So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Hier steht kein Stoff aus der Physik, sondern das Werkzeug, mit dem man ihn bearbeitet. Die Schritte 2 bis 5 bauen aufeinander auf: Erst muss klar sein, welcher Zusammenhang vorliegt, dann darf man schliessen, dann umstellen, und erst dann lohnt sich der Rechner.
Dieses Leitprogramm ist ein Kurs. Zum Nachschlagen ist die Themenseite 0.1 Rechnen und Schliessen da; sie enthält zu jedem Schritt weitere Beispiele, Animationen und Mini-Checks. Die Grössen und Einheiten selbst stehen im Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» — die beiden ergänzen sich und lassen sich in beliebiger Reihenfolge durcharbeiten.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine notierte falsche Vermutung lernt sich besser als eine gelesene richtige.
- Clip anschauen, wo einer steht: rund eine Minute, vertont. Er stellt die Frage, die der Text danach beantwortet.
- Simulation selbst bewegen. Wo ein Regler steht, gehört er gezogen. Achte darauf, welche Anzeige mitgeht und welche stehen bleibt — das ist meist der ganze Lerninhalt.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Gesamttest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 25 Minuten, Taschenrechner erlaubt.
Was du am Ende können musst
Erkennen, ob zwei Grössen direkt, indirekt oder gar nicht proportional zusammenhängen; mit dem Dreisatz in beide Richtungen schliessen; eine Formel nach jeder ihrer Grössen auflösen.
Mit Zehnerpotenzen rechnen und sie im Taschenrechner richtig eingeben; Bedingungen einer Formel benennen; Umfang, Fläche und Bogenmass am Kreis bestimmen; und jedes Ergebnis mit Einheit, Grössenordnung und Alltagsvergleich prüfen.
Drei Regeln, die in diesem Lehrmittel überall gelten
Erstens: Das Dezimaltrennzeichen ist der Punkt — 9.81, nicht 9,81.
Zweitens: Zu jedem Zahlenwert gehört eine Einheit. Eine Zahl ohne Einheit ist in der Physik keine Antwort.
Drittens: Erst symbolisch umstellen, dann Zahlen einsetzen. Wer zuerst einsetzt, rechnet dreimal, wo einmal genügt.
Vortest: Was solltest du schon können?
Sechs kurze Aufgaben aus der Sekundarstufe I. Sie zeigen, wo du in diesem Leitprogramm besonders hinschauen musst.
Rechne alle sechs Aufgaben, bevor du eine einzige Lösung aufklappst.
V.1 \(3\,\mathrm{kg}\) Äpfel kosten \(7.50\,\mathrm{CHF}\). Was kosten \(5\,\mathrm{kg}\)?
V.2 Stelle \(v = \dfrac{s}{t}\) nach \(t\) um.
V.3 Schreibe \(0.0034\) als Zehnerpotenz mit einer Ziffer vor dem Komma.
V.4 Ein Kreis hat den Radius \(2.0\,\mathrm{m}\). Wie gross ist sein Umfang?
V.5 Sechs Maschinen brauchen \(8\,\mathrm{h}\). Wie lange brauchen vier Maschinen für dieselbe Arbeit?
V.6 Jemand rechnet: «\(10\,\mathrm{km}\) bei \(12\,\mathrm{km/h}\) macht \(0.83\,\mathrm{min}\).» Was stimmt daran nicht?
Alle Lösungen und die Auswertung anzeigen
V.1 Über den Preis je Kilogramm: \(7.50 / 3 = 2.50\,\mathrm{CHF/kg}\), also \(5 \cdot 2.50 = 12.50\,\mathrm{CHF}\).
V.2 \(t = \dfrac{s}{v}\) — beide Seiten mal \(t\), dann durch \(v\).
V.3 \(0.0034 = 3.4 \cdot 10^{-3}\).
V.4 \(U = 2\pi r = 2\pi \cdot 2.0\,\mathrm{m} = 12.6\,\mathrm{m}\).
V.5 Indirekt proportional: Das Produkt \(6 \cdot 8 = 48\) Maschinenstunden bleibt, also \(48 / 4 = 12\,\mathrm{h}\).
V.6 Die Einheit. \(10 / 12 = 0.83\), aber das ist eine Stunde, nicht eine Minute — \(0.83\,\mathrm{h} = 50\,\mathrm{min}\). Der Alltagsvergleich bestätigt es: Zehn Kilometer laufen niemand in einer Minute.
Auswertung. Fünf oder sechs richtig: Arbeite die Schritte zügig als Auffrischung durch und nimm dir für 6 und 8 Zeit — Bedingungen und Plausibilität sind für die meisten neu. Bei drei oder mehr Fehlern gehst du den ganzen Weg der Reihe nach.
| Fehler bei | Dieser Schritt ist für dich wichtig | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| V.1 | Schritt 3 — der Dreisatz | 0.1 Proportionales Schliessen |
| V.2 | Schritt 4 — Gleichungen umstellen | 0.1 Gleichungen umstellen |
| V.3 | Schritt 5 — Zehnerpotenzen | 0.1 Brüche, Potenzen, Zehnerpotenzen |
| V.4 | Schritt 7 — Kreis und Bogenmass | 0.1 Kreiszahl und Bogenmass |
| V.5 | Schritt 2 — indirekte Proportionalität | 0.1 Proportionalität |
| V.6 | Schritt 8 — Plausibilität | 0.1 Plausibilitätskontrolle |
V.6 ist der wichtigste Fall: Die Rechnung war richtig, das Ergebnis trotzdem falsch. Genau dafür ist Schritt 8 da.
Was hängt wovon ab?
Du unterscheidest Variable, Konstante und Parameter in einer Formel und benennst, was in einem Versuch festgehalten werden muss.
Einstiegsfrage. In \(p = \rho \cdot g \cdot h\) stehen vier Buchstaben. Welche davon ändern sich, wenn du im Schwimmbad tiefer tauchst? Notiere deine Vermutung.
Jede physikalische Formel verbindet Grössen, die sich ändern dürfen, mit solchen, die in der Situation festliegen. Wer die beiden nicht auseinanderhält, sucht Zusammenhänge, wo keine sind.
| Rolle | Bedeutung | im Beispiel \(p = \rho \cdot g \cdot h\) |
|---|---|---|
| Variable | ändert sich im Versuch | die Tiefe \(h\) und damit der Druck \(p\) |
| Konstante | gilt überall gleich | der Ortsfaktor \(g = 9.81\,\mathrm{N/kg}\) |
| Parameter | liegt in dieser Situation fest, in einer anderen nicht | die Dichte \(\rho\) der Flüssigkeit |
Daraus folgt die Regel für jeden fairen Vergleich: Nur eine Grösse aufs Mal verändern. Wer beim Versuch gleichzeitig die Tiefe und die Flüssigkeit wechselt, weiss am Ende nicht, welche der beiden den Druck verändert hat.
Ursache, Wirkung — und der Trugschluss
Dass zwei Grössen zusammen wachsen, heisst noch nicht, dass die eine die andere verursacht. Im Sommer werden mehr Glacen verkauft und mehr Menschen ertrinken; die Ursache beider ist die Hitze, nicht die Glace.
In der Physik prüft man das mit dem Versuch: Man hält alles fest und verändert genau eine Grösse. Bleibt die erwartete Wirkung aus, spricht das gegen die vermutete Ursache.
Merksatz
In jeder Formel gibt es Grössen, die sich ändern, und solche, die festliegen. Welche welche ist, entscheidet die Situation — nicht der Buchstabe. Für einen fairen Vergleich wird genau eine Grösse verändert und alles andere festgehalten.
A1.1 KERN Beantworte die Einstiegsfrage: Welche Grössen in \(p = \rho \cdot g \cdot h\) ändern sich beim Tauchen, welche nicht?
Lösung anzeigen
Es ändern sich die Tiefe \(h\) und, als Folge, der Druck \(p\). Der Ortsfaktor \(g\) bleibt am selben Ort konstant. Die Dichte \(\rho\) bleibt in diesem Versuch fest — sie ist ein Parameter: Im Meerwasser wäre sie grösser, und dann ergäbe sich bei derselben Tiefe ein anderer Druck.
A1.2 KERN Ein Schüler misst den Bremsweg eines Velos. Er fährt einmal auf Asphalt mit \(15\,\mathrm{km/h}\) und einmal auf Kies mit \(25\,\mathrm{km/h}\). Warum taugt der Vergleich nichts?
Lösung anzeigen
Er hat zwei Grössen zugleich verändert: das Tempo und den Untergrund. Ist der zweite Bremsweg länger, lässt sich nicht sagen, ob das am höheren Tempo oder am rutschigen Kies liegt — vermutlich an beidem. Sauber wäre: zuerst beide Tempi auf Asphalt, dann beide auf Kies.
A1.3 VERTIEFUNG In \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) ist \(c\) eine Stoffeigenschaft. Ist \(c\) eine Konstante oder ein Parameter? Begründe.
Lösung anzeigen
Ein Parameter. Für einen bestimmten Stoff liegt \(c\) fest, und man behandelt es in der Rechnung wie eine Konstante — für Wasser \(4182\,\mathrm{J/(kg \cdot K)}\). Sobald man den Stoff wechselt, ändert sich der Wert. Eine echte Konstante wie \(\pi\) tut das nicht. \(g\) ist genau genommen auch keine: Der Ortsfaktor hängt vom Himmelskörper und leicht von Ort und Höhe ab — auf dem Mond sind es \(1.62\,\mathrm{N/kg}\). Streng genommen hängt \(c\) sogar leicht von der Temperatur ab; im Schulgebrauch wird das vernachlässigt — und genau solche Vereinfachungen gehören ausgesprochen.
Direkt, indirekt oder gar nicht proportional
Du prüfst mit Quotient und Produkt, welcher Zusammenhang vorliegt, und erkennst ihn am Diagramm wieder.
Einstiegsfrage. Doppelt so viele Äpfel kosten doppelt so viel. Braucht doppeltes Tempo auch den doppelten Bremsweg? Notiere deine Vermutung.
«Je mehr, desto mehr» sagt nur die Richtung. Wie viel mehr, sagen zwei Tests:
| Zusammenhang | es bleibt konstant | doppeltes \(x\) heisst | Diagramm |
|---|---|---|---|
| direkt proportional | der Quotient \(y/x\) | doppeltes \(y\) | Gerade durch den Nullpunkt |
| indirekt proportional | das Produkt \(y \cdot x\) | halbes \(y\) | Hyperbel |
| quadratisch | der Quotient \(y/x^2\) | vierfaches \(y\) | Parabel |
direkt proportional: der Quotient bleibt, egal wo du den Regler hinziehst
Beispiel — der Test an zwei Wertepaaren
Eine Messreihe liefert \((2\,\mathrm{s};\ 12\,\mathrm{m})\) und \((6\,\mathrm{s};\ 36\,\mathrm{m})\). Welcher Zusammenhang?
Quotienten: \(12/2 = 6\) und \(36/6 = 6\) — gleich. Produkte: \(24\) und \(216\) — verschieden.
Also direkt proportional, mit der Konstanten \(6\,\mathrm{m/s}\). Zwei Wertepaare begründen den Verdacht; ein drittes bestätigt ihn. Und die Konstante hat immer eine Einheit — hier ist sie eine Geschwindigkeit.
Merksatz
Direkt proportional heisst konstanter Quotient, indirekt proportional konstantes Produkt. Wer keines von beidem findet, hat einen anderen Zusammenhang vor sich — und darf weder den Dreisatz noch das Verdoppeln anwenden.
A2.1 KERN Prüfe an den Paaren \((3;\ 8)\) und \((6;\ 4)\), welcher Zusammenhang vorliegt.
Lösung anzeigen
Quotienten: \(8/3 = 2.67\) und \(4/6 = 0.67\) — verschieden. Produkte: \(3 \cdot 8 = 24\) und \(6 \cdot 4 = 24\) — gleich. Also indirekt proportional mit der Konstanten \(24\).
A2.2 KERN Nenne je ein physikalisches Beispiel für direkte und für indirekte Proportionalität und gib an, was jeweils konstant bleibt.
Lösung anzeigen
Direkt: Weg und Zeit bei konstantem Tempo (\(s/t = v\)); Masse und Volumen desselben Stoffs (\(m/V = \rho\)); Wärme und Temperaturänderung (\(Q/\Delta T = m \cdot c\)).
Indirekt: Druck und Volumen eines Gases bei fester Temperatur (\(p \cdot V\) bleibt); Kraft und Weg an der hydraulischen Presse (ihr Produkt ist die Arbeit); Anzahl Arbeitender und benötigte Zeit.
A2.3 VERTIEFUNG Der Bremsweg beträgt bei \(40\,\mathrm{km/h}\) rund \(10\,\mathrm{m}\). Wie gross ist er bei \(120\,\mathrm{km/h}\), wenn er quadratisch mit dem Tempo wächst?
Lösung anzeigen
Das Tempo wird verdreifacht, der Weg also mit \(3^2 = 9\) multipliziert:
\(s = 9 \cdot 10\,\mathrm{m} = 90\,\mathrm{m}\). Wer hier den Dreisatz ansetzt, erhält \(30\,\mathrm{m}\) — und liegt um \(60\,\mathrm{m}\) daneben. Genau deshalb steht der Test vor dem Schliessen.
Der Dreisatz: über die Eins schliessen
Du schliesst mit dem Dreisatz in beide Richtungen und kehrst das Verhältnis um, wenn der Zusammenhang indirekt ist.
Einstiegsfrage. \(2.5\,\mathrm{l}\) Farbe reichen für \(30\,\mathrm{m^2}\). Wie viel brauchst du für \(48\,\mathrm{m^2}\)? Schätze zuerst, bevor du rechnest.
Der Dreisatz ist ein Zweischritt: erst auf eins, dann auf die gesuchte Zahl. Der Zwischenwert trägt immer eine Einheit «je …» und ist der eigentliche Kern der Aufgabe.
Beide Schritte zusammen ergeben eine Verhältnisgleichung:
\[ y_2 = y_1 \cdot \frac{x_2}{x_1} \quad \text{(direkt)} \qquad\qquad y_2 = y_1 \cdot \frac{x_1}{x_2} \quad \text{(indirekt)} \]
y = 2.5 l · 48 m² / 30 m² = 4.0 l
Beispiel — vollständig gerechnet
\(2.5\,\mathrm{l}\) Farbe reichen für \(30\,\mathrm{m^2}\). Wie viel braucht es für \(48\,\mathrm{m^2}\)?
Prüfen. Mehr Fläche braucht mehr Farbe, und zwar im gleichen Verhältnis — direkt proportional.
Auf eins: \(\dfrac{2.5\,\mathrm{l}}{30\,\mathrm{m^2}} = 0.0833\,\mathrm{l/m^2}\).
Auf die Zahl: \(48\,\mathrm{m^2} \cdot 0.0833\,\mathrm{l/m^2} = 4.0\,\mathrm{l}\).
Kontrolle. \(48\,\mathrm{m^2}\) sind etwas mehr als das Anderthalbfache von \(30\,\mathrm{m^2}\); \(4.0\,\mathrm{l}\) sind etwas mehr als das Anderthalbfache von \(2.5\,\mathrm{l}\). Passt.
Merksatz
Erst prüfen, welcher Zusammenhang vorliegt — dann schliessen. Beim Dreisatz führt der Weg über die Eins; der Zwischenwert trägt eine Einheit «je …». Bei indirekter Proportionalität wird der Bruch gestürzt.
A3.1 KERN \(7\,\mathrm{l}\) Farbe reichen für \(45\,\mathrm{m^2}\). Für wie viele Quadratmeter reichen \(12\,\mathrm{l}\)?
Lösung anzeigen
Auf eins: \(45 / 7 = 6.43\,\mathrm{m^2}\) je Liter. Auf die Zahl: \(12 \cdot 6.43 = 77.1\,\mathrm{m^2}\).
Als Verhältnisgleichung in einem Zug: \(45\,\mathrm{m^2} \cdot \dfrac{12}{7} = 77.1\,\mathrm{m^2}\).
A3.2 KERN Sechs Maschinen brauchen \(8\,\mathrm{h}\). Wie lange brauchen vier Maschinen, und wie lange zwölf?
Lösung anzeigen
Indirekt proportional: Das Produkt \(6 \cdot 8 = 48\) Maschinenstunden bleibt.
Vier Maschinen: \(48 / 4 = 12\,\mathrm{h}\). Zwölf Maschinen: \(48 / 12 = 4\,\mathrm{h}\). Wer hier den direkten Dreisatz ansetzt, erhält bei vier Maschinen \(5.3\,\mathrm{h}\) — weniger Maschinen wären dann schneller, was offensichtlich falsch ist.
A3.3 VERTIEFUNG Warum lässt sich «drei Maler streichen eine Wand in vier Stunden, also schaffen es dreissig Maler in vierundzwanzig Minuten» nicht ernsthaft behaupten?
Lösung anzeigen
Gerechnet ist es richtig: \(3 \cdot 4\,\mathrm{h} = 12\) Malerstunden, geteilt durch \(30\) ergibt \(0.4\,\mathrm{h} = 24\,\mathrm{min}\).
Das Modell trägt aber nicht so weit. Die indirekte Proportionalität setzt voraus, dass alle gleich schnell arbeiten, sich nicht behindern und die Arbeit beliebig teilbar ist. Bei dreissig Malern an einer Wand ist keine dieser Annahmen erfüllt. Jede Formel gilt in einem Bereich — das ist genau das Thema von Schritt 6.
Gleichungen umstellen
Du löst eine Formel nach jeder ihrer Grössen auf und prüfst das Ergebnis mit den Einheiten.
Einstiegsfrage. Die Formel gibt den Druck, gesucht ist die Fläche. Musst du dafür eine neue Formel auswendig können? Notiere deine Vermutung.
Eine Gleichung ist eine Waage: Solange beide Seiten dasselbe erfahren, bleibt sie im Gleichgewicht. Weggeschafft wird jede Rechnung mit ihrer Gegenoperation:
| steht da | Gegenoperation | Beispiel |
|---|---|---|
| \(+\,a\) | \(-\,a\) auf beiden Seiten | \(T = \vartheta + 273.15\ \Rightarrow\ \vartheta = T - 273.15\) |
| \(\cdot\,a\) | \(:\,a\) auf beiden Seiten | \(F = m \cdot a\ \Rightarrow\ m = F / a\) |
| \(:\,a\) (im Nenner) | \(\cdot\,a\) auf beiden Seiten | \(p = F/A\ \Rightarrow\ p \cdot A = F\) |
| \(x^2\) | Wurzel ziehen | \(E = \tfrac{1}{2}mv^2\ \Rightarrow\ v = \sqrt{2E/m}\) |
Die Reihenfolge ist immer dieselbe: zuerst weg, was am weitesten aussen steht. Steht die gesuchte Grösse im Nenner, wird als Erstes mit dem Nenner multipliziert.
A = F / p = 500 N / 200 000 Pa = 0.0025 m² = 25.0 cm²
Beispiel — vollständig gerechnet
Ein Stempel drückt mit \(500\,\mathrm{N}\) und erzeugt \(2.0\,\mathrm{bar}\). Wie gross ist seine Fläche?
Umstellen. Zuerst mal \(A\), dann durch \(p\):
\[ p = \frac{F}{A} \quad\Big|\cdot A \qquad p \cdot A = F \quad\Big|: p \qquad A = \frac{F}{p} \]
Einsetzen — und vorher die Einheit anpassen: \(2.0\,\mathrm{bar} = 200\,000\,\mathrm{Pa}\).
\[ A = \frac{500\,\mathrm{N}}{200\,000\,\mathrm{Pa}} = 0.0025\,\mathrm{m^2} = 25\,\mathrm{cm^2} \]
Einheitenprobe. \(\mathrm{N}\) geteilt durch \(\mathrm{N/m^2}\) ergibt \(\mathrm{m^2}\) — die gesuchte Einheit. Wäre etwas anderes herausgekommen, läge der Fehler in der Umformung.
Merksatz
Umstellen heisst, beide Seiten gleich zu behandeln. Zuerst weg, was am weitesten aussen steht; steht die Gesuchte im Nenner, zuerst mit dem Nenner multiplizieren. Symbolisch umstellen, erst zum Schluss Zahlen einsetzen — und die Einheitenprobe machen.
A4.1 KERN Stelle \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) nach \(c\) und nach \(\Delta T\) um.
Lösung anzeigen
\(c = \dfrac{Q}{m \cdot \Delta T}\) und \(\Delta T = \dfrac{Q}{m \cdot c}\). Beide Male wird durch das Produkt der beiden übrigen Faktoren geteilt.
A4.2 KERN Ein Druck von \(2.5\,\mathrm{bar}\) wirkt auf \(30\,\mathrm{cm^2}\). Wie gross ist die Kraft?
Lösung anzeigen
Ansatz. \(F = p \cdot A\); vorher beide Einheiten in SI: \(2.5\,\mathrm{bar} = 250\,000\,\mathrm{Pa}\) und \(30\,\mathrm{cm^2} = 0.0030\,\mathrm{m^2}\).
\[ F = 250\,000\,\mathrm{Pa} \cdot 0.0030\,\mathrm{m^2} = 750\,\mathrm{N} \]
A4.3 VERTIEFUNG Stelle \(E = \tfrac{1}{2} m v^2\) nach \(v\) um und erkläre, warum dabei ein Vorzeichen zu bedenken ist.
Lösung anzeigen
Mal \(2\), durch \(m\), dann die Wurzel: \(v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}\).
Mathematisch hat \(v^2 = 2E/m\) zwei Lösungen, eine positive und eine negative. Physikalisch ist hier der Betrag der Geschwindigkeit gesucht, und der ist nie negativ — die negative Lösung entfällt. Solche Entscheidungen trifft die Physik, nicht die Algebra; genau davon handelt Schritt 6.
Zehnerpotenzen — und die EE-Taste
Du rechnest mit Zehnerpotenzen, liest Vorsilben als Potenzen und gibst beides im Rechner richtig ein.
Einstiegsfrage. Wie tippst du \(3.6 \cdot 10^{6}\) in den Taschenrechner? Notiere deine Tastenfolge, bevor du weiterliest.
Eine Zehnerpotenz sagt, wie oft mit zehn multipliziert wird. Der Exponent zählt die Stellen: positive Exponenten machen die Zahl grösser, negative kleiner. Die Rechenregeln sind kurz:
\[ 10^{a} \cdot 10^{b} = 10^{a+b} \qquad \frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a-b} \qquad (10^{a})^{b} = 10^{a \cdot b} \]
Beim Multiplizieren werden die Exponenten also addiert, nicht multipliziert. Das ist der häufigste Fehler in diesem Schritt.
Im Rechner: 1 EE 6 — nicht «1 × 10 ^ 6», sonst rechnet er mit einer zusätzlichen Zehn weiter
Die EE-Taste — und warum sie sicherer ist
Die Taste EE (auf manchen Rechnern EXP oder ×10ˣ) bedeutet «mal zehn hoch». Sie ersetzt die ganze Wendung, deshalb tippt man nur \(1\ \mathrm{EE}\ 6\) und nicht \(1 \times 10\ \mathrm{EE}\ 6\).
Der zweite Vorteil zeigt sich beim Rechnen: \(3 \cdot 10^{8}\) als \(3\ \mathrm{EE}\ 8\) eingegeben bleibt eine einzige Zahl. Wer stattdessen \(3 \times 10 \wedge 8\) tippt und danach durch etwas teilt, muss selbst auf die Klammern achten — dort passieren die Fehler.
Beispiel — vollständig gerechnet
Berechne \(\dfrac{3.6 \cdot 10^{5}}{1.2 \cdot 10^{-2}}\).
Getrennt rechnen: Vorzahlen durcheinander, Exponenten voneinander abziehen.
\[ \frac{3.6}{1.2} = 3.0 \qquad 10^{5-(-2)} = 10^{7} \qquad\Longrightarrow\qquad 3.0 \cdot 10^{7} \]
Kontrolle. Der Nenner ist kleiner als eins, das Ergebnis muss also grösser sein als der Zähler. \(3 \cdot 10^{7}\) gegen \(3.6 \cdot 10^{5}\) — passt.
Merksatz
Beim Multiplizieren werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert. Jede Vorsilbe ist der Name einer Zehnerpotenz — wer sie so liest, muss kein Komma verschieben. Im Rechner steht dafür eine einzige Taste: EE.
A5.1 KERN Rechne ohne Rechner: \(2 \cdot 10^{4} \cdot 3 \cdot 10^{-6}\) und \(\dfrac{8 \cdot 10^{3}}{2 \cdot 10^{-1}}\).
Lösung anzeigen
\(2 \cdot 3 = 6\) und \(10^{4-6} = 10^{-2}\), also \(6 \cdot 10^{-2} = 0.06\). — \(8/2 = 4\) und \(10^{3-(-1)} = 10^{4}\), also \(4 \cdot 10^{4} = 40\,000\).
A5.2 KERN Schreibe als Zehnerpotenz mit einer Ziffer vor dem Komma: \(0.00047\), \(96\,500\) und \(0.0000012\).
Lösung anzeigen
\(4.7 \cdot 10^{-4}\); \(9.65 \cdot 10^{4}\); \(1.2 \cdot 10^{-6}\). Die Faustregel: Das Komma wandert nach links, der Exponent wird grösser.
A5.3 VERTIEFUNG Jemand tippt für \(4 \cdot 10^{3}\) die Folge \(4 \times 10\ \mathrm{EE}\ 3\) und erhält \(40\,000\). Erkläre den Fehler.
Lösung anzeigen
EE bedeutet bereits «mal zehn hoch». Die Eingabe heisst also \(4 \times 10 \times 10^{3} = 4 \cdot 10^{4} = 40\,000\) — eine Zehnerpotenz zu viel. Richtig ist \(4\ \mathrm{EE}\ 3\). Der Fehler fällt sofort auf, wenn man die Grössenordnung überschlägt (Schritt 8).
«Gilt nur, wenn …» — Bedingungen und Fallunterscheidungen
Du nennst zu einer Formel die Bedingung, unter der sie gilt, und entscheidest bei Fallunterscheidungen, welcher Fall vorliegt.
Einstiegsfrage. \(s = v \cdot t\) — stimmt das immer? Notiere, wann nicht.
Fast jede Formel der Physik trägt eine unsichtbare Fussnote. Sie steht selten auf dem Formelblatt, entscheidet aber, ob die Rechnung überhaupt zur Situation passt.
| Formel | gilt nur, wenn … | sonst |
|---|---|---|
| \(s = v \cdot t\) | die Geschwindigkeit konstant ist | Mittelwert bilden oder abschnittsweise rechnen |
| \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) | der Stoff seinen Zustand behält | beim Schmelzen gilt sie nicht mehr |
| \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) | kein Phasenwechsel stattfindet | latente Wärme dazurechnen |
| \(p \cdot V = \text{konstant}\) | die Temperatur und die Gasmenge gleich bleiben | die allgemeine Gasgleichung nehmen |
Ein zweiter Fall sind Formeln, die je nach Situation verschiedene Zweige haben. Sie erkennt man an einem Vergleich, der vor der Rechnung entschieden werden muss:
Drei typische Fallunterscheidungen
Schwimmen, Schweben, Sinken. Entschieden wird über den Dichtevergleich: \(\rho_\text{Körper} \lt \rho_\text{Flüssigkeit}\) heisst schwimmen, gleich heisst schweben, grösser heisst sinken. Erst danach steht fest, welche Rechnung überhaupt gefragt ist.
Haften oder Gleiten. Solange die angreifende Kraft kleiner ist als die maximale Haftreibungskraft, bewegt sich nichts — und die Reibungskraft ist gleich der angreifenden Kraft, nicht \(\mu \cdot F_N\).
Reicht die Energie? Bei Schmelz- und Siedeaufgaben muss zuerst geprüft werden, ob die zugeführte Wärme bis zum Umwandlungspunkt reicht. Erst dann weiss man, welche Formel den zweiten Abschnitt beschreibt.
Merksatz
Zu jeder Formel gehört die Bedingung, unter der sie gilt. Wer sie nicht mitschreibt, rechnet irgendwann sauber am Sachverhalt vorbei. Und wo eine Fallunterscheidung im Spiel ist, wird zuerst der Fall bestimmt und dann gerechnet.
A6.1 KERN Ein Zug fährt \(20\,\mathrm{km}\) in \(10\,\mathrm{min}\), beschleunigt aber am Anfang aus dem Stand. Darf man \(s = v \cdot t\) mit der Höchstgeschwindigkeit rechnen?
Lösung anzeigen
Nein. \(s = v \cdot t\) setzt konstante Geschwindigkeit voraus. Mit der Höchstgeschwindigkeit käme ein zu grosser Weg heraus. Richtig ist die Durchschnittsgeschwindigkeit: \(\bar v = \dfrac{20\,\mathrm{km}}{10\,\mathrm{min}} = 120\,\mathrm{km/h}\) — sie liegt unter der Spitze und beschreibt den ganzen Abschnitt.
A6.2 KERN Nenne zu \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) die Bedingung und ein Beispiel, in dem sie verletzt ist.
Lösung anzeigen
Die Formel gilt nur, solange kein Phasenwechsel stattfindet. Verletzt ist die Bedingung etwa, wenn Eis von \(-10\,^\circ\mathrm{C}\) zu Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) werden soll: Dort kommen das Schmelzen und damit \(Q = m \cdot L_\text{f}\) dazu, und der Abschnitt davor braucht \(c\) von Eis statt von Wasser.
A6.3 VERTIEFUNG Warum ist «die Formel gilt immer» in der Physik nie eine ehrliche Aussage?
Lösung anzeigen
Weil jede Formel aus einem Modell stammt und jedes Modell die Wirklichkeit vereinfacht: reibungsfrei, ideal, konstant, punktförmig. Solche Annahmen gelten in einem Bereich gut und ausserhalb schlecht — das ideale Gas versagt nahe der Verflüssigung, \(s = v \cdot t\) beim Beschleunigen, die lineare Ausdehnung über grosse Temperatursprünge. Eine Formel ohne Gültigkeitsbereich ist darum keine Physik, sondern nur Algebra.
Kreis, Kreiszahl und Bogenmass
Du berechnest Umfang, Fläche, Bogenlänge und Sektorfläche und rechnest zwischen Grad und Bogenmass um.
Einstiegsfrage. Ein Rad dreht sich um eine Vierteldrehung. Welchen Weg legt ein Punkt am Rand zurück, wenn der Radius \(5\,\mathrm{cm}\) beträgt? Schätze zuerst.
Die Kreiszahl \(\pi \approx 3.1416\) ist das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser — bei jedem Kreis dasselbe. Daraus folgen die beiden Grundformeln:
\[ U = 2\pi r = \pi d \qquad\qquad A = \pi r^2 \]
Für Drehungen ist ein zweites Winkelmass praktischer als Grad. Im Bogenmass misst man den Winkel durch die Bogenlänge, die er auf dem Einheitskreis abschneidet:
\[ \varphi = \frac{b}{r} \qquad\text{in der Einheit}\qquad \mathrm{rad} \]
| Winkel | im Bogenmass | gerundet |
|---|---|---|
| \(90^\circ\) | \(\pi/2\) | \(1.571\,\mathrm{rad}\) |
| \(180^\circ\) | \(\pi\) | \(3.142\,\mathrm{rad}\) |
| \(270^\circ\) | \(3\pi/2\) | \(4.712\,\mathrm{rad}\) |
| \(360^\circ\) | \(2\pi\) | \(6.283\,\mathrm{rad}\) |
Umgerechnet wird mit dem Dreisatz aus Schritt 3: \(360^\circ\) entsprechen \(2\pi\,\mathrm{rad}\), also gilt \(\varphi_\text{rad} = \varphi_\text{Grad} \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}\).
b = r · φ = 5 cm · 1.571 rad = 7.85 cm; im Bogenmass gerechnet, nicht in Grad
Beispiel — vollständig gerechnet
Ein Rad mit \(r = 5.0\,\mathrm{cm}\) dreht sich um eine Vierteldrehung. Welchen Weg legt ein Punkt am Rand zurück?
Winkel umrechnen: \(90^\circ = 90 \cdot \dfrac{\pi}{180} = 1.571\,\mathrm{rad}\).
Bogenlänge: \(b = r \cdot \varphi = 5.0\,\mathrm{cm} \cdot 1.571 = 7.9\,\mathrm{cm}\).
Kontrolle. Der ganze Umfang misst \(2\pi \cdot 5.0\,\mathrm{cm} = 31.4\,\mathrm{cm}\); ein Viertel davon sind \(7.9\,\mathrm{cm}\). Passt.
Merksatz
\(U = 2\pi r\) und \(A = \pi r^2\). Das Bogenmass misst den Winkel als Verhältnis \(b/r\) und ist darum einheitenlos — die Angabe «rad» ist nur ein Merkzettel. Formeln wie \(b = r \cdot \varphi\) gelten ausschliesslich im Bogenmass.
A7.1 KERN Ein Velorad hat den Durchmesser \(0.60\,\mathrm{m}\). Welchen Weg legt das Velo bei einer vollen Radumdrehung zurück?
Lösung anzeigen
Der Weg ist der Umfang: \(U = \pi d = \pi \cdot 0.60\,\mathrm{m} = 1.885\,\mathrm{m}\), also rund \(1.9\,\mathrm{m}\). Für einen Kilometer braucht es demnach etwa \(531\) Umdrehungen.
A7.2 KERN Rechne um: \(60^\circ\) ins Bogenmass und \(2.0\,\mathrm{rad}\) in Grad.
Lösung anzeigen
\(60^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = 1.047\,\mathrm{rad}\). — \(2.0\,\mathrm{rad} \cdot \dfrac{180^\circ}{\pi} = 114.6^\circ\). Der Dreisatz mit \(360^\circ \,\widehat{=}\, 2\pi\) führt in beide Richtungen.
A7.3 VERTIEFUNG Warum trägt das Bogenmass eigentlich keine Einheit, obwohl «rad» dahintersteht?
Lösung anzeigen
Weil es ein Verhältnis zweier Längen ist: \(\varphi = b/r\), also Meter geteilt durch Meter. Die Einheiten kürzen sich weg, es bleibt eine reine Zahl. «rad» wird trotzdem geschrieben, um daran zu erinnern, dass ein Winkel gemeint ist und nicht etwa eine Anzahl — genau wie das Prozentzeichen bei einem Verhältnis. Für die Einheitenprobe (Schritt 8) heisst das: rad verschwindet spurlos, und \(b = r \cdot \varphi\) liefert richtigerweise Meter.
Plausibilität: drei Proben zum Schluss
Du prüfst jedes Ergebnis mit Einheit, Grössenordnung und Alltagsvergleich — und erkennst daran die häufigsten Fehler.
Einstiegsfrage. Der Rechner zeigt \(3\,600\,000\). Woran erkennst du, ob das stimmen kann? Notiere deine Vermutung.
Der Rechner rechnet auch Unsinn fehlerfrei. Drei Proben kosten zusammen eine halbe Minute und finden die allermeisten Fehler:
| Probe | Frage | findet |
|---|---|---|
| Einheitenprobe | Kommt die gesuchte Einheit heraus? | falsche Formel, falsch umgestellt |
| Grössenordnung | Stimmt die Zehnerpotenz im Überschlag? | Tippfehler, EE falsch benutzt |
| Alltagsvergleich | Kenne ich etwas in dieser Grössenordnung? | Vertauschte Grössen, Unsinn |
Nützlich sind ein paar Ankerwerte im Kopf: \(1\,\mathrm{l}\) Wasser wiegt \(1\,\mathrm{kg}\); Schritttempo sind rund \(5\,\mathrm{km/h}\); ein Mensch hat rund \(70\,\mathrm{kg}\); Zimmerluft hat rund \(1\,\mathrm{bar}\); eine Kilowattstunde erwärmt etwa \(10\,\mathrm{l}\) Wasser um \(80\,\mathrm{K}\).
Beispiel — der Fehler, den nur die dritte Probe findet
«Ein Läufer braucht für \(10\,\mathrm{km}\) bei \(12\,\mathrm{km/h}\) genau \(0.83\,\mathrm{min}\).»
Einheitenprobe: \(\mathrm{km}\) geteilt durch \(\mathrm{km/h}\) ergibt \(\mathrm{h}\) — die Zahl \(0.83\) ist also eine Stunde, keine Minute.
Grössenordnung: \(10/12\) liegt knapp unter eins. Passt zur Zahl, aber nicht zur Einheit.
Alltagsvergleich: Zehn Kilometer in einer Minute wäre Überschallgeschwindigkeit. Richtig sind \(0.83\,\mathrm{h} = 50\,\mathrm{min}\), und der Überschlag bestätigt es: \(12\,\mathrm{km/h}\) sind \(5\) Minuten je Kilometer.
Zur Plausibilität gehört auch die Genauigkeit: Ein Ergebnis mit acht Nachkommastellen behauptet eine Präzision, die die Messwerte nicht hergeben. In diesem Lehrmittel wird auf drei signifikante Stellen gerundet — und erst am Schluss, nie zwischendurch. Ausführlich steht das im Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» in Schritt 4.
Merksatz
Einheit, Grössenordnung, Alltagsvergleich — drei Proben, eine halbe Minute. Ein Ergebnis ohne Einheit ist keine Antwort, und ein unplausibles Ergebnis wird nicht dadurch richtig, dass der Rechner es anzeigt.
A8.1 KERN Eine Rechnung liefert für die Geschwindigkeit eines Velos \(60\,\mathrm{m/s}\). Prüfe mit allen drei Proben.
Lösung anzeigen
Einheit: m/s ist eine Geschwindigkeit — formal in Ordnung. Grössenordnung: \(60\,\mathrm{m/s}\) sind \(216\,\mathrm{km/h}\). Alltag: Ein Velo fährt \(15\) bis \(30\,\mathrm{km/h}\), im Rennen bergab vielleicht \(70\). Also ist die Rechnung falsch — vermutlich wurde eine Zeit in Minuten statt in Sekunden eingesetzt oder ein Faktor \(3.6\) verkehrt herum angewendet.
A8.2 KERN Prüfe mit der Einheitenprobe, ob \(v = \sqrt{2 \cdot g \cdot h}\) eine Geschwindigkeit liefern kann.
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Unter der Wurzel steht \(\mathrm{\dfrac{m}{s^2} \cdot m = \dfrac{m^2}{s^2}}\).
Die Wurzel daraus ist \(\mathrm{m/s}\) — eine Geschwindigkeit. Die Formel besteht die Probe. Sie sagt damit nichts über den Faktor \(2\): Einheiten prüfen die Form, nicht die Zahlen.
A8.3 VERTIEFUNG Überschlage im Kopf: Wie viel Wasser lässt sich mit \(1\,\mathrm{kWh}\) von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmen?
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Überschlag. \(1\,\mathrm{kWh} = 3.6\,\mathrm{MJ}\). Für ein Kilogramm und \(80\,\mathrm{K}\) braucht es rund \(4000 \cdot 80 = 320\,000\,\mathrm{J}\), also gut \(0.3\,\mathrm{MJ}\).
\(3.6 / 0.32 \approx 11\), also rund elf Kilogramm oder elf Liter. Genau gerechnet: \(\dfrac{3.6 \cdot 10^{6}\,\mathrm{J}}{4182 \cdot 80} = 10.8\,\mathrm{kg}\). Der Kopfüberschlag lag also richtig — und genau er ist der Ankerwert, den man sich merkt.
Gesamttest zur Selbstkontrolle
Sieben Aufgaben, 20 Punkte, 25 Minuten. Taschenrechner erlaubt, Lösungen nicht.
Schreib den Test unter Prüfungsbedingungen: alle sieben Aufgaben zuerst lösen, dann erst die Lösungen aufklappen.
T.1 Eine Messreihe liefert die Paare \((2;\ 30)\) und \((5;\ 12)\). Welcher Zusammenhang liegt vor, und welchen Wert hat \(y\) bei \(x = 6\)? (3 P)
T.2 \(7\,\mathrm{l}\) Farbe reichen für \(45\,\mathrm{m^2}\). Für wie viele Quadratmeter reichen \(12\,\mathrm{l}\)? (3 P)
T.3 Ein Druck von \(2.5\,\mathrm{bar}\) wirkt auf eine Fläche von \(30\,\mathrm{cm^2}\). Stelle \(p = F/A\) passend um und berechne die Kraft. (3 P)
T.4 Rechne ohne Rechner: \(\dfrac{3.6 \cdot 10^{5}}{1.2 \cdot 10^{-2}}\) und \(2 \cdot 10^{4} \cdot 5 \cdot 10^{-7}\). (3 P)
T.5 Nenne je die Bedingung, unter der \(s = v \cdot t\) und \(p \cdot V = \text{konstant}\) gelten. (2 P)
T.6 Ein Rad mit \(r = 5.0\,\mathrm{cm}\) dreht sich um \(120^\circ\). Berechne den Winkel im Bogenmass und die Bogenlänge. (3 P)
T.7 Ein Schüler rechnet für einen Läufer: \(s = 2.7 \cdot 10^{3}\,\mathrm{m}\), \(t = 45\), also \(v = 60\,\mathrm{m/s}\). Prüfe mit den drei Proben und finde den Fehler. (3 P)
Alle Lösungen und die Auswertung anzeigen
T.1 Quotienten \(30/2 = 15\) und \(12/5 = 2.4\) — verschieden. Produkte \(2 \cdot 30 = 60\) und \(5 \cdot 12 = 60\) — gleich. Also indirekt proportional mit der Konstanten \(60\); bei \(x = 6\) folgt \(y = 60/6 = 10\). (Test 1 P, Zuordnung 1 P, Wert 1 P)
T.2 Direkt proportional. Auf eins: \(45/7 = 6.43\,\mathrm{m^2}\) je Liter; auf zwölf: \(12 \cdot 6.43 = 77.1\,\mathrm{m^2}\). Als Verhältnisgleichung: \(45 \cdot \tfrac{12}{7} = 77.1\,\mathrm{m^2}\). (Zwischenwert 1 P, Rechnung 1 P, Einheit 1 P)
T.3 Umstellen ergibt \(F = p \cdot A\). Einheiten zuerst: \(2.5\,\mathrm{bar} = 250\,000\,\mathrm{Pa}\), \(30\,\mathrm{cm^2} = 0.0030\,\mathrm{m^2}\).
\[ F = 250\,000\,\mathrm{Pa} \cdot 0.0030\,\mathrm{m^2} = 750\,\mathrm{N} \]
(Umstellen 1 P, Einheiten 1 P, Ergebnis 1 P)
T.4 \(\dfrac{3.6}{1.2} = 3.0\) und \(10^{5-(-2)} = 10^{7}\), also \(3.0 \cdot 10^{7}\). — \(2 \cdot 5 = 10\) und \(10^{4-7} = 10^{-3}\), also \(10 \cdot 10^{-3} = 1.0 \cdot 10^{-2}\). (je Aufgabe 1 P, saubere Schreibweise 1 P)
T.5 \(s = v \cdot t\) gilt nur bei konstanter Geschwindigkeit; sonst rechnet man mit dem Mittelwert oder abschnittsweise. \(p \cdot V = \text{konstant}\) gilt nur bei gleichbleibender Temperatur und Gasmenge. (je 1 P)
T.6 \(\varphi = 120^\circ \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} = 2.094\,\mathrm{rad}\); \(b = r \cdot \varphi = 5.0\,\mathrm{cm} \cdot 2.094 = 10.5\,\mathrm{cm}\).
Kontrolle: Ein Drittel des Umfangs \(31.4\,\mathrm{cm}\) sind \(10.5\,\mathrm{cm}\). (Bogenmass 1 P, Bogenlänge 1 P, Kontrolle 1 P)
T.7 Einheit: m/s ist formal eine Geschwindigkeit. Grössenordnung: \(60\,\mathrm{m/s}\) sind \(216\,\mathrm{km/h}\). Alltag: Kein Mensch läuft so schnell — Weltklasse sind rund \(10\,\mathrm{m/s}\) über \(100\,\mathrm{m}\).
Der Fehler steckt in der Zeit: \(45\) waren Minuten, also \(2700\,\mathrm{s}\). Damit ergibt sich \(v = \dfrac{2700\,\mathrm{m}}{2700\,\mathrm{s}} = 1.0\,\mathrm{m/s} = 3.6\,\mathrm{km/h}\) — ein gemütliches Tempo, das zur Situation passt. (Proben 2 P, Fehler gefunden 1 P)
Auswertung. Ab 16 Punkten sitzt das Handwerk. Bei 12 bis 15 Punkten hast du eine gezielte Lücke — arbeite nur den betroffenen Schritt nochmals durch. Unter 12 Punkten lohnt sich der Weg ab Schritt 2 von vorn.
Wo du nachschlägst, wenn etwas nicht stimmte.
| Fehler bei | Das gehört noch einmal angeschaut | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| T.1 | Schritt 2 — der Test mit Quotient und Produkt | 0.1 Proportionalität |
| T.2 | Schritt 3 — der Dreisatz | 0.1 Proportionales Schliessen |
| T.3 | Schritt 4 — umstellen, und die Einheiten zuerst | 0.1 Gleichungen umstellen |
| T.4 | Schritt 5 — Potenzgesetze | 0.1 Brüche, Potenzen, Zehnerpotenzen |
| T.5 | Schritt 6 — Bedingungen | 0.1 Fallunterscheidungen |
| T.6 | Schritt 7 — Kreis und Bogenmass | 0.1 Kreiszahl und Bogenmass |
| T.7 | Schritt 8 — die drei Proben | 0.1 Plausibilitätskontrolle |
Wo Punkte typischerweise verloren gehen: den Dreisatz angesetzt, ohne den Zusammenhang zu prüfen; beim Multiplizieren von Zehnerpotenzen die Exponenten multipliziert statt addiert; Zahlen eingesetzt, bevor umgestellt wurde; Grad statt Bogenmass in \(b = r \cdot \varphi\); und das Ergebnis ohne Einheit hingeschrieben.
Formeln und Regeln auf einen Blick
| Sache | Formel oder Regel | bemerkt |
|---|---|---|
| direkt proportional | \(y / x = k\) | Gerade durch den Nullpunkt |
| indirekt proportional | \(y \cdot x = k\) | Hyperbel |
| quadratisch | \(y / x^2 = k\) | Parabel; doppeltes \(x\) heisst vierfaches \(y\) |
| Dreisatz, direkt | \(y_2 = y_1 \cdot \dfrac{x_2}{x_1}\) | über die Eins |
| Dreisatz, indirekt | \(y_2 = y_1 \cdot \dfrac{x_1}{x_2}\) | Bruch gestürzt |
| Umstellen | dieselbe Rechnung auf beiden Seiten | zuerst weg, was aussen steht |
| Potenzen | \(10^{a} \cdot 10^{b} = 10^{a+b}\) | beim Teilen subtrahieren |
| Kreis | \(U = 2\pi r\); \(A = \pi r^2\) | \(\pi \approx 3.1416\) |
| Bogenmass | \(\varphi = b / r\); \(\varphi_\text{rad} = \varphi_\text{Grad} \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ}\) | \(b = r \cdot \varphi\) nur im Bogenmass |
| Proben | Einheit, Grössenordnung, Alltagsvergleich | kosten zusammen eine halbe Minute |
| Vorsilbe | Zeichen | Zehnerpotenz |
|---|---|---|
| Giga | G | \(10^{9}\) |
| Mega | M | \(10^{6}\) |
| Kilo | k | \(10^{3}\) |
| Hekto | h | \(10^{2}\) |
| Dezi | d | \(10^{-1}\) |
| Zenti | c | \(10^{-2}\) |
| Milli | m | \(10^{-3}\) |
| Mikro | µ | \(10^{-6}\) |
| Nano | n | \(10^{-9}\) |
| Ankerwert | Grösse | wofür |
|---|---|---|
| \(1\,\mathrm{l}\) Wasser | \(1\,\mathrm{kg}\) | Masse aus Volumen schätzen |
| Schritttempo | rund \(5\,\mathrm{km/h}\) | Geschwindigkeiten einordnen |
| Autobahntempo | \(120\,\mathrm{km/h} = 33\,\mathrm{m/s}\) | Faktor 3.6 im Kopf behalten |
| Luftdruck | rund \(1\,\mathrm{bar} = 100\,\mathrm{kPa}\) | Drücke einordnen |
| \(1\,\mathrm{kWh}\) | \(3.6\,\mathrm{MJ}\) | erwärmt rund \(11\,\mathrm{l}\) Wasser um \(80\,\mathrm{K}\) |
| Erdbeschleunigung | \(9.81\,\mathrm{m/s^2}\) | rund \(10\) für den Überschlag |
Wie es weitergeht
Mit diesem Werkzeug lassen sich die Grössen selbst angehen: Das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» behandelt Einheiten, Vorsilben, Masse und Gewichtskraft, Dichte und Druck — und rundet dort auf drei signifikante Stellen, was hier nur gestreift wurde.
Zum Nachschlagen bleibt die Themenseite 0.1 Rechnen und Schliessen mit weiteren Beispielen und Animationen; die Einheiten übt der Einheitentrainer. Danach beginnt die Physik selbst — mit 4.1 Kinematik.