Heizen, Dämmen, Umwandeln

V.1 Mit \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) folgt

\[ Q = 1.0\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 60\,\mathrm{K} = 250.9\,\mathrm{kJ} \]

V.2 \(P = \dfrac{E}{t} = \dfrac{900\,000\,\mathrm{J}}{600\,\mathrm{s}} = 1500\,\mathrm{W}\).

V.3 \(5 \cdot 3.6\,\mathrm{MJ} = 18\,\mathrm{MJ}\).

V.4 \(0.35 \cdot 200\,\mathrm{MJ} = 70\,\mathrm{MJ}\) werden Bewegung; \(130\,\mathrm{MJ}\) bleiben als Abwärme.

V.5 In den Wicklungen und in den Lagern entsteht Reibung im weitesten Sinn — elektrischer Widerstand und mechanische Reibung. Der entsprechende Teil der zugeführten Energie wird nicht Bewegung, sondern Wärme. Verloren ist er nicht: Er heizt Motor und Umgebung.

V.6 \(m = \dfrac{60\,\mathrm{MJ}}{15\,\mathrm{MJ/kg}} = 4\,\mathrm{kg}\).

Auswertung. Fünf oder sechs richtig: Du kannst direkt mit Schritt 1 beginnen. Weniger als vier: Arbeite zuerst das Leitprogramm «Wärmemenge und Wärmebilanz» durch — dort stehen Wärmemenge, Leistung und die Energieeinheiten ausführlich.

V.4 ist im Kern schon der Wirkungsgrad, V.6 schon der Heizwert. Wenn beides sitzt, geht es in diesem Leitprogramm vor allem darum, wohin der Rest verschwindet.

Chemische Energie in der Batterie → elektrische Energie im Draht → im Leuchtmittel teils Licht, teils Wärme → das Licht trifft auf Wände und Gegenstände und wird dort absorbiert, also ebenfalls Wärme. Am Schluss ist die ganze Batterieenergie Wärme bei Raumtemperatur. Die Summe war in jedem Schritt gleich; nur die Brauchbarkeit hat abgenommen.

Für sich betrachtet ja: Sein Wirkungsgrad liegt praktisch bei eins, weil Wärme genau das Gewünschte ist. Die Kette davor ist aber lang — im Kraftwerk wurde Wärme in Strom umgewandelt, und dabei ging der grössere Teil verloren. Und eine Wärmepumpe liefert mit derselben Kilowattstunde Strom ein Mehrfaches an Wärme (Schritt 5). Ein hoher Wirkungsgrad des einzelnen Geräts sagt also wenig über die ganze Kette.

Bewegung eines Körpers ist geordnet: Alle Teilchen laufen in dieselbe Richtung. Wärme ist ungeordnet: Die Teilchen bewegen sich in alle Richtungen zugleich. Ordnung lässt sich mühelos in Unordnung überführen — beim Bremsen geschieht genau das. Der umgekehrte Weg verlangt, aus zufälligem Gewimmel eine gemeinsame Richtung zu machen, und das gelingt nur teilweise. Wie viel höchstens, sagt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik; für dieses Leitprogramm genügt die Richtung.

\[ \eta = \frac{26\,\mathrm{MJ}}{30\,\mathrm{MJ}} = 0.867 \approx 87\,\% \]

Der Verlust beträgt \(30\,\mathrm{MJ} - 26\,\mathrm{MJ} = 4\,\mathrm{MJ}\). Er verlässt das Haus als warmes Abgas durch den Kamin.

Ansatz. Gesucht ist die zugeführte Energie, also die Formel umstellen:

\[ E_\text{zu} = \frac{E_\text{nutz}}{\eta} = \frac{1.2\,\mathrm{kWh}}{0.40} = 3.0\,\mathrm{kWh} \]

Die Glühlampe bräuchte \(1.2 / 0.05 = 24\,\mathrm{kWh}\) — das Achtfache. Beachte, dass der Wirkungsgrad hier im Nenner steht: Ein kleiner Wirkungsgrad macht die nötige Energie gross.

Für die Energiebilanz des Zimmers stimmt das: Die Wärme fehlt der Heizung, die entsprechend weniger liefern muss. Wer mit Strom heizt, macht in dieser Rechnung tatsächlich keinen Verlust.

Drei Einschränkungen bleiben. Erstens gilt das nur in der Heizsaison — im Sommer muss die Wärme sogar weggekühlt werden. Zweitens ist Strom die hochwertigste Energieform; sie zum Heizen zu benutzen, ist Entwertung im grossen Stil (Schritt 1). Drittens liefert eine Wärmepumpe aus derselben Kilowattstunde ein Mehrfaches an Wärme (Schritt 5). Der Vergleich fällt also je nach Systemgrenze verschieden aus — und genau deshalb muss man sie immer angeben.

\(\eta_\text{ges} = 0.95 \cdot 0.90 \cdot 0.85 = 0.727 \approx 73\,\%\). Das Ergebnis liegt unter dem kleinsten Einzelwert \(0.85\) — eine gute Kontrolle für jede solche Rechnung.

Aus \(\eta_\text{ges} = \eta_1 \cdot \eta_2\) folgt \(\eta_2 = \dfrac{0.60}{0.75} = 0.80\). Die Probe bestätigt: \(0.75 \cdot 0.80 = 0.60\).

Vorher: \(0.80 \cdot 0.90 \cdot 0.95 = 0.684\). Nachher: \(0.88 \cdot 0.90 \cdot 0.95 = 0.752\).

Absolut sind das \(6.8\) Prozentpunkte, relativ \(0.752 / 0.684 - 1 = 9.9\,\%\) mehr. Beide Angaben sind richtig und klingen verschieden gut — darum gehört in eine solche Aussage immer dazu, welche der beiden gemeint ist. Beachte auch: Es lohnt sich fast immer, die schlechteste Stufe zu verbessern.

\(Q = m \cdot H = 25\,\mathrm{kg} \cdot 17.0\,\tfrac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kg}} = 425\,\mathrm{MJ}\). Das entspricht \(425 / 3.6 = 118\,\mathrm{kWh}\).

Ansatz. \(m = \dfrac{Q}{\eta \cdot H}\), danach über die Dichte auf das Volumen:

\[ m = \frac{54\,000\,\mathrm{MJ}}{0.88 \cdot 42.6\,\tfrac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kg}}} = 1440\,\mathrm{kg} \]

\(V = \dfrac{1440\,\mathrm{kg}}{0.84\,\mathrm{kg/l}} = 1714\,\mathrm{l}\), also gut \(1700\,\mathrm{l}\).

Erstens ist ein Teil der Masse Wasser und liefert selbst gar keine Energie: Ein Kilogramm feuchtes Holz enthält weniger brennbare Substanz als ein Kilogramm trockenes.

Zweitens muss dieses Wasser beim Verbrennen verdampft werden, und die Verdampfungswärme von \(2256\,\mathrm{kJ/kg}\) geht mit dem Abgas verloren. Beide Effekte zusammen können den Heizwert fast halbieren. Genau hier liegt auch der Unterschied zwischen Heizwert und Brennwert: Der Brennwert zählt diese Kondensationswärme mit, weil ein Brennwertkessel sie aus dem Abgas zurückholt.

\[ \varepsilon = \frac{9000\,\mathrm{kWh}}{2500\,\mathrm{kWh}} = 3.6 \]

Aus der Umgebung stammen \(9000 - 2500 = 6500\,\mathrm{kWh}\), also rund \(72\,\%\) der abgegebenen Wärme.

Die Pumpe muss die Wärme von der Quellentemperatur auf die Vorlauftemperatur heben. Je grösser dieser Temperaturhub, desto mehr Arbeit kostet jede Kilowattstunde Wärme. In der Simulation steht der Hub im Nenner der Grenze \(T_\text{warm} / (T_\text{warm} - T_\text{kalt})\): Bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) Quelle und \(35\,^\circ\mathrm{C}\) Vorlauf beträgt er \(35\,\mathrm{K}\), bei \(-10\,^\circ\mathrm{C}\) schon \(45\,\mathrm{K}\) — und die Leistungszahl fällt entsprechend. Genau dann, wenn am meisten Wärme gebraucht wird, arbeitet die Pumpe also am ungünstigsten.

Ein Wirkungsgrad zählt alle zugeführten Energien im Nenner. Bei der Wärmepumpe gehören dazu der Strom und die Umgebungswärme; dann liegt das Verhältnis unter eins, wie bei jedem anderen Gerät auch.

Richtig heisst es: «Die Leistungszahl beträgt \(4.0\)» oder «Aus einer Kilowattstunde Strom werden vier Kilowattstunden Heizwärme». Die Zahl stimmt, die Bezeichnung nicht — und sie legt nahe, es entstünde Energie aus dem Nichts.

Quellen sind Wasserkraft, Wind, Sonne und Biogas: Bei ihnen fliesst Energie von aussen laufend nach. Technologien sind die Wärmepumpe und die Wärme-Kraft-Kopplung: Die Wärmepumpe hebt vorhandene Umgebungswärme mit Hilfe von Strom auf ein nutzbares Niveau, die Wärme-Kraft-Kopplung nutzt die Abwärme der Stromerzeugung mit, statt sie wegzukühlen. Beide vergrössern die Energiemenge nicht, sie verbessern die Ausbeute.

Elektroheizung: \(18\,000\,\mathrm{kWh}\) Strom — sie wandelt Strom eins zu eins in Wärme um.

Wärmepumpe: \(W = \dfrac{18\,000\,\mathrm{kWh}}{3.5} = 5143\,\mathrm{kWh}\) Strom; die restlichen \(12\,857\,\mathrm{kWh}\) kommen aus der Umgebung. Die Wärmepumpe braucht also nur rund \(29\,\%\) des Stroms — bei derselben Wärme im Haus.

Weil die Balken Endenergie zeigen, und die ist nicht gleichwertig: Eine Kilowattstunde Strom muss zuerst irgendwo erzeugt werden — je nach Kraftwerk mit Verlusten und mit Kohlendioxid —, während eine Kilowattstunde Holz aus dem Wald kommt. Die Kette vor dem Haus ist im Bild nicht enthalten (Schritt 3).

Für eine Beurteilung braucht es zusätzlich die Herkunft des Stroms, den Ausstoss an Kohlendioxid über den ganzen Lebensweg, die Verfügbarkeit und schliesslich die Kosten. Der Vergleich zeigt genau eine Sache sauber: wie viel Endenergie dasselbe Haus in jedem Fall braucht.

(a) Leitung — Energie wandert im Metall von Nachbar zu Nachbar. (b) Strahlung — sie kommt durch das Vakuum des Weltalls. (c) Konvektion — die warme Luft steigt selbst auf. (d) Strahlung — die heisse Ofenoberfläche strahlt im Infraroten ab; ein Teil kommt zusätzlich als Konvektion durch die aufsteigende Luft.

Zwischen den beiden Wänden ist ein Vakuum: Ohne Stoff gibt es weder Leitung noch Konvektion. Die verbleibende Strahlung wirft die Verspiegelung zurück. Was übrig bleibt, ist der Weg über den Verschluss und die dünne Verbindung der beiden Wände — darum wird auch eine Thermoskanne mit der Zeit kalt, nur eben viel langsamer.

Weil Luft in einem grösseren Spalt nicht ruht: Sie erwärmt sich an der warmen Seite, steigt auf, kühlt an der kalten Seite ab und sinkt — es entsteht Konvektion, und die transportiert weit mehr Wärme als die Leitung. Dämmstoffe sind darum so gebaut, dass sie die Luft in vielen kleinen Kammern festhalten. Genau das leisten Mineralwolle, Schaum, Daunen und der Pelz eines Tieres.

Für sichtbares Licht ist das Glas durchlässig: Es erreicht die Sitze und erwärmt sie. Die Sitze strahlen im Infraroten zurück, und dafür ist Glas kaum durchlässig — die Energie bleibt weitgehend drin. Dazu kommt, dass die erwärmte Luft nicht abfliessen kann; die Konvektion nach draussen fällt weg. Beides zusammen ergibt die bekannte Hitze.

Leitung: eine Dämmschicht aus Mineralwolle oder Schaum — sie hält Luft in kleinen Kammern fest, und ruhende Luft leitet sehr schlecht. Konvektion: dichte Fenster- und Türfugen sowie mehrere Scheiben — ohne Strömung kein Transport. Strahlung: eine Infrarot-Beschichtung auf dem Glas — sie wirft die Wärmestrahlung des Zimmers zurück, lässt das Licht aber herein.

Im Gartentreibhaus ist die unterbundene Konvektion der Hauptgrund: Die erwärmte Luft kann nicht wegströmen, weil das Glas sie einschliesst. Der Strahlungsanteil kommt dazu, ist aber der kleinere Beitrag — Messungen zeigen das, seit man Treibhäuser mit strahlungsdurchlässigen Materialien gebaut hat: Sie werden trotzdem warm.

Bei der Atmosphäre ist es umgekehrt: Es gibt keine Hülle, die Luft festhält; dort wirkt allein die Strahlungsbilanz. Der Name «Treibhauseffekt» ist also ein Vergleich, kein Beweis — und er hinkt genau an dieser Stelle.

T.1 \(\eta = \dfrac{24\,\mathrm{MJ}}{30\,\mathrm{MJ}} = 0.80\); die Abwärme beträgt \(30 - 24 = 6\,\mathrm{MJ}\). Sie verlässt das Haus als warmes Abgas durch den Kamin. (Wirkungsgrad 1 P, Differenz 1 P, Weg 1 P)

T.2 \(\eta_\text{ges} = 0.92 \cdot 0.88 \cdot 0.75 = 0.607 \approx 61\,\%\).

Am meisten bringt die schlechteste Stufe: Hebt man \(0.75\) auf \(0.85\), steigt das Produkt auf \(0.688\) — gut acht Prozentpunkte. Dieselbe Verbesserung an der besten Stufe (\(0.92\) auf \(1.00\), was gar nicht möglich ist) brächte weniger. (Produkt 1 P, Zahlenwert 1 P, Begründung 1 P)

T.3 Zuerst die Energie umrechnen: \(18\,000\,\mathrm{kWh} \cdot 3.6\,\tfrac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kWh}} = 64\,800\,\mathrm{MJ}\).

\[ m = \frac{Q}{\eta \cdot H} = \frac{64\,800\,\mathrm{MJ}}{0.88 \cdot 42.6\,\tfrac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kg}}} = 1729\,\mathrm{kg} \]

Mit \(0.84\,\mathrm{kg/l}\) sind das \(V = 2058\,\mathrm{l}\), also rund \(2100\,\mathrm{l}\). (Umrechnung 1 P, Masse 1 P, Volumen 1 P)

T.4 \(W = \dfrac{18\,000\,\mathrm{kWh}}{3.5} = 5143\,\mathrm{kWh}\) Strom; aus der Umgebung kommen \(18\,000 - 5143 = 12\,857\,\mathrm{kWh}\). (Ansatz 1 P, Strom 1 P, Umgebungsanteil 1 P)

T.5 Leitung: Pfannengriff — braucht Stoff, aber keine Strömung. Konvektion: Heizkörper im Zimmer — braucht ein strömendes Gas oder eine Flüssigkeit. Strahlung: die Sonne — braucht gar nichts, auch Vakuum genügt. (je 1 P für zwei vollständig richtige Zuordnungen)

T.6 Das Vakuum unterbindet zugleich die Leitung (kein Stoff, der weitergeben kann) und die Konvektion (kein Stoff, der strömen kann). Die Verspiegelung wirft die Strahlung zurück. Übrig bleibt der Weg über Verschluss und Wandverbindung. (Leitung 1 P, Konvektion 1 P, Strahlung 1 P)

T.7 Sichtbares Sonnenlicht durchdringt die Atmosphäre fast ungehindert und erwärmt den Boden. Der Boden strahlt diese Energie im Infraroten wieder ab. Für Infrarot ist die Atmosphäre aber nur teilweise durchlässig: Kohlendioxid und Wasserdampf nehmen es auf und strahlen es in alle Richtungen neu ab, auch nach unten. Damit stellt sich ein höheres Gleichgewicht ein — ohne diesen Effekt läge die mittlere Temperatur bei rund \(-18\,^\circ\mathrm{C}\) statt bei \(+15\,^\circ\mathrm{C}\). (Hinweg 1 P, Rückweg im Infraroten 1 P, Asymmetrie und Folge 1 P)

Auswertung. Ab 16 Punkten sitzt das Kapitel. Bei 12 bis 15 Punkten hast du eine gezielte Lücke — schau nach, in welchem Schritt die verlorenen Punkte lagen, und arbeite nur diesen nochmals durch. Unter 12 Punkten lohnt sich der Weg ab Schritt 2 von vorn.

Wo du nachschlägst, wenn etwas nicht stimmte.

Wo Punkte typischerweise verloren gehen: Wirkungsgrade addiert statt multipliziert, den Wirkungsgrad im Zähler statt im Nenner eingesetzt, Kilowattstunden nicht in Joule umgerechnet, die Leistungszahl als Wirkungsgrad bezeichnet, oder Konvektion und Leitung verwechselt — Konvektion braucht immer eine Strömung.