So arbeitest du
- ① Clip anschauen.
- ② Tüfteln: Die Simulationen laufen auf Knopfdruck. Aufgaben in der Animation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
- ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
- ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen. Zahlen ohne Einheit, mit Punkt oder Komma; Brüche wie
1/2und Zehnerpotenzen wie2.4e-3gehen auch. Richtig ist, was auf drei signifikante Stellen stimmt. - ⑤ Aufgaben auf Papier, dann Lösung aufklappen und abhaken.
Kompetenzen nach Lehrplan
RLP-BM 2030, Lerngebiet 4, Teilgebiet 4.2 Dynamik
- K1 den Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung beschreiben
- K2 das zweite Newton’sche Gesetz in einfachen Fällen (gleichmässig beschleunigte geradlinige Bewegung und gleichförmige Kreisbewegung) anwenden
Die Themenseite 4.2 Dynamik ist das Nachschlagewerk; dieses Leitprogramm ist der Kurs.
Vorwissen
Beschleunigung und Bewegungsgleichungen aus 4.1, Masse und Gewichtskraft, Gleichungen umstellen. Wenn das wackelt: Leitprogramm Kinematik und Leitprogramm Grössen, Messen, Druck.
Transkript
- 0:00Die Packung wiegt ein Kilo, sagen wir. Physikalisch stecken darin zwei verschiedene Grössen.
- 0:09Die Masse sagt, wie viel Stoff im Körper steckt und wie träge er ist. Sie gehört zum Körper und ändert sich nicht, wenn er den Ort wechselt.
- 0:18Die Gewichtskraft ist die Kraft, mit der ein Himmelskörper an dieser Masse zieht. Sie ist Masse mal Ortsfaktor und wird in Newton gemessen.
- 0:26Auf dem Mond ist der Ortsfaktor nur ein Komma sechs zwei. Dieselbe Packung, ein Sechstel der Kraft — die Masse bleibt.
- 0:36Eine Küchenwaage misst die Kraft und rechnet mit dem Ortsfaktor der Erde in Kilogramm um. Auf dem Mond zeigte sie darum falsch.
- 0:44Die Einheit verrät, welche Grösse gemeint ist: Kilogramm ist Masse, Newton ist Kraft.
Vortest · 10 P
-
0a(3 P)Ein Auto beschleunigt gleichmässig in \(5\;\text{s}\) aus dem Stand auf \(20\;\text{m/s}\). Wie gross ist die Beschleunigung, und welchen Weg legt es dabei zurück?
Lösung
\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{20\;\text{m/s}}{5\;\text{s}} = 4\;\text{m/s}^2\), \(s = \tfrac12 \cdot a \cdot t^2 = \tfrac12 \cdot 4\;\text{m/s}^2 \cdot (5\;\text{s})^2 = 50\;\text{m}\).
-
0b(2 P)Ein Rucksack hat \(8\;\text{kg}\). Ist das seine Masse oder seine Gewichtskraft? Wie gross ist seine Gewichtskraft auf der Erde (\(g = 9.81\;\text{m/s}^2\))?
Lösung
\(8\;\text{kg}\) ist die Masse. \(F_G = m \cdot g = 8\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \approx 78.5\;\text{N}\).
Falsch? Der Clip oben und Vorwissen 0.3, Masse und Gewicht
-
0c(3 P)Stelle \(F = m \cdot a\) nach \(m\) und nach \(a\) um, und \(F = \dfrac{m \cdot v^2}{r}\) nach \(v\).
Lösung
\(m = \dfrac{F}{a}\), \(a = \dfrac{F}{m}\), \(v = \sqrt{\dfrac{F \cdot r}{m}}\).
-
0d(2 P)Ein Körper fährt mit \(10\;\text{m/s}\) auf einem Kreis mit \(r = 20\;\text{m}\). Wie gross ist seine Zentripetalbeschleunigung?
Lösung
\(a_z = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{(10\;\text{m/s})^2}{20\;\text{m}} = 5\;\text{m/s}^2\).
Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1.
Kraft, Masse, Beschleunigung
Du beschreibst die Kraft als Ursache einer Bewegungsänderung und den Zusammenhang \(F_\text{ges} = m \cdot a\): doppelte Kraft, doppelte Beschleunigung; doppelte Masse, halbe Beschleunigung.
① Clip
Transkript
- 0:00Eine Kraft sieht man nicht, man erkennt sie an ihrer Wirkung: Sie verformt einen Körper, oder sie ändert seine Bewegung. Er wird schneller, langsamer, oder er ändert die Richtung. Gemessen wird die Kraft in Newton.
- 0:12Auf einer reibungsfreien Bahn zieht eine Kraft von vier Newton einen Wagen von zwei Kilogramm. Im v-t-Diagramm entsteht eine Gerade: Der Wagen wird jede Sekunde um zwei Meter pro Sekunde schneller. Seine Beschleunigung ist zwei Meter pro Sekunde im Quadrat.
- 0:27Jetzt zieht die doppelte Kraft, acht Newton, am selben Wagen. Die Gerade wird doppelt so steil wie beim vorigen Lauf, grau gestrichelt: vier Meter pro Sekunde im Quadrat. Doppelte Kraft, doppelte Beschleunigung.
- 0:40Und mit vier Newton an einem Wagen von vier Kilogramm? Die Gerade ist nur halb so steil wie mit zwei Kilogramm: ein Meter pro Sekunde im Quadrat. Die grössere Masse ist träger, sie lässt sich schwerer beschleunigen.
- 0:53Beides zusammen ergibt das Grundgesetz der Mechanik: Kraft gleich Masse mal Beschleunigung. Kraft und Beschleunigung zeigen in dieselbe Richtung. Ein Newton ist die Kraft, die ein Kilogramm mit einem Meter pro Sekunde im Quadrat beschleunigt.
- 1:07Zum Mitnehmen: Eine Kraft ändert die Geschwindigkeit, sie bestimmt nicht die Geschwindigkeit selbst. Die Beschleunigung ist Kraft durch Masse. Im v-t-Diagramm ist sie die Steigung.
- 1:17Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Transkript
- 0:00Kraft durch Masse: fünfzehn Newton durch fünf Kilogramm, drei Meter pro Sekunde im Quadrat.
- 0:07Die Beschleunigung ist proportional zur Kraft: dreifache Kraft, dreifache Beschleunigung.
- 0:13Die Steigung ist die Beschleunigung, Kraft durch Masse. B hat ein Fünftel der Masse, also die fünffache Steigung.
- 0:20Zuerst die Beschleunigung: sechs Newton durch drei Kilogramm, zwei Meter pro Sekunde im Quadrat. Nach vier Sekunden: acht Meter pro Sekunde.
- 0:29Anderthalbfache Masse bei gleicher Kraft: Die Beschleunigung wird durch eins Komma fünf geteilt, rund eins Komma drei drei Meter pro Sekunde im Quadrat.
Festhalten
Kraft: die Ursache dafür, dass ein Körper beschleunigt (oder verformt) wird. Kräfte sind Vektoren; man erkennt sie an ihrer Wirkung. Einheit: das Newton, \(1\;\text{N} = 1\;\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\).
Grundgesetz (zweites newtonsches Gesetz): Die Gesamtkraft auf einen Körper ist Masse mal Beschleunigung, und Kraft und Beschleunigung zeigen in dieselbe Richtung.
\[ F_\text{ges} = m \cdot a \qquad a = \frac{F_\text{ges}}{m} \]
Doppelte Kraft bei gleicher Masse: doppelte Beschleunigung. Doppelte Masse bei gleicher Kraft: halbe Beschleunigung. Die Masse ist das Mass für die Trägheit eines Körpers.
«Die Kraft bestimmt die Geschwindigkeit.» Sie bestimmt deren Änderung: Eine konstante Kraft von \(4\;\text{N}\) auf \(2\;\text{kg}\) macht den Wagen jede Sekunde um \(2\;\text{m/s}\) schneller — nicht \(2\;\text{m/s}\) schnell.
Masse in Gramm eingesetzt: \(4\;\text{N}\) auf \(500\;\text{g}\) gibt \(a = \dfrac{4\;\text{N}}{0.5\;\text{kg}} = 8\;\text{m/s}^2\), nicht \(0.008\;\text{m/s}^2\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 1 · 11 P
-
1a(3 P)Ein Velo samt Fahrerin (\(80\;\text{kg}\)) wird mit einer Gesamtkraft von \(120\;\text{N}\) aus dem Stand beschleunigt. Wie gross ist die Beschleunigung? Wie schnell ist das Velo nach \(4\;\text{s}\), und welchen Weg hat es dann zurückgelegt?
Lösung
\(a = \dfrac{F_\text{ges}}{m} = \dfrac{120\;\text{N}}{80\;\text{kg}} = 1.5\;\text{m/s}^2\).
\(v = a \cdot t = 1.5\;\text{m/s}^2 \cdot 4\;\text{s} = 6\;\text{m/s}\), \(s = \tfrac12 \cdot a \cdot t^2\) \(= \tfrac12 \cdot 1.5\;\text{m/s}^2 \cdot (4\;\text{s})^2\) \(= 12\;\text{m}\).
-
1b(3 P)Auf zwei Wagen A und B wirkt dieselbe Kraft. Das Diagramm zeigt ihre Geschwindigkeit. A hat \(2\;\text{kg}\). Wie gross ist die Kraft, und welche Masse hat B? (Punkte auf Gitterpunkten)
Lösung
A: \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{6\;\text{m/s}}{2\;\text{s}} = 3\;\text{m/s}^2\), also \(F = m \cdot a = 2\;\text{kg} \cdot 3\;\text{m/s}^2 = 6\;\text{N}\).
B: \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{6\;\text{m/s}}{8\;\text{s}} = 0.75\;\text{m/s}^2\), also \(m = \dfrac{F}{a} = \dfrac{6\;\text{N}}{0.75\;\text{m/s}^2} = 8\;\text{kg}\) — viermal so viel Masse, darum ein Viertel der Beschleunigung.
-
1c(2 P)Warum braucht ein voll beladener Lastwagen bei gleicher Antriebskraft länger als ein leerer, um auf \(50\;\text{km/h}\) zu kommen?
Lösung
Beladen hat er die grössere Masse. Nach \(a = \dfrac{F}{m}\) ist bei gleicher Kraft die Beschleunigung kleiner, er braucht also mehr Zeit für dieselbe Geschwindigkeitsänderung. Die Masse macht den Körper träger.
-
1d(3 P)Ein Sprinter (\(75\;\text{kg}\)) erreicht aus dem Stand in \(2.5\;\text{s}\) gleichmässig \(9\;\text{m/s}\). Wie gross ist die Kraft, mit der er sich im Mittel vorwärts stösst?
Lösung
\(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{9\;\text{m/s}}{2.5\;\text{s}} = 3.6\;\text{m/s}^2\).
\(F = m \cdot a = 75\;\text{kg} \cdot 3.6\;\text{m/s}^2 = 270\;\text{N}\).
Mehr dazu: Themenseite 4.2, Grundbegriffe · Das Grundgesetz
Gesamtkraft und Trägheit
Du bestimmst die Gesamtkraft aus Kräften auf einer Geraden, erkennst mit dem Trägheitsgesetz, wann sich die Geschwindigkeit nicht ändert, und rechnest mit \(F_\text{ges} = m \cdot a\).
① Clip
Transkript
- 0:00Auf ein Velo mit Fahrerin, zusammen achtzig Kilogramm, wirken zwei Kräfte: der Antrieb von sechzig Newton nach vorn und der Widerstand von zwanzig Newton nach hinten. Für die Bewegung zählt nur ihre Summe mit Vorzeichen, die Gesamtkraft: vierzig Newton.
- 0:15Die Gesamtkraft beschleunigt die achtzig Kilogramm: vierzig Newton durch achtzig Kilogramm, null Komma fünf Meter pro Sekunde im Quadrat. Nach acht Sekunden fährt das Velo vier Meter pro Sekunde.
- 0:27Sind Antrieb und Widerstand gleich gross, hier je dreissig Newton, ist die Gesamtkraft null. Das Velo fuhr schon mit fünf Metern pro Sekunde, und dabei bleibt es: Die v-t-Linie ist waagrecht.
- 0:39Das ist das Trägheitsgesetz: Wirkt keine Gesamtkraft, behält ein Körper seinen Bewegungszustand. Er bleibt in Ruhe, oder er fährt geradeaus mit gleichem Tempo weiter. Eine Kraft braucht es nur, um die Bewegung zu ändern.
- 0:52Hört die Fahrerin auf zu treten, bleibt nur der Widerstand, hier vierzig Newton nach hinten. Die Gesamtkraft ist negativ, minus vierzig Newton, die Beschleunigung minus null Komma fünf Meter pro Sekunde im Quadrat. Das Velo wird langsamer.
- 1:06Zum Mitnehmen: Kräfte auf einer Geraden werden mit Vorzeichen addiert. Die Gesamtkraft bestimmt die Beschleunigung. Ist sie null, bleibt das Tempo gleich.
- 1:16Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.
② Tüfteln
Velo mit Fahrerin: \(m = 80\;\text{kg}\). Der Widerstand wirkt gegen die Bewegung.
③ Kontrollfragen
Transkript
- 0:00Die Reibung zeigt gegen den Zug: fünfzig minus zwanzig, dreissig Newton.
- 0:05Konstantes Tempo geradeaus heisst: keine Beschleunigung. Also ist die Gesamtkraft null. Der Antrieb gleicht nur den Widerstand aus.
- 0:14Der Bus wird langsamer, der Körper aber behält nach dem Trägheitsgesetz sein Tempo. Er bewegt sich gegenüber dem Bus nach vorn, bis Gurt oder Haltestange ihn bremsen.
- 0:24Gesamtkraft siebzig minus dreissig, vierzig Newton, durch achtzig Kilogramm: null Komma fünf Meter pro Sekunde im Quadrat. Nach vier Sekunden: drei plus zwei, fünf Meter pro Sekunde.
- 0:36Beim Ausrollen wirkt nur noch der Widerstand, und der zeigt nach hinten. Darum wird das Velo langsamer.
Festhalten
Wirken mehrere Kräfte auf einer Geraden, zählt nur ihre Summe mit Vorzeichen, die Gesamtkraft: Kräfte in Bewegungsrichtung positiv, Kräfte dagegen negativ.
\[ F_\text{ges} = F_A - F_W \qquad a = \frac{F_\text{ges}}{m} \]
Trägheitsgesetz (erstes newtonsches Gesetz): Ist die Gesamtkraft null, ist auch die Beschleunigung null. Der Körper behält seinen Bewegungszustand — er bleibt in Ruhe oder fährt mit konstanter Geschwindigkeit geradeaus weiter.
«Wer fährt, braucht eine Kraft in Fahrtrichtung.» Bei konstantem Tempo ist die Gesamtkraft null: Der Antrieb gleicht nur den Widerstand aus. Ohne Widerstand, etwa ein Puck auf glattem Eis, gleitet ein Körper ganz ohne Kraft weiter.
Kräfte in Gegenrichtung addiert: \(70\;\text{N}\) Zug und \(25\;\text{N}\) Reibung geben \(F_\text{ges} = 45\;\text{N}\), nicht \(95\;\text{N}\).
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P
-
2a(3 P)Ein Schlitten (\(30\;\text{kg}\)) wird mit \(90\;\text{N}\) gezogen; die Reibung beträgt \(30\;\text{N}\). Wie gross sind Gesamtkraft und Beschleunigung? Wie schnell ist er nach \(5\;\text{s}\), wenn er aus dem Stand startet?
Lösung
\(F_\text{ges} = F_A - F_W = 90\;\text{N} - 30\;\text{N} = 60\;\text{N}\), \(a = \dfrac{F_\text{ges}}{m} = \dfrac{60\;\text{N}}{30\;\text{kg}} = 2\;\text{m/s}^2\).
\(v = a \cdot t = 2\;\text{m/s}^2 \cdot 5\;\text{s} = 10\;\text{m/s}\).
-
2b(3 P)Das Diagramm zeigt die Fahrt eines Wagens (\(50\;\text{kg}\)). In welcher Phase ist die Gesamtkraft positiv, null, negativ? Wie gross ist sie in den ersten \(2\;\text{s}\) und in den letzten \(2\;\text{s}\)?
Lösung
0 bis 2 s: \(v\) steigt, \(F_\text{ges} \gt 0\). 2 bis 6 s: \(v\) konstant, \(F_\text{ges} = 0\). 6 bis 8 s: \(v\) sinkt, \(F_\text{ges} \lt 0\).
Erste Phase: \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{4\;\text{m/s}}{2\;\text{s}} = 2\;\text{m/s}^2\), \(F_\text{ges} = m \cdot a = 50\;\text{kg} \cdot 2\;\text{m/s}^2 = 100\;\text{N}\). Letzte Phase: \(a = \dfrac{-4\;\text{m/s}}{2\;\text{s}} = -2\;\text{m/s}^2\), \(F_\text{ges} = m \cdot a\) \(= 50\;\text{kg} \cdot (-2\;\text{m/s}^2) = -100\;\text{N}\) (gegen die Fahrtrichtung).
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2c(3 P)Eine Raumsonde fliegt mit abgeschaltetem Triebwerk weit weg von allen Planeten. Welche Kraft hält sie in Bewegung? Begründe.
Lösung
Keine. Auf die Sonde wirkt (fast) keine Kraft, also ist ihre Beschleunigung null: Sie behält Tempo und Richtung bei — das Trägheitsgesetz. Eine Kraft wäre nur nötig, um die Bewegung zu ändern.
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2d(3 P)Eine Fallschirmspringerin (\(70\;\text{kg}\) mit Ausrüstung) sinkt mit konstant \(5\;\text{m/s}\). Wie gross ist der Luftwiderstand? Kurz nach dem Öffnen des Schirms war der Widerstand \(1500\;\text{N}\): Wie gross war die Beschleunigung, und wohin zeigte sie?
Lösung
Konstantes Tempo heisst \(F_\text{ges} = 0\): \(F_W = F_G = m \cdot g\) \(= 70\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \approx 687\;\text{N}\).
Beim Öffnen wirken die Kräfte senkrecht; die positive Richtung darf man frei wählen, wenn man sie nennt — hier nach oben: \(F_\text{ges} = F_W - F_G\) \(= 1500\;\text{N} - 687\;\text{N} = 813\;\text{N}\), \(a = \dfrac{F_\text{ges}}{m} = \dfrac{813\;\text{N}}{70\;\text{kg}} \approx 11.6\;\text{m/s}^2\) nach oben — sie wird stark abgebremst, fällt aber weiter nach unten.
Mehr dazu: Themenseite 4.2, Das Trägheitsgesetz · Das Grundgesetz
Gewichtskraft, Fall und Aufzug
Du erklärst mit \(F = m \cdot a\), warum alle Körper gleich schnell fallen, und berechnest die Normalkraft in einem beschleunigten Aufzug.
① Clip
Transkript
- 0:00Die Erde zieht jeden Körper an, mit der Gewichtskraft: Masse mal g, neun Komma acht eins Meter pro Sekunde im Quadrat. Ein Körper von zwei Kilogramm erfährt neunzehn Komma sechs Newton.
- 0:12Fällt ein Körper frei, wirkt nur die Gewichtskraft. Bei doppelter Masse ist sie doppelt so gross, muss aber auch die doppelte Masse beschleunigen. Die Masse kürzt sich: Alle Körper fallen mit g.
- 0:23Eine Person von sechzig Kilogramm steht im ruhenden Aufzug auf einer Waage. Die Waage drückt mit der Normalkraft zurück. In Ruhe ist sie gleich gross wie die Gewichtskraft, rund fünfhundertneunundachtzig Newton. Die Waage rechnet das in sechzig Kilogramm um.
- 0:38Fährt der Aufzug mit zwei Metern pro Sekunde im Quadrat nach oben an, muss die Person mitbeschleunigt werden. Normalkraft minus Gewichtskraft ist Masse mal Beschleunigung. Die Normalkraft wird rund siebenhundertneun Newton, die Waage zeigt zweiundsiebzig Komma zwei Kilogramm.
- 0:55Bremst der Aufzug die Fahrt nach oben mit zwei Metern pro Sekunde im Quadrat, zeigt die Beschleunigung nach unten, a ist negativ. Die Normalkraft ist kleiner als die Gewichtskraft, rund vierhundertneunundsechzig Newton. Die Waage zeigt siebenundvierzig Komma acht Kilogramm.
- 1:10Und wenn das Seil reisst? Kabine und Person fallen beide mit g. Die Waage muss nicht mehr drücken, die Normalkraft ist null. Die Waage zeigt null, obwohl die Gewichtskraft weiter wirkt.
- 1:21Zum Mitnehmen: Die Gewichtskraft ist m mal g. Eine Waage misst die Normalkraft. Beschleunigt der Aufzug nach oben, zeigt sie mehr, nach unten weniger, im freien Fall null.
- 1:32Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.
② Tüfteln
③ Kontrollfragen
Transkript
- 0:00Masse mal g: drei mal neun Komma acht eins, rund neunundzwanzig Komma vier Newton.
- 0:06Beim Anfahren nach oben zeigt die Beschleunigung nach oben. Die Normalkraft muss grösser sein als die Gewichtskraft: Die Waage zeigt mehr.
- 0:14Konstantes Tempo heisst a gleich null, auch nach unten. Die Waage zeigt dasselbe wie in Ruhe.
- 0:21Wer eine Abwärtsfahrt bremst, beschleunigt nach oben. Siebzig mal neun Komma acht eins plus eins Komma fünf, rund siebenhundertzweiundneunzig Newton.
- 0:31Kabine, Waage und Person fallen alle mit g. Die Waage muss nicht mehr drücken: Sie zeigt null, obwohl die Gewichtskraft weiter wirkt.
Festhalten
Die Erde zieht jede Masse mit der Gewichtskraft \(F_G = m \cdot g\) an, \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\). Fällt ein Körper frei, ist sie die einzige Kraft: \(a = \dfrac{F_G}{m} = g\) — für alle Körper gleich, unabhängig von der Masse (ohne Luftwiderstand).
Eine Unterlage drückt mit der Normalkraft \(F_N\) senkrecht zurück. Eine Personenwaage misst \(F_N\). Im Aufzug gilt mit «nach oben positiv»:
\[ F_N - F_G = m \cdot a \qquad F_N = m \cdot (g + a) \]
Beschleunigung nach oben: Die Waage zeigt mehr. Nach unten: weniger. Im freien Fall: null.
«Die Waage misst die Masse.» Sie misst die Kraft, mit der sie drücken muss, und rechnet in kg um. Darum zeigt sie im anfahrenden Aufzug mehr, obwohl die Masse gleich bleibt.
Richtung verwechselt: Ein Aufzug, der die Abwärtsfahrt bremst, beschleunigt nach oben — die Waage zeigt mehr.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 3 · 11 P
-
3a(3 P)Ein Kran hebt eine Last von \(500\;\text{kg}\) und beschleunigt sie dabei mit \(0.8\;\text{m/s}^2\) nach oben. Wie gross ist die Seilkraft? Wie gross wäre sie, wenn die Last mit konstantem Tempo gehoben würde?
Lösung
Ansatz (nach oben positiv): \(F_S - F_G = m \cdot a\), also \(F_S = m \cdot (g + a)\) \(= 500\;\text{kg} \cdot (9.81\;\text{m/s}^2 + 0.8\;\text{m/s}^2)\) \(\approx 5305\;\text{N}\).
Konstantes Tempo: \(a = 0\), \(F_S = F_G = 500\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \approx 4905\;\text{N}\).
-
3b(3 P)Das Diagramm zeigt eine Aufzugsfahrt nach oben (nach oben positiv). Eine Person (\(50\;\text{kg}\)) steht auf einer Waage. Welche Normalkraft misst die Waage in den drei Phasen?
Lösung
0 bis 2 s: \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{3\;\text{m/s}}{2\;\text{s}} = 1.5\;\text{m/s}^2\), \(F_N = m \cdot (g + a)\) \(= 50\;\text{kg} \cdot (9.81 + 1.5)\;\text{m/s}^2\) \(\approx 566\;\text{N}\).
2 bis 6 s: \(a = 0\), \(F_N = m \cdot g = 50\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \approx 491\;\text{N}\).
6 bis 9 s: \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{-3\;\text{m/s}}{3\;\text{s}} = -1\;\text{m/s}^2\), \(F_N = m \cdot (g + a)\) \(= 50\;\text{kg} \cdot (9.81 - 1)\;\text{m/s}^2\) \(\approx 441\;\text{N}\).
-
3c(2 P)Auf dem Mond fallen ein Hammer und eine Feder gleich schnell. Warum, obwohl die Gewichtskraft auf den Hammer viel grösser ist?
Lösung
Die grössere Gewichtskraft muss auch die grössere Masse beschleunigen. In \(a = \dfrac{F_G}{m} = \dfrac{m \cdot g}{m} = g\) kürzt sich die Masse: Beide fallen mit derselben Beschleunigung. Auf der Erde bremst der Luftwiderstand die Feder; auf dem Mond gibt es keine Luft.
-
3d(3 P)Ein Astronaut (\(90\;\text{kg}\) mit Anzug) steht in einer Rakete, die mit \(15\;\text{m/s}^2\) senkrecht startet. Mit welcher Kraft drückt der Boden auf ihn? Das Wievielfache seiner Gewichtskraft ist das?
Lösung
\(F_N = m \cdot (g + a)\) \(= 90\;\text{kg} \cdot (9.81\;\text{m/s}^2 + 15\;\text{m/s}^2)\) \(\approx 2233\;\text{N}\).
\(F_G = 90\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \approx 883\;\text{N}\), also \(\dfrac{2233\;\text{N}}{883\;\text{N}} \approx 2.5\) — er fühlt sich rund zweieinhalbmal so schwer.
Mehr dazu: Themenseite 4.2, Gewichtskraft und Normalkraft · Aufgabe A6, Aufzug
Zwei Körper, ein Faden
Du wendest \(F = m \cdot a\) auf zusammenhängende Körper an: Die antreibende Kraft beschleunigt die Gesamtmasse, die Faden- oder Kupplungskraft bestimmst du an einem Körper allein.
① Clip
Transkript
- 0:00Ein Wagen von drei Kilogramm steht auf einem reibungsfreien Tisch. Über eine Rolle zieht ihn ein Körper von einem Kilogramm, der am Faden hängt. Faden und Rolle denken wir uns masselos.
- 0:11Was treibt an? Nur die Gewichtskraft des hängenden Körpers, neun Komma acht eins Newton. Sie muss aber beide Körper beschleunigen, zusammen vier Kilogramm. Die Beschleunigung ist zwei Komma vier fünf Meter pro Sekunde im Quadrat.
- 0:25Die Fadenkraft findet man am Wagen allein: Nur der Faden zieht ihn. Drei Kilogramm mal zwei Komma vier fünf, rund sieben Komma drei sechs Newton. Das ist weniger als die Gewichtskraft des hängenden Körpers, sonst würde er gar nicht fallen.
- 0:39Jetzt hängen drei Kilogramm am Faden. Die antreibende Kraft wird dreimal so gross, aber die Gesamtmasse wächst auf sechs Kilogramm. Die Beschleunigung ist die Hälfte von g, rund vier Komma neun Meter pro Sekunde im Quadrat, nur doppelt so viel wie vorher.
- 0:54Zum Mitnehmen: Für das ganze System beschleunigt die antreibende Kraft die Gesamtmasse. Die Fadenkraft bestimmt man an einem Körper allein.
- 1:02Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.
② Tüfteln
Reibungsfrei; Faden und Rolle masselos.
③ Kontrollfragen
Transkript
- 0:00Die Gewichtskraft von einem halben Kilogramm beschleunigt beide Körper, zusammen drei Komma fünf Kilogramm: rund eins Komma vier null Meter pro Sekunde im Quadrat.
- 0:10Der hängende Körper beschleunigt nach unten. Also ist die Kraft nach unten grösser: Die Fadenkraft ist kleiner als seine Gewichtskraft.
- 0:18Zuerst das System: dreitausend Newton durch tausendfünfhundert Kilogramm, zwei Meter pro Sekunde im Quadrat. Den Anhänger zieht nur die Kupplung: fünfhundert mal zwei, tausend Newton.
- 0:30Festgehalten ruht alles. Die Gesamtkraft am hängenden Körper ist null: Die Fadenkraft trägt seine ganze Gewichtskraft, neun Komma acht eins Newton.
- 0:40Der Zähler verdoppelt sich, aber der Nenner wächst auch. Darum wird die Beschleunigung weniger als doppelt so gross.
Festhalten
Hängen Körper an einem gespannten Faden, bewegen sie sich gemeinsam. Für das ganze System gilt: Die antreibende Kraft beschleunigt die Gesamtmasse. Beim Wagen auf dem Tisch treibt die Gewichtskraft des hängenden Körpers:
\[ m_2 \cdot g = (m_1 + m_2) \cdot a \qquad a = \frac{m_2 \cdot g}{m_1 + m_2} \]
Die Fadenkraft findet man an einem Körper allein: Den Wagen beschleunigt nur der Faden, \(F_S = m_1 \cdot a\). Gilt für reibungsfreie Bewegung mit masselosem Faden und masseloser Rolle.
Ebenso beim Auto mit Anhänger: Die Antriebskraft beschleunigt beide zusammen, den Anhänger allein zieht die Kupplungskraft \(F_K = m_\text{Anhänger} \cdot a\).
Die Fadenkraft am falschen Körper ausgerechnet: \(F_S = m_1 \cdot a\) gilt am Wagen, weil ihn nur der Faden zieht. Am hängenden Körper wirkt zusätzlich seine Gewichtskraft.
Nur durch \(m_1\) geteilt: Die Gewichtskraft beschleunigt beide Körper, also durch \(m_1 + m_2\) teilen.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 4 · 12 P
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4a(4 P)Ein Auto (\(1200\;\text{kg}\)) zieht einen Anhänger (\(600\;\text{kg}\)) mit einer Antriebskraft von \(2700\;\text{N}\); Widerstände vernachlässigt. Wie gross ist die Beschleunigung? Welche Kraft überträgt die Kupplung?
Lösung
System: \(a = \dfrac{F}{m_1 + m_2} = \dfrac{2700\;\text{N}}{1800\;\text{kg}} = 1.5\;\text{m/s}^2\).
Anhänger allein: \(F_K = m_2 \cdot a = 600\;\text{kg} \cdot 1.5\;\text{m/s}^2 = 900\;\text{N}\).
Probe am Auto: \(2700\;\text{N} - 900\;\text{N} = 1800\;\text{N} = 1200\;\text{kg} \cdot 1.5\;\text{m/s}^2\).
-
4b(3 P)Übertrag auf einen neuen Aufbau: Über eine reibungsfreie Rolle hängen an einem Faden zwei Körper, A mit \(0.6\;\text{kg}\) und B mit \(0.4\;\text{kg}\). Mit welcher Beschleunigung bewegen sie sich? Wie gross ist die Fadenkraft? (Tipp: wie beim Wagen — was treibt an, was wird beschleunigt?)
Lösung
Angetrieben wird durch den Unterschied der Gewichtskräfte, beschleunigt werden beide: \(a = \dfrac{(m_A - m_B) \cdot g}{m_A + m_B}\) \(= \dfrac{0.2\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2}{1.0\;\text{kg}}\) \(\approx 1.96\;\text{m/s}^2\).
Am leichteren Körper B (steigt, nach oben positiv): \(F_S - m_B \cdot g = m_B \cdot a\), also \(F_S = m_B \cdot (g + a)\) \(F_S = 0.4\;\text{kg} \cdot (9.81 + 1.962)\;\text{m/s}^2\) \(\approx 4.71\;\text{N}\).
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4c(2 P)Zeichne für den Wagen auf dem Tisch und für den hängenden Körper je alle Kräfte als Pfeile (Freikörperbild). Welche Pfeile sind gleich lang?
Lösung
Wagen: Gewichtskraft nach unten, Normalkraft des Tisches nach oben (gleich lang, sie heben sich auf), Fadenkraft \(F_S\) zur Rolle hin. Hängender Körper: Gewichtskraft \(m_2 \cdot g\) nach unten, Fadenkraft \(F_S\) nach oben, kürzer als die Gewichtskraft.
Gleich lang sind die beiden Fadenkräfte (ein Faden, masselose Rolle) und am Wagen Gewichts- und Normalkraft.
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4d(3 P)Warum ist die Fadenkraft kleiner als die Gewichtskraft des hängenden Körpers, solange alles beschleunigt? Was misst man, wenn man den Wagen festhält?
Lösung
Am hängenden Körper wirken \(m_2 \cdot g\) nach unten und \(F_S\) nach oben. Er beschleunigt nach unten, also muss die Gesamtkraft nach unten zeigen: \(F_S \lt m_2 \cdot g\).
Hält man den Wagen fest, ruht alles: \(a = 0\), die Gesamtkraft am hängenden Körper ist null, also \(F_S = m_2 \cdot g\).
Mehr dazu: Themenseite 4.2, Aufgabe A5 (Fallmaschine)
Die Kraft zur Mitte
Du berechnest die Zentripetalkraft \(F_z = \dfrac{m \cdot v^2}{r}\), nennst, welche Kraft diese Rolle übernimmt, und erklärst, warum ein Körper ohne sie tangential weiterfliegt.
① Clip
Transkript
- 0:00Eine Kugel von zwei Kilogramm kreist an einer Schnur, mit drei Metern pro Sekunde auf einem Meter Radius. Ihr Tempo bleibt gleich, aber ihre Richtung ändert sich dauernd. Aus der Kinematik kennen wir dafür die Zentripetalbeschleunigung: v Quadrat durch r, neun Meter pro Sekunde im Quadrat.
- 0:17Nach dem Grundgesetz braucht diese Beschleunigung eine Kraft, die zur Mitte zeigt: die Zentripetalkraft. Masse mal Zentripetalbeschleunigung, zwei mal neun, achtzehn Newton. Hier liefert sie die Schnur.
- 0:29Doppeltes Tempo, sechs Meter pro Sekunde: Die Kraft wird viermal so gross, zweiundsiebzig Newton, denn das Tempo steht im Quadrat.
- 0:38Doppelter Radius bei drei Metern pro Sekunde: halbe Kraft, neun Newton.
- 0:44Im Auto übernimmt die Haftreibung zwischen Reifen und Strasse diese Rolle. Ein Auto von tausend Kilogramm braucht bei fünfzehn Metern pro Sekunde in einer Kurve mit fünfzig Metern Radius viertausendfünfhundert Newton zur Kurvenmitte.
- 0:58Reisst die Schnur, fehlt die Kraft zur Mitte. Die Kugel fliegt nicht nach aussen, sondern geradeaus in die Richtung, in die sie sich gerade bewegt hat: tangential. Das ist wieder das Trägheitsgesetz.
- 1:10Zum Mitnehmen: Auf der Kreisbahn braucht es eine Gesamtkraft zur Mitte, die Zentripetalkraft. Doppeltes Tempo braucht die vierfache Kraft. Fehlt sie, fliegt der Körper tangential weiter.
- 1:21Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.
② Tüfteln
Von oben gesehen, Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn. Pfeillängen proportional zu \(v\) und \(F_z\); ein Kraftpfeil, der nicht in den Kreis passt, wird gekürzt.
③ Kontrollfragen
Transkript
- 0:00Masse mal v Quadrat durch r: null Komma fünf mal sechzehn durch vier, zwei Newton.
- 0:06Das Tempo steht im Quadrat: drei mal drei, neunmal so viel Kraft.
- 0:11Die Gravitation der Erde zieht den Mond zur Mitte seiner Bahn. Sie übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft.
- 0:18Ohne Kraft zur Mitte gilt das Trägheitsgesetz: Die Kugel fliegt geradeaus weiter, tangential zur Bahn.
- 0:25Die Haftreibung zwischen Reifen und Strasse zeigt zur Kurvenmitte. Eine Zentrifugalkraft gibt es nur im mitdrehenden Bezugssystem.
Festhalten
Auf der Kreisbahn ändert sich die Richtung der Geschwindigkeit ständig: Der Körper hat die Zentripetalbeschleunigung \(a_z = \dfrac{v^2}{r}\) zur Mitte (4.1). Nach dem Grundgesetz braucht es dafür eine Gesamtkraft zur Mitte, die Zentripetalkraft:
\[ F_z = m \cdot a_z = \frac{m \cdot v^2}{r} = m \cdot \omega^2 \cdot r \]
Mit der Umlaufzeit \(T\): Winkelgeschwindigkeit \(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) und \(v = \omega \cdot r\) (Leitprogramm Kinematik, Kapitel 5).
Sie ist keine neue Kraftart, sondern eine Rolle, die eine vorhandene Kraft übernimmt: die Schnur beim Hammerwurf, die Haftreibung zwischen Reifen und Strasse in der Kurve, die Gravitation beim Mond. Fehlt sie, fliegt der Körper tangential geradeaus weiter — das Trägheitsgesetz.
«In der Kurve drückt eine Kraft nach aussen.» Von der Strasse aus gesehen wirkt nur eine Kraft nach innen; der Körper will geradeaus weiter, und Türe oder Gurt zwingen ihn auf die Kurve. Die «Zentrifugalkraft» gibt es nur im mitdrehenden Bezugssystem, als Scheinkraft.
Das Quadrat vergessen: Doppeltes Tempo braucht die vierfache Kraft.
④ Üben mit Rückmeldung
⑤ Aufgaben mit Lösungen
Aufgaben · Kapitel 5 · 12 P
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5a(3 P)Ein Velofahrer (\(85\;\text{kg}\) mit Velo) fährt mit \(18\;\text{km/h}\) durch eine Kurve mit \(r = 12\;\text{m}\). Wie gross ist die Zentripetalkraft? Welche Kraft übernimmt diese Rolle?
Lösung
\(v = \dfrac{18}{3.6}\;\text{m/s} = 5\;\text{m/s}\), \(F_z = \dfrac{m \cdot v^2}{r} = \dfrac{85\;\text{kg} \cdot (5\;\text{m/s})^2}{12\;\text{m}} \approx 177\;\text{N}\).
Die Haftreibung zwischen Reifen und Strasse, gerichtet zur Kurvenmitte.
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5b(3 P)Die Raumstation ISS (\(420\;\text{t}\)) kreist auf \(r = 6770\;\text{km}\) um den Erdmittelpunkt, mit \(7.67\;\text{km/s}\). Wie gross ist die Kraft, die sie auf der Bahn hält? Welche Kraft ist das?
Lösung
Umrechnen: \(420\;\text{t} = 4.2 \cdot 10^{5}\;\text{kg}\), \(7.67\;\text{km/s} = 7670\;\text{m/s}\), \(6770\;\text{km} = 6.77 \cdot 10^{6}\;\text{m}\).
\(a_z = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{(7670\;\text{m/s})^2}{6.77 \cdot 10^{6}\;\text{m}} \approx 8.69\;\text{m/s}^2\).
\(F_z = m \cdot a_z\) \(= 4.2 \cdot 10^{5}\;\text{kg} \cdot 8.69\;\text{m/s}^2\) \(\approx 3.65 \cdot 10^{6}\;\text{N}\) — die Gravitation der Erde. Die ISS fällt dauernd um die Erde herum.
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5c(3 P)Das Diagramm zeigt die Zentripetalkraft zweier Körper A und B auf derselben Kreisbahn (\(r = 2\;\text{m}\)), aufgetragen über \(v^2\). Welche Masse hat jeder? (Punkte auf Gitterpunkten)
Lösung
\(F_z = \dfrac{m}{r} \cdot v^2\): Die Steigung ist \(\dfrac{m}{r}\).
A: \(\dfrac{16\;\text{N}}{16\;\text{m}^2/\text{s}^2} = 1\;\text{kg/m}\), also \(m = 1\;\text{kg/m} \cdot 2\;\text{m} = 2\;\text{kg}\). B: \(\dfrac{8\;\text{N}}{16\;\text{m}^2/\text{s}^2} = 0.5\;\text{kg/m}\), also \(m = 1\;\text{kg}\).
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5d(3 P)Im Auto wird man in der Kurve gegen die Türe gedrückt. Gibt es eine Kraft, die nach aussen zieht? Erkläre mit dem Trägheitsgesetz.
Lösung
Nein. Der Körper will nach dem Trägheitsgesetz geradeaus weiter. Das Auto biegt unter ihm weg, bis die Türe ihn erreicht. Die Türe drückt ihn dann nach innen auf die Kreisbahn — diese Kraft spürt man. Eine Kraft nach aussen braucht nur, wer sich im mitdrehenden Auto beschreibt (Scheinkraft).
Mehr dazu: Themenseite 4.2, Kreisbewegung — die Kraft zur Mitte
Gesamttest
⬇ Gesamttest (PDF)
⬇ Bewertungspaket (PDF)
| 22 – 25 P | Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten). |
| 17 – 21 P | Den schwächsten Teil nochmals: Simulation und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast. |
| 11 – 16 P | Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast. |
| 0 – 10 P | Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter. |
Aufgabe → Kapitel → Kompetenz: G1 → 1, 2, 3 → K1 · G2, G3 → 1, 2 → K1, K2 · G4 → 3 → K2 · G5 → 4 → K2 · G6 → 5 → K2
Nicht in diesem Leitprogramm
- Das Wechselwirkungsgesetz (actio = reactio) und die Federkraft (Hooke) → Themenseite 4.2, Wechselwirkungsgesetz · Federkraft
- Haft- und Gleitreibung mit Reibungszahl, Kräfte an der schiefen Ebene → Themenseite 4.2, Reibung · Schiefe Ebene; im RLP bei 4.4 Statik
- Die Bewegung selbst beschreiben (Ort, Geschwindigkeit, Diagramme) → Leitprogramm Kinematik