0.4 Einheitentrainer
Umrechnen wird durch Üben sicher, nicht durch Zuschauen. Drei Modi: frei üben, vom Trainer führen lassen oder unter Prüfungsbedingungen antreten.
- Einheiten innerhalb einer Grösse sicher umrechnen: Länge, Fläche, Volumen, Masse, Zeit, Geschwindigkeit, Kraft, Druck, Energie, Leistung, Dichte, Temperatur
- Einheitenvorsätze als Zehnerpotenzen lesen und anwenden (µ, m, c, d, h, k, M)
- erkennen, dass bei Flächen der Längenfaktor quadriert und bei Volumen kubiert wird
- die Sonderfälle beherrschen: Zeit mit min, h und d, \(\text{km/h} \leftrightarrow \text{m/s}\), \(\text{kWh} \leftrightarrow \text{J}\) und \(^\circ\text{C} \leftrightarrow \text{K}\)
- ein Resultat auf die richtige Grössenordnung prüfen, bevor man es hinschreibt
Diese Seite ist zum Nachschlagen gebaut: hineinspringen, einen Abschnitt lesen, weitergehen. Der Trainer übt genau das ein, was das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» in den Schritten 1 bis 3 erklärt. Wer hier viele Fehler macht, arbeitet dort die Erklärung durch und kommt danach zurück.
Diese Seite ist eine reine Übungsseite: kein neuer Stoff, sondern Wiederholung mit beliebig vielen Aufgaben. Wo eine Einheit im Lehrmittel erklärt ist, steht bei jeder Gruppe und gesammelt im Abschnitt Wo die Einheiten erklärt sind.
- Freies Üben — du stellst alles selbst ein: Gruppen, einzelne Einheiten, Anzahl, Dezimalstellen, Zahlengrösse und Einheiten-Abstand. Eine Liste von Aufgaben, sofortige Rückmeldung.
- Lernmodus — Themen anklicken, starten. Der Trainer wählt die Aufgaben selbst, steigert die Schwierigkeit und fragt Fehler später mit anderen Zahlen erneut ab. Bei einer falschen Antwort kommt zuerst ein Hinweis, dann die Umrechnungsbeziehung, dann der Lösungsweg.
- Prüfungsmodus — Themen, Anzahl, Schwierigkeit und wahlweise ein Zeitlimit einstellen. Während der Prüfung gibt es keinerlei Rückmeldung; die Auswertung kommt am Schluss.
In diesem Lehrmittel wird mit Dezimalpunkt geschrieben: \(2.5\), nicht \(2{,}5\). Ein Dezimalkomma wird beim Eintippen ebenfalls akzeptiert — der Trainer rechnet es intern in dieselbe Zahl um und weist dich einmal auf die Schreibweise hin. Auch \(3.6 \cdot 10^{6}\) darfst du eintippen — als 3.6e6 oder als 3.6*10^6. Mit Enter prüfst du, mit einem zweiten Enter geht es weiter.
Der Trainer
❓ Warum meldet der Trainer «Faktor \(10^n\) daneben» getrennt von «falsch»?
Unterscheidet sich deine Antwort von der richtigen Lösung um einen Faktor \(10^n\), erkennt der Trainer dieses Fehlermuster. Mehr nicht: Die konkrete Ursache lässt sich daraus nicht bestimmen. Mögliche Ursachen sind ein falscher Vorsatz, eine falsche Umrechnungsrichtung oder eine nicht berücksichtigte Quadrat- oder Kubikpotenz — welche davon zutrifft, weisst nur du.
Deshalb nennt der Trainer nur, was er misst («dein Ergebnis unterscheidet sich um den Faktor 100»), und sagt dir, wo du nachschauen sollst. Er behauptet nicht, deine Rechenidee sei richtig gewesen.
Wo die Einheiten erklärt sind
Die zugrunde liegenden Grössen und die wichtigsten Umrechnungen werden im Lehrmittel erklärt; weitere Vorsatz- und Praxiseinheiten lassen sich daraus ableiten. Diese Übersicht sammelt die Stellen; die Links führen an genau den Abschnitt.
Umrechnungstabellen
Die Faktoren, mit denen der Trainer rechnet — jede Gruppe bezogen auf ihre Referenzeinheit. Wer die Zehnerpotenzen einmal sauber vor sich sieht, muss sie nicht mehr raten.
Referenz, nicht Basis: Im SI gibt es genau sieben Basiseinheiten (m, kg, s, A, K, mol, cd). Einheiten wie m², m³, N, Pa, J, W und kg/m³ sind daraus abgeleitet. «Referenzeinheit» meint hier diejenige Einheit einer Gruppe, über die der Trainer rechnet.
Als sichere Standardstrategie kannst du zuerst in eine Referenzeinheit umrechnen und danach in die Zieleinheit:
\[ \text{Wert} \cdot \underbrace{f_1}_{\text{Starteinheit}} = \text{Wert in der Referenzeinheit} \qquad\text{dann}\qquad \frac{\text{Wert in der Referenzeinheit}}{f_2} = \text{Wert in der Zieleinheit} \]Beispiel \(2.5\;\text{km} \to \text{cm}\) über die Referenzeinheit Meter: erst \(2.5 \cdot 1000 = 2500\;\text{m}\), dann \(2500 : 0.01 = 250\,000\;\text{cm}\). Zwei kleine Schritte statt eines grossen — und der Faktor 100 000 muss nirgends auswendig gelernt werden.
Wenn du eine direkte Umrechnungsbeziehung sicher kennst, darfst du natürlich auch direkt umrechnen: \(1\;\text{l} = 1\;\text{dm}^3\) oder \(1\;\text{bar} = 10^{5}\;\text{Pa}\) muss niemand über einen Umweg herleiten.
Die häufigsten Fehler
Bei einer einfachen multiplikativen Umrechnung in eine kleinere Einheit wird der Zahlenwert grösser: \(1\;\text{m} = 100\;\text{cm}\). Der Zentimeter ist kleiner, also braucht es mehr davon. Umgekehrt wird der Zahlenwert kleiner: \(250\;\text{cm} = 2.5\;\text{m}\).
Bei zusammengesetzten Einheiten, Flächen, Volumen, Dichte oder Temperatur muss die konkrete Umrechnungsbeziehung beachtet werden — dort genügt der Blick auf «kleiner oder grösser» nicht.
Probe im Kopf: Ist das Resultat plausibel? Ein Mensch ist \(1.8\;\text{m}\) gross, also \(180\;\text{cm}\) und nicht \(0.018\;\text{cm}\).
Bei Flächen wird der Längenfaktor quadriert, bei Volumen kubiert:
\[ 1\;\text{m} = 100\;\text{cm} \quad\Longrightarrow\quad 1\;\text{m}^2 = 100^2\;\text{cm}^2 = 10\,000\;\text{cm}^2 \] \[ 1\;\text{m} = 100\;\text{cm} \quad\Longrightarrow\quad 1\;\text{m}^3 = 100^3\;\text{cm}^3 = 1\,000\,000\;\text{cm}^3 \]Deshalb ist \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{l}\) und nicht \(100\;\text{l}\): ein Liter ist ein Kubikdezimeter, und in einen Kubikmeter passen \(10^3\) davon.
Die Dichte trägt zwei Umrechnungen gleichzeitig — eine im Zähler und eine im Nenner. Beim Volumen entsteht wegen der dritten Potenz der Faktor \(10^{6}\). Zusammen mit der Umrechnung von Gramm in Kilogramm (\(10^{-3}\)) ergibt sich insgesamt der Faktor \(10^{3}\):
\[ 1\;\frac{\text{g}}{\text{cm}^3} = \frac{10^{-3}\;\text{kg}}{10^{-6}\;\text{m}^3} = 10^{3}\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} = 1000\;\frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \]Wer nur an das Gramm denkt, landet bei \(10^{-3}\); wer nur an den Kubikzentimeter denkt, bei \(10^{6}\). Richtig ist der Quotient der beiden.
Vier Fälle laufen nicht im Zehnersystem:
- Zeit mit min, h und d: \(1\;\text{h} = 60\;\text{min} = 3600\;\text{s}\) — Faktor 60, nicht 100. Die Vorsätze der Sekunde folgen dagegen dem Zehnersystem: \(1\;\text{s} = 1000\;\text{ms}\).
- Geschwindigkeit: \(1\;\text{m/s} = 3.6\;\text{km/h}\), weil \(1\;\text{km/h} = \frac{1000\;\text{m}}{3600\;\text{s}}\).
- Energie: \(1\;\text{kWh} = 1000\;\text{W} \cdot 3600\;\text{s} = 3.6 \cdot 10^{6}\;\text{J}\) — die Stunde bringt den Faktor 3600 mit.
- Temperatur: Beim Umrechnen von \(^\circ\text{C}\) nach \(\text{K}\) wird zum Zahlenwert 273.15 addiert: \[ T\,[\text{K}] = \vartheta\,[^\circ\text{C}] + 273.15 \qquad\qquad \vartheta\,[^\circ\text{C}] = T\,[\text{K}] - 273.15 \] Eine Temperaturdifferenz ist dagegen in beiden Skalen gleich gross: \(\Delta T = 10\;\text{K}\) entspricht \(\Delta\vartheta = 10\;^\circ\text{C}\).
Achtung: Das h in \(\text{hPa}\) bedeutet hekto \(= 10^{2}\), es ist also ein Vorsatz. Das Einheitenzeichen \(\text{h}\) allein bedeutet bei der Zeit Stunde.
Damit gilt \(1\;\text{hPa} = 100\;\text{Pa}\) — der Luftdruck von \(1013\;\text{hPa}\) sind also \(101\,300\;\text{Pa}\) oder \(1.013\;\text{bar}\).
✏️ Mini-Check
Wie viele Quadratzentimeter sind \(1\;\text{m}^2\)?
- 100
- 10 000
- 1 000 000
Lösung anzeigen
Das \(\text{h}\) in \(\text{hPa}\) steht für den Vorsatz , das Einheitenzeichen \(\text{h}\) allein für die .
Lösung anzeigen
Rechne \(0.75\;\text{kWh}\) in Joule um.
Lösung anzeigen
Ansatz: \(1\;\text{Wh} = 1\;\text{W} \cdot 3600\;\text{s} = 3600\;\text{J}\), also \(1\;\text{kWh} = 3.6 \cdot 10^{6}\;\text{J}\).
\[ 0.75\;\text{kWh} = 0.75 \cdot 3.6 \cdot 10^{6}\;\text{J} = 2.7 \cdot 10^{6}\;\text{J} = 2700\;\text{kJ} \]Eine Mitschülerin rechnet \(2.5\;\text{km}\) in \(250\;\text{m}\) um. Der Trainer meldet: «Dein Ergebnis unterscheidet sich um den Faktor 10 von der richtigen Lösung.» Welche Ursachen kommen in Frage, und wie prüfst du das Resultat?
Lösungsweg anzeigen
Zusammenfassung
| Grösse | Referenzeinheit | typische Umrechnung | Stolperstelle |
|---|---|---|---|
| Länge | \(\text{m}\) | \(1\;\text{km} = 1000\;\text{m}\), \(1\;\text{m} = 100\;\text{cm}\) | Richtung verwechselt |
| Fläche | \(\text{m}^2\) | \(1\;\text{m}^2 = 10\,000\;\text{cm}^2\), \(1\;\text{ha} = 10\,000\;\text{m}^2\) | Längenfaktor nicht quadriert |
| Volumen | \(\text{m}^3\) | \(1\;\text{m}^3 = 1000\;\text{l}\), \(1\;\text{l} = 1000\;\text{cm}^3\) | Längenfaktor nicht kubiert |
| Masse | \(\text{kg}\) | \(1\;\text{t} = 1000\;\text{kg}\), \(1\;\text{kg} = 1000\;\text{g}\) | Masse mit Gewichtskraft verwechselt |
| Zeit | \(\text{s}\) | \(1\;\text{h} = 3600\;\text{s}\), \(1\;\text{s} = 1000\;\text{ms}\) | min, h und d folgen nicht dem Zehnersystem: \(1\;\text{min} = 60\;\text{s}\), \(1\;\text{h} = 60\;\text{min}\), \(1\;\text{d} = 24\;\text{h}\) |
| Geschwindigkeit | \(\text{m/s}\) | \(1\;\text{m/s} = 3.6\;\text{km/h}\) | mal statt geteilt durch 3.6 |
| Kraft | \(\text{N}\) | \(1\;\text{kN} = 1000\;\text{N}\) | — |
| Druck | \(\text{Pa}\) | \(1\;\text{bar} = 10^{5}\;\text{Pa}\), \(1\;\text{hPa} = 100\;\text{Pa}\) | \(\text{h}\) als Stunde statt als hekto gelesen |
| Energie | \(\text{J}\) | \(1\;\text{kWh} = 3.6 \cdot 10^{6}\;\text{J}\) | Faktor 3600 der Stunde vergessen |
| Leistung | \(\text{W}\) | \(1\;\text{kW} = 1000\;\text{W}\) | Leistung mit Energie verwechselt |
| Dichte | \(\text{kg/m}^3\) | \(1\;\text{g/cm}^3 = 1000\;\text{kg/m}^3\) | nur einen der beiden Faktoren gerechnet |
| Temperatur | \(\text{K}\) | \(T\,[\text{K}] = \vartheta\,[^\circ\text{C}] + 273.15\) | Addition als Faktor gerechnet |
- Eine sichere Standardstrategie ist der Umweg über eine Referenzeinheit: erst hinein, dann heraus. Wer eine direkte Beziehung sicher kennt, darf sie direkt nutzen.
- Bei einer einfachen multiplikativen Umrechnung in eine kleinere Einheit wird der Zahlenwert grösser — bei zusammengesetzten Einheiten, Flächen, Volumen, Dichte und Temperatur zählt die konkrete Beziehung.
- Bei Flächen wird der Längenfaktor quadriert, bei Volumen kubiert.
- Die Dichte trägt zwei Umrechnungen zugleich: \(10^{-3}\) im Zähler und \(10^{-6}\) im Nenner ergeben \(10^{3}\).
- Zeitumrechnungen mit min, h und d sowie \(\text{km/h} \leftrightarrow \text{m/s}\), \(\text{kWh} \leftrightarrow \text{J}\) und \(^\circ\text{C} \leftrightarrow \text{K}\) folgen nicht dem Zehnersystem.
- Ein typisches Fehlermuster ist eine Abweichung um eine Zehnerpotenz — dagegen hilft die Grössenordnungs-Abschätzung.