumme 1 P, Folge für den Strom 1 P)
T.6 In Reihe: \(I = 20/500 = 40\,\mathrm{mA}\), \(P_{100} = 100 \cdot 0.040^2 = 0.16\,\mathrm{W}\). Parallel: \(P_{100} = 20^2/100 = 4.0\,\mathrm{W}\). Parallel ist es das 25-fache. Grund: In Reihe muss sich der \(100\text{-}\Omega\)-Widerstand die Spannung mit dem grösseren teilen und bekommt nur einen Fünftel davon; parallel liegt die volle Spannung an. (je 1 P für beide Rechnungen, 1 P Vergleich, 1 P Begründung)
Auswertung
| Aufgabe | Schritt | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| T.1 | 2 · Reihenschaltung | 6.2 Reihenschaltung |
| T.2, T.5 | 4 · Parallelschaltung | 6.2 Parallelschaltung |
| T.3 | 5 · Gemischte Schaltungen | 6.2 Gemischte Schaltungen |
| T.4 | 3 · Spannungsteiler | 6.2 Reihenschaltung |
| T.6 | 6 · Leistung | 6.2 Leistung in Reihe und parallel |
Unter \(14\) Punkten: den betroffenen Schritt noch einmal durcharbeiten, danach den Test wiederholen. Die häufigsten Punkteverluste entstehen beim vergessenen Kehrwert (Schritt 4) und bei falscher Gruppierung (Schritt 5).
Wie es weitergeht
Die Themenseite 6.2 Elektrizität vertieft dieses Kapitel mit weiteren Animationen und Aufgaben — dort stehen auch die Themen, die hier bewusst fehlen: das Messen im Stromkreis, der Widerstand eines Leiters sowie Gefahren und Schutzmassnahmen. Wer beim Umstellen der Formeln unsicher war, findet im Leitprogramm Rechnen und Schliessen das nötige Werkzeug.