So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Du bestimmst das Tempo selbst, die Reihenfolge nicht. Die Schritte bauen aufeinander auf: Ohne das ohmsche Gesetz keine Kennlinie, ohne Widerstand keine Leistung, ohne Leistung keine Energie — und die Hochspannungsleitung am Schluss braucht alles davor.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine notierte falsche Vermutung lernt sich besser als eine gelesene richtige.
- Clip anschauen. Die meisten Schritte beginnen mit einem vertonten Erklärclip von rund einer Minute.
- Simulation selbst bewegen. Wo ein Regler steht, gehört er gezogen — an beide Enden. Achte darauf, welche Anzeige mitgeht und welche stehen bleibt.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Gesamttest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 20 Minuten, Taschenrechner.
Was du am Ende können musst
Mit \(U = R\cdot I\) rechnen, an einer Kennlinie erkennen, ob ein Bauteil ohmsch ist, und Ampere- und Voltmeter richtig anschliessen.
Den Widerstand eines Leiters aus Material, Länge und Querschnitt berechnen, die Leistung eines Geräts auf drei Arten bestimmen, Energie und Kosten ausrechnen und begründen, warum Strom mit Hochspannung übertragen wird.
Drei Regeln, die in jedem Schritt gelten
Erstens: Erst der Ansatz, dann die Zahlen. Schreib die Formel symbolisch hin, stelle sie um, und setze erst danach ein — mit Einheiten.
Zweitens: Umrechnen vor dem Rechnen. \(250\;\text{mA} = 0.250\;\text{A}\), \(2.2\;\text{k}\Omega = 2200\;\Omega\), \(1\;\text{kWh} = 3.6\;\text{MJ}\). Die meisten Fehler in diesem Kapitel sind Vorsilbenfehler.
Drittens: \(U\), \(I\) und \(R\) gehören immer zum selben Bauteil — die Spannung über genau diesem Bauteil, der Strom durch genau dieses Bauteil.
Vortest: Was solltest du schon können?
Fünf kurze Aufgaben zu Ladung, Spannung, Stromstärke und den Vorsilben. Sie zeigen, ob die Grundlagen sitzen.
Rechne alle fünf, bevor du eine einzige Lösung aufklappst. Der Clip ist zum Auffrischen da — wer sicher ist, lässt ihn aus.
V.1 Durch eine Lampe fliessen in \(10\;\text{s}\) insgesamt \(3.0\;\text{C}\). Wie gross ist die Stromstärke?
Lösung anzeigen
\(I = \dfrac{Q}{t} = \dfrac{3.0\;\text{C}}{10\;\text{s}} = 0.30\;\text{A}\) — pro Sekunde passieren \(0.30\;\text{C}\) einen Leiterquerschnitt.
V.2 Was bedeutet «An der Lampe liegen \(12\;\text{V}\) an»?
Lösung anzeigen
Jedes Coulomb Ladung, das durch die Lampe fliesst, gibt dort \(12\;\text{J}\) Energie ab: \(U = W/Q\). Die Spannung liegt an — sie ist ein Unterschied zwischen zwei Punkten; fliessen tut die Ladung.
V.3 Rechne um: \(350\;\text{mA}\) in A; \(4.7\;\text{k}\Omega\) in \(\Omega\); \(0.02\;\text{A}\) in mA.
Lösung anzeigen
\(0.350\;\text{A}\); \(4700\;\Omega\); \(20\;\text{mA}\).
V.4 Welche Einheit hat die Ladung, welche die Stromstärke, welche die Spannung? Wie hängen Coulomb und Ampere zusammen?
Lösung anzeigen
Coulomb (C), Ampere (A), Volt (V). \(1\;\text{A} = 1\;\text{C/s}\): Ein Ampere heisst ein Coulomb pro Sekunde.
V.5 Eine Batterie hat die Nennkapazität \(2000\;\text{mAh}\). Welcher Ladungsmenge in Coulomb entspricht das?
Lösung anzeigen
\(Q = I\cdot t = 2.0\;\text{A}\cdot 3600\;\text{s} = 7200\;\text{C}\). Das ist die Ladung, die die Batterie laut Nennkapazität durch den äusseren Stromkreis transportieren kann.
Auswertung
| Aufgabe | worum es geht | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| V.1, V.4, V.5 | Ladung und Stromstärke | 6.2 Grundbegriffe |
| V.2 | Spannung als Energie je Ladung | 6.2 Grundbegriffe |
| V.3 | Vorsilben | 0.2 Vorsilben |
Vier oder mehr richtig? Dann weiter mit Schritt 1. Sonst zuerst die verlinkten Abschnitte durcharbeiten — ohne sichere Vorsilben wird jede Rechnung in diesem Kapitel zur Glückssache.
Das ohmsche Gesetz
Spannung, Stromstärke und Widerstand hängen über eine einzige Gleichung zusammen — solange die Temperatur gleich bleibt.
Legt man an ein Bauteil eine Spannung \(U\), fliesst ein Strom \(I\). Das Verhältnis der beiden heisst Widerstand:
\[ R = \frac{U}{I} \qquad \text{Einheit: } 1\;\Omega = 1\;\frac{\text{V}}{\text{A}} \]
Ein Widerstand von \(100\;\Omega\) heisst: Für jedes Ampere, das hindurchfliessen soll, braucht es \(100\;\text{V}\). Bei vielen metallischen Leitern bleibt dieses Verhältnis gleich, solange die Temperatur gleich bleibt. Dann ist die Spannung proportional zur Stromstärke — mit dem Widerstand als Proportionalitätsfaktor:
\[ U = R \cdot I \]
Doppelte Spannung, doppelter Strom — das Verhältnis bleibt 100 Ω
Merksatz
Bei einem ohmschen Leiter ist bei konstanter Temperatur die Stromstärke proportional zur Spannung. Der Widerstand ist dann konstant: \(U = R\cdot I\), umgestellt \(I = U/R\) und \(R = U/I\).
Beispiel — vollständig gerechnet
An einem Heizdraht liegen \(12\;\text{V}\), es fliessen \(0.40\;\text{A}\). Wie gross ist sein Widerstand, und welcher Strom fliesst bei \(6.0\;\text{V}\)?
\[ R = \frac{U}{I} = \frac{12\;\text{V}}{0.40\;\text{A}} = 30\;\Omega \]
\[ I = \frac{U}{R} = \frac{6.0\;\text{V}}{30\;\Omega} = 0.20\;\text{A} \]
Kontrolle. Halbe Spannung, halber Strom — genau das verlangt die Proportionalität. Vorausgesetzt ist, dass sich der Draht dabei nicht merklich abkühlt; das prüft Schritt 2.
A1.1 KERN An einem Widerstand liegen \(4.5\;\text{V}\), es fliessen \(30\;\text{mA}\). Wie gross ist \(R\)? Welcher Strom fliesst bei \(9.0\;\text{V}\)?
Lösung anzeigen
\[ R = \frac{U}{I} = \frac{4.5\;\text{V}}{0.030\;\text{A}} = 150\;\Omega \]
Bei doppelter Spannung fliesst der doppelte Strom: \(I = 9.0\;\text{V} / 150\;\Omega = 60\;\text{mA}\).
A1.2 KERN Eine Lampe zieht an \(12\;\text{V}\) einen Strom von \(250\;\text{mA}\). Berechne ihren Widerstand im Betrieb.
Lösung anzeigen
\(R = \dfrac{U}{I} = \dfrac{12\;\text{V}}{0.250\;\text{A}} = 48\;\Omega\). Achte auf die Umrechnung \(250\;\text{mA} = 0.250\;\text{A}\) — hier entsteht der häufigste Fehler.
A1.3 VERTIEFUNG Jemand sagt: «Der Widerstand ist gross, weil die Spannung gross ist.» Was ist daran richtig, was falsch?
Lösung anzeigen
Falsch ist die Ursache. Der Widerstand ist eine Eigenschaft des Bauteils — Material, Länge, Querschnitt, Temperatur. Bei einem ohmschen Leiter ändert eine grössere Spannung am Widerstand nichts: Der Strom wächst im selben Verhältnis, \(U/I\) bleibt gleich. Richtig ist nur, dass man \(R\) aus \(U\) und \(I\) berechnen kann.
Kennlinien: ohmsch oder nicht?
An der Kennlinie I(U) siehst du auf einen Blick, ob der Widerstand eines Bauteils konstant ist oder sich mit der Temperatur ändert.
Die Kennlinie eines Bauteils ist die Kurve \(I(U)\): Zu jeder Spannung trägt man den gemessenen Strom ein. An jedem Punkt der Kurve lässt sich der Widerstand \(R = U/I\) ausrechnen — für genau diesen Arbeitspunkt.
Der Glühdraht wird heisser, sein Widerstand wächst
Drei Fälle, drei Formen:
- Ohmscher Widerstand: eine Gerade durch den Ursprung. \(R\) ist überall gleich.
- Glühlampe (ein Kaltleiter, auch PTC genannt): Die Kurve flacht ab. Mit steigendem Strom wird der Draht heisser, sein Widerstand wächst — kalt hat die Lampe nur einen Bruchteil ihres Betriebswiderstands.
- Heissleiter (NTC): Die Kurve wird steiler. Mit steigender Temperatur leitet das Halbleitermaterial besser, der Widerstand sinkt.
Merksatz
Ist die Kennlinie eine Gerade durch den Ursprung, ist das Bauteil ohmsch: \(R\) bleibt konstant. Ist sie gekrümmt, ändert sich \(R\) — meist, weil sich das Bauteil erwärmt. \(R = U/I\) gilt dann nur für den jeweiligen Arbeitspunkt.
A2.1 KERN An einem Bauteil werden gemessen: \(2\;\text{V}\) und \(40\;\text{mA}\); \(4\;\text{V}\) und \(80\;\text{mA}\); \(6\;\text{V}\) und \(120\;\text{mA}\). Ist es ohmsch?
Lösung anzeigen
Für alle drei Punkte ist \(U/I = 50\;\Omega\): \(2/0.040 = 4/0.080 = 6/0.120 = 50\). Das Verhältnis bleibt gleich, die Punkte liegen auf einer Geraden durch den Ursprung — das Bauteil ist ohmsch mit \(R = 50\;\Omega\).
A2.2 KERN Eine Glühlampe zieht bei \(2.0\;\text{V}\) einen Strom von \(0.20\;\text{A}\), bei \(12\;\text{V}\) einen von \(0.50\;\text{A}\). Berechne den Widerstand in beiden Arbeitspunkten und erkläre den Unterschied.
Lösung anzeigen
\(R_1 = 2.0\;\text{V} / 0.20\;\text{A} = 10\;\Omega\); \(R_2 = 12\;\text{V} / 0.50\;\text{A} = 24\;\Omega\).
Bei der höheren Spannung fliesst mehr Strom, der Glühdraht wird heisser, und sein Widerstand steigt. Die Lampe ist nicht ohmsch — sechsfache Spannung bringt nur den zweieinhalbfachen Strom.
A2.3 VERTIEFUNG Glühlampen brennen meist im Moment des Einschaltens durch, selten im Betrieb. Eine \(12\text{-V}\)-Lampe hat kalt ungefähr \(2.0\;\Omega\), im Betrieb \(24\;\Omega\). Schätze den Einschaltstrom ab und erkläre.
Lösung anzeigen
Im ersten Augenblick ist der Draht kalt: \(I = 12\;\text{V} / 2.0\;\Omega = 6.0\;\text{A}\) — zwölfmal so viel wie im Betrieb (\(0.50\;\text{A}\)). Für Sekundenbruchteile fliesst ein sehr grosser Strom, der den Draht an seiner dünnsten Stelle schlagartig erhitzt. Dort reisst er.
Messen im Stromkreis
Das Amperemeter kommt in Serie, das Voltmeter parallel — und du weisst, warum es nicht umgekehrt geht.
Ein Messgerät soll messen, ohne den Kreis zu verändern. Daraus folgt alles Weitere:
- Das Amperemeter misst den Strom, der durch es hindurchfliesst. Also wird die Leitung aufgetrennt und das Gerät in Serie eingefügt. Damit es den Strom kaum bremst, hat es einen sehr kleinen Innenwiderstand.
- Das Voltmeter misst die Spannung zwischen zwei Punkten. Also wird es parallel zum Bauteil angeklemmt. Damit es kaum Strom abzweigt, hat es einen sehr grossen Innenwiderstand.
Der ganze Strom fliesst durch das Gerät; 0.1 Ω stören kaum
Was bei falschem Anschluss geschieht
Amperemeter parallel: Sein kleiner Innenwiderstand überbrückt die Lampe. Aus der Quelle fliessen rund \(20\;\text{A}\), ihre Spannung bricht ein, die Lampe wird fast dunkel — und die Sicherung des Messgeräts brennt durch. Danach ist der Messzweig offen, das Gerät zeigt \(0\;\text{A}\).
Voltmeter in Serie: Sein grosser Innenwiderstand lässt kaum Strom durch — die Lampe bleibt dunkel, das Gerät zeigt fast die volle Quellenspannung. Harmlos, aber nutzlos.
Wie man das Gerät selbst bedient — Buchsen, Messbereich, Drehschalter —, zeigen die beiden Animationen der Themenseite: Multimeter richtig anschliessen und Multimeter bedienen.
Merksatz
Amperemeter in Serie und niederohmig, Voltmeter parallel und hochohmig. Beide Innenwiderstände sind so gewählt, dass das Messgerät den Kreis möglichst wenig verändert.
A3.1 KERN In einem Kreis aus Quelle, Schalter und Heizwiderstand sollen Strom durch und Spannung über dem Widerstand gemessen werden. Beschreibe, wo die beiden Geräte hinkommen.
Lösung anzeigen
Das Amperemeter kommt in Serie: Die Leitung wird an einer Stelle aufgetrennt, das Gerät dazwischengeschaltet — egal ob vor oder nach dem Widerstand, der Strom ist überall gleich. Das Voltmeter wird parallel zum Widerstand an dessen zwei Anschlüsse geklemmt, ohne die Leitung aufzutrennen.
A3.2 KERN Eine Lampe mit \(60\;\Omega\) liegt an \(12\;\text{V}\). Ein Amperemeter mit \(0.10\;\Omega\) wird in Serie geschaltet. Um wie viel Prozent sinkt der Strom (ideale Quelle)?
Lösung anzeigen
\[ I_0 = \frac{U}{R} = \frac{12\;\text{V}}{60\;\Omega} = 200.0\;\text{mA} \]
\[ I = \frac{U}{R + R_\text{A}} = \frac{12\;\text{V}}{60.1\;\Omega} = 199.7\;\text{mA} \]
Der Strom sinkt um rund \(0.17\;\%\) — vernachlässigbar. Genau dafür ist der kleine Innenwiderstand da.
A3.3 VERTIEFUNG Zwei Widerstände von je \(10\;\text{k}\Omega\) liegen in Reihe an \(12\;\text{V}\). Über dem unteren sollten \(6.0\;\text{V}\) liegen. Ein einfaches Voltmeter mit nur \(10\;\text{k}\Omega\) Innenwiderstand zeigt dort aber \(4.0\;\text{V}\). Erkläre und rechne nach.
Lösung anzeigen
Das Voltmeter liegt parallel zum unteren Widerstand. Zusammen haben die beiden nur noch
\[ R_\text{p} = \frac{10\;\text{k}\Omega \cdot 10\;\text{k}\Omega}{10\;\text{k}\Omega + 10\;\text{k}\Omega} = 5.0\;\text{k}\Omega \]
\[ U_\text{p} = U \cdot \frac{R_\text{p}}{R_1 + R_\text{p}} = 12\;\text{V} \cdot \frac{5.0\;\text{k}\Omega}{15\;\text{k}\Omega} = 4.0\;\text{V} \]
Das Messgerät verändert den Kreis, den es messen soll. Ein Voltmeter braucht einen Innenwiderstand, der viel grösser ist als die Widerstände im Kreis — mit \(10\;\text{M}\Omega\) wären es \(5.997\;\text{V}\).
Der Widerstand eines Leiters
Material, Länge und Querschnitt bestimmen den Widerstand eines Drahts — und damit, wie warm ein Kabel wird.
Ein doppelt so langer Draht ist wie zwei Drähte hintereinander: doppelter Widerstand. Ein doppelt so dicker Draht ist wie zwei Drähte nebeneinander: halber Widerstand. Dazu kommt das Material, beschrieben durch den spezifischen Widerstand \(\rho\):
\[ R = \rho \cdot \frac{l}{A} \]
Mit \(l\) in m, \(A\) in mm² und \(\rho\) in \(\Omega\,\text{mm}^2/\text{m}\) kommt \(R\) direkt in Ohm heraus. \(\rho\) ist eine Materialeigenschaft; die Tabellenwerte gelten bei \(20\,^\circ\text{C}\), bei Metallen steigt er mit der Temperatur. Wichtig: \(l\) ist die ganze Leiterlänge. Bei einem zweiadrigen Kabel fliesst der Strom hin und zurück — die Leiterlänge ist doppelt so gross wie die Kabellänge.
R = 0.017 Ω·mm²/m · 50 m / 1.5 mm² = 0.567 Ω
Merksatz
Länger heisst mehr Widerstand, dicker heisst weniger: \(R = \rho\cdot l/A\). \(l\) ist die gesamte Leiterlänge — bei einem zweiadrigen Kabel doppelt so gross wie die Kabellänge.
| Material | \(\rho\) in \(\Omega\,\text{mm}^2/\text{m}\) bei \(20\,^\circ\text{C}\) |
|---|---|
| Silber | 0.016 |
| Kupfer | 0.017 |
| Aluminium | 0.028 |
| Eisen | 0.10 |
| Konstantan | 0.49 |
Beispiel — vollständig gerechnet
Eine Kabelrolle hat \(25\;\text{m}\) Kupferkabel mit \(1.5\;\text{mm}^2\) Querschnitt je Ader. Ein Heizlüfter zieht \(10\;\text{A}\). Wie gross sind Widerstand und Verlustleistung im Kabel?
Ansatz. Leiterlänge \(l = 2 \cdot 25\;\text{m} = 50\;\text{m}\) (hin und zurück), dann:
\[ R = \rho\cdot\frac{l}{A} = 0.017\;\frac{\Omega\,\text{mm}^2}{\text{m}}\cdot\frac{50\;\text{m}}{1.5\;\text{mm}^2} = 0.567\;\Omega \]
\[ P_\text{V} = R\cdot I^2 = 0.567\;\Omega\cdot(10\;\text{A})^2 = 57\;\text{W} \]
Knapp \(60\;\text{W}\) Wärme, verteilt über das Kabel — ausgerollt harmlos. Aufgerollt kann die Wärme nicht weg, die Rolle wird heiss. Darum steht auf jeder Kabelrolle eine kleinere Höchstleistung für den aufgerollten Zustand.
A4.1 KERN Ein zweiadriges Kupferkabel ist \(40\;\text{m}\) lang, jede Ader hat \(2.5\;\text{mm}^2\). Berechne den Widerstand beider Leiter zusammen.
Lösung anzeigen
Leiterlänge \(l = 80\;\text{m}\). \[ R = \rho\cdot\frac{l}{A} = 0.017\;\frac{\Omega\,\text{mm}^2}{\text{m}}\cdot\frac{80\;\text{m}}{2.5\;\text{mm}^2} = 0.544\;\Omega \]
A4.2 KERN Ohne Rechnung: Wie ändert sich der Widerstand eines Drahts, wenn man (a) die Länge verdoppelt, (b) den Querschnitt halbiert, (c) beides zugleich tut?
Lösung anzeigen
(a) doppelt so gross; (b) doppelt so gross; (c) viermal so gross. \(R\) ist proportional zu \(l\) und umgekehrt proportional zu \(A\).
A4.3 KERN Dieselbe Kabelrolle wie im Beispiel, aber mit \(0.75\;\text{mm}^2\) je Ader. Wie gross ist jetzt die Verlustleistung bei \(10\;\text{A}\)?
Lösung anzeigen
\[ R = 0.017\;\frac{\Omega\,\text{mm}^2}{\text{m}}\cdot\frac{50\;\text{m}}{0.75\;\text{mm}^2} = 1.13\;\Omega \]
\(P_\text{V} = 1.13\;\Omega\cdot(10\;\text{A})^2 = 113\;\text{W}\) — doppelt so viel wie mit \(1.5\;\text{mm}^2\). Das dünne Kabel wird deutlich wärmer.
A4.4 VERTIEFUNG Ein Heizdraht aus Konstantan (\(\rho = 0.49\;\Omega\,\text{mm}^2/\text{m}\)) mit \(0.10\;\text{mm}^2\) Querschnitt soll \(50\;\Omega\) haben. Wie lang muss er sein? Warum nimmt man für Heizdrähte kein Kupfer?
Lösung anzeigen
\[ l = \frac{R\cdot A}{\rho} = \frac{50\;\Omega\cdot 0.10\;\text{mm}^2}{0.49\;\Omega\,\text{mm}^2/\text{m}} = 10.2\;\text{m} \]
Mit Kupfer bräuchte es fast dreissigmal so viel Draht (\(0.49/0.017 \approx 29\)). Ausserdem bleibt der Widerstand von Konstantan über einen weiten Temperaturbereich nahezu konstant — daher der Name.
Elektrische Leistung
Was «2200 W» auf dem Typenschild bedeutet und wie man die Leistung auf drei Arten berechnet.
Die Spannung sagt, wie viel Energie jedes Coulomb abgibt, die Stromstärke, wie viele Coulomb pro Sekunde fliessen. Das Produkt ist die Energie pro Sekunde — die Leistung:
\[ P = U \cdot I \qquad \text{Einheit: } 1\;\text{W} = 1\;\text{V}\cdot\text{A} = 1\;\text{J/s} \]
Für einen Widerstand lässt sich mit \(U = R\cdot I\) entweder \(U\) oder \(I\) ersetzen:
\[ P = R \cdot I^2 \qquad \text{und} \qquad P = \frac{U^2}{R} \]
Welche Form man nimmt, hängt davon ab, was man kennt. Beim Wasserkocher kennt man \(U\) und \(P\) — also \(I = P/U\) und \(R = U^2/P\). Am Haushaltsnetz gilt das mit den Effektivwerten für Geräte, die wie ein Widerstand wirken: Heizung, Wasserkocher, Glühlampe. Bei Motoren und Netzteilen kommt ein Leistungsfaktor dazu; der wird hier nicht vertieft.
P = U² / R = (230 V)² / 24 Ω = 2204 W
Merksatz
Leistung ist Spannung mal Stromstärke: \(P = U\cdot I\). Für einen Widerstand folgt mit dem ohmschen Gesetz auch \(P = R\cdot I^2 = U^2/R\).
Beispiel — vollständig gerechnet
Wasserkocher «230 V, 2200 W». Wie gross sind Strom und Widerstand im Betrieb?
\[ I = \frac{P}{U} = \frac{2200\;\text{W}}{230\;\text{V}} = 9.57\;\text{A} \]
\[ R = \frac{U^2}{P} = \frac{(230\;\text{V})^2}{2200\;\text{W}} = 24.0\;\Omega \]
Kontrolle. \(U/I = 230\;\text{V} / 9.57\;\text{A} = 24.0\;\Omega\) ✓
A5.1 KERN Eine LED-Lampe für \(12\;\text{V}\) hat \(5.0\;\text{W}\). Welcher Strom fliesst?
Lösung anzeigen
\(I = \dfrac{P}{U} = \dfrac{5.0\;\text{W}}{12\;\text{V}} = 0.42\;\text{A}\).
A5.2 KERN Der Wasserkocher aus dem Beispiel (\(24.0\;\Omega\)) wird an \(115\;\text{V}\) betrieben. Welche Leistung setzt er um? Vermute zuerst, dann rechne.
Lösung anzeigen
\[ P = \frac{U^2}{R} = \frac{(115\;\text{V})^2}{24.0\;\Omega} = 551\;\text{W} \]
Nicht die Hälfte, sondern ein Viertel von \(2200\;\text{W}\): Bei halber Spannung fliesst auch nur der halbe Strom, und \(P = U\cdot I\) halbiert sich zweimal.
A5.3 VERTIEFUNG Zwei Heizplatten für \(230\;\text{V}\) haben \(1000\;\text{W}\) und \(2000\;\text{W}\). Welche hat den grösseren Widerstand? Begründe ohne Rechnung, dann prüfe.
Lösung anzeigen
Die \(1000\text{-W}\)-Platte. Bei gleicher Spannung gilt \(P = U^2/R\): Kleinere Leistung heisst grösserer Widerstand. Rechnung: \(R = (230\;\text{V})^2 / 1000\;\text{W} = 52.9\;\Omega\) gegen \(26.5\;\Omega\).
Energie, Kosten und Wirkungsgrad
Energie ist Leistung mal Zeit — und die Stromrechnung zählt Kilowattstunden.
Die Ladung fliesst durch das Gerät hindurch und zur Quelle zurück — «verbraucht» wird nicht der Strom, sondern die Energie, die die Ladung abgibt. Bei konstanter Leistung gilt:
\[ E = P \cdot t \]
Ändert sich die Leistung, ist die Energie die Fläche unter der Kurve \(P(t)\). In Joule ist \(E\) für Haushaltsgeräte unhandlich gross, darum rechnet das Elektrizitätswerk in Kilowattstunden:
\[ 1\;\text{kWh} = 1000\;\text{W} \cdot 3600\;\text{s} = 3.6\;\text{MJ} \]
Kein Gerät gibt die ganze Energie als Nutzen ab. Der Wirkungsgrad \(\eta = E_\text{nutz}/E_\text{zu}\) ist immer kleiner als 1; beim Wasserkocher geht ein Teil der Wärme an Gehäuse und Luft.
t = E / P = 372 kJ / 2200 W = 169 s
Merksatz
Bei konstanter Leistung ist Energie Leistung mal Zeit: \(E = P\cdot t\). \(1\;\text{kWh} = 3.6\;\text{MJ}\). Der Wirkungsgrad sagt, welcher Anteil davon genutzt wird.
Auflösung der Einstiegsfrage
\[ E = P\cdot t = 2.2\;\text{kW}\cdot 1\;\text{h} = 2.2\;\text{kWh} \]
Bei \(0.25\;\text{CHF/kWh}\) kostet das \(2.2\;\text{kWh}\cdot 0.25\;\text{CHF/kWh} = 0.55\;\text{CHF}\) — rund 50 Rappen. Ein einzelnes Mal Wasserkochen dauert aber nur wenige Minuten und kostet ein paar Rappen.
A6.1 KERN Eine LED-Lampe mit \(9\;\text{W}\) brennt an \(365\) Tagen je \(5\;\text{h}\). Wie viel Energie ist das im Jahr, und was kostet sie bei \(0.25\;\text{CHF/kWh}\)?
Lösung anzeigen
\[ E = P\cdot t = 0.009\;\text{kW}\cdot 1825\;\text{h} = 16.4\;\text{kWh} \]
Kosten \(16.4\;\text{kWh}\cdot 0.25\;\text{CHF/kWh} = 4.10\;\text{CHF}\) pro Jahr.
A6.2 KERN Rechne \(0.50\;\text{kWh}\) in Megajoule und \(90\;\text{MJ}\) in Kilowattstunden um.
Lösung anzeigen
\(0.50\;\text{kWh} = 0.50\cdot 3.6\;\text{MJ} = 1.8\;\text{MJ}\); \(90\;\text{MJ} = 90/3.6\;\text{kWh} = 25\;\text{kWh}\).
A6.3 VERTIEFUNG Ein Wasserkocher mit \(2000\;\text{W}\) bringt \(1.5\;\text{l}\) Wasser in \(5.0\;\text{min}\) von \(20\,^\circ\text{C}\) auf \(100\,^\circ\text{C}\). Wie gross ist sein Wirkungsgrad? (\(c_\text{Wasser} = 4182\;\text{J/(kg}\cdot\text{K)}\))
Lösung anzeigen
\[ E_\text{nutz} = m\cdot c\cdot\Delta T = 1.5\;\text{kg}\cdot 4182\;\text{J/(kg}\cdot\text{K)}\cdot 80\;\text{K} = 502\;\text{kJ} \]
\[ E_\text{zu} = P\cdot t = 2000\;\text{W}\cdot 300\;\text{s} = 600\;\text{kJ} \]
\(\eta = 502\;\text{kJ} / 600\;\text{kJ} = 0.84\) — rund ein Sechstel der Energie wärmt Gehäuse und Luft.
Verlustleistung: warum Hochspannung
Wer Leistung über lange Leitungen schickt, verliert einen Teil davon als Wärme — und hohe Spannung macht diesen Teil klein.
Jede Leitung hat einen Widerstand \(R\). Fliesst der Strom \(I\) hindurch, wird in ihr die Leistung \(P_\text{V} = R\cdot I^2\) zu Wärme — sie kommt beim Verbraucher nie an. Soll die Leistung \(P = U\cdot I\) übertragen werden, kann man das mit grosser Spannung und kleinem Strom tun oder umgekehrt. Der Verlust hängt am Quadrat des Stroms:
\[ P_\text{V} = R\cdot I^2 = R\cdot\left(\frac{P}{U}\right)^2 \]
Zehnfache Spannung heisst ein Zehntel des Stroms — und ein Hundertstel des Verlusts.
Übertragen werden 10 MW über eine Leitung mit 2 Ω
Merksatz
Bei gleicher übertragener Leistung heisst hohe Spannung kleiner Strom. Die Verlustleistung in der Leitung, \(P_\text{V} = R\cdot I^2\), sinkt mit dem Quadrat des Stroms.
A7.1 KERN Eine Werkstatt braucht \(4.6\;\text{kW}\). Die Zuleitung hat \(0.60\;\Omega\). Berechne Strom und Verlustleistung in der Leitung bei \(230\;\text{V}\) und bei \(400\;\text{V}\).
Lösung anzeigen
230 V: \(I = 4600\;\text{W}/230\;\text{V} = 20\;\text{A}\); \(P_\text{V} = 0.60\;\Omega\cdot(20\;\text{A})^2 = 240\;\text{W}\) — gut \(5\;\%\) der Leistung.
400 V: \(I = 11.5\;\text{A}\); \(P_\text{V} = 0.60\;\Omega\cdot(11.5\;\text{A})^2 = 79\;\text{W}\) — rund ein Drittel davon. Das Verhältnis \((400/230)^2 = 3.0\) ist das Quadrat des Spannungsverhältnisses.
A7.2 KERN Ohne Rechnung: Die Übertragungsspannung wird verdreifacht, die Leistung bleibt gleich. Was geschieht mit Strom und Verlustleistung?
Lösung anzeigen
Der Strom fällt auf einen Drittel (\(I = P/U\)), die Verlustleistung auf einen Neuntel (\(P_\text{V} \sim I^2\)).
A7.3 VERTIEFUNG In der Werkstatt aus A7.1 fällt bei \(230\;\text{V}\) über der Zuleitung eine Spannung ab. Wie gross ist sie, und was merkt man davon am Gerät?
Lösung anzeigen
\(U_\text{V} = R\cdot I = 0.60\;\Omega\cdot 20\;\text{A} = 12\;\text{V}\). Am Gerät kommen nur noch rund \(218\;\text{V}\) an. Schaltet eine grosse Maschine ein, sinkt die Spannung kurz — Lampen am selben Kreis flackern.
Gesamttest zur Selbstkontrolle
20 Minuten, Taschenrechner. Erst alles rechnen, dann auswerten.
Sechs Aufgaben, zusammen \(16\) Punkte. Wer \(11\) Punkte erreicht, beherrscht den Stoff. Die Auswertungstabelle am Schluss sagt, wo nachzuarbeiten ist.
T.1 2 P Ein Heizelement hat \(46\;\Omega\) und liegt an \(230\;\text{V}\). Welcher Strom fliesst? Welcher bei \(115\;\text{V}\), wenn der Widerstand gleich bleibt?
T.2 2 P Gemessen an einem Bauteil: \(1\;\text{V}\) und \(100\;\text{mA}\); \(2\;\text{V}\) und \(160\;\text{mA}\); \(4\;\text{V}\) und \(240\;\text{mA}\); \(8\;\text{V}\) und \(350\;\text{mA}\). Ist es ohmsch? Um welche Art Bauteil könnte es sich handeln?
T.3 3 P Jemand will Strom und Spannung einer Lampe messen und klemmt das Amperemeter parallel zur Lampe, das Voltmeter in die Zuleitung. Was zeigen die Geräte, und was passiert? Wie wäre es richtig?
T.4 3 P Ein zweiadriges Kupferkabel (\(\rho = 0.017\;\Omega\,\text{mm}^2/\text{m}\)) ist \(30\;\text{m}\) lang, jede Ader \(2.5\;\text{mm}^2\). Berechne den Widerstand beider Leiter und den Spannungsabfall bei \(16\;\text{A}\).
T.5 3 P Ein Wasserkocher mit \(2000\;\text{W}\) läuft an \(365\) Tagen je \(4\;\text{min}\). Wie viel Energie ist das im Jahr in kWh und in MJ, und was kostet sie bei \(0.25\;\text{CHF/kWh}\)?
T.6 3 P \(20\;\text{kW}\) werden über eine Leitung mit \(0.50\;\Omega\) übertragen, einmal mit \(400\;\text{V}\), einmal mit \(4000\;\text{V}\). Berechne die Verlustleistung in beiden Fällen und erkläre das Verhältnis.
Lösungen aller sechs Aufgaben anzeigen
T.1 \(I = 230\;\text{V}/46\;\Omega = 5.0\;\text{A}\); bei halber Spannung \(2.5\;\text{A}\). (je 1 P)
T.2 \(U/I\) = \(10\), \(12.5\), \(16.7\), \(22.9\;\Omega\) — der Widerstand wächst mit der Spannung, das Bauteil ist nicht ohmsch. Es verhält sich wie eine Glühlampe (Kaltleiter): Der Draht wird heisser, sein Widerstand grösser. (Rechnung 1 P, Schluss 1 P)
T.3 Das Amperemeter parallel überbrückt die Lampe mit seinem kleinen Innenwiderstand: Kurzschluss über das Gerät, sehr grosser Strom, seine Sicherung brennt durch. Das Voltmeter in der Zuleitung lässt wegen seines grossen Innenwiderstands kaum Strom durch — die Lampe bleibt dunkel, es zeigt fast die Quellenspannung. Richtig: Amperemeter in Serie, Voltmeter parallel zur Lampe. (je 1 P)
T.4 Leiterlänge \(60\;\text{m}\); \(R = 0.017\cdot 60/2.5 = 0.408\;\Omega\); \(U_\text{V} = 0.408\;\Omega\cdot 16\;\text{A} = 6.5\;\text{V}\). (Leiterlänge 1 P, R 1 P, Spannungsabfall 1 P)
T.5 \(t = 365\cdot 4\;\text{min} = 24.3\;\text{h}\); \(E = 2.0\;\text{kW}\cdot 24.3\;\text{h} = 48.7\;\text{kWh} = 175\;\text{MJ}\); Kosten \(12.17\;\text{CHF}\). (je 1 P)
T.6 \(400\;\text{V}\): \(I = 50\;\text{A}\), \(P_\text{V} = 0.50\cdot 50^2 = 1250\;\text{W}\). \(4000\;\text{V}\): \(I = 5.0\;\text{A}\), \(P_\text{V} = 12.5\;\text{W}\). Zehnfache Spannung, ein Zehntel des Stroms, ein Hundertstel des Verlusts. (je 1 P für beide Fälle, 1 P Begründung)
Auswertung
| Aufgabe | Schritt | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| T.1 | 1 · Ohmsches Gesetz | 6.2 Das Ohmsche Gesetz |
| T.2 | 2 · Kennlinien | 6.2 Grundbegriffe |
| T.3 | 3 · Messen | 6.2 Messen im Stromkreis |
| T.4 | 4 · Widerstand eines Leiters | 6.2 Der Widerstand eines Leiters |
| T.5 | 6 · Energie und Kosten | 6.2 Leistung und Energie |
| T.6 | 7 · Verlustleistung | 6.2 Der Widerstand eines Leiters |
Unter \(11\) Punkten: den betroffenen Schritt noch einmal durcharbeiten, danach den Test wiederholen. Die häufigsten Punkteverluste entstehen bei der vergessenen doppelten Leiterlänge (Schritt 4) und bei Vorsilben (mA, kW, kWh).
Formeln und Werte auf einen Blick
| Grösse | Formel | bemerkt |
|---|---|---|
| Stromstärke | \(I = \dfrac{Q}{t}\) | \(1\;\text{A} = 1\;\text{C/s}\); konstanter Strom |
| Ohmsches Gesetz | \(U = R\cdot I\) | ohmsch: \(R\) konstant bei konstanter Temperatur |
| Widerstand | \(R = \dfrac{U}{I}\) | für jeden Arbeitspunkt |
| Widerstand eines Leiters | \(R = \rho\cdot\dfrac{l}{A}\) | \(l\) = Leiterlänge |
| Leistung | \(P = U\cdot I = R\cdot I^2 = \dfrac{U^2}{R}\) | \(1\;\text{W} = 1\;\text{J/s}\) |
| Energie | \(E = P\cdot t\) | konstante Leistung |
| Kilowattstunde | \(1\;\text{kWh} = 3.6\;\text{MJ}\) | |
| Wirkungsgrad | \(\eta = \dfrac{E_\text{nutz}}{E_\text{zu}} \lt 1\) | reine Zahl |
| Verlustleistung | \(P_\text{V} = R\cdot I^2\) | Leitung, bei gleicher Leistung \(\sim 1/U^2\) |
Wie es weitergeht
Das Leitprogramm Schaltungen berechnen baut direkt darauf auf: Reihen-, Parallel- und gemischte Schaltungen, Spannungsteiler und die Leistung einzelner Bauteile. Die Themenseite 6.2 Elektrizität vertieft dieses Kapitel mit weiteren Animationen und Aufgaben — dort stehen auch die Gefahren des elektrischen Stroms und die Schutzmassnahmen. Wer beim Umstellen der Formeln unsicher war, findet im Leitprogramm Rechnen und Schliessen das nötige Werkzeug.