Physik begreifbar · Leitprogramm

Wärmeausdehnung und Gase

Länge und Volumen fester Körper und Flüssigkeiten, Wasser und der Meeresspiegel, das ideale Gas und seine drei Spezialfälle — mit laufenden Simulationen. Fünf Kapitel zu je einer Lektion, dazu Vorwissen und Gesamttest.

Lerngebiet 5 · Teilgebiet 5.3

So arbeitest du
  1. ① Clip anschauen.
  2. ② Tüfteln: Die Simulationen laufen auf Knopfdruck. Aufgaben in der Animation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
  3. ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
  4. ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen. Zahlen ohne Einheit, mit Punkt oder Komma; Brüche wie 1/2 und Zehnerpotenzen wie 2.4e-3 gehen auch. Richtig ist, was auf drei signifikante Stellen stimmt.
  5. ⑤ Aufgaben auf Papier, dann Lösung aufklappen und abhaken.

Kompetenzen nach Lehrplan

RLP-BM 2030, Lerngebiet 5, Teilgebiet 5.3 Wärmeausdehnung

  • K1 den Effekt der Wärmeausdehnung (linear und volumenbezogen) in Abhängigkeit von der Temperatur quantifizieren (z. B. den Meeresspiegelanstieg aufgrund der Wassererwärmung berechnen)
  • K2 das Modell der idealen Gase anwenden, um Druck-, Temperatur- und Volumenänderungen von Gasen zu berechnen, bei gleichbleibender Teilchenmenge

Kapitel 1 bis 3 gehören zu K1, Kapitel 4 und 5 zu K2. Die Themenseite 5.3 Wärmeausdehnung ist das Nachschlagewerk; dieses Leitprogramm ist der Kurs.

VorbereitungVorwissen
Kapitel 0Vorwissen · 0.1 · 0.2 · 5.1≈ 10 min

Vorwissen

Zehnerpotenzen, Volumen- und Längeneinheiten, Celsius und Kelvin, Gleichungen umstellen. Wenn das wackelt: Leitprogramm Rechnen und Schliessen und Themenseite 5.1, Umrechnen und Temperaturdifferenz.

Vortest · 10 P

  1. 0a(3 P)Rechne mit dem Taschenrechner und gib das Ergebnis ohne Zehnerpotenz an: \(12 \cdot 10^{-6} \cdot 40 \cdot 25\) und \(2.1 \cdot 10^{-4} \cdot 3500 \cdot 0.8\). Schreibe \(0.00024\) als Zehnerpotenz.
    Lösung

    \(12 \cdot 10^{-6} \cdot 40 \cdot 25 = 0.012\); \(2.1 \cdot 10^{-4} \cdot 3500 \cdot 0.8 = 0.588\); \(0.00024 = 2.4 \cdot 10^{-4}\).

    Falsch? Leitprogramm Rechnen und Schliessen: Zehnerpotenzen und die EE-Taste

  2. 0b(3 P)Rechne um: \(2.5\;\text{l}\) in \(\text{cm}^3\) und in \(\text{m}^3\), \(0.045\;\text{m}\) in mm und \(350\;\text{cm}^3\) in Liter.
    Lösung

    \(2.5\;\text{l} = 2500\;\text{cm}^3\) (\(1\;\text{l} = 1000\;\text{cm}^3\)) \(= 0.0025\;\text{m}^3\) (\(1\;\text{l} = 10^{-3}\;\text{m}^3\)); \(0.045\;\text{m} = 45\;\text{mm}\); \(350\;\text{cm}^3 = 0.35\;\text{l}\).

    Falsch? Leitprogramm Grössen, Messen, Druck: Fläche und Volumen umrechnen

  3. 0c(2 P)Rechne \(37\;^\circ\text{C}\) in Kelvin um. Wie gross ist die Temperaturdifferenz zwischen \(-12\;^\circ\text{C}\) und \(18\;^\circ\text{C}\), in Kelvin?
    Lösung

    \(T\;[\text{K}] = \vartheta\;[^\circ\text{C}] + 273.15\) \(= 37 + 273.15 = 310.15\), also \(T = 310.15\;\text{K}\).

    \(\Delta T = 18\;^\circ\text{C} - (-12\;^\circ\text{C}) = 30\;\text{K}\): Eine Differenz ist in Kelvin gleich gross wie in Grad Celsius.

    Falsch? Themenseite 5.1, Umrechnen und Temperaturdifferenz

  4. 0d(2 P)Stelle \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) nach \(\Delta T\) um und \(\dfrac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 \cdot V_2}{T_2}\) nach \(p_2\).
    Lösung

    \(\Delta T = \dfrac{\Delta l}{\alpha \cdot l_0}\); \(p_2 = \dfrac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2}\).

    Falsch? Leitprogramm Rechnen und Schliessen: Gleichungen umstellen

Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1.

Lektion 1Länge
Kapitel 15.3 · K1≈ 45 min

Längenausdehnung

Du berechnest mit \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\), um wie viel ein fester Körper beim Erwärmen länger und beim Abkühlen kürzer wird, und bestimmst daraus die neue Länge \(l = l_0 + \Delta l\).

① Clip

Transkript
  1. 0:00Wird ein Stab wärmer, schwingen seine Teilchen heftiger. Sie werden dabei nicht grösser, aber ihr Abstand wächst. Über die ganze Länge zusammengezählt wird der Stab messbar länger.
  2. 0:10Die Längenänderung Delta l ist proportional zur Anfangslänge l null und zur Temperaturänderung Delta T. Dazu kommt ein Faktor alpha, der vom Material abhängt. Stahl hat zwölf Millionstel pro Kelvin, Aluminium dreiundzwanzig Komma acht Millionstel: Es dehnt sich fast doppelt so stark aus.
  3. 0:27Delta T ist eine Temperaturdifferenz: die zweite Temperatur minus die erste. In Kelvin ist sie gleich gross wie in Grad Celsius. Kühlt der Stab ab, ist Delta T negativ, und der Stab wird kürzer. Die neue Länge ist l null plus Delta l.
  4. 0:42Jetzt ein ganzes Problem. Ein Fernwärmerohr aus Stahl ist zwischen zwei Fixpunkten hundertzwanzig Meter lang. Es wird bei zehn Grad eingebaut. Im Betrieb fliesst Wasser von neunzig Grad hindurch. Um wie viel wird das Rohr länger?
  5. 0:56In die Formel gehört die Änderung: neunzig Grad minus zehn Grad, also achtzig Kelvin. Alpha für Stahl steht in der Tabelle, zwölf Millionstel pro Kelvin, und l null sind hundertzwanzig Meter.
  6. 1:09Delta l gleich alpha mal l null mal Delta T: zwölf Millionstel mal hundertzwanzig Meter mal achtzig Kelvin. Das sind null Komma eins eins fünf zwei Meter, rund hundertfünfzehn Millimeter. Probe: Alpha mal Delta T ist knapp ein Tausendstel. Ein Tausendstel von hundertzwanzig Metern sind zwölf Zentimeter. Das passt. Darum braucht das Rohr Dehnungsbogen.
  7. 1:31Zum Mitnehmen: Die Längenänderung ist alpha mal Anfangslänge mal Temperaturänderung. In die Formel gehört immer die Differenz der Temperaturen.
  8. 1:39Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

Werkstoff:

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Delta T ist fünfundzwanzig minus minus zehn, also fünfunddreissig Kelvin. Zwölf Millionstel mal neunhundert Meter mal fünfunddreissig Kelvin ergibt null Komma drei sieben acht Meter, rund achtunddreissig Zentimeter.
  2. 0:14Je grösser alpha, desto steiler die Gerade. Messing liegt mit achtzehn Komma vier Millionstel zwischen Stahl mit zwölf und Aluminium mit dreiundzwanzig Komma acht. Seine Gerade ist die mittlere.
  3. 0:26Delta T ist minus vierzig Kelvin. Dreiundzwanzig Komma acht Millionstel mal zwei Komma fünf Meter mal minus vierzig Kelvin ergibt minus zwei Komma drei acht Millimeter. Die Leiste ist dann zwei Komma vier neun sieben sechs Meter lang.
  4. 0:41Alpha ist Delta l durch l null mal Delta T: null Komma null null vier sechs Meter durch fünf Meter mal fünfzig Kelvin. Das gibt achtzehn Komma vier Millionstel pro Kelvin. Der Stab ist aus Messing.

Festhalten

Längenausdehnung

Wird ein fester Körper wärmer, schwingen seine Teilchen stärker und brauchen mehr Platz — er wird länger. Die Längenänderung ist proportional zur Anfangslänge \(l_0\) und zur Temperaturänderung \(\Delta T\):

\[ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T \qquad l = l_0 + \Delta l \]

\(\alpha\): Längenausdehnungskoeffizient, Einheit \(\tfrac{1}{\text{K}}\). Stahl \(12\), Messing \(18.4\), Aluminium \(23.8\), je \(10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}}\). \(\Delta T = \vartheta_2 - \vartheta_1\) ist eine Temperaturdifferenz: in Kelvin gleich gross wie in Grad Celsius. Beim Abkühlen sind \(\Delta T\) und \(\Delta l\) negativ.

Jede Strecke im Körper wächst um denselben Anteil \(\alpha \cdot \Delta T\) — auch der Durchmesser eines Lochs. Gültig ohne Wechsel des Aggregatzustands, mit \(\alpha\) als konstantem Tabellenwert (um \(20\;^\circ\text{C}\)). Kann sich ein Bauteil nicht ausdehnen, entstehen grosse Kräfte: darum Dehnungsfugen und Rollenlager.

Häufiger Fehler

Eine Temperatur statt der Temperaturänderung eingesetzt: Ein Aluminiumrohr, das von \(15\;^\circ\text{C}\) auf \(35\;^\circ\text{C}\) erwärmt wird, hat \(\Delta T = 20\;\text{K}\), nicht \(35\;\text{K}\) und nicht \(308\;\text{K}\).

Die Zehnerpotenz vergessen: \(12 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}}\) heisst \(0.000012\) je Kelvin. \(\Delta l\) kommt in der Einheit von \(l_0\) heraus, meist in Meter — dann in mm umrechnen.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Längenänderung0 in Folge

🔁 Wann schliesst sich die Fuge?0 in Folge

🔁 Welcher Werkstoff?0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 1 · 12 P

  1. 1a(3 P)Eine Brücke liegt an einem Ende auf Rollen, und zwischen Brücke und Strasse greifen Stahlzähne ineinander (Fahrbahnübergang). Erkläre mit dem Teilchenmodell, warum sich die Brücke beim Erwärmen verlängert, und begründe, warum man sie nicht an beiden Enden fest einmauert.
    Lösung

    Bei höherer Temperatur schwingen die Teilchen stärker um ihre Plätze; ihr mittlerer Abstand wächst. Über die ganze Länge summiert wird die Brücke messbar länger — die Teilchen selbst werden nicht grösser.

    An beiden Enden fest eingemauert, könnte sie sich nicht ausdehnen: Es entstünden sehr grosse Druckkräfte, die Brücke würde sich verbiegen oder die Widerlager beschädigen. Rollen und Fahrbahnübergang lassen die Längenänderung zu.

  2. 1b(3 P)Die Stahlfahrbahn einer \(380\;\text{m}\) langen Brücke wird bei \(12\;^\circ\text{C}\) eingebaut. Im Winter kann sie \(-25\;^\circ\text{C}\) kalt, im Sommer \(45\;^\circ\text{C}\) warm werden. Um wie viel ändert sich ihre Länge bis zu diesen beiden Temperaturen? Wie viel Bewegung muss der Fahrbahnübergang insgesamt erlauben?
    Lösung

    Winter: \(\Delta T = -25\;^\circ\text{C} - 12\;^\circ\text{C} = -37\;\text{K}\); \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) \(= 12 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 380\;\text{m} \cdot (-37\;\text{K})\) \(\approx -0.169\;\text{m}\).

    Sommer: \(\Delta T = 45\;^\circ\text{C} - 12\;^\circ\text{C} = 33\;\text{K}\); \(\Delta l = 12 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 380\;\text{m} \cdot 33\;\text{K}\) \(\approx 0.150\;\text{m}\).

    Insgesamt \(0.169\;\text{m} + 0.150\;\text{m} \approx 0.319\;\text{m}\), rund \(32\;\text{cm}\) — gleich viel wie \(\alpha \cdot l_0 \cdot 70\;\text{K}\).

  3. 1c(3 P)Das Diagramm zeigt die Längenänderung zweier Stäbe A und B, beide \(4.0\;\text{m}\) lang, über der Temperaturänderung. Lies bei \(\Delta T = 50\;\text{K}\) ab, bestimme \(\alpha\) für beide Stäbe und ordne den Werkstoff zu (Tabelle im Festhalten).
    10203040506000.81.62.43.244.85.6ABΔT [K]Δl [mm]
    Lösung

    A: \(\Delta l \approx 4.8\;\text{mm}\); \(\alpha = \dfrac{\Delta l}{l_0 \cdot \Delta T}\) \(= \dfrac{0.0048\;\text{m}}{4.0\;\text{m} \cdot 50\;\text{K}}\) \(= 24 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}}\): Aluminium (\(23.8\)).

    B: \(\Delta l = 2.4\;\text{mm}\); \(\alpha = \dfrac{0.0024\;\text{m}}{4.0\;\text{m} \cdot 50\;\text{K}}\) \(= 12 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}}\): Stahl.

  4. 1d(3 P)Ein Stahlring hat bei \(20\;^\circ\text{C}\) einen Innendurchmesser von \(49.95\;\text{mm}\). Er soll auf eine Welle mit \(50.00\;\text{mm}\) Durchmesser geschoben werden. Auf welche Temperatur muss man den Ring mindestens erwärmen? Begründe, warum dabei auch das Loch grösser wird.
    Lösung

    Der Ring dehnt sich in alle Richtungen um denselben Anteil aus; das Loch wächst wie das Material darum herum. Der Innendurchmesser ist eine Länge: \(\Delta l = 0.05\;\text{mm}\), \(l_0 = 49.95\;\text{mm}\).

    \(\Delta T = \dfrac{\Delta l}{\alpha \cdot l_0}\) \(= \dfrac{0.05\;\text{mm}}{12 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 49.95\;\text{mm}}\) \(\approx 83\;\text{K}\), also auf rund \(20\;^\circ\text{C} + 83\;\text{K} \approx 103\;^\circ\text{C}\). Erkaltet sitzt der Ring fest (Schrumpfverbindung).

Mehr dazu: Themenseite 5.3, Längenausdehnung berechnen · Grundbegriffe

Lektion 2Volumen
Kapitel 25.3 · K1≈ 45 min

Volumenausdehnung

Du berechnest die Volumenänderung \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) von Festkörpern (mit \(\gamma \approx 3 \cdot \alpha\)) und von Flüssigkeiten und begründest, warum sich Flüssigkeiten viel stärker ausdehnen.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Ein Würfel wird beim Erwärmen nicht nur länger, sondern auch breiter und höher. Jede Kante wächst um den Anteil alpha mal Delta T. Im Volumen kommen die drei Richtungen zusammen: Gamma ist ungefähr drei mal alpha.
  2. 0:13Für das Volumen gilt dieselbe Form: Delta V gleich gamma mal V null mal Delta T. Flüssigkeiten haben keine eigene Form; für sie steht gamma direkt in der Tabelle. Ethanol hat eins Komma eins null Tausendstel pro Kelvin, rund dreissigmal so viel wie Stahl. Aluminium und Quecksilber liegen dazwischen. Die Teilchen einer Flüssigkeit sind schwächer gebunden.
  3. 0:33In der Simulation: Ein Liter Ethanol, von zwanzig auf sechzig Grad erwärmt, wächst um vierundvierzig Milliliter. Ein Liter Aluminium wächst bei derselben Erwärmung nur um knapp drei Milliliter.
  4. 0:46Jetzt ein ganzes Problem. Ein Kanister fasst zwanzig Liter. Er wird bei acht Grad randvoll mit Brennsprit, also Ethanol, gefüllt und steht dann in der Sonne, bis der Inhalt achtunddreissig Grad hat. Wie viel läuft aus? Der Kanister selbst dehnt sich viel weniger aus; wir rechnen ihn starr.
  5. 1:03Ethanol ist eine Flüssigkeit: Gamma steht in der Tabelle, ohne Faktor drei. Delta T ist achtunddreissig minus acht, also dreissig Kelvin. V null sind die zwanzig Liter.
  6. 1:14Delta V gleich gamma mal V null mal Delta T: eins Komma eins null Tausendstel mal zwanzig Liter mal dreissig Kelvin. Das sind null Komma sechs sechs Liter, die auslaufen. Probe: Gamma mal Delta T sind drei Komma drei Prozent, und drei Komma drei Prozent von zwanzig Litern sind zwei Drittel Liter.
  7. 1:33Zum Mitnehmen: Das Volumen wächst um gamma mal Anfangsvolumen mal Temperaturänderung. Bei Festkörpern ist gamma ungefähr drei mal alpha, bei Flüssigkeiten steht es in der Tabelle.
  8. 1:44Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

Stoff:

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Gamma ist drei mal alpha, fünfundfünfzig Komma zwei Millionstel pro Kelvin. Mal fünfhundert Kubikzentimeter mal hundert Kelvin: zwei Komma sieben sechs Kubikzentimeter.
  2. 0:11Auch der Behälter wächst, aber Stahl hat ein rund dreissigmal kleineres Gamma als Ethanol. Das Ethanol wächst viel stärker; der Unterschied läuft über.
  3. 0:20Eins Komma eins null Tausendstel mal tausend Liter mal fünfundzwanzig Kelvin: Siebenundzwanzig Komma fünf Liter müssen frei bleiben.
  4. 0:28Dreifaches Volumen gibt dreimal so viel, doppelte Erwärmung noch einmal doppelt so viel: sechsundsechzig mal drei mal zwei, dreihundertsechsundneunzig Milliliter.

Festhalten

Volumenausdehnung

\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T \qquad V = V_0 + \Delta V \]

\(\gamma\): Volumenausdehnungskoeffizient in \(\tfrac{1}{\text{K}}\). Festkörper wachsen in drei Richtungen: \(\gamma \approx 3 \cdot \alpha\) (eine Näherung, weil \(\alpha \cdot \Delta T\) sehr klein ist). Flüssigkeiten haben keine eigene Form; für sie steht \(\gamma\) in der Tabelle: Ethanol \(1.10 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\), Quecksilber \(0.18 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\). Sie dehnen sich viel stärker aus als Festkörper (Ethanol rund dreissigmal so stark wie Stahl), weil ihre Teilchen schwächer gebunden sind.

Im Gefäss wächst auch der Innenraum, als wäre er aus dem Material des Gefässes. Überlaufen kann nur die Differenz \(\Delta V_\text{Fl} - \Delta V_\text{Gef}\); bei Ethanol im Metallgefäss ist sie nur wenig kleiner als \(\Delta V_\text{Fl}\), bei Quecksilber merklich (im Glasthermometer rund \(13\;\%\) weniger).

Häufiger Fehler

Bei einem Festkörper mit \(\alpha\) statt mit \(3 \cdot \alpha\) gerechnet: Das Volumen wächst dreimal so stark wie eine Kante.

Die Zehnerpotenzen verwechselt: Flüssigkeiten \(10^{-3}\), Metalle \(10^{-6}\). Und Liter in Milliliter: \(1\;\text{l} = 1000\;\text{ml}\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Flüssigkeit erwärmen0 in Folge

🔁 Festkörper: γ aus α0 in Folge

🔁 Wie viel darf hinein?0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P

  1. 2a(3 P)Erkläre mit den Teilchen, warum sich Flüssigkeiten beim Erwärmen viel stärker ausdehnen als Festkörper. Warum hat ein Flüssigkeitsthermometer unten ein grosses Vorratsgefäss und darüber eine sehr dünne Kapillare? Rechne für \(0.30\;\text{cm}^3\) Quecksilber und eine Kapillare mit \(A = 0.010\;\text{mm}^2\): Um wie viel steigt der Faden je Kelvin (Säule: \(V = A \cdot h\))?
    Lösung

    In einem Festkörper sitzen die Teilchen an festen Plätzen; starke Bindungen lassen den Abstand nur wenig wachsen. In einer Flüssigkeit sind sie beweglich und schwächer gebunden — stärkere Bewegung vergrössert ihren Abstand viel mehr (\(\gamma\) rund \(10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\) statt rund \(10^{-5}\;\tfrac{1}{\text{K}}\)).

    \(\Delta V\) wächst mit \(V_0\): Viel Flüssigkeit gibt ein messbares \(\Delta V\). In der dünnen Kapillare wird dieses kleine Volumen zu einer langen Säule — die Anzeige wird gut ablesbar.

    \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) \(= 0.18 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 300\;\text{mm}^3 \cdot 1\;\text{K}\) \(= 0.054\;\text{mm}^3\) (\(1\;\text{cm}^3 = 1000\;\text{mm}^3\)); \(h = \dfrac{\Delta V}{A}\) \(= \dfrac{0.054\;\text{mm}^3}{0.010\;\text{mm}^2}\) \(= 5.4\;\text{mm}\) je Kelvin.

  2. 2b(3 P)Ein Kolben aus Aluminium hat bei \(20\;^\circ\text{C}\) das Volumen \(350\;\text{cm}^3\). Im Motor wird er \(220\;^\circ\text{C}\) heiss. Um wie viel wächst sein Volumen? Gib die Zunahme auch in Prozent an.
    Lösung

    \(\gamma \approx 3 \cdot \alpha\) \(= 3 \cdot 23.8 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}}\) \(= 71.4 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}}\); \(\Delta T = 200\;\text{K}\).

    \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) \(= 71.4 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 350\;\text{cm}^3 \cdot 200\;\text{K}\) \(\approx 5.0\;\text{cm}^3\). Das sind \(\gamma \cdot \Delta T \approx 1.4\;\%\) des Volumens.

  3. 2c(3 P)Für \(4.0\;\text{l}\) einer Flüssigkeit zeigt das Diagramm die Volumenzunahme über der Erwärmung. Lies einen Punkt ab, bestimme \(\gamma\) und entscheide: Wasser (\(0.21\), Wert bei \(20\;^\circ\text{C}\)), Quecksilber (\(0.18\)) oder Ethanol (\(1.10\), je \(10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\))?
    1020304050081624324048ΔT [K]ΔV [ml]
    Lösung

    Bei \(50\;\text{K}\) liest man \(36\;\text{ml}\) ab. \(\gamma = \dfrac{\Delta V}{V_0 \cdot \Delta T}\) \(= \dfrac{36\;\text{ml}}{4000\;\text{ml} \cdot 50\;\text{K}}\) \(= 0.18 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\): Quecksilber. Wasser gäbe \(42\;\text{ml}\), Ethanol \(220\;\text{ml}\).

  4. 2d(3 P)Eine Aluminiumflasche (Innenvolumen \(1.5\;\text{l}\)) wird bei \(15\;^\circ\text{C}\) randvoll mit Ethanol gefüllt und auf \(40\;^\circ\text{C}\) erwärmt. Wie viel liefe über, wenn die Flasche starr wäre? Wie viel läuft wirklich über?
    Lösung

    Starre Flasche: \(\Delta V_\text{Fl} = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) \(= 1.10 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1.5\;\text{l} \cdot 25\;\text{K}\) \(\approx 0.0413\;\text{l} = 41.3\;\text{ml}\).

    Der Innenraum wächst wie Aluminium: \(\Delta V_\text{Gef} = 71.4 \cdot 10^{-6}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1.5\;\text{l} \cdot 25\;\text{K}\) \(\approx 0.0027\;\text{l} = 2.7\;\text{ml}\). Es läuft \(41.3\;\text{ml} - 2.7\;\text{ml} \approx 38.6\;\text{ml}\) über.

Mehr dazu: Themenseite 5.3, Volumenausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten

Lektion 3Wasser
Kapitel 35.3 · K1≈ 45 min

Wasser: Dichte, Anomalie und Meeresspiegel

Du berechnest, wie stark der Meeresspiegel steigt, wenn sich das Meerwasser erwärmt (\(\Delta h = \gamma \cdot h_0 \cdot \Delta T\)), erklärst, warum die Dichte beim Erwärmen sinkt, und ordnest die Anomalie des Wassers ein.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Beim Erwärmen bleibt die Masse gleich, aber das Volumen wächst. Darum sinkt die Dichte: rho gleich rho null durch eins plus gamma mal Delta T. Über vier Grad steigt warmes Wasser darum in kaltem auf.
  2. 0:12Wasser ist eine Ausnahme. Seine Dichte ist bei vier Grad am grössten. Zwischen null und vier Grad zieht es sich beim Erwärmen zusammen. Und beim Gefrieren dehnt es sich um rund neun Prozent aus.
  3. 0:24Im Winter sinkt darum das Wasser von vier Grad auf den Grund eines Sees. Darüber liegt kälteres Wasser, und ganz oben schwimmt das Eis. Für Wasser ist gamma also keine Konstante: Null Komma zwei eins Tausendstel pro Kelvin gilt nur um zwanzig Grad.
  4. 0:39Auch das Meer dehnt sich aus, wenn es wärmer wird. In der Simulation erwärmen sich die obersten tausendfünfhundert Meter um ein Kelvin, und der Spiegel steigt um gut dreissig Zentimeter. Weil die Fläche gleich bleibt, kann das Wasser nur nach oben. Aus Delta V gleich gamma mal V null mal Delta T wird Delta h gleich gamma mal h null mal Delta T. Dabei ist h null die Dicke der Schicht, die sich erwärmt.
  5. 1:02Jetzt ein ganzes Problem. Ein Ozean ist im Mittel rund dreitausendsiebenhundert Meter tief. Nimm an, die obersten fünfhundert Meter erwärmen sich um eins Komma fünf Kelvin; das Tiefenwasser bleibt gleich. Um wie viel steigt der Meeresspiegel allein durch die Ausdehnung?
  6. 1:18Ausdehnen kann sich nur das Wasser, das wärmer wird: h null ist die Dicke der erwärmten Schicht, fünfhundert Meter. Als Modell nehmen wir gamma wie für Wasser bei zwanzig Grad: null Komma zwei eins Tausendstel pro Kelvin. Delta T ist eins Komma fünf Kelvin.
  7. 1:32Delta h gleich gamma mal h null mal Delta T: null Komma zwei eins Tausendstel mal fünfhundert Meter mal eins Komma fünf Kelvin. Das sind null Komma eins fünf acht Meter, also gut fünfzehn Zentimeter. Probe: Gamma mal Delta T sind gut drei Zehntausendstel, und drei Zehntausendstel von fünfhundert Metern sind fünfzehn Zentimeter. Schmelzende Gletscher kämen noch dazu.
  8. 1:55Zum Mitnehmen: Warmes Wasser braucht mehr Platz, ausser zwischen null und vier Grad. Im Meer hebt die erwärmte Schicht den Spiegel um gamma mal h null mal Delta T.
  9. 2:05Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Rho null durch eins plus gamma mal Delta T: siebenhundertneunundachtzig durch eins Komma null drei drei, rund siebenhundertvierundsechzig Kilogramm pro Kubikmeter.
  2. 0:10Kleinstes Volumen heisst grösste Dichte, und die hat Wasser bei vier Grad. Kühlt es weiter ab, dehnt es sich wieder aus.
  3. 0:18Nur die erwärmte Schicht zählt: null Komma zwei eins Tausendstel mal siebenhundert Meter mal ein Kelvin, das sind null Komma eins vier sieben Meter, also vierzehn Komma sieben Zentimeter.
  4. 0:29Delta T ist Delta h durch gamma mal h null: null Komma null sechs Meter durch null Komma zwei eins Tausendstel mal vierhundert Meter, rund null Komma sieben eins Kelvin.

Festhalten

Wasser: Dichte, Anomalie, Meeresspiegel

Dichte. Beim Erwärmen bleibt die Masse gleich, das Volumen wächst — die Dichte sinkt:

\[ \rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \cdot \Delta T} \]

Anomalie des Wassers. Wasser hat seine grösste Dichte bei \(4\;^\circ\text{C}\) (rund \(1000\;\text{kg/m}^3\)). Zwischen \(0\;^\circ\text{C}\) und \(4\;^\circ\text{C}\) zieht es sich beim Erwärmen zusammen, und beim Gefrieren dehnt es sich um rund \(9\;\%\) aus (Eis: \(917\;\text{kg/m}^3\)). Darum liegt im Winter Wasser von \(4\;^\circ\text{C}\) am Grund eines Sees, das Eis schwimmt oben, und volle Wasserleitungen platzen beim Gefrieren. Für Wasser ist \(\gamma\) keine Konstante; \(0.21 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\) gilt um \(20\;^\circ\text{C}\).

Meeresspiegel. Erwärmt sich die oberste Schicht der Dicke \(h_0\) um \(\Delta T\), steigt das Meer um

\[ \Delta h = \gamma \cdot h_0 \cdot \Delta T \]

(aus \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) mit \(V = A \cdot h\) und gleichbleibender Fläche \(A\)). Modell: \(\gamma\) konstant, die Schicht überall gleich warm; schmelzende Gletscher kommen noch dazu.

Häufiger Fehler

Die ganze Meerestiefe eingesetzt: Es dehnt sich nur das Wasser aus, das wärmer wird — \(h_0\) ist die Dicke der erwärmten Schicht.

\(\Delta h\) kommt in der Einheit von \(h_0\) heraus, in Meter: \(0.15\;\text{m} = 15\;\text{cm}\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Dichte nach dem Erwärmen0 in Folge

🔁 Anstieg des Meeresspiegels0 in Folge

🔁 Welche Erwärmung?0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P

  1. 3a(3 P)Eine volle Wasserleitung im unbeheizten Keller gefriert im Winter und platzt. Erkläre mit der Anomalie des Wassers. Wie viel Volumen braucht \(1.0\;\text{kg}\) Eis (\(917\;\text{kg/m}^3\)) im Vergleich zu \(1.0\;\text{kg}\) Wasser (\(1000\;\text{kg/m}^3\))?
    Lösung

    Anders als die meisten Stoffe dehnt sich Wasser beim Gefrieren aus: Eis hat die kleinere Dichte, dieselbe Masse braucht mehr Platz. Die Leitung kann nicht nachgeben und platzt.

    \(V = \dfrac{m}{\rho}\): Wasser \(\dfrac{1.0\;\text{kg}}{1000\;\text{kg/m}^3} = 1.0 \cdot 10^{-3}\;\text{m}^3 = 1.0\;\text{l}\); Eis \(\dfrac{1.0\;\text{kg}}{917\;\text{kg/m}^3} \approx 1.09 \cdot 10^{-3}\;\text{m}^3 = 1.09\;\text{l}\) — rund \(9\;\%\) mehr.

  2. 3b(3 P)Vergleiche zwei Annahmen für ein Meer: (1) Die obersten \(1500\;\text{m}\) erwärmen sich um \(0.6\;\text{K}\). (2) Nur die obersten \(500\;\text{m}\) erwärmen sich, dafür um \(1.8\;\text{K}\). Berechne beide Anstiege und begründe das Ergebnis mit der Formel.
    Lösung

    (1) \(\Delta h = \gamma \cdot h_0 \cdot \Delta T\) \(= 0.21 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 1500\;\text{m} \cdot 0.6\;\text{K}\) \(\approx 0.189\;\text{m}\). (2) \(\Delta h = 0.21 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 500\;\text{m} \cdot 1.8\;\text{K}\) \(\approx 0.189\;\text{m}\).

    Gleich viel, rund \(19\;\text{cm}\): Es zählt nur das Produkt \(h_0 \cdot \Delta T\), in beiden Fällen \(900\;\text{m} \cdot \text{K}\) — dreimal so dick, dafür ein Drittel der Erwärmung.

  3. 3c(3 P)Das Diagramm zeigt die Dichte von Wasser zwischen \(0\;^\circ\text{C}\) und \(10\;^\circ\text{C}\). Lies ab, bei welcher Temperatur die Dichte am grössten ist und welche andere Temperatur dieselbe Dichte hat wie Wasser von \(0\;^\circ\text{C}\). Begründe, warum Wasser von \(2\;^\circ\text{C}\) in einem See über dem Wasser von \(4\;^\circ\text{C}\) liegt.
    246810999.65999.75999.85999.95ϑ [°C]ρ [kg/m³]
    Lösung

    Am grössten bei \(4\;^\circ\text{C}\) (knapp \(1000\;\text{kg/m}^3\)). Dieselbe Dichte wie bei \(0\;^\circ\text{C}\) (rund \(999.84\;\text{kg/m}^3\)) hat Wasser bei rund \(8\;^\circ\text{C}\).

    Wasser von \(2\;^\circ\text{C}\) ist weniger dicht als Wasser von \(4\;^\circ\text{C}\) und schwimmt darum darüber; am Grund sammelt sich das dichteste Wasser.

  4. 3d(3 P)In einem Boiler hat das Wasser unten \(20\;^\circ\text{C}\) (\(998\;\text{kg/m}^3\)) und oben \(60\;^\circ\text{C}\). Berechne die Dichte bei \(60\;^\circ\text{C}\) mit \(\gamma = 0.21 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\). Gemessen sind \(983\;\text{kg/m}^3\). Begründe, warum die Rechnung abweicht.
    Lösung

    \(\rho = \dfrac{\rho_0}{1 + \gamma \cdot \Delta T}\) \(= \dfrac{998\;\text{kg/m}^3}{1 + 0.21 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}} \cdot 40\;\text{K}}\) \(\approx 990\;\text{kg/m}^3\).

    \(0.21 \cdot 10^{-3}\;\tfrac{1}{\text{K}}\) gilt nur um \(20\;^\circ\text{C}\). Bei Wasser wächst \(\gamma\) mit der Temperatur stark (unter \(4\;^\circ\text{C}\) ist es wegen der Anomalie sogar negativ); mit konstantem \(\gamma\) unterschätzt man die Ausdehnung bei \(60\;^\circ\text{C}\). Das warme Wasser ist trotzdem weniger dicht und liegt oben.

Mehr dazu: Themenseite 5.3, Meeresspiegelanstieg · Die Anomalie des Wassers

Lektion 4Gasgleichung
Kapitel 45.3 · K2≈ 45 min

Ideales Gas: die allgemeine Gasgleichung

Du beschreibst den Zustand einer festen Gasmenge mit Druck, Volumen und Temperatur, setzt den absoluten Druck und die Temperatur in Kelvin ein und berechnest mit \(\dfrac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \dfrac{p_2 \cdot V_2}{T_2}\) die fehlende Grösse.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Ein Gas ist in einem Zylinder mit Kolben eingeschlossen. Seine Teilchen fliegen umher und prallen gegen die Wände; ihre Stösse sind der Druck. Den Zustand des Gases beschreiben drei Grössen: Druck, Volumen und Temperatur. Die Gasmenge bleibt dabei gleich. Gerechnet wird mit dem Modell des idealen Gases.
  2. 0:17Zwei Regeln. Erstens gehört die Temperatur in Kelvin: Kelvin-Temperatur gleich Celsius-Temperatur plus zweihundertdreiundsiebzig Komma eins fünf. Zweitens zählt der absolute Druck. Ein Manometer zeigt meist nur den Überdruck; dazu kommt der Luftdruck von rund einem Bar. Zeigt das Manometer zwei Bar, sind es absolut drei Bar.
  3. 0:36Erwärmt man das Gas bei gleichem Volumen, werden die Teilchen schneller und stossen härter: Der Druck steigt. Drückt man es zusammen, treffen die Teilchen öfter auf die Wand: Der Druck steigt auch. Zusammen gilt: p mal V durch T bleibt gleich.
  4. 0:50Jetzt ein ganzes Problem. Ein Fussball wird im Keller bei zwölf Grad auf null Komma neun Bar Überdruck gepumpt; er fasst fünf Komma vier Liter. Auf dem Kunstrasen in der Sonne wird die Luft darin zweiundvierzig Grad warm, und der Ball dehnt sich auf fünf Komma fünf Liter. Was zeigt das Manometer jetzt?
  5. 1:07In die Gasgleichung gehört der absolute Druck: null Komma neun Bar Überdruck plus ein Bar Luftdruck, also eins Komma neun Bar. Die Temperaturen in Kelvin: zweihundertfünfundachtzig Komma eins fünf und dreihundertfünfzehn Komma eins fünf Kelvin.
  6. 1:22Umgestellt nach p zwei: p eins mal V eins mal T zwei durch T eins mal V zwei. Eins Komma neun Bar mal fünf Komma vier Liter mal dreihundertfünfzehn Komma eins fünf Kelvin, durch zweihundertfünfundachtzig Komma eins fünf Kelvin mal fünf Komma fünf Liter: rund zwei Komma null sechs Bar absolut. Das Manometer zeigt also eins Komma null sechs Bar Überdruck. Probe: Die Temperatur steigt um gut zehn Prozent, das Volumen um knapp zwei. Der Druck steigt also um gut acht Prozent. Das passt.
  7. 1:51Zum Mitnehmen: Im Modell des idealen Gases bleibt für eine feste Gasmenge p mal V durch T gleich. Die Temperatur steht in Kelvin, der Druck absolut.
  8. 2:01Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00V eins gleich V zwei kürzt sich. In Kelvin: zweihundertdreiundachtzig Komma eins fünf und dreihundertdrei Komma eins fünf. Eins Komma zwei Bar mal dreihundertdrei Komma eins fünf durch zweihundertdreiundachtzig Komma eins fünf, rund eins Komma zwei acht Bar.
  2. 0:15Absolut sind es zwei Komma sechs Bar. Mal dreihundertacht Komma eins fünf durch zweihundertachtundsiebzig Komma eins fünf: zwei Komma acht acht Bar absolut. Das Manometer zeigt den Überdruck, eins Komma acht acht Bar.
  3. 0:29Das Modell des idealen Gases vergleicht zwei Zustände derselben Gasmenge. Strömt Gas hinaus, stimmt die Gasgleichung nicht mehr.
  4. 0:37V zwei gleich p eins mal V eins mal T zwei durch T eins mal p zwei: drei Bar mal sechs Kubikzentimeter mal zweihundertneunundachtzig Komma eins fünf Kelvin, durch zweihunderteinundachtzig Komma eins fünf Kelvin mal ein Bar. Das sind rund achtzehn Komma fünf Kubikzentimeter.

Festhalten

Ideales Gas: allgemeine Gasgleichung

Der Zustand einer festen Gasmenge ist durch drei Grössen bestimmt: Druck \(p\), Volumen \(V\) und Temperatur \(T\). Im Modell des idealen Gases sind die Teilchen punktförmig, ziehen sich nicht an und stossen elastisch; der Druck entsteht durch ihre Stösse auf die Wand.

\[ \frac{p_1 \cdot V_1}{T_1} = \frac{p_2 \cdot V_2}{T_2} \]

Gilt, solange die Gasmenge gleich bleibt (nichts strömt hinein oder hinaus), für Gase weit weg vom Flüssigwerden und bei nicht zu hohem Druck. Zwei Regeln: Temperatur in Kelvin, \(T\;[\text{K}] = \vartheta\;[^\circ\text{C}] + 273.15\). Druck absolut: Ein Manometer zeigt meist den Überdruck, \(p = p_\text{ü} + p_\text{L}\) mit dem Luftdruck \(p_\text{L} \approx 1.0\;\text{bar}\). Druck und Volumen dürfen in beliebigen Einheiten stehen, aber auf beiden Seiten in denselben.

Häufiger Fehler

In Grad Celsius gerechnet: Von \(10\;^\circ\text{C}\) auf \(20\;^\circ\text{C}\) verdoppelt sich die Temperatur nicht — sie steigt von \(283\;\text{K}\) auf \(293\;\text{K}\), um \(3.5\;\%\).

Den Überdruck vom Manometer direkt eingesetzt: Ein Reifen mit \(2\;\text{bar}\) Überdruck hat \(3\;\text{bar}\) absolut.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Druck nach der Zustandsänderung0 in Folge

🔁 Volumen der Luftblase0 in Folge

🔁 Was zeigt das Manometer?0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 4 · 12 P

  1. 4a(3 P)Erkläre mit dem Teilchenmodell, warum der Druck in einer verschlossenen Flasche steigt, wenn man sie erwärmt, und warum er steigt, wenn man ein Gas zusammendrückt. Warum gehört die Temperatur in Kelvin in die Gasgleichung?
    Lösung

    Wärmer heisst schnellere Teilchen: Sie stossen öfter und heftiger gegen die Wand, der Druck steigt. Beim Zusammendrücken bleiben die Teilchen gleich schnell, haben aber weniger Platz und treffen öfter auf die Wand — auch das gibt mehr Druck.

    Die Kelvin-Skala beginnt beim absoluten Nullpunkt, wo die Teilchenbewegung aufhört. Nur von dort aus gemessen sagt ein Verhältnis wie \(\dfrac{T_2}{T_1}\) etwas über die Bewegung der Teilchen; in Grad Celsius wäre \(20\;^\circ\text{C}\) «doppelt so warm» wie \(10\;^\circ\text{C}\).

  2. 4b(3 P)In einem Kompressor werden \(3.0\;\text{l}\) Luft (\(1.0\;\text{bar}\), \(20\;^\circ\text{C}\)) auf \(0.50\;\text{l}\) zusammengedrückt; dabei erwärmt sich die Luft auf \(140\;^\circ\text{C}\). Wie gross ist der Druck jetzt? Wie gross wäre er ohne Erwärmung?
    Lösung

    \(T_1 = 293.15\;\text{K}\), \(T_2 = 413.15\;\text{K}\).

    \(p_2 = \dfrac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2}\) \(= \dfrac{1.0\;\text{bar} \cdot 3.0\;\text{l} \cdot 413.15\;\text{K}}{293.15\;\text{K} \cdot 0.50\;\text{l}}\) \(\approx 8.5\;\text{bar}\).

    Ohne Erwärmung (\(T_2 = T_1\)): \(p_2 = \dfrac{1.0\;\text{bar} \cdot 3.0\;\text{l}}{0.50\;\text{l}} = 6.0\;\text{bar}\) — die Erwärmung bringt rund \(2.5\;\text{bar}\) dazu.

  3. 4c(3 P)Das Diagramm zeigt zwei Zustände 1 und 2 derselben Gasmenge, dazu gestrichelt alle Zustände mit derselben Temperatur wie Zustand 1 (\(T_1 = 300\;\text{K}\)). Lies \(p\) und \(V\) ab und berechne \(T_2\). Begründe am Diagramm, ob das Gas in Zustand 2 wärmer oder kälter ist als in Zustand 1.
    1234012345612V [l]p [bar]
    Lösung

    Zustand 1: \(2\;\text{l}\), \(1.5\;\text{bar}\); Zustand 2: \(1\;\text{l}\), \(4\;\text{bar}\).

    \(T_2 = \dfrac{p_2 \cdot V_2 \cdot T_1}{p_1 \cdot V_1}\) \(= \dfrac{4\;\text{bar} \cdot 1\;\text{l} \cdot 300\;\text{K}}{1.5\;\text{bar} \cdot 2\;\text{l}}\) \(= 400\;\text{K}\).

    Wärmer: Zustand 2 liegt über der gestrichelten Kurve — bei \(1\;\text{l}\) hätte das Gas mit \(300\;\text{K}\) nur \(3\;\text{bar}\).

  4. 4d(3 P)Entscheide und begründe, ob die Gasgleichung hier brauchbare Ergebnisse liefert: (a) Die Luft in einem Fussball wird in der Sonne wärmer. (b) Ein Feuerzeug, in dem das Butan zum grössten Teil flüssig ist, wird erwärmt. (c) Mit einer Velopumpe wird Luft in einen Reifen gepumpt; man vergleicht die Luft im Reifen vorher und nachher.
    Lösung

    (a) Ja: Luft bei Zimmertemperatur und mässigem Druck verhält sich fast wie ein ideales Gas, und die Gasmenge im Ball bleibt gleich.

    (b) Nein: Ein grossteils flüssiges Gas ist kein ideales Gas; beim Erwärmen verdampft Flüssigkeit, die Gasmenge ändert sich.

    (c) Nein: Beim Pumpen kommt Luft dazu — die Gasmenge im Reifen bleibt nicht gleich.

Mehr dazu: Themenseite 5.3, Das ideale Gasgesetz im Kolben

Lektion 5Spezialfälle
Kapitel 55.3 · K2≈ 45 min

Isotherm, isobar, isochor

Du erkennst, welche Grösse bei einer Zustandsänderung konstant bleibt, kürzt die allgemeine Gasgleichung zum Gesetz von Boyle-Mariotte, Gay-Lussac oder Amontons und liest die Zusammenhänge in den Diagrammen ab.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Bleibt bei einer Zustandsänderung eine Grösse gleich, steht sie in der Gasgleichung links und rechts gleich und kürzt sich heraus. So entstehen drei Spezialfälle.
  2. 0:10Bleibt die Temperatur gleich, heisst die Änderung isotherm: p eins mal V eins gleich p zwei mal V zwei, das Gesetz von Boyle und Mariotte. Halbes Volumen, doppelter Druck. Im p-V-Diagramm liegen die Zustände auf einer Hyperbel.
  3. 0:24Bleibt der Druck gleich, etwa unter einem frei beweglichen Kolben mit Gewicht, heisst die Änderung isobar: V durch T bleibt gleich, das Gesetz von Gay-Lussac. Im Diagramm Volumen über Temperatur liegen die Zustände auf einer Geraden. Verlängert man sie, trifft sie den Ursprung, null Kelvin.
  4. 0:40Bleibt das Volumen gleich, in einem starren Behälter, heisst die Änderung isochor: p durch T bleibt gleich, das Gesetz von Amontons. Auch hier liegen die Zustände auf einer Geraden durch den Ursprung, aber nur, wenn die Temperatur in Kelvin steht.
  5. 0:55Jetzt ein ganzes Problem. Ein Druckluftbehälter aus Stahl steht bei fünfzehn Grad unter sechs Bar, absolut. In der Sonne wird er fünfundfünfzig Grad warm. Sein Sicherheitsventil öffnet bei sieben Bar, ebenfalls absolut. Öffnet es?
  6. 1:09Der Behälter ist starr, sein Volumen bleibt: isochor. Die Temperaturen gehören in Kelvin: zweihundertachtundachtzig Komma eins fünf und dreihundertachtundzwanzig Komma eins fünf Kelvin.
  7. 1:20p zwei gleich p eins mal T zwei durch T eins: sechs Bar mal dreihundertachtundzwanzig Komma eins fünf durch zweihundertachtundachtzig Komma eins fünf, rund sechs Komma acht drei Bar. Das ist weniger als sieben Bar: Das Ventil bleibt zu. Probe: Die Kelvin-Temperatur steigt um knapp vierzehn Prozent, der Druck auch.
  8. 1:39Zum Mitnehmen: Was konstant bleibt, kürzt sich aus der Gasgleichung heraus. Isotherm heisst p mal V konstant, isobar V durch T, isochor p durch T, mit T in Kelvin.
  9. 1:50Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

Konstant:

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Die Dose ist starr, ihr Volumen bleibt: isochor. Der Druck steigt mit der absoluten Temperatur, darum kann sie platzen.
  2. 0:08Isotherm: p eins mal V eins gleich p zwei mal V zwei. Hundert durch fünfundsiebzig: Das Volumen sinkt auf drei Viertel, der Druck steigt auf rund eins Komma drei drei Bar.
  3. 0:19Bei konstantem Druck ist V durch T konstant: Volumen und Kelvin-Temperatur sind proportional. Das gibt eine Gerade durch den Ursprung.
  4. 0:27Isobar: V zwei gleich V eins mal T zwei durch T eins. Zwei Komma fünf Liter mal dreihundertsechzig Komma eins fünf durch dreihundert Komma eins fünf: drei Liter.

Festhalten

Spezialfälle der Gasgleichung
konstantFallGesetzDiagramm
\(T\)isotherm (Boyle-Mariotte)\(p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2\)\(p\)-\(V\): Hyperbel
\(p\)isobar (Gay-Lussac)\(\dfrac{V_1}{T_1} = \dfrac{V_2}{T_2}\)\(V\)-\(T\): Gerade durch den Ursprung
\(V\)isochor (Amontons)\(\dfrac{p_1}{T_1} = \dfrac{p_2}{T_2}\)\(p\)-\(T\): Gerade durch den Ursprung

Jedes Gesetz ist die allgemeine Gasgleichung, aus der die konstante Grösse herausgekürzt ist — eine Abkürzung, die nur gilt, wenn diese Grösse wirklich gleich bleibt: langsam drücken (isotherm), ein frei beweglicher Kolben unter gleicher Last (isobar; ein Ballon nur ungefähr), ein starrer Behälter (isochor). Die Geraden gehen nur in Kelvin durch den Ursprung; ihre Verlängerung zeigt auf den absoluten Nullpunkt. Im Zweifel: die allgemeine Gasgleichung.

Häufiger Fehler

Isotherm mit «doppeltes Volumen, doppelter Druck» verwechselt: \(p\) und \(V\) sind umgekehrt proportional.

Bei \(0\;^\circ\text{C}\) ist das Volumen eines Gases nicht null: Proportional sind \(V\) und \(T\) nur in Kelvin.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Isotherm: Druck oder Volumen0 in Folge

🔁 Isobar: Volumen0 in Folge

🔁 Welcher Fall — und wie viel?0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 5 · 12 P

  1. 5a(3 P)Warum muss man eine zugehaltene Velopumpe langsam zusammendrücken, damit \(p_1 \cdot V_1 = p_2 \cdot V_2\) gilt? Und warum hält ein Latexballon den Druck nur ungefähr konstant?
    Lösung

    Beim schnellen Zusammendrücken erwärmt sich die Luft; die Temperatur bleibt nicht gleich, und der Druck steigt stärker als nach Boyle-Mariotte. Langsam gibt die Luft die Wärme an die Umgebung ab und bleibt bei Zimmertemperatur.

    Die Hülle gibt nach und hält den Innendruck nahe beim Aussendruck. Ihre Spannung drückt aber etwas mit, und die hängt davon ab, wie stark der Ballon gedehnt ist — der Druck bleibt nicht genau gleich.

  2. 5b(3 P)Eine oben geschlossene, zylindrische Taucherglocke (Höhe \(2.0\;\text{m}\)) enthält \(4.0\;\text{m}^3\) Luft bei \(1.0\;\text{bar}\). Sie wird abgesenkt, bis die Luft darin unter \(1.6\;\text{bar}\) (absolut) steht; die Temperatur bleibt gleich. Wie viel Luftvolumen bleibt? Wie hoch steht das Wasser in der Glocke?
    Lösung

    Isotherm: \(V_2 = \dfrac{p_1 \cdot V_1}{p_2}\) \(= \dfrac{1.0\;\text{bar} \cdot 4.0\;\text{m}^3}{1.6\;\text{bar}}\) \(= 2.5\;\text{m}^3\).

    Das Wasser füllt \(4.0\;\text{m}^3 - 2.5\;\text{m}^3 = 1.5\;\text{m}^3\), also \(\dfrac{1.5\;\text{m}^3}{4.0\;\text{m}^3} = 37.5\;\%\) der Höhe: \(0.375 \cdot 2.0\;\text{m} = 0.75\;\text{m}\).

  3. 5c(3 P)Das Diagramm zeigt den Druck einer Gasmenge in einem starren Behälter über der Temperatur in Kelvin. Lies die beiden markierten Punkte ab, prüfe, ob \(\dfrac{p}{T}\) gleich bleibt, und bestimme den Druck bei \(100\;^\circ\text{C}\). Wohin zeigt die Verlängerung der Geraden?
    12525037550000.511.52T [K]p [bar]
    Lösung

    \((250\;\text{K};\;1.0\;\text{bar})\) und \((375\;\text{K};\;1.5\;\text{bar})\): \(\dfrac{1.0\;\text{bar}}{250\;\text{K}} = \dfrac{1.5\;\text{bar}}{375\;\text{K}} = 0.004\;\tfrac{\text{bar}}{\text{K}}\) — gleich, isochor.

    Bei \(100\;^\circ\text{C}\) ist \(T = 373.15\;\text{K}\): \(p = 0.004\;\tfrac{\text{bar}}{\text{K}} \cdot 373.15\;\text{K}\) \(\approx 1.49\;\text{bar}\). Die Gerade zeigt auf den Ursprung, \(T = 0\;\text{K}\): den absoluten Nullpunkt.

  4. 5d(3 P)Ein Gas (\(4.0\;\text{l}\), \(1.0\;\text{bar}\), \(20\;^\circ\text{C}\)) wird zuerst isotherm auf \(2.0\;\text{l}\) zusammengedrückt und dann im festen Volumen auf \(80\;^\circ\text{C}\) erwärmt. Berechne den Druck nach jedem Schritt und prüfe das Ergebnis mit der allgemeinen Gasgleichung.
    Lösung

    Schritt 1, isotherm, bis zum Zwischendruck \(p_\text{Z}\): \(p_\text{Z} = \dfrac{p_1 \cdot V_1}{V_2} = \dfrac{1.0\;\text{bar} \cdot 4.0\;\text{l}}{2.0\;\text{l}} = 2.0\;\text{bar}\).

    Schritt 2, isochor: \(p_2 = p_\text{Z} \cdot \dfrac{T_2}{T_1} = 2.0\;\text{bar} \cdot \dfrac{353.15\;\text{K}}{293.15\;\text{K}}\) \(\approx 2.41\;\text{bar}\).

    Probe: \(p_2 = \dfrac{p_1 \cdot V_1 \cdot T_2}{T_1 \cdot V_2}\) \(= \dfrac{1.0\;\text{bar} \cdot 4.0\;\text{l} \cdot 353.15\;\text{K}}{293.15\;\text{K} \cdot 2.0\;\text{l}}\) \(\approx 2.41\;\text{bar}\) — dasselbe: Die allgemeine Gasgleichung fasst die beiden Schritte zusammen.

Mehr dazu: Themenseite 5.3, Die beiden Spezialfälle grafisch · Das ideale Gasgesetz

AbschlussGesamttest
Abschluss5.3 · K1 und K2≈ 30 min · 25 Punkte

Gesamttest

1
Lösen — auf Papier, mit Rechenweg. Erlaubt sind Taschenrechner und Formelsammlung.
⬇ Gesamttest (PDF)
2
Bewerten lassen — Lösung scannen oder fotografieren (ohne Namen und Standort) und mit dem Bewertungspaket einer KI geben, oder selbst nach dem Raster bewerten. Ob du eine KI nutzt und welche, entscheidest du selbst und in eigener Verantwortung (mehr dazu im Paket). Das Paket enthält die Musterlösung: erst danach öffnen.
⬇ Bewertungspaket (PDF)
3
Gezielt wiederholen — nach der Tabelle unten.
Selbsteinschätzung
22 – 25 PDie geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten).
17 – 21 PDen schwächsten Teil nochmals: Simulation und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast.
11 – 16 PZurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast.
0 – 10 PZurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter.

Aufgabe → Kapitel → Kompetenz: G1 → 1 → K1 · G2 → 2 → K1 · G3 → 3 → K1 · G4 → 4 → K2 · G5 → 5 → K2

Nicht in diesem Leitprogramm

Leitprogramm Wärmeausdehnung und Gase · Clips von physik.begreifbar.ch Raphael Arnold Kohler