Physik begreifbar · Leitprogramm

Kinematik

Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung, Vektoren, Fall und Wurf und Kreisbahn — zuschauen, tüfteln, kontrollieren, üben. Fünf Kapitel zu je rund einer Lektion, dazu Vorwissen und Gesamttest.

Lerngebiet 4 · Teilgebiet 4.1

So arbeitest du
  1. ① Clip anschauen.
  2. ② Tüfteln: Aufgaben in der Animation lösen — sie zeigt ✓, wenn es stimmt.
  3. ③ Kontrollfragen: Der Clip hält an. Erst antworten.
  4. ④ Üben mit Rückmeldung, bis drei in Folge sitzen. Zahlen ohne Einheit, mit Punkt oder Komma; Brüche wie 1/2 und Zehnerpotenzen wie 2.4e-3 gehen auch. Richtig ist, was auf drei signifikante Stellen stimmt.
  5. ⑤ Aufgaben auf Papier, dann Lösung aufklappen und abhaken.

Kompetenzen nach Lehrplan

RLP-BM 2030, Lerngebiet 4, Teilgebiet 4.1 Kinematik

  • K1 die Begriffe «Schwerpunkt», «Bahnkurve», «Geschwindigkeit» und «Beschleunigung» definieren
  • K2 Die Geschwindigkeit in Vektor-Form darstellen und damit Relativbewegungen und absolute Bewegungen berechnen
  • K3 Aufgabenstellungen zu folgenden Bewegungsarten lösen: Geradlinig gleichförmige Bewegung, gleichmässig beschleunigte Bewegung, freier Fall, parabolische Bewegung
  • K4 die gleichförmige Kreisbewegung mit den dazugehörigen Grössen (Rotationsfrequenz, Winkelgeschwindigkeit, Zentripetalbeschleunigung) bestimmen und damit einfache Berechnungen durchführen

Die Themenseite 4.1 Kinematik ist das Nachschlagewerk; dieses Leitprogramm ist der Kurs.

VorbereitungVorwissen
Kapitel 0Vorwissen · 0.1 · 0.2≈ 10 min

Vorwissen

km/h und m/s, Gleichungen umstellen, Sinus und Kosinus, Bogenmass. Wenn das wackelt: Leitprogramm Rechnen und Schliessen und Leitprogramm Grössen, Messen, Druck.

Transkript
  1. 0:00Die Formel gibt den Druck, gesucht ist die Fläche. Umstellen ist kein Auswendiglernen, sondern eine einzige Regel.
  2. 0:09Eine Gleichung ist eine Waage. Solange beide Seiten dasselbe erfahren, bleibt sie im Gleichgewicht.
  3. 0:17Wegschaffen lässt sich jede Rechnung mit ihrer Gegenoperation: malnehmen gegen teilen, plus gegen minus, Quadrat gegen Wurzel.
  4. 0:25Aus Druck gleich Kraft je Fläche wird Fläche gleich Kraft je Druck — in zwei Umformungen.
  5. 0:33Mit Zahlen: fünfhundert Newton, geteilt durch zweihunderttausend Pascal, sind null Komma null null zwei fünf Quadratmeter — also fünfundzwanzig Quadratzentimeter.
  6. 0:43Merke: Umstellen heisst, beide Seiten gleich zu behandeln. Die Einheiten machen jede Umformung mit — und verraten den Fehler, wenn einer passiert ist.

Vortest · 10 P

  1. 0a(3 P)Rechne um: \(72\;\text{km/h}\) in \(\text{m/s}\), \(15\;\text{m/s}\) in \(\text{km/h}\), \(2.5\;\text{min}\) in \(\text{s}\).
    Lösung

    \(\dfrac{72}{3.6}\;\text{m/s} = 20\;\text{m/s}\), \(15 \cdot 3.6\;\text{km/h} = 54\;\text{km/h}\), \(2.5 \cdot 60\;\text{s} = 150\;\text{s}\).

    Falsch? Vorwissen 0.2, Einheiten umrechnen

  2. 0b(3 P)Stelle \(s = \tfrac12 \cdot a \cdot t^2\) nach \(a\) und nach \(t\) um, und \(v = \omega \cdot r\) nach \(\omega\).
    Lösung

    \(a = \dfrac{2s}{t^2}\), \(t = \sqrt{\dfrac{2s}{a}}\), \(\omega = \dfrac{v}{r}\).

    Falsch? Der Clip oben und Vorwissen 0.1, Gleichungen umstellen

  3. 0c(2 P)Taschenrechner im Gradmodus: \(\sin 30^\circ\), \(\cos 60^\circ\) und \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)?
    Lösung

    \(\sin 30^\circ = 0.5\), \(\cos 60^\circ = 0.5\), \(\sqrt{9 + 16} = 5\).

    Kommt bei \(\sin 30\) etwas Negatives heraus, steht der Rechner im Bogenmass: Vorwissen 0.2, DEG oder RAD

  4. 0d(2 P)Wie viele Radiant sind eine volle Umdrehung? Wie lange dauert eine Umdrehung bei \(120\) Umdrehungen pro Minute?
    Lösung

    \(2\pi \approx 6.28\) rad. \(\dfrac{60\;\text{s}}{120} = 0.5\;\text{s}\).

    Falsch? Vorwissen 0.1, Kreiszahl und Bogenmass

Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1.

Lektion 1Bewegung
Kapitel 14.1 · K1 · K3≈ 40 min

Ort, Bahn und Geschwindigkeit

Du erklärst Schwerpunkt, Bahnkurve und Geschwindigkeit, unterscheidest Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit und rechnest mit \(s = s_0 + v \cdot t\).

① Clip

Transkript
  1. 0:00Ein Velo samt Fahrerin besteht aus vielen Teilen. Solange es sich dabei nicht dreht, genügt für die Bewegung ein einziger Punkt: der Schwerpunkt. Er bewegt sich so, als wäre die ganze Masse in ihm vereinigt.
  2. 0:12Die Linie, die der Schwerpunkt durchläuft, heisst Bahnkurve. Sie kann gerade sein wie auf einer geraden Strasse, kreisförmig wie beim Riesenrad oder gekrümmt wie beim geworfenen Ball.
  3. 0:24Ein Zug fährt hundertzwanzig Kilometer in einer Stunde. Seine Durchschnittsgeschwindigkeit ist hundertzwanzig Kilometer pro Stunde, auch wenn die Anzeige im Wagen mal hundertfünfzig, mal null zeigt. Die Anzeige liefert die Momentangeschwindigkeit.
  4. 0:38Eine Velofahrerin startet zwanzig Meter nach dem Nullpunkt und fährt gleichförmig mit fünf Metern pro Sekunde. Ihr Ort ist der Startort plus Geschwindigkeit mal Zeit. Im Diagramm wird das eine Gerade.
  5. 0:50Die Steigung der Geraden ist die Geschwindigkeit: In jeder Sekunde kommen fünf Meter dazu. Nach acht Sekunden ist die Velofahrerin bei zwanzig plus vierzig, also sechzig Metern.
  6. 1:01Mit acht Metern pro Sekunde wird die Gerade steiler. Nach acht Sekunden ist sie bei vierundachtzig Metern. Und zum Umrechnen: Ein Meter pro Sekunde sind drei Komma sechs Kilometer pro Stunde.
  7. 1:13Zum Mitnehmen: Ein Körper wird durch seinen Schwerpunkt beschrieben, sein Weg durch die Bahnkurve. Bei gleichförmiger Bewegung ist der Ort Startort plus Geschwindigkeit mal Zeit. Im Diagramm ist die Steigung die Geschwindigkeit.
  8. 1:26Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Ganze Strecke durch ganze Zeit: neunzig Kilometer durch eineinhalb Stunden, sechzig Kilometer pro Stunde.
  2. 0:07Der Schwerpunkt des Kindes bleibt immer gleich weit von der Achse entfernt: Seine Bahnkurve ist ein Kreis.
  3. 0:14Startort plus Geschwindigkeit mal Zeit: zehn plus vier mal fünf, dreissig Meter.
  4. 0:20Die Steigung ist die Geschwindigkeit: steiler heisst schneller. Wo eine Gerade beginnt, sagt nur der Achsenabschnitt.
  5. 0:27Ein Meter pro Sekunde sind drei Komma sechs Kilometer pro Stunde. Fünfundzwanzig mal drei Komma sechs: neunzig.

Festhalten

Bewegung beschreiben

Schwerpunkt: der Punkt, der sich so verhält, als wäre die ganze Masse des Körpers in ihm vereinigt. Für eine Verschiebung ohne Drehung genügt seine Bewegung. Bahnkurve: die Linie, die der Schwerpunkt im Lauf der Zeit durchläuft — gerade, kreisförmig oder gekrümmt.

Geschwindigkeit: zurückgelegte Strecke pro Zeit. Die Durchschnittsgeschwindigkeit gilt für ein ganzes Zeitintervall, die Momentangeschwindigkeit für einen Zeitpunkt (das zeigt der Tacho). Auf einer Geraden zeigt das Vorzeichen von \(v\) die Richtung: negativ heisst zurück, zum Nullpunkt hin.

\[ \bar v = \frac{\Delta s}{\Delta t}, \qquad 1\;\text{m/s} = 3.6\;\text{km/h} \]

Geradlinig gleichförmig heisst: \(v\) ist konstant. Dann gilt

\[ s(t) = s_0 + v \cdot t \]

Im \(s\)-\(t\)-Diagramm ist das eine Gerade: Ihre Steigung ist \(v\), ihr Achsenabschnitt der Startort \(s_0\).

Häufiger Fehler

km/h nicht umgerechnet: \(72\;\text{km/h}\) während \(10\;\text{s}\) sind nicht \(720\;\text{m}\). Zuerst \(72\;\text{km/h} = 20\;\text{m/s}\), dann \(s = 20\;\text{m/s} \cdot 10\;\text{s} = 200\;\text{m}\).

Die Durchschnittsgeschwindigkeit ist nicht der Mittelwert zweier Tachowerte, sondern die ganze Strecke durch die ganze Zeit.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Ort bei konstanter Geschwindigkeit0 in Folge

🔁 Durchschnittsgeschwindigkeit0 in Folge

🔁 Einholen0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 1 · 11 P

  1. 1a(3 P)Erkläre in je einem Satz, was der Schwerpunkt und was die Bahnkurve eines Körpers ist. Nenne zu jeder Bahnform — gerade, kreisförmig, gekrümmt — ein Beispiel.
    Lösung

    Der Schwerpunkt ist der Punkt, der sich so bewegt, als wäre die ganze Masse in ihm vereinigt. Die Bahnkurve ist die Linie, die er im Lauf der Zeit durchläuft.

    Beispiele: gerade — ein Auto auf gerader Strasse; kreisförmig — eine Gondel des Riesenrads; gekrümmt — ein geworfener Ball (Wurfparabel). Andere passende Beispiele zählen ebenso.

  2. 1b(3 P)Ein Velofahrer fährt \(12\;\text{km}\) in \(40\;\text{min}\). Am Berg zeigt sein Tacho \(9\;\text{km/h}\), in der Abfahrt \(45\;\text{km/h}\). Wie gross ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit, in km/h und in m/s? Was zeigt der Tacho?
    Lösung

    \(\bar v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{12\;\text{km}}{\tfrac{40}{60}\;\text{h}} = 18\;\text{km/h}\), und \(\dfrac{18}{3.6}\;\text{m/s} = 5\;\text{m/s}\).

    Der Tacho zeigt die Momentangeschwindigkeit, also den Betrag der Geschwindigkeit im jeweiligen Augenblick.

    Nicht \(\tfrac{9 + 45}{2} = 27\;\text{km/h}\): Am Berg ist er viel länger unterwegs als in der Abfahrt.

  3. 1c(3 P)Das Diagramm zeigt zwei Läufer A und B. Lies für beide Startort und Geschwindigkeit ab. Wann und wo holt A den B ein? (Punkte auf Gitterpunkten)
    Lösung

    A: \(s_0 = 0\;\text{m}\), \(v = \dfrac{12\;\text{m}}{6\;\text{s}} = 2\;\text{m/s}\). B: \(s_0 = 12\;\text{m}\), \(v = \dfrac{14\;\text{m} - 12\;\text{m}}{4\;\text{s}} = 0.5\;\text{m/s}\).

    Die Geraden schneiden sich bei \(t = 8\;\text{s}\), \(s = 16\;\text{m}\). Probe: \(2\;\text{m/s} \cdot 8\;\text{s} = 16\;\text{m}\) und \(12\;\text{m} + 0.5\;\text{m/s} \cdot 8\;\text{s} = 16\;\text{m}\).

  4. 1d(2 P)Warum bedeutet eine fallende Gerade im \(s\)-\(t\)-Diagramm, dass sich der Körper zurück bewegt? Und warum steht er bei einer waagrechten Geraden still?
    Lösung

    Die Steigung ist die Geschwindigkeit. Fällt die Gerade, wird der Ort \(s\) mit der Zeit kleiner: \(v\) ist negativ, der Körper bewegt sich zum Nullpunkt hin.

    Bei einer waagrechten Geraden ändert sich \(s\) nicht: \(v = 0\), der Körper bleibt am selben Ort.

Mehr dazu: Themenseite 4.1, Grundbegriffe · Geradlinig gleichförmige Bewegung

Lektion 2Beschleunigung
Kapitel 24.1 · K1 · K3≈ 40 min

Beschleunigung und Bremsweg

Du erklärst die Beschleunigung, liest \(v\)-\(t\)-Diagramme über Steigung und Fläche und löst Aufgaben mit den Bewegungsgleichungen für konstante Beschleunigung.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Ein Auto fährt aus dem Stand los und ist nach acht Sekunden zwanzig Meter pro Sekunde schnell. Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit: zwanzig Meter pro Sekunde in acht Sekunden, also zwei Komma fünf Meter pro Sekunde in jeder Sekunde. Kurz: Meter pro Sekunde im Quadrat.
  2. 0:18Im v-t-Diagramm wird daraus eine Gerade. Ihre Steigung ist die Beschleunigung: Ein Steigungsdreieck über zwei Sekunden zeigt fünf Meter pro Sekunde mehr, fünf durch zwei, wieder zwei Komma fünf. Die Geschwindigkeit ist Anfangsgeschwindigkeit plus Beschleunigung mal Zeit.
  3. 0:35Und der Weg? Er ist die Fläche unter der Geraden. Hier ein Dreieck: acht Sekunden breit, zwanzig Meter pro Sekunde hoch. Ein halb mal acht Sekunden mal zwanzig Meter pro Sekunde gibt achtzig Meter. Dasselbe gibt ein halb mal a mal t Quadrat.
  4. 0:50Fährt der Körper schon mit zehn Metern pro Sekunde und beschleunigt mit zwei, ist er nach fünf Sekunden zwanzig Meter pro Sekunde schnell. Die Fläche ist jetzt ein Trapez. Unten ein Rechteck: zehn Meter pro Sekunde mal fünf Sekunden, fünfzig Meter. Darauf ein Dreieck: ein halb mal fünf Sekunden mal zehn Meter pro Sekunde, fünfundzwanzig Meter. Zusammen fünfundsiebzig Meter.
  5. 1:13Beim Bremsen ist die Beschleunigung negativ: Die Gerade fällt. Aus fünfzehn Metern pro Sekunde mit minus fünf Metern pro Sekunde im Quadrat steht das Auto nach drei Sekunden. Der Bremsweg ist das Dreieck darunter: ein halb mal drei Sekunden mal fünfzehn Meter pro Sekunde, zweiundzwanzig Komma fünf Meter.
  6. 1:32Doppelt so schnell, dreissig Meter pro Sekunde: Das Dreieck wird doppelt so hoch und doppelt so breit. Ein halb mal sechs Sekunden mal dreissig Meter pro Sekunde: Der Bremsweg ist viermal so lang, neunzig Meter.
  7. 1:45Zum Mitnehmen: Die Beschleunigung ist die Steigung im v-t-Diagramm, der Weg die Fläche darunter. Diese Gleichungen gelten nur bei konstanter Beschleunigung.
  8. 1:54Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Die Geschwindigkeit ändert sich um fünfzehn Meter pro Sekunde, in fünf Sekunden: drei Meter pro Sekunde im Quadrat.
  2. 0:07Höhe mal Breite: Meter pro Sekunde mal Sekunden gibt Meter. Die Fläche ist der Weg.
  3. 0:13Anfangsgeschwindigkeit plus Beschleunigung mal Zeit: drei plus eins Komma fünf mal sechs, zwölf Meter pro Sekunde.
  4. 0:21Doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg: Die Geschwindigkeit steht im Quadrat. Achtzig Meter.
  5. 0:27Die Geschwindigkeit nimmt ab, ihre Änderung ist negativ. Also ist auch die Beschleunigung negativ.

Festhalten

Beschleunigung

Beschleunigung: die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeit. Positiv in Bewegungsrichtung heisst schneller werden, negativ (Bremsbeschleunigung) langsamer werden.

\[ a = \frac{\Delta v}{\Delta t}, \qquad [a] = \text{m/s}^2 \]

Für eine konstante Beschleunigung gelten die drei Bewegungsgleichungen:

\[ v = v_0 + a \cdot t \qquad s = s_0 + v_0 \cdot t + \tfrac12 \cdot a \cdot t^2 \qquad v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot (s - s_0) \]

Im \(v\)-\(t\)-Diagramm ist die Steigung die Beschleunigung, die Fläche unter der Geraden die Ortsänderung — solange \(v\) das Vorzeichen nicht wechselt, ist das der zurückgelegte Weg. Bremsweg bis zum Stillstand: \(s = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot |a|}\) — doppelte Geschwindigkeit, vierfacher Bremsweg.

Häufiger Fehler

Den Faktor \(\tfrac12\) vergessen: Aus dem Stand mit \(2\;\text{m/s}^2\) sind es nach \(10\;\text{s}\) nicht \(200\;\text{m}\), sondern \(s = \tfrac12 \cdot 2\;\text{m/s}^2 \cdot (10\;\text{s})^2 = 100\;\text{m}\) — die Fläche ist ein Dreieck.

Beim Bremsen ist \(a\) negativ. Wer \(a = -5\;\text{m/s}^2\) positiv einsetzt, bekommt einen negativen Bremsweg.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Beschleunigung aus zwei Geschwindigkeiten0 in Folge

🔁 Geschwindigkeit und Weg nach der Zeit t0 in Folge

🔁 Bremsweg0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 2 · 13 P

  1. 2a(3 P)Ein Tram beschleunigt in \(12\;\text{s}\) gleichmässig aus dem Stand auf \(36\;\text{km/h}\). Wie gross ist die Beschleunigung? Welchen Weg legt es dabei zurück?
    Lösung

    \(v = \dfrac{36}{3.6}\;\text{m/s} = 10\;\text{m/s}\).

    \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{10\;\text{m/s}}{12\;\text{s}} \approx 0.833\;\text{m/s}^2\).

    Mit dem genauen Wert \(a = \tfrac56\;\text{m/s}^2\): \(s = \tfrac12 \cdot a \cdot t^2\) \(= \tfrac12 \cdot \tfrac56\;\text{m/s}^2 \cdot (12\;\text{s})^2\) \(= 60\;\text{m}\) — oder als Dreiecksfläche \(\tfrac12 \cdot 12\;\text{s} \cdot 10\;\text{m/s} = 60\;\text{m}\).

  2. 2b(3 P)Das \(v\)-\(t\)-Diagramm zeigt einen Körper mit konstanter Beschleunigung. Lies \(v_0\) und \(a\) ab. Welchen Weg legt er in den ersten \(6\;\text{s}\) zurück? (Punkte auf Gitterpunkten)
    Lösung

    \(v_0 = 2\;\text{m/s}\) (Achsenabschnitt). \(a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \dfrac{14\;\text{m/s} - 2\;\text{m/s}}{6\;\text{s}} = 2\;\text{m/s}^2\) (Steigung).

    Weg = Trapezfläche: \(s = \dfrac{2\;\text{m/s} + 14\;\text{m/s}}{2} \cdot 6\;\text{s} = 48\;\text{m}\). Probe: \(s = v_0 \cdot t + \tfrac12 \cdot a \cdot t^2\) \(= 12\;\text{m} + 36\;\text{m} = 48\;\text{m}\).

  3. 2c(5 P)Ein Auto fährt mit \(90\;\text{km/h}\). Die Fahrerin reagiert nach \(1\;\text{s}\) und bremst dann gleichmässig mit \(6\;\text{m/s}^2\) bis zum Stillstand. Wie lang ist der Anhalteweg (Reaktionsweg plus Bremsweg)? Skizziere das \(v\)-\(t\)-Diagramm des ganzen Vorgangs.
    Lösung

    \(v_0 = \dfrac{90}{3.6}\;\text{m/s} = 25\;\text{m/s}\).

    Reaktionsweg, gleichförmig: \(s_1 = v_0 \cdot t = 25\;\text{m/s} \cdot 1\;\text{s} = 25\;\text{m}\).

    Bremsweg aus \(v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot s\) mit \(v = 0\): \(s_2 = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot |a|} = \dfrac{(25\;\text{m/s})^2}{2 \cdot 6\;\text{m/s}^2} \approx 52.1\;\text{m}\).

    Anhalteweg: \(s = 25\;\text{m} + 52.1\;\text{m} \approx 77.1\;\text{m}\).

    Skizze: \(t\) in s nach rechts, \(v\) in m/s nach oben. Eine waagrechte Linie bei \(25\;\text{m/s}\) bis \(1\;\text{s}\), dann eine fallende Gerade bis \(v = 0\) bei \(t = 1\;\text{s} + \dfrac{25\;\text{m/s}}{6\;\text{m/s}^2} \approx 5.17\;\text{s}\). Die Fläche darunter — Rechteck plus Dreieck — ist der Anhalteweg.

  4. 2d(2 P)Ein Auto braucht bei \(30\;\text{km/h}\) einen Bremsweg von \(6\;\text{m}\). Wie lang ist er bei \(50\;\text{km/h}\), gleich stark gebremst? Begründe, ohne \(a\) auszurechnen.
    Lösung

    Im Bremsweg \(s = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot |a|}\) steht die Geschwindigkeit im Quadrat. Die Geschwindigkeit wächst um den Faktor \(\tfrac{50}{30} = \tfrac53\), der Bremsweg also um \(\left(\tfrac53\right)^2 = \tfrac{25}{9}\): \(s = 6\;\text{m} \cdot \tfrac{25}{9} \approx 16.7\;\text{m}\).

    Kein Umrechnen in m/s nötig: Es zählt nur das Verhältnis der Geschwindigkeiten.

Mehr dazu: Themenseite 4.1, Grundbegriffe · Gleichmässig beschleunigte Bewegung

Lektion 3Vektoren
Kapitel 34.1 · K2≈ 40 min

Geschwindigkeit als Vektor

Du stellst Geschwindigkeiten als Pfeile dar und berechnest damit Relativbewegungen und Bewegungen gegenüber dem Boden — auf einer Geraden mit Vorzeichen, quer dazu mit Komponenten.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Eine Geschwindigkeit hat einen Betrag und eine Richtung. Man zeichnet sie als Pfeil: Die Länge ist der Betrag, die Richtung zeigt, wohin es geht.
  2. 0:09Im Zug, der mit dreissig Metern pro Sekunde fährt, geht jemand mit eins Komma fünf Metern pro Sekunde nach vorn. Gegenüber dem Boden ist er einunddreissig Komma fünf Meter pro Sekunde schnell. Geht er nach hinten, sind es achtundzwanzig Komma fünf.
  3. 0:24Ein Schwimmer schwimmt mit zwei Metern pro Sekunde quer über einen Fluss, die Strömung hat einen Meter pro Sekunde. Die beiden Pfeile setzt man aneinander. Die Summe hat den Betrag Wurzel aus fünf, rund zwei Komma zwei vier Meter pro Sekunde.
  4. 0:38Hinüber bringt ihn nur sein eigener Pfeil quer zum Ufer: vierzig Meter Flussbreite durch zwei Meter pro Sekunde, zwanzig Sekunden. In dieser Zeit treibt ihn die Strömung zwanzig Meter flussabwärts.
  5. 0:51Soll er genau gegenüber ankommen, schwimmt er schräg gegen die Strömung. Den Winkel beta misst man von der Strömungsrichtung aus; quer zum Ufer sind neunzig Grad. Bei hundertzwanzig Grad hebt sein Anteil gegen die Strömung den Fluss genau auf. Dafür dauert die Überquerung länger: rund dreiundzwanzig Sekunden.
  6. 1:08Zum Mitnehmen: Geschwindigkeiten addieren sich als Pfeile. Auf einer Geraden mit Vorzeichen, quer dazu mit Pythagoras. Die Querzeit hängt nur vom Anteil quer zum Ufer ab.
  7. 1:19Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

Draufsicht 1:1. Pfeile: \(1\;\text{m/s}\) entspricht \(8\;\text{m}\). \(\beta\) wird von der Strömungsrichtung aus gemessen; \(90^\circ\) heisst quer zum Ufer.

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Nach hinten zeigt sein Pfeil gegen den Pfeil des Schiffs: acht minus zwei, sechs Meter pro Sekunde.
  2. 0:07Die Pfeile stehen senkrecht: Pythagoras. Wurzel aus null Komma fünf im Quadrat plus eins Komma zwei im Quadrat, eins Komma drei Meter pro Sekunde.
  3. 0:16Die Strömung zeigt flussabwärts, sie hat keinen Anteil quer über den Fluss. Die Querzeit bleibt gleich, nur der Versatz wächst.
  4. 0:24Querzeit: fünfundvierzig durch drei, fünfzehn Sekunden. Versatz: null Komma fünf Meter pro Sekunde mal fünfzehn Sekunden, sieben Komma fünf Meter.
  5. 0:34Ihr Anteil gegen die Strömung ist höchstens so gross wie der Betrag ihrer Geschwindigkeit. Ist die Strömung schneller, treibt sie immer ab.

Festhalten

Geschwindigkeit als Vektor

Eine Geschwindigkeit hat Betrag und Richtung: Sie ist ein Vektor, gezeichnet als Pfeil. Bewegt sich ein Körper gegenüber einem Träger, der sich selbst bewegt (Person im Zug, Schwimmer im Fluss), ist das seine Relativbewegung. Seine Bewegung gegenüber dem Boden oder dem Ufer — die absolute Bewegung — ist die Summe der Vektoren:

\[ \vec v_\text{Ufer} = \vec v_S + \vec v_F \]

Auf einer Geraden genügen Vorzeichen: \(30\;\text{m/s} + 1.5\;\text{m/s}\) in Fahrtrichtung, \(30\;\text{m/s} - 1.5\;\text{m/s}\) dagegen. Stehen die Pfeile senkrecht aufeinander, gilt Pythagoras: \(|\vec v_\text{Ufer}| = \sqrt{v_S^2 + v_F^2}\), und für den Driftwinkel \(\tan\gamma = \dfrac{v_F}{v_S}\).

Die Schwimmrichtung \(\beta\) wird von der Strömungsrichtung aus gemessen: \(\beta = 90^\circ\) heisst quer zum Ufer, \(\beta \gt 90^\circ\) schräg gegen die Strömung. Querzeit \(t = \dfrac{b}{v_S \cdot \sin\beta}\) — nur die Querkomponente bringt hinüber. Versatz \(d = (v_F + v_S \cdot \cos\beta) \cdot t\). Genau gegenüber kommt an, wer so schräg gegen die Strömung hält, dass \(v_S \cdot \cos\beta = -v_F\).

Häufiger Fehler

Quer stehende Geschwindigkeiten als Zahlen addieren: \(3\;\text{m/s}\) quer und \(4\;\text{m/s}\) Strömung ergeben nicht \(7\;\text{m/s}\), sondern \(\sqrt{9 + 16}\;\text{m/s} = 5\;\text{m/s}\).

Die Querzeit mit dem Betrag \(|\vec v_\text{Ufer}|\) rechnen: Die Strömung trägt das Boot nur flussabwärts, nicht hinüber.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Relativ und gegenüber dem Boden0 in Folge

🔁 Quer zur Strömung: Betrag und Winkel0 in Folge

🔁 Querzeit und Versatz0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P

  1. 3a(3 P)Ein Laufband (\(54\;\text{m}\) lang) bewegt sich mit \(1.2\;\text{m/s}\). Du gehst darauf mit \(1.5\;\text{m/s}\) in Laufrichtung. Wie schnell bist du gegenüber dem Boden, und wie lange brauchst du? Wie wäre es gegen die Laufrichtung?
    Lösung

    In Laufrichtung: \(v = 1.2\;\text{m/s} + 1.5\;\text{m/s} = 2.7\;\text{m/s}\), \(t = \dfrac{54\;\text{m}}{2.7\;\text{m/s}} = 20\;\text{s}\).

    Dagegen: \(v = 1.5\;\text{m/s} - 1.2\;\text{m/s} = 0.3\;\text{m/s}\), \(t = \dfrac{54\;\text{m}}{0.3\;\text{m/s}} = 180\;\text{s}\).

    Gegenüber dem Band bist du in beiden Fällen gleich schnell (\(1.5\;\text{m/s}\)); gegenüber dem Boden nicht.

  2. 3b(3 P)Ein Flugzeug fliegt mit \(70\;\text{m/s}\) gegenüber der Luft nach Norden; der Wind weht mit \(20\;\text{m/s}\) nach Osten. Zeichne die Pfeile. Wie schnell ist es über Grund, und um welchen Winkel wird es abgetrieben?
    Lösung

    Die Pfeile stehen senkrecht: \(|\vec v| = \sqrt{(70\;\text{m/s})^2 + (20\;\text{m/s})^2}\) \(\approx 72.8\;\text{m/s}\).

    \(\tan\gamma = \dfrac{20\;\text{m/s}}{70\;\text{m/s}}\), also \(\gamma \approx 15.9^\circ\) nach Osten.

    Skizze: Pfeil nach Norden (70), an seiner Spitze ein Pfeil nach Osten (20), Summe vom Anfang des ersten zur Spitze des zweiten.

  3. 3c(4 P)Eine Fähre überquert einen \(120\;\text{m}\) breiten Fluss mit \(4\;\text{m/s}\) gegenüber dem Wasser; die Strömung hat \(2\;\text{m/s}\). (a) Sie fährt quer zum Ufer: Wie lange dauert es, und wie weit wird sie versetzt? (b) Unter welchem Winkel \(\beta\) zur Strömung muss sie fahren, um genau gegenüber anzukommen, und wie lange dauert es dann?
    Lösung

    (a) \(t = \dfrac{b}{v_S} = \dfrac{120\;\text{m}}{4\;\text{m/s}} = 30\;\text{s}\), \(d = v_F \cdot t = 2\;\text{m/s} \cdot 30\;\text{s} = 60\;\text{m}\).

    (b) Die Längskomponente muss die Strömung aufheben: \(v_S \cdot \cos\beta = -v_F\), also \(\cos\beta = -\dfrac{2}{4} = -0.5\) und \(\beta = 120^\circ\) — \(30^\circ\) gegen die Strömung geneigt.

    Quergeschwindigkeit \(v_S \cdot \sin\beta = 4\;\text{m/s} \cdot \sin 120^\circ \approx 3.46\;\text{m/s}\), also \(t = \dfrac{120\;\text{m}}{3.464\;\text{m/s}} \approx 34.6\;\text{s}\).

  4. 3d(2 P)Zwei Schwimmer queren denselben Fluss quer zum Ufer, A mit \(1\;\text{m/s}\), B mit \(2\;\text{m/s}\). Wird B halb so weit versetzt wie A? Begründe.
    Lösung

    Ja. Die Strömung hat keinen Anteil quer über den Fluss; hinüber bringt allein die eigene Geschwindigkeit. B braucht darum nur die halbe Querzeit \(t = \dfrac{b}{v_S}\). Der Versatz \(d = v_F \cdot t\) wächst mit der Zeit, in der die Strömung wirkt: halbe Zeit, halber Versatz.

Mehr dazu: Themenseite 4.1, Vektoraddition — Relativbewegung

Lektion 4Fall und Wurf
Kapitel 44.1 · K3≈ 50 min

Freier Fall und Wurf

Du löst Aufgaben zum freien Fall, zum senkrechten Wurf nach oben und unten und zum Wurf, indem du die Bewegung in eine waagrechte gleichförmige und eine senkrechte beschleunigte Bewegung zerlegst.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Ohne Luftwiderstand fallen alle Körper gleich: gleichmässig beschleunigt mit g, neun Komma acht eins Meter pro Sekunde im Quadrat. Nach drei Sekunden ist ein Stein neunundzwanzig Komma vier Meter pro Sekunde schnell.
  2. 0:13Der Fallweg wächst mit dem Quadrat der Zeit: ein halb mal g mal t Quadrat. Nach einer Sekunde vier Komma neun Meter, nach zwei Sekunden das Vierfache, neunzehn Komma sechs, nach drei Sekunden vierundvierzig Komma eins Meter.
  3. 0:27Wird ein Ball senkrecht nach oben geworfen, mit zwölf Metern pro Sekunde, bremst ihn g: Jede Sekunde wird er neun Komma acht eins Meter pro Sekunde langsamer. Nach eins Komma zwei zwei Sekunden steht er oben still, sieben Komma drei Meter hoch. Dann fällt er wie im freien Fall zurück, genau so lange.
  4. 0:44Nach unten geworfen, aus zwanzig Metern mit zehn Metern pro Sekunde, kommt zur Anfangsgeschwindigkeit noch g mal t dazu. Der Ball ist schon nach eins Komma zwei vier Sekunden unten, der fallen gelassene Stein erst nach zwei Komma null zwei.
  5. 0:58Jetzt wird ein Ball aus zwanzig Metern Höhe waagrecht mit acht Metern pro Sekunde geworfen. Die Punkte zeigen ihn alle Viertelsekunden. Waagrecht kommen immer gleich viele Meter dazu: Diese Bewegung ist gleichförmig.
  6. 1:11Senkrecht fällt er wie ein fallen gelassener Stein, die Abstände wachsen. Darum dauert der Flug zwei Komma null zwei Sekunden, genau wie beim freien Fall aus zwanzig Metern. In dieser Zeit kommt er sechzehn Komma zwei Meter weit.
  7. 1:24Wird der Ball schräg nach oben geworfen, steigt er zuerst. Vom Boden mit fünfzehn Metern pro Sekunde unter fünfundvierzig Grad fliegt er zwei Komma eins sechs Sekunden und landet zweiundzwanzig Komma neun Meter weit. Bei fünfundvierzig Grad ist die Weite am grössten.
  8. 1:40Zum Mitnehmen: Senkrecht nach oben wird der Körper langsamer, bis er oben stillsteht. Ein Wurf besteht aus zwei Bewegungen, waagrecht gleichförmig, senkrecht wie der freie Fall. Die Flugzeit kommt allein aus der senkrechten Bewegung.
  9. 1:54Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

\(\alpha = 90^\circ\): senkrecht nach oben; negative Winkel: nach unten.

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00g mal t: neun Komma acht eins mal zwei Komma fünf, rund vierundzwanzig Komma fünf Meter pro Sekunde.
  2. 0:07Ohne Luftwiderstand ist die Beschleunigung für alle Körper dieselbe, g. Der Ball braucht ebenfalls eins Komma zwei Sekunden.
  3. 0:16Senkrecht wie im freien Fall: die Wurzel aus zwei mal null Komma acht durch neun Komma acht eins, rund null Komma vier Sekunden.
  4. 0:24Waagrecht gleichförmig: drei Meter pro Sekunde mal null Komma vier Sekunden, rund ein Komma zwei Meter.
  5. 0:31Er wird jede Sekunde um neun Komma acht eins Meter pro Sekunde langsamer und steht nach eins Komma null zwei Sekunden still. Die Steighöhe ist v null Quadrat durch zwei g: hundert durch neunzehn Komma sechs zwei, rund fünf Komma eins Meter.

Festhalten

Fall und Wurf

Freier Fall (ohne Luftwiderstand): gleichmässig beschleunigt mit \(g = 9.81\;\text{m/s}^2\) nach unten, für alle Körper gleich, unabhängig von der Masse. Aus der Ruhe:

\[ v = g \cdot t \qquad h = \tfrac12 \cdot g \cdot t^2 \qquad t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]

Wurf: zwei Bewegungen, die sich nicht stören — waagrecht gleichförmig, senkrecht wie der freie Fall. Mit Abwurfgeschwindigkeit \(v_0\), Winkel \(\alpha\) und Abwurfhöhe \(h_0\):

\[ x(t) = v_0 \cdot \cos\alpha \cdot t \qquad y(t) = h_0 + v_0 \cdot \sin\alpha \cdot t - \tfrac12 \cdot g \cdot t^2 \]

Senkrechter Wurf (\(\alpha = \pm 90^\circ\)): Nach oben mit \(v_0\) wird der Körper jede Sekunde um \(9.81\;\text{m/s}\) langsamer, \(v = v_0 - g \cdot t\) und \(h = v_0 \cdot t - \tfrac12 \cdot g \cdot t^2\). Im höchsten Punkt ist \(v = 0\):

\[ t_S = \frac{v_0}{g} \qquad h_\text{max} = \frac{v_0^2}{2 \cdot g} \]

Zurück fällt er genau so lange und kommt mit demselben Betrag \(v_0\) wieder an. Nach unten geworfen kommt die Anfangsgeschwindigkeit dazu: \(v = v_0 + g \cdot t\) und \(h = v_0 \cdot t + \tfrac12 \cdot g \cdot t^2\).

Die Bahnkurve ist eine Parabel. Beim waagrechten Wurf ist \(\alpha = 0^\circ\): Die Flugzeit hängt nur von der Höhe ab, und senkrecht wird der Körper wie im freien Fall schneller, \(v_y = g \cdot t\). Landet der Körper auf Abwurfhöhe (\(h_0 = 0\)), gilt \(t_F = \dfrac{2 \cdot v_0 \cdot \sin\alpha}{g}\) und \(s_x = \dfrac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}\) — am weitesten bei \(45^\circ\), gleich weit bei \(\alpha\) und \(90^\circ - \alpha\).

Häufiger Fehler

Die Wurzel vergessen: Aus \(20\;\text{m}\) fällt ein Stein nicht \(\dfrac{2 \cdot 20}{9.81} \approx 4.1\;\text{s}\), sondern \(\sqrt{\dfrac{2 \cdot 20\;\text{m}}{9.81\;\text{m/s}^2}} \approx 2.02\;\text{s}\).

Taschenrechner im Bogenmass: \(\sin 30\) gibt dann \(-0.988\) statt \(0.5\). Für Winkel in Grad muss er auf DEG stehen.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Freier Fall0 in Folge

🔁 Senkrechter Wurf0 in Folge

🔁 Waagrechter Wurf0 in Folge

🔁 Schiefer Wurf vom Boden0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 4 · 14 P

  1. 4a(3 P)Ein Schlüssel fällt aus \(12\;\text{m}\) Höhe frei (ohne Luftwiderstand). Wie lange fällt er? Mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf, in m/s und km/h?
    Lösung

    \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 12\;\text{m}}{9.81\;\text{m/s}^2}} \approx 1.56\;\text{s}\).

    \(v = g \cdot t = 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 1.564\;\text{s} \approx 15.3\;\text{m/s}\), das sind \(15.34 \cdot 3.6\;\text{km/h} \approx 55.2\;\text{km/h}\).

  2. 4b(3 P)Ein Ball wird mit \(18\;\text{m/s}\) senkrecht nach oben geworfen (ohne Luftwiderstand). Wie lange steigt er, wie hoch kommt er, und wann ist er wieder an der Abwurfstelle?
    Lösung

    Oben ist \(v = 0\): \(t_S = \dfrac{v_0}{g} = \dfrac{18\;\text{m/s}}{9.81\;\text{m/s}^2} \approx 1.83\;\text{s}\).

    \(h_\text{max} = \dfrac{v_0^2}{2 \cdot g} = \dfrac{(18\;\text{m/s})^2}{2 \cdot 9.81\;\text{m/s}^2} \approx 16.5\;\text{m}\).

    Zurück fällt er genau so lange: wieder an der Abwurfstelle nach \(2 \cdot t_S \approx 3.67\;\text{s}\), mit \(18\;\text{m/s}\) nach unten.

  3. 4c(3 P)Ein Wasserstrahl tritt \(1.25\;\text{m}\) über dem Boden waagrecht mit \(4\;\text{m/s}\) aus einem Rohr. Wie lange ist ein Tropfen unterwegs, und wie weit vom Rohr trifft er den Boden?
    Lösung

    Senkrecht wie im freien Fall: \(t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 1.25\;\text{m}}{9.81\;\text{m/s}^2}} \approx 0.505\;\text{s}\).

    Waagrecht gleichförmig: \(x = v_0 \cdot t = 4\;\text{m/s} \cdot 0.505\;\text{s} \approx 2.02\;\text{m}\).

  4. 4d(3 P)Ein Fussball wird vom Boden mit \(18\;\text{m/s}\) unter \(30^\circ\) gekickt und landet wieder auf dem Boden. Wie lange fliegt er, und wie weit? (ohne Luftwiderstand)
    Lösung

    Senkrecht: \(v_0 \cdot \sin\alpha = 18\;\text{m/s} \cdot \sin 30^\circ = 9\;\text{m/s}\); aus \(y(t_F) = 0\): \(t_F = \dfrac{2 \cdot 9\;\text{m/s}}{9.81\;\text{m/s}^2} \approx 1.83\;\text{s}\).

    Waagrecht: \(v_0 \cdot \cos\alpha = 18\;\text{m/s} \cdot \cos 30^\circ \approx 15.6\;\text{m/s}\); \(s_x = 15.59\;\text{m/s} \cdot 1.835\;\text{s} \approx 28.6\;\text{m}\). Probe: \(s_x = \dfrac{v_0^2 \cdot \sin(2\alpha)}{g}\) \(= \dfrac{(18\;\text{m/s})^2 \cdot \sin 60^\circ}{9.81\;\text{m/s}^2}\) \(\approx 28.6\;\text{m}\).

  5. 4e(2 P)Das Bild zeigt einen waagrecht geworfenen Ball alle \(0.2\;\text{s}\). Woran erkennst du, dass die waagrechte Bewegung gleichförmig und die senkrechte beschleunigt ist?
    1122334455x [m]y [m]
    Lösung

    Waagrecht liegen die Punkte immer gleich weit auseinander (je \(0.8\;\text{m}\)): gleiche Wege in gleichen Zeiten, also gleichförmig. Senkrecht werden die Abstände von Punkt zu Punkt grösser (rund \(0.2\), \(0.6\), \(1.0\), \(1.4\), \(1.8\;\text{m}\)): Die Geschwindigkeit nach unten wächst, die Bewegung ist beschleunigt.

Mehr dazu: Themenseite 4.1, Freier Fall · Parabolische Bewegung

Lektion 5Kreisbahn
Kapitel 54.1 · K4 · K1≈ 40 min

Gleichförmige Kreisbewegung

Du bestimmst Umlaufzeit, Rotationsfrequenz, Winkelgeschwindigkeit, Bahngeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung und erklärst, warum eine gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt ist.

① Clip

Transkript
  1. 0:00Ein Karussellsitz ist vier Meter von der Achse entfernt; ein Umlauf dauert vier Sekunden. Das ist die Umlaufzeit T. Ihr Kehrwert ist die Rotationsfrequenz: ein Viertel Umlauf pro Sekunde, null Komma zwei fünf Hertz.
  2. 0:13In einer Umlaufzeit dreht sich der Sitz um zwei Pi, einen ganzen Kreis im Bogenmass. Die Winkelgeschwindigkeit ist zwei Pi durch T: rund eins Komma fünf sieben Radiant pro Sekunde.
  3. 0:25Die Bahngeschwindigkeit ist Winkelgeschwindigkeit mal Radius: sechs Komma zwei acht Meter pro Sekunde. Ihr Pfeil liegt immer tangential an der Bahn.
  4. 0:34Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt gleich, aber die Richtung des Pfeils ändert sich ständig. Das ist eine Beschleunigung, und sie zeigt zur Mitte: die Zentripetalbeschleunigung, v Quadrat durch r, rund neun Komma acht sieben Meter pro Sekunde im Quadrat.
  5. 0:48Mit halbem Radius, zwei Metern, bei gleicher Umlaufzeit ist auch die Zentripetalbeschleunigung halb so gross: rund vier Komma neun drei Meter pro Sekunde im Quadrat.
  6. 0:59Doppelte Umlaufzeit bei vier Metern dagegen halbiert Omega, und Omega steht im Quadrat: nur noch ein Viertel, rund zwei Komma vier sieben Meter pro Sekunde im Quadrat.
  7. 1:10Zum Mitnehmen: f ist eins durch T, Omega zwei Pi durch T. Die Bahngeschwindigkeit ist Omega mal r und liegt tangential. Die Zentripetalbeschleunigung zeigt zur Mitte, obwohl der Betrag der Geschwindigkeit gleich bleibt.
  8. 1:23Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

Drehsinn gegen den Uhrzeigersinn. Pfeillängen proportional: \(v\) mit 8 px je m/s, \(a_z\) mit 4 px je m/s².

③ Kontrollfragen

Transkript
  1. 0:00Tausendzweihundert Umdrehungen pro Minute sind tausendzweihundert durch sechzig, zwanzig pro Sekunde: zwanzig Hertz.
  2. 0:07Zwei Pi durch die Umlaufzeit: zwei Pi durch null Komma fünf Sekunden, rund zwölf Komma sechs Radiant pro Sekunde.
  3. 0:16Der Geschwindigkeitspfeil dreht sich mit dem Körper. Seine Änderung zeigt zur Mitte, und dorthin zeigt die Beschleunigung.
  4. 0:23v Quadrat durch r: vier im Quadrat durch null Komma acht, zwanzig Meter pro Sekunde im Quadrat.
  5. 0:30Gleichförmig heisst: Der Betrag der Geschwindigkeit bleibt gleich. Die Richtung ändert sich aber ständig, darum ist die Geschwindigkeit als Pfeil nicht konstant.

Festhalten

GrösseSymbolDefinitionEinheit
Umlaufzeit (Periode)\(T\)Zeit für einen Umlaufs
Rotationsfrequenz\(f\)\(f = \dfrac{1}{T}\)Hz (1/s)
Winkelgeschwindigkeit\(\omega\)\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi \cdot f\)rad/s
Bahngeschwindigkeit\(v\)\(v = \omega \cdot r = \dfrac{2\pi \cdot r}{T}\)m/s
Zentripetalbeschleunigung\(a_z\)\(a_z = \dfrac{v^2}{r} = \omega^2 \cdot r\)\(\text{m/s}^2\)
Merke

Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag \(|\vec v|\) der Geschwindigkeit konstant, aber die Richtung von \(\vec v\) ändert sich ständig: \(\vec v\) liegt tangential an der Bahn. Darum gibt es eine Beschleunigung, obwohl der Betrag gleich bleibt — die Zentripetalbeschleunigung \(\vec a_z\), die immer zur Kreismitte zeigt.

Häufiger Fehler

Umdrehungen pro Minute als Frequenz nehmen: \(120\) Umdrehungen pro Minute sind \(f = \dfrac{120}{60\;\text{s}} = 2\;\text{Hz}\), nicht \(120\;\text{Hz}\). Und \(\omega\) braucht den Faktor \(2\pi\): \(\omega = 2\pi \cdot 2\;\text{Hz} \approx 12.6\;\text{rad/s}\).

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Frequenz und Winkelgeschwindigkeit0 in Folge

🔁 Bahngeschwindigkeit und Zentripetalbeschleunigung0 in Folge

🔁 Kurvenfahrt0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 5 · 12 P

  1. 5a(3 P)Die Erde dreht sich in \(24\;\text{h}\) einmal um ihre Achse. Ein Punkt am Äquator ist \(6370\;\text{km}\) von der Achse entfernt. Berechne \(\omega\), \(v\) (in km/h) und \(a_z\).
    Lösung

    \(T = 24 \cdot 3600\;\text{s} = 86\,400\;\text{s}\), \(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{86\,400\;\text{s}} \approx 7.27 \cdot 10^{-5}\;\text{rad/s}\).

    \(v = \omega \cdot r\) \(= 7.272 \cdot 10^{-5}\;\text{rad/s} \cdot 6.37 \cdot 10^{6}\;\text{m}\) \(\approx 463\;\text{m/s} \approx 1670\;\text{km/h}\).

    \(a_z = \omega^2 \cdot r \approx 0.0337\;\text{m/s}^2\) — klein gegen \(g\).

  2. 5b(3 P)Eine CD dreht sich mit \(500\) Umdrehungen pro Minute. Wie gross sind Rotationsfrequenz, Winkelgeschwindigkeit und die Bahngeschwindigkeit am Rand (\(r = 6\;\text{cm}\))?
    Lösung

    \(f = \dfrac{500}{60\;\text{s}} \approx 8.33\;\text{Hz}\), \(\omega = 2\pi \cdot f \approx 52.4\;\text{rad/s}\).

    \(v = \omega \cdot r\) \(= 52.36\;\text{rad/s} \cdot 0.06\;\text{m}\) \(\approx 3.14\;\text{m/s}\).

  3. 5c(3 P)Ein Auto fährt mit \(54\;\text{km/h}\) durch eine Kurve mit \(r = 50\;\text{m}\). Wie gross ist die Zentripetalbeschleunigung? Wie viel Prozent von \(g\) ist das?
    Lösung

    \(v = \dfrac{54}{3.6}\;\text{m/s} = 15\;\text{m/s}\), \(a_z = \dfrac{v^2}{r} = \dfrac{(15\;\text{m/s})^2}{50\;\text{m}} = 4.5\;\text{m/s}^2\).

    \(\dfrac{4.5\;\text{m/s}^2}{9.81\;\text{m/s}^2} \approx 0.459\), also rund \(46\;\%\) von \(g\).

  4. 5d(3 P)Ein Körper läuft gleichförmig auf der Kreisbahn um. Zeichne bei P und bei Q den Pfeil \(\vec v\) und den Pfeil \(\vec a_z\) ein. Warum ist der Körper beschleunigt, obwohl der Betrag seiner Geschwindigkeit konstant ist?
    MPQDrehsinn: gegen den Uhrzeigersinn
    Lösung

    \(\vec v\) liegt an beiden Orten tangential an der Bahn und zeigt in Drehrichtung (gegen den Uhrzeigersinn): bei P fast senkrecht nach oben, leicht nach links geneigt, bei Q fast senkrecht nach unten, ebenfalls leicht nach links. \(\vec a_z\) zeigt an beiden Orten zum Mittelpunkt M.

    Die beiden Pfeile \(\vec v\) sind gleich lang, zeigen aber in verschiedene Richtungen. Eine Änderung der Richtung ist eine Änderung des Vektors \(\vec v\) — also eine Beschleunigung.

Mehr dazu: Themenseite 4.1, Gleichförmige Kreisbewegung

AbschlussGesamttest
Abschluss4.1 · K1–K4≈ 25 min · 25 Punkte

Gesamttest

1
Lösen — auf Papier, mit Rechenweg. Erlaubt sind Taschenrechner und Formelsammlung.
⬇ Gesamttest (PDF)
2
Bewerten lassen — Lösung scannen oder fotografieren (ohne Namen und Standort) und mit dem Bewertungspaket einer KI geben, oder selbst nach dem Raster bewerten. Ob du eine KI nutzt und welche, entscheidest du selbst und in eigener Verantwortung (mehr dazu im Paket). Das Paket enthält die Musterlösung: erst danach öffnen.
⬇ Bewertungspaket (PDF)
3
Gezielt wiederholen — nach der Tabelle unten.
Selbsteinschätzung
22 – 25 PDie geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten).
17 – 21 PDen schwächsten Teil nochmals: Simulation und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast.
11 – 16 PZurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast.
0 – 10 PZurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter.

Aufgabe → Kapitel → Kompetenz: G1 → 1, 2, 5 → K1 · G2 → 1, 2 → K1, K3 · G3 → 3 → K2 · G4, G5 → 4 → K3 · G6 → 5 → K4, K1

Nicht in diesem Leitprogramm

Leitprogramm Kinematik · Clips von physik.begreifbar.ch Raphael Arnold Kohler