So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Du bestimmst das Tempo selbst, die Reihenfolge nicht. Die Schritte 4 bis 8 bauen streng aufeinander auf: Aus der Wärmemenge folgt die Bilanz zweier Körper, daraus die Energie beim Phasenwechsel, und erst mit beidem lässt sich sagen, wie lange ein Gerät für eine Aufgabe braucht.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine notierte falsche Vermutung lernt sich besser als eine gelesene richtige.
- Clip anschauen. Jeder Schritt beginnt mit einem vertonten Erklärclip von rund einer Minute. Er ersetzt den Lehrtext nicht, sondern stellt die Frage, die der Text beantwortet.
- Simulation selbst bewegen. Wo ein Regler steht, gehört er gezogen. Achte darauf, welche Anzeige mitgeht und welche stehen bleibt — das ist meist der ganze Lerninhalt.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen. Wer zuerst schaut, betrügt sich um den Lerneffekt.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht. Wer nur die Kernaufgaben rechnet, kommt mit den angesetzten fünf Lektionen aus.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Gesamttest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 25 Minuten, Taschenrechner und Tabellenwerte.
Was du am Ende können musst
Temperatur über die Teilchenbewegung erklären, Celsius in Kelvin umrechnen, Wärme als übertragene Energie von der Temperatur unterscheiden und mit \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) rechnen.
Eine Wärmebilanz aufstellen und die Mischtemperatur bestimmen, mit der latenten Wärme beim Schmelzen und Verdampfen rechnen, den Temperaturverlauf als Heizkurve zeichnen und aus Leistung und Wirkungsgrad die Heizzeit berechnen.
Drei Regeln, die in jedem Schritt gelten
Erstens: In \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) steht eine Differenz \(\Delta T\). Sie ist in Kelvin und in Grad Celsius gleich gross — hier darfst du beides einsetzen. Bei einer absoluten Temperatur darfst du das nicht.
Zweitens: Erst der Ansatz, dann die Zahlen. Schreib die Formel symbolisch hin, stelle sie um, und setze erst danach ein — mit Einheiten.
Drittens: Wärme ist eine Energie und wird in Joule gemessen, Temperatur ist ein Zustand und wird in Kelvin gemessen. Wer die beiden vertauscht, rechnet den ganzen Rest falsch.
Vortest: Was solltest du schon können?
Sechs kurze Aufgaben. Sie zeigen, ob das nötige Vorwissen aus Mechanik und Vorwissen sitzt.
Rechne alle sechs Aufgaben, bevor du eine einzige Lösung aufklappst.
V.1 Rechne \(25\,^\circ\mathrm{C}\) in Kelvin um. Wie gross ist die Temperaturdifferenz zwischen \(80\,^\circ\mathrm{C}\) und \(20\,^\circ\mathrm{C}\) in Kelvin?
V.2 Welche Masse hat \(1.5\,\mathrm{l}\) Wasser? Rechne mit \(\rho = 1000\,\mathrm{kg/m^3}\).
V.3 Wie viele Megajoule sind \(1\,\mathrm{kWh}\)?
V.4 Wie viel sind \(30\,\%\) von \(250\,\mathrm{kJ}\)?
V.5 Warum bewegen sich die Teilchen eines Stoffs bei höherer Temperatur schneller?
V.6 Stelle \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) nach \(\Delta T\) um.
Alle Lösungen und die Auswertung anzeigen
V.1 \(T = 25 + 273.15 = 298.15\,\mathrm{K}\). Die Differenz beträgt \(60\,\mathrm{K}\) — bei einer Differenz fällt der Versatz von \(273.15\) weg.
V.2 \(1.5\,\mathrm{l} = 1.5\,\mathrm{dm^3} = 1.5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3}\), und mit \(m = \rho \cdot V\) folgt \(m = 1000\,\mathrm{kg/m^3} \cdot 1.5 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3} = 1.5\,\mathrm{kg}\).
V.3 \(1\,\mathrm{kWh} = 1000\,\mathrm{W} \cdot 3600\,\mathrm{s}\), das sind \(3.6 \cdot 10^{6}\,\mathrm{J} = 3.6\,\mathrm{MJ}\).
V.4 \(0.30 \cdot 250\,\mathrm{kJ} = 75\,\mathrm{kJ}\).
V.5 Die Temperatur ist ein Mass für die mittlere Bewegungsenergie je Teilchen. Wird geheizt, nimmt diese Energie zu — die Teilchen werden schneller.
V.6 \(\Delta T = \dfrac{Q}{m \cdot c}\)
Auswertung. Fünf oder sechs richtig: Du kannst direkt mit Schritt 1 beginnen. Weniger als vier: Arbeite zuerst das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» durch — dort stehen Einheiten, Masse und Dichte ausführlich.
| Fehler bei | Das schlägst du zuerst nach |
|---|---|
| V.1 | Schritt 2 hier — und die Themenseite 5.1 Temperatur |
| V.2 | Vorwissen-Leitprogramm, Schritte 5 und 6 |
| V.3, V.4 | Vorwissen-Leitprogramm, Schritte 1 bis 3 |
| V.5 | Schritt 1 hier — Teilchenbild der Temperatur |
| V.6 | Schritt 4 hier; das Umstellen wird dort geübt |
V.6 ist die Formel, um die es hier geht. Wenn sie schon sitzt, umso besser — die Arbeit steckt danach in der Bilanz und im Phasenwechsel.
Temperatur ist ein Tempo — und sie bestimmt den Zustand
Du erklärst die Temperatur über die Bewegung der Teilchen und begründest, warum derselbe Stoff fest, flüssig oder gasförmig sein kann.
Einstiegsfrage. Ein Becher Wasser steht ruhig auf dem Tisch. Bewegt sich darin etwas? Notiere deine Vermutung mit einer kurzen Begründung.
Von aussen ist der Becher in Ruhe. Innen ist es nichts. Alle Teilchen eines Stoffs bewegen sich unablässig: In einem Gas fliegen sie kreuz und quer, in einer Flüssigkeit gleiten sie aneinander vorbei, in einem Festkörper zittern sie um ihren Platz. Diese Bewegung hört nie auf.
Die Temperatur ist das Mass für diese thermische Bewegung. Genauer: für die mittlere Bewegungsenergie je Teilchen. Zwei Feinheiten stecken in diesem Satz, und beide werden gern übersehen.
Zwei Feinheiten
Ein Mittelwert. Nicht alle Teilchen sind gleich schnell — einige rasen, andere schleichen. Ein einzelnes Teilchen hat darum gar keine Temperatur; Temperatur ist eine Eigenschaft vieler Teilchen zusammen.
Kein Vorrat. Temperatur sagt nichts darüber, wie viel Energie in einem Körper steckt. Ein Becher heisses Wasser ist heisser als ein lauwarmer See und enthält trotzdem viel weniger Energie. Menge und Tempo sind zweierlei — davon handelt Schritt 3.
Weil die Temperatur ein Tempo misst, hat sie nach unten eine Grenze: Wo die thermische Bewegung minimal wird, geht es nicht weiter. Diese Grenze heisst absoluter Nullpunkt und liegt bei \(-273.15\,^\circ\mathrm{C}\). Nach oben gibt es keine solche Grenze.
Ob ein Stoff fest, flüssig oder gasförmig ist, entscheidet ein Kräftemessen: Bindung gegen Bewegung. Solange die Bindungskräfte gewinnen, bleibt jedes Teilchen an seinem Platz — der Stoff ist fest. Reicht die Bewegung zum Platzwechsel, aber nicht zum Davonfliegen, ist er flüssig. Überwiegt die Bewegung ganz, ist er gasförmig.
Bei 1013 hPa schmilzt Wasser bei 0 °C und siedet bei 100 °C.
Die beiden Temperaturen, bei denen der Zustand kippt, gehören zum Stoff: Wasser schmilzt bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) und siedet bei \(100\,^\circ\mathrm{C}\), Eisen schmilzt erst bei \(1538\,^\circ\mathrm{C}\), Stickstoff siedet schon bei \(-196\,^\circ\mathrm{C}\). Alle diese Werte gelten bei Normdruck — mit dem Druck verschieben sie sich.
Merksatz
Temperatur ist ein Mass für die thermische Bewegung der Teilchen, nicht eine Menge Energie; beim idealen Gas ist sie der mittleren Bewegungsenergie je Teilchen direkt proportional. Welcher Aggregatzustand vorliegt, entscheidet das Kräftemessen zwischen Bindung und Bewegung — und die Grenzen dieses Kampfes heissen Schmelz- und Siedepunkt.
A1.1 KERN Erkläre mit dem Teilchenmodell, warum ein Stoff beim Erwärmen vom festen in den flüssigen Zustand übergeht.
Lösung anzeigen
Höhere Temperatur bedeutet mehr Bewegungsenergie je Teilchen. Solange die Bindungskräfte überwiegen, bleibt jedes Teilchen an seinem Platz und zittert nur. Reicht die Bewegungsenergie aus, um die Bindung zum Nachbarn immer wieder zu lösen, können die Teilchen ihre Plätze tauschen — sie bleiben in Kontakt, aber die feste Ordnung ist dahin. Genau das ist der flüssige Zustand.
A1.2 KERN Ein Becher mit \(0.2\,\mathrm{l}\) kochendem Wasser und ein See mit \(20\,^\circ\mathrm{C}\): Welches der beiden hat die höhere Temperatur, welches die grössere innere Energie? Begründe.
Lösung anzeigen
Die höhere Temperatur hat der Becher — seine Teilchen bewegen sich im Mittel schneller. Die grössere Energie steckt im See: Er hat unvorstellbar viel mehr Teilchen, und jedes trägt seinen Anteil bei. Temperatur ist ein Mittelwert je Teilchen, Energie eine Summe über alle. Darum lässt sich aus der Temperatur allein nie auf die Energiemenge schliessen.
A1.3 VERTIEFUNG Warum verdunstet eine Pfütze auch bei \(15\,^\circ\mathrm{C}\), obwohl Wasser doch erst bei \(100\,^\circ\mathrm{C}\) siedet?
Lösung anzeigen
Weil die Temperatur nur den Mittelwert nennt. Einzelne Teilchen an der Oberfläche sind deutlich schneller als der Durchschnitt und können die Bindung zu ihren Nachbarn verlassen — sie verdunsten. Zurück bleiben die langsameren, weshalb die Pfütze dabei sogar leicht abkühlt. Sieden ist etwas anderes: Dort bilden sich auch im Innern Dampfblasen, und das gelingt erst, wenn der Dampfdruck den Luftdruck erreicht.
Celsius, Kelvin — und wann die Umrechnung nötig ist
Du rechnest zwischen den beiden Skalen um und begründest, warum in einer Differenz beide dieselbe Zahl liefern.
Einstiegsfrage. Eine Suppe wird von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(80\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmt. Wie gross ist die Temperaturänderung in Kelvin? Notiere deine Antwort, bevor du weiterliest.
Beide Skalen haben gleich grosse Schritte und einen verschiedenen Nullpunkt. Celsius legt die Null an den Schmelzpunkt des Wassers, Kelvin an den absoluten Nullpunkt:
\[ T = \vartheta + 273.15 \qquad\text{und}\qquad \vartheta = T - 273.15 \]
Dabei ist \(\vartheta\) die Temperatur in Grad Celsius und \(T\) die absolute Temperatur in Kelvin. Weil die Schritte gleich gross sind, gilt für jede Differenz:
\[ \Delta T = \Delta \vartheta \]
Δϑ = 60 °C − 20 °C = 40 K; die Differenz trägt in beiden Skalen dieselbe Zahl
Die Regel für die Praxis
Umrechnen musst du, wo eine absolute Temperatur gefragt ist: im Gasgesetz, in der Strahlungsphysik, überall dort, wo \(T\) allein in der Formel steht.
Umrechnen musst du nicht, wo eine Differenz steht — also in \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) und in allen Ausdehnungsformeln. Dort darfst du die Celsius-Differenz direkt einsetzen.
Merksatz
\(T = \vartheta + 273.15\) für absolute Temperaturen; \(\Delta T = \Delta \vartheta\) für jede Differenz. Der Versatz von \(273.15\) fällt beim Subtrahieren weg — deshalb ist eine Erwärmung um \(60\,\mathrm{K}\) dasselbe wie eine Erwärmung um \(60\,^\circ\mathrm{C}\)-Schritte.
A2.1 KERN Rechne um: \(37\,^\circ\mathrm{C}\) in Kelvin, \(77\,\mathrm{K}\) in Grad Celsius.
Lösung anzeigen
\(T = 37 + 273.15 = 310.15\,\mathrm{K}\) — die Körpertemperatur.
\(\vartheta = 77 - 273.15 = -196.15\,^\circ\mathrm{C}\) — der Siedepunkt von Stickstoff.
A2.2 KERN Ein Motorblock erwärmt sich von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(95\,^\circ\mathrm{C}\). Gib die Temperaturänderung in Grad Celsius und in Kelvin an.
Lösung anzeigen
\(\Delta \vartheta = 95\,^\circ\mathrm{C} - 15\,^\circ\mathrm{C} = 80\) Celsius-Schritte, also \(\Delta T = 80\,\mathrm{K}\). Beide Zahlen sind gleich; nur die Einheit wird anders geschrieben. Wer hier zuerst beide Temperaturen in Kelvin umrechnet, erhält \(368.15 - 288.15 = 80\,\mathrm{K}\) — dieselbe Zahl, mit zwei Rechenschritten mehr.
A2.3 VERTIEFUNG Warum ist die Aussage «heute ist es doppelt so warm wie gestern» physikalisch unbrauchbar, wenn man in Grad Celsius misst?
Lösung anzeigen
Ein Verhältnis hat nur dann eine Bedeutung, wenn der Nullpunkt der Skala etwas bedeutet. Der Celsius-Nullpunkt ist willkürlich gewählt — er markiert den Schmelzpunkt des Wassers, nicht das Verschwinden der Teilchenbewegung.
Von \(10\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(20\,^\circ\mathrm{C}\) verdoppelt sich die Celsius-Zahl, aber die absolute Temperatur steigt nur von \(283.15\,\mathrm{K}\) auf \(293.15\,\mathrm{K}\) — das sind rund \(3.5\,\%\). In Kelvin ist ein Verhältnis dagegen sinnvoll, weil die Null dort dem Stillstand entspricht.
Wärme ist nicht Temperatur
Du unterscheidest Wärme von Temperatur, nennst die Richtung des Wärmestroms und beschreibst, woran man das thermische Gleichgewicht erkennt.
Einstiegsfrage. Ein Metalllöffel steht in einer heissen Suppe und wird warm. Was genau ist von der Suppe in den Löffel gewandert? Notiere deine Vermutung.
Nicht «Temperatur» ist gewandert und auch nicht «Wärme, die im Suppentopf gelagert war». Gewandert ist Energie — und zwar wegen des Temperaturunterschieds. Genau dafür ist das Wort Wärme reserviert:
Definition
Wärme \(Q\) ist Energie, die allein wegen eines Temperaturunterschieds von einem Körper auf einen anderen übergeht. Sie wird in Joule gemessen, wie jede Energie. Ein Körper hat keine Wärme; er hat innere Energie. Wärme ist das, was zwischen zwei Körpern fliesst.
Im Teilchenbild ist der Vorgang leicht zu sehen: An der Berührungsfläche stossen die schnellen Teilchen der Suppe gegen die langsamen des Löffels. Bei jedem Stoss gibt das schnellere Teilchen im Mittel etwas Bewegungsenergie ab. So wandert Energie stossweise durch das Metall — ohne dass der Löffel selbst irgendwohin geht.
Daraus folgen zwei Aussagen, die in jeder Aufgabe gebraucht werden:
- Die Richtung. Von selbst fliesst Wärme immer vom wärmeren zum kälteren Körper, nie umgekehrt. Eine Wärmepumpe kehrt die Richtung um — aber nur, indem sie Arbeit aufwendet.
- Das Ende. Der Fluss hört auf, wenn beide Körper dieselbe Temperatur haben. Dieser Zustand heisst thermisches Gleichgewicht. Er ist kein Stillstand der Teilchen — es fliesst nur in beide Richtungen gleich viel.
Beide Körper aus Wasser; die Mischtemperatur liegt näher beim schwereren Körper.
Beachte, was die Simulation zeigt, wenn du auf die schwerere kalte Masse umschaltest: Die gemeinsame Endtemperatur liegt dann viel näher beim kalten Körper. Die Temperatur allein sagt eben nichts über die Energiemenge — dazu gehören Masse und Stoff. Genau das ist der Inhalt von Schritt 4.
Merksatz
Wärme ist Energie auf dem Weg von warm nach kalt, gemessen in Joule. Temperatur ist der Zustand, der diesen Weg antreibt, gemessen in Kelvin. Der Fluss endet im thermischen Gleichgewicht — bei gleicher Temperatur, nicht bei gleicher Energie.
A3.1 KERN Erkläre im Teilchenbild, warum ein kalter Löffel in heisser Suppe warm wird — und warum das nicht umgekehrt geschieht.
Lösung anzeigen
An der Berührungsfläche stossen schnelle Suppenteilchen gegen langsamere Metallteilchen. Bei jedem Stoss geht im Mittel Bewegungsenergie vom schnelleren auf das langsamere Teilchen über; der Löffel wird schneller in seiner thermischen Bewegung, also wärmer. Umgekehrt geschieht das nicht von selbst, weil dazu die langsamen Teilchen die schnellen im Mittel beschleunigen müssten — das ist bei zufälligen Stössen so unwahrscheinlich, dass es nie beobachtet wird.
A3.2 KERN Entscheide, ob die Aussage stimmt, und begründe: «Ein Körper mit hoher Temperatur enthält viel Wärme.»
Lösung anzeigen
Die Aussage stimmt in zwei Punkten nicht. Erstens enthält ein Körper keine Wärme: Wärme ist übertragene Energie, kein Vorrat. Was ein Körper enthält, ist innere Energie. Zweitens sagt eine hohe Temperatur nichts über die Menge: Ein Funke hat über \(1000\,^\circ\mathrm{C}\) und enthält so wenig Energie, dass er auf der Haut nichts anrichtet. Richtig wäre: «Ein Körper mit hoher Temperatur kann Wärme an kältere Körper abgeben.»
A3.3 VERTIEFUNG Zwei Körper stehen im thermischen Gleichgewicht. Bewegen sich ihre Teilchen dann nicht mehr? Und fliesst zwischen ihnen wirklich gar keine Energie mehr?
Lösung anzeigen
Die Teilchen bewegen sich unvermindert weiter — Stillstand gäbe es nur am absoluten Nullpunkt. Auch Energie geht weiterhin in beide Richtungen über: Einzelne Stösse geben mal in die eine, mal in die andere Richtung ab. Gleichgewicht heisst nur, dass sich beide Richtungen im Mittel aufheben, sodass kein Netto-Wärmestrom übrig bleibt. Man nennt das ein dynamisches Gleichgewicht.
Die Wärmemenge: Masse, Stoff, Temperaturänderung
Du berechnest die Wärmemenge mit Q = m · c · ΔT, stellst die Formel nach jeder Grösse um und begründest die Sonderrolle des Wassers.
Einstiegsfrage. Am Strand glüht der Sand, das Wasser daneben bleibt kühl — bei derselben Sonne. Woran kann das liegen? Notiere deine Vermutung.
Wie viel Wärme ein Körper zum Erwärmen braucht, hängt an drei Dingen: an seiner Masse, an seinem Stoff und an der gewünschten Temperaturänderung. Alle drei stehen als Faktoren nebeneinander:
\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \]
| Zeichen | Grösse | Einheit |
|---|---|---|
| \(Q\) | Wärmemenge | \(\mathrm{J}\) |
| \(m\) | Masse | \(\mathrm{kg}\) |
| \(c\) | spezifische Wärmekapazität | \(\mathrm{J/(kg \cdot K)}\) |
| \(\Delta T\) | Temperaturänderung | \(\mathrm{K}\) |
Der mittlere Faktor ist der interessante. Die spezifische Wärmekapazität \(c\) sagt, wie viel Wärme ein Kilogramm dieses Stoffs braucht, um sich um ein Kelvin zu erwärmen. Sie ist eine Stoffeigenschaft und steht in der Tabelle:
| Stoff | \(c\) in \(\mathrm{J/(kg \cdot K)}\) | bemerkt |
|---|---|---|
| Wasser | 4182 | der Ausreisser nach oben |
| Eis | 2100 | fest ist etwas anderes als flüssig |
| Speiseöl | 2000 | rund die Hälfte von Wasser |
| Aluminium | 896 | |
| Sand, Glas | 835 | darum glüht der Strand |
| Stahl, Eisen | 450 | |
| Kupfer | 382 | |
| Blei | 129 | der Ausreisser nach unten |
Q = m · c · ΔT = 1.0 kg · 4182 J/(kg·K) · 100 K = 418.2 kJ
Beispiel — vollständig gerechnet
Wie viel Wärme braucht es, um \(2.0\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(90\,^\circ\mathrm{C}\) zu erwärmen?
Ansatz. Gesucht ist die Wärmemenge; gegeben sind Masse, Stoff und beide Temperaturen.
\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T \qquad \Delta T = 90\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = 70\,\mathrm{K} \]
Einsetzen. Mit Einheiten, nicht nur mit Zahlen:
\[ Q = 2.0\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 70\,\mathrm{K} = 585\,480\,\mathrm{J} \approx 585\,\mathrm{kJ} \]
Kontrolle. Kilogramm und Kelvin kürzen sich weg, übrig bleibt Joule — die Einheit stimmt. Und die Grössenordnung passt: Ein Wasserkocher mit \(2\,\mathrm{kW}\) bräuchte dafür rund fünf Minuten.
Umgestellt beantwortet dieselbe Formel die beiden anderen Fragen:
\[ \Delta T = \frac{Q}{m \cdot c} \qquad\text{und}\qquad m = \frac{Q}{c \cdot \Delta T} \]
Merksatz
\(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) — Masse mal Stoffwert mal Temperaturänderung. Das grosse \(c\) des Wassers macht es zum trägen Speicher: Bei gleicher Masse und gleicher Heizleistung steigt seine Temperatur langsamer, und beim Abkühlen dauert es entsprechend länger, bis die Wärme abgegeben ist. Darum fliesst in Heizungsrohren Wasser, und darum kühlt das Meer im Herbst langsamer aus als das Land.
A4.1 KERN Wie viel Wärme braucht \(0.35\,\mathrm{kg}\) Wasser, um sich von \(18\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(95\,^\circ\mathrm{C}\) zu erwärmen?
Lösung anzeigen
Ansatz. \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) mit \(\Delta T = 95\,^\circ\mathrm{C} - 18\,^\circ\mathrm{C} = 77\,\mathrm{K}\).
\[ Q = 0.35\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 77\,\mathrm{K} = 112\,705\,\mathrm{J} \approx 113\,\mathrm{kJ} \]
A4.2 KERN Ein Aluminiumblock von \(2.0\,\mathrm{kg}\) nimmt \(53.8\,\mathrm{kJ}\) auf. Um wie viel Kelvin wird er wärmer?
Lösung anzeigen
Ansatz. Gesucht ist \(\Delta T\), also die Formel zuerst umstellen:
\[ \Delta T = \frac{Q}{m \cdot c} = \frac{53\,800\,\mathrm{J}}{2.0\,\mathrm{kg} \cdot 896\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}} = 30.0\,\mathrm{K} \]
Dieselbe Wärme würde \(2.0\,\mathrm{kg}\) Wasser nur um \(6.4\,\mathrm{K}\) erwärmen — Aluminium hat das rund fünfmal kleinere \(c\).
A4.3 VERTIEFUNG Eine Pfanne aus Stahl (\(1.2\,\mathrm{kg}\)) und das Wasser darin (\(1.2\,\mathrm{kg}\)) werden zusammen um \(60\,\mathrm{K}\) erwärmt. Welchen Anteil der Wärme bekommt die Pfanne?
Lösung anzeigen
Beide Anteile einzeln:
\[ Q_\text{Pfanne} = 1.2\,\mathrm{kg} \cdot 450\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 60\,\mathrm{K} = 32.4\,\mathrm{kJ} \]
\[ Q_\text{Wasser} = 1.2\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 60\,\mathrm{K} = 301.1\,\mathrm{kJ} \]
Zusammen \(333.5\,\mathrm{kJ}\); auf die Pfanne entfallen \(32.4 / 333.5 = 9.7\,\%\). Bei gleicher Masse entscheidet allein das Verhältnis der Stoffwerte \(450 : 4182\). In vielen Aufgaben wird die Pfanne darum vernachlässigt — das ist eine Näherung, und man sollte sie aussprechen.
Wärmebilanz: die Mischtemperatur
Du stellst eine Wärmebilanz auf, berechnest die Mischtemperatur zweier Körper und begründest, warum sie nicht in der Mitte liegt.
Einstiegsfrage. Ein Glas mit \(0.3\,\mathrm{kg}\) heissem Wasser (\(90\,^\circ\mathrm{C}\)) wird mit \(0.5\,\mathrm{kg}\) kaltem Wasser (\(20\,^\circ\mathrm{C}\)) gemischt. Liegt die Endtemperatur über oder unter \(55\,^\circ\mathrm{C}\)? Schätze zuerst.
In einem abgeschlossenen System geht keine Energie verloren. Was der warme Körper abgibt, nimmt der kalte auf — mehr nicht und weniger nicht. Das ist die Wärmebilanz:
\[ Q_\text{ab} = Q_\text{auf} \qquad\text{oder gleichwertig}\qquad \sum Q_i = 0 \]
Eingesetzt mit \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) und der gemeinsamen Endtemperatur \(\vartheta_\text{m}\):
\[ m_1 \cdot c_1 \cdot (\vartheta_1 - \vartheta_\text{m}) = m_2 \cdot c_2 \cdot (\vartheta_\text{m} - \vartheta_2) \]
Nach \(\vartheta_\text{m}\) aufgelöst ergibt das den gewichteten Mittelwert der beiden Anfangstemperaturen:
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{m_1 \cdot c_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot c_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 \cdot c_1 + m_2 \cdot c_2} \]
Warum hier Celsius erlaubt ist
In der Bilanz stehen nur Differenzen von Temperaturen. Der Versatz von \(273.15\) kürzt sich weg, und man darf durchgehend in Grad Celsius rechnen. Wer trotzdem in Kelvin rechnet, erhält dasselbe Ergebnis — nur um \(273.15\) verschoben.
ϑm = (0.30 kg · 4182 · 90 °C + 0.50 kg · 4182 · 20 °C) / (0.30 kg · 4182 + 0.50 kg · 4182) = 46.3 °C
Beispiel — vollständig gerechnet
\(0.3\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(90\,^\circ\mathrm{C}\) werden mit \(0.5\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) gemischt.
Ansatz. Beide Körper sind aus Wasser, also kürzt sich \(c\) heraus:
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{m_1 \cdot \vartheta_1 + m_2 \cdot \vartheta_2}{m_1 + m_2} \]
Einsetzen.
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{0.30\,\mathrm{kg} \cdot 90\,^\circ\mathrm{C} + 0.50\,\mathrm{kg} \cdot 20\,^\circ\mathrm{C}}{0.30\,\mathrm{kg} + 0.50\,\mathrm{kg}} = \frac{37\,\mathrm{kg} \cdot {^\circ\mathrm{C}}}{0.80\,\mathrm{kg}} = 46.3\,^\circ\mathrm{C} \]
Kontrolle. Das Ergebnis liegt zwischen \(20\) und \(90\,^\circ\mathrm{C}\) und näher beim kalten Wasser — richtig, denn davon ist mehr da. Der Mittelwert \(55\,^\circ\mathrm{C}\) wäre nur bei gleichen Massen herausgekommen.
Merksatz
In der Wärmebilanz gilt \(Q_\text{ab} = Q_\text{auf}\). Die Mischtemperatur ist der mit \(m \cdot c\) gewichtete Mittelwert — sie liegt näher bei dem Körper, der das grössere Produkt aus Masse und spezifischer Wärmekapazität hat. Sie liegt immer zwischen den beiden Anfangstemperaturen; kommt etwas anderes heraus, ist die Rechnung falsch.
A5.1 KERN \(0.2\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(95\,^\circ\mathrm{C}\) werden mit \(0.35\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(18\,^\circ\mathrm{C}\) gemischt. Berechne die Mischtemperatur.
Lösung anzeigen
Ansatz. Gleicher Stoff, also kürzt sich \(c\):
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{0.20\,\mathrm{kg} \cdot 95\,^\circ\mathrm{C} + 0.35\,\mathrm{kg} \cdot 18\,^\circ\mathrm{C}}{0.55\,\mathrm{kg}} = 46.0\,^\circ\mathrm{C} \]
Die Endtemperatur liegt näher am kalten Wasser, weil davon fast doppelt so viel vorhanden ist.
A5.2 KERN Ein Stahlteil von \(0.4\,\mathrm{kg}\) und \(250\,^\circ\mathrm{C}\) wird in \(1.0\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) abgeschreckt. Welche Temperatur stellt sich ein? Nimm an, dass das Gefäss keine Wärme aufnimmt und nichts verdampft.
Lösung anzeigen
Ansatz. Verschiedene Stoffe, also bleibt \(c\) stehen:
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{m_1 c_1 \vartheta_1 + m_2 c_2 \vartheta_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2} \]
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{0.4 \cdot 450 \cdot 250 + 1.0 \cdot 4182 \cdot 20}{0.4 \cdot 450 + 1.0 \cdot 4182}\,^\circ\mathrm{C} = \frac{128\,640}{4362}\,^\circ\mathrm{C} = 29.5\,^\circ\mathrm{C} \]
Trotz \(250\,^\circ\mathrm{C}\) heissem Stahl steigt das Wasser nur um rund \(9.5\,\mathrm{K}\): Das Produkt \(m \cdot c\) beträgt beim Stahl \(180\,\mathrm{J/K}\), beim Wasser \(4182\,\mathrm{J/K}\) — mehr als das Zwanzigfache.
A5.3 VERTIEFUNG In der Praxis misst man beim Versuch aus A5.2 eine etwas tiefere Endtemperatur als berechnet. Nenne zwei Gründe.
Lösung anzeigen
Erstens nimmt das Gefäss selbst Wärme auf: Es erwärmt sich mit und fehlt darum in der Bilanz. Zweitens gibt das System Wärme an die Umgebung ab — es ist nicht wirklich abgeschlossen. Drittens (in diesem Fall wichtig) kann an der heissen Oberfläche Wasser verdampfen; die dafür nötige Verdampfungswärme ist beträchtlich und fehlt dem Rest. Ein Kalorimeter reduziert alle drei Effekte, beseitigen kann es sie nicht.
Latente Wärme: Energie ohne Temperaturänderung
Du rechnest mit der Schmelz- und der Verdampfungswärme und erklärst, warum das Thermometer beim Phasenwechsel stehen bleibt.
Einstiegsfrage. Ein Topf mit siedendem Wasser bleibt bei \(100\,^\circ\mathrm{C}\), auch wenn man die Platte voll aufdreht. Wohin geht die Energie? Notiere deine Vermutung.
Beim Phasenwechsel geht die zugeführte Energie nicht in die Bewegung der Teilchen, sondern in die Trennung ihres Verbands. Die Teilchen werden nicht schneller — sie werden freier. Weil die Temperatur die Geschwindigkeit misst, zeigt das Thermometer davon nichts. Man nennt diese Energie darum latent, also verborgen.
Die zugehörigen Formeln enthalten kein \(\Delta T\) — es gibt ja keines:
\[ Q = m \cdot L_\text{f} \quad \text{(Schmelzen)} \qquad\qquad Q = m \cdot L_\text{v} \quad \text{(Verdampfen)} \]
| Stoff | \(L_\text{f}\) in \(\mathrm{kJ/kg}\) | \(L_\text{v}\) in \(\mathrm{kJ/kg}\) |
|---|---|---|
| Wasser | 334 | 2256 |
| Ethanol | 108 | 840 |
| Aluminium | 397 | 10 900 |
| Blei | 23 | 871 |
Beispiel — vollständig gerechnet
Wie viel Wärme braucht es, um \(0.5\,\mathrm{kg}\) Eis von \(0\,^\circ\mathrm{C}\) vollständig zu schmelzen?
Ansatz. Reiner Phasenwechsel, also die Schmelzformel:
\[ Q = m \cdot L_\text{f} = 0.50\,\mathrm{kg} \cdot 334\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} = 167\,\mathrm{kJ} \]
Was das heisst. Dieselben \(167\,\mathrm{kJ}\) würden dieselbe Wassermenge um \(79.9\,\mathrm{K}\) erwärmen — von \(0\,^\circ\mathrm{C}\) fast bis zum Siedepunkt. Und nach dem Schmelzen ist das Wasser immer noch \(0\,^\circ\mathrm{C}\) kalt.
Beim umgekehrten Weg wird dieselbe Energie wieder frei: Erstarren und Kondensieren geben Wärme ab. Darum kühlt Schwitzen (die Verdunstung entzieht der Haut Verdampfungswärme), darum verbrüht Dampf schlimmer als kochendes Wasser gleicher Temperatur, und darum schützen Obstbauern ihre Blüten mit einer Eisschicht: Beim Gefrieren gibt das Wasser Wärme an die Blüte ab.
Merksatz
Am Phasenwechsel steckt die Energie im Verband der Teilchen, nicht in ihrem Tempo — darum zeigt das Thermometer sie nicht. Es gilt \(Q = m \cdot L\) ohne \(\Delta T\), und beim Rückweg wird dieselbe Energie wieder frei.
A6.1 KERN Wie viel Wärme braucht es, um \(0.25\,\mathrm{kg}\) Eis von \(0\,^\circ\mathrm{C}\) zu schmelzen und das Schmelzwasser anschliessend auf \(20\,^\circ\mathrm{C}\) zu erwärmen?
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Ansatz. Zwei Abschnitte, zwei Formeln — und erst am Schluss addieren:
\[ Q_1 = m \cdot L_\text{f} = 0.25\,\mathrm{kg} \cdot 334\,\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} = 83.5\,\mathrm{kJ} \]
\[ Q_2 = m \cdot c \cdot \Delta T = 0.25\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 20\,\mathrm{K} = 20.9\,\mathrm{kJ} \]
\(Q = Q_1 + Q_2 = 104.4\,\mathrm{kJ}\). Das Schmelzen allein kostet viermal so viel wie die anschliessende Erwärmung.
A6.2 KERN Warum verbrüht Wasserdampf von \(100\,^\circ\mathrm{C}\) die Haut schwerer als Wasser von \(100\,^\circ\mathrm{C}\)?
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Der Dampf kondensiert auf der Haut und gibt dabei die Verdampfungswärme wieder ab — \(2256\,\mathrm{kJ}\) je Kilogramm, bevor die Temperatur überhaupt zu sinken beginnt. Flüssiges Wasser gibt nur die Wärme aus der Abkühlung ab: Von \(100\,^\circ\mathrm{C}\) auf Körpertemperatur sind das rund \(263\,\mathrm{kJ/kg}\). Der Dampf liefert also gut das Achtfache an die gleiche Hautstelle.
A6.3 VERTIEFUNG In einem Getränk von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) (\(0.30\,\mathrm{kg}\)) schmilzt ein Eiswürfel von \(0\,^\circ\mathrm{C}\) (\(0.030\,\mathrm{kg}\)) vollständig. Welche Temperatur hat das Getränk danach?
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Ansatz. Das Getränk gibt Wärme ab; das Eis braucht sie zuerst zum Schmelzen und danach zum Erwärmen des Schmelzwassers:
\[ m_\text{G} c (\vartheta_\text{G} - \vartheta_\text{m}) = m_\text{E} L_\text{f} + m_\text{E} c (\vartheta_\text{m} - 0\,^\circ\mathrm{C}) \]
Zahlen einsetzen (Getränk wie Wasser gerechnet):
\[ 0.30 \cdot 4182 \cdot (20 - \vartheta_\text{m}) = 0.030 \cdot 334\,000 + 0.030 \cdot 4182 \cdot \vartheta_\text{m} \]
\(25\,092 - 1254.6\,\vartheta_\text{m} = 10\,020 + 125.5\,\vartheta_\text{m}\), also \(\vartheta_\text{m} = \dfrac{15\,072}{1380.1} = 10.9\,^\circ\mathrm{C}\). Die Schmelzwärme allein frisst rund zwei Drittel der abgegebenen Wärme — darum kühlt Eis so viel besser als gleich kaltes Wasser.
Die Heizkurve: alle Beiträge hintereinander
Du zeichnest und liest den Temperaturverlauf beim Erwärmen über zwei Phasenwechsel hinweg und rechnest die Abschnitte einzeln aus.
Einstiegsfrage. Ein Eiswürfel kommt auf eine Platte, die gleichmässig heizt. Steigt die Temperatur dann auch gleichmässig? Notiere deine Vermutung und skizziere den erwarteten Verlauf.
Die Platte liefert jede Sekunde dieselbe Energie. Trotzdem steht das Thermometer zweimal minutenlang still — genau dort, wo der Stoff seine Phase wechselt. Zwischen den Haltestellen steigt die Temperatur, und zwar je nach Phase unterschiedlich steil, weil Eis, Wasser und Dampf verschiedene Werte von \(c\) haben.
Für \(1.0\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(-20\,^\circ\mathrm{C}\) bis \(120\,^\circ\mathrm{C}\) zerfällt die Rechnung in fünf Abschnitte:
| Abschnitt | Formel | Wärme |
|---|---|---|
| Eis von \(-20\) auf \(0\,^\circ\mathrm{C}\) | \(m \cdot c_\text{Eis} \cdot \Delta T\) | \(42.0\,\mathrm{kJ}\) |
| Schmelzen bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) | \(m \cdot L_\text{f}\) | \(334\,\mathrm{kJ}\) |
| Wasser von \(0\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\) | \(m \cdot c_\text{W} \cdot \Delta T\) | \(418.2\,\mathrm{kJ}\) |
| Verdampfen bei \(100\,^\circ\mathrm{C}\) | \(m \cdot L_\text{v}\) | \(2256\,\mathrm{kJ}\) |
| Dampf von \(100\) auf \(120\,^\circ\mathrm{C}\) | \(m \cdot c_\text{D} \cdot \Delta T\) | \(37.4\,\mathrm{kJ}\) |
| zusammen | \(3087.6\,\mathrm{kJ}\) |
Das Verdampfen allein verschlingt \(2256\) der \(3088\,\mathrm{kJ}\) — rund \(73\,\%\) des ganzen Wegs. Wer eine solche Aufgabe rechnet, macht darum immer zuerst diese Tabelle und rechnet erst dann.
Gerechnet für 1.0 kg Wasser; die Platte gibt gleichmässig Energie ab.
Merksatz
Wo die Heizkurve waagrecht läuft, wechselt der Stoff seine Phase: Die Temperatur steht still, obwohl unentwegt Energie hineinfliesst. Zwischen den Haltestellen ist die Steigung um so kleiner, je grösser \(m \cdot c\) ist. Eine Gesamtwärme wird abschnittsweise gerechnet und erst am Schluss addiert.
A7.1 KERN Warum steigt die Temperatur von Eis schneller als die von flüssigem Wasser, wenn beide auf derselben Platte stehen?
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Weil Eis das kleinere \(c\) hat: \(2100\) gegen \(4182\,\mathrm{J/(kg \cdot K)}\). Bei gleicher Masse und gleicher zugeführter Leistung gilt \(\Delta T = \dfrac{Q}{m \cdot c}\) — halbes \(c\) heisst doppelte Temperaturänderung je Sekunde. Im Diagramm ist das Eisstück der Kurve darum rund doppelt so steil wie das Wasserstück.
A7.2 KERN Berechne, wie viel Wärme \(0.40\,\mathrm{kg}\) Eis von \(-10\,^\circ\mathrm{C}\) brauchen, bis alles bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) geschmolzen ist.
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Ansatz. Zwei Abschnitte: erwärmen, dann schmelzen.
\[ Q_1 = 0.40\,\mathrm{kg} \cdot 2100\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 10\,\mathrm{K} = 8.4\,\mathrm{kJ} \]
\[ Q_2 = 0.40\,\mathrm{kg} \cdot 334\,\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} = 133.6\,\mathrm{kJ} \]
Zusammen \(142.0\,\mathrm{kJ}\). Das Schmelzen kostet knapp das Sechzehnfache des Erwärmens — ein typisches Verhältnis, an dem man Rechenfehler erkennt.
A7.3 VERTIEFUNG Skizziere die Abkühlkurve von Wasserdampf bei \(120\,^\circ\mathrm{C}\) bis zu Eis bei \(-20\,^\circ\mathrm{C}\). Was ist gleich wie bei der Heizkurve, was ist anders?
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Die Kurve ist dieselbe, nur zeitlich rückwärts gelesen: Sie fällt, hat aber genau dieselben beiden waagrechten Stücke bei \(100\,^\circ\mathrm{C}\) und bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\), und die Abschnitte haben dieselben Energiebeträge. Anders ist das Vorzeichen — hier wird die Wärme abgegeben, beim Kondensieren und beim Erstarren wird die latente Wärme wieder frei.
Eine Feinheit: In der Praxis kann sich Wasser unter \(0\,^\circ\mathrm{C}\) abkühlen lassen, ohne zu gefrieren (Unterkühlung). Sobald die Kristallisation dann einsetzt, springt die Temperatur auf \(0\,^\circ\mathrm{C}\) zurück — die frei werdende Erstarrungswärme heizt das eigene Wasser.
Leistung, Wirkungsgrad und die Zeit am Gerät
Du rechnest von der Wärmemenge auf die Heizzeit und berücksichtigst dabei den Wirkungsgrad und den Heizwert eines Brennstoffs.
Einstiegsfrage. Ein Wasserkocher mit \(2000\,\mathrm{W}\) soll \(1.5\,\mathrm{l}\) Wasser von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) zum Sieden bringen. Schätze, wie lange das dauert — bevor du rechnest.
Die Leistung \(P\) sagt, wie viel Energie ein Gerät je Zeit umsetzt. Ein Watt ist ein Joule je Sekunde:
\[ P = \frac{E}{t} \qquad\Longleftrightarrow\qquad E = P \cdot t \]
Nicht alles davon kommt im Wasser an. Der Wirkungsgrad \(\eta\) ist das Verhältnis von Nutzenergie zu zugeführter Energie; er ist eine reine Zahl und immer kleiner als eins:
\[ \eta = \frac{Q_\text{nutz}}{E_\text{zu}} \le 1 \]
Beides zusammen ergibt die Zeit, die ein Gerät für eine Erwärmung braucht:
\[ t = \frac{Q}{\eta \cdot P} = \frac{m \cdot c \cdot \Delta T}{\eta \cdot P} \]
t = m · c · ΔT / (η · P) = 533 200 J / (0.90 · 2000 W) = 296 s
Beispiel — vollständig gerechnet
\(1.5\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\); Gerät mit \(2000\,\mathrm{W}\) und \(\eta = 0.90\).
Ansatz. Zuerst die nötige Wärme, dann die Zeit:
\[ Q = m \cdot c \cdot \Delta T = 1.5\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 85\,\mathrm{K} = 533\,205\,\mathrm{J} \]
\[ t = \frac{Q}{\eta \cdot P} = \frac{533\,205\,\mathrm{J}}{0.90 \cdot 2000\,\mathrm{W}} = 296\,\mathrm{s} \approx 4.9\,\mathrm{min} \]
Kontrolle. Ohne Verluste wären es \(267\,\mathrm{s}\), also \(4.4\,\mathrm{min}\). Die fehlende halbe Minute heizt Kanne und Küche — sie ist nicht verschwunden, sondern Abwärme.
Kommt die Energie nicht aus der Steckdose, sondern aus einem Brennstoff, treten an die Stelle von Leistung und Zeit die Brennstoffmenge und der Heizwert \(H\) — die Energie, die ein Kilogramm oder ein Liter des Brennstoffs liefert. Die Rechnung bleibt dieselbe:
\[ m_\text{Brennstoff} = \frac{Q}{\eta \cdot H} \]
| Brennstoff | Heizwert | bemerkt |
|---|---|---|
| Heizöl | \(42.6\,\mathrm{MJ/kg}\) | rund \(11.8\,\mathrm{kWh/kg}\) |
| Erdgas | \(50.0\,\mathrm{MJ/kg}\) | der höchste Wert der drei |
| Propan | \(46.4\,\mathrm{MJ/kg}\) | Campingkocher, Gasgrill |
| Buchenholz, trocken | \(15.0\,\mathrm{MJ/kg}\) | rund ein Drittel von Heizöl |
Merksatz
\(P = E/t\) verbindet Energie und Zeit; der Wirkungsgrad steht im Nenner, weil ein Teil der Energie als Abwärme weggeht. Erst die Wärmemenge rechnen, dann die Zeit — nie umgekehrt. Und \(\eta\) ist nie grösser als eins: Was nicht Nutzen wird, ist immer noch irgendwo als Wärme.
A8.1 KERN Ein Tauchsieder mit \(1800\,\mathrm{W}\) und \(\eta = 0.85\) erwärmt \(0.5\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\). Wie lange dauert das?
Lösung anzeigen
Ansatz. Erst die Wärme, dann die Zeit:
\[ Q = 0.5\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 80\,\mathrm{K} = 167\,280\,\mathrm{J} \]
\[ t = \frac{167\,280\,\mathrm{J}}{0.85 \cdot 1800\,\mathrm{W}} = 109\,\mathrm{s} \approx 1.8\,\mathrm{min} \]
A8.2 KERN Eine Heizung soll \(200\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(10\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(60\,^\circ\mathrm{C}\) bringen. Wie viel Heizöl braucht sie bei \(\eta = 0.85\)?
Lösung anzeigen
Ansatz. Nötige Wärme, dann über Heizwert und Wirkungsgrad auf die Masse:
\[ Q = 200\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 50\,\mathrm{K} = 41.8\,\mathrm{MJ} \]
\[ m = \frac{Q}{\eta \cdot H} = \frac{41.82\,\mathrm{MJ}}{0.85 \cdot 42.6\,\tfrac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kg}}} = 1.15\,\mathrm{kg} \]
Gut ein Kilogramm Heizöl, also etwa \(1.4\,\mathrm{l}\). Ohne Verluste wären es \(0.98\,\mathrm{kg}\) — der Wirkungsgrad kostet hier rund \(0.17\,\mathrm{kg}\).
A8.3 VERTIEFUNG Eine Wärmepumpe liefert \(4\,\mathrm{kWh}\) Wärme für \(1\,\mathrm{kWh}\) Strom. Widerspricht das dem Satz, dass der Wirkungsgrad nie grösser als eins ist?
Lösung anzeigen
Nein — die Wärmepumpe erzeugt die vierfache Energie nicht, sie befördert sie. Drei der vier Kilowattstunden stammen aus der Umgebung (Erdreich, Grundwasser, Aussenluft); der Strom bezahlt nur den Transport von kalt nach warm, den Wärme von selbst nicht macht.
Die Kennzahl heisst darum nicht Wirkungsgrad, sondern Leistungszahl: das Verhältnis von abgegebener Wärme zu eingesetzter Arbeit. Sie darf grösser als eins sein. Rechnet man alle Energieströme mit, bleibt die Bilanz ausgeglichen.
Gesamttest zur Selbstkontrolle
Sieben Aufgaben, 20 Punkte, 25 Minuten. Taschenrechner und die Tabellen im Anhang sind erlaubt, die Lösungen nicht.
Schreib den Test unter Prüfungsbedingungen: alle sieben Aufgaben zuerst rechnen, dann erst die Lösungen aufklappen. Rechne mit den Werten aus dem Anhang.
T.1 Wie viel Wärme braucht \(0.75\,\mathrm{kg}\) Wasser, um sich von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(95\,^\circ\mathrm{C}\) zu erwärmen? (3 P)
T.2 Ein Aluminiumblock von \(2.0\,\mathrm{kg}\) kühlt von \(80\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(20\,^\circ\mathrm{C}\) ab. Wie viel Wärme gibt er dabei ab? (2 P)
T.3 \(0.6\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(80\,^\circ\mathrm{C}\) werden mit \(0.9\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) gemischt. Berechne die Mischtemperatur. (3 P)
T.4 Wie viel Wärme braucht es, um \(0.8\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(100\,^\circ\mathrm{C}\) vollständig zu verdampfen? Vergleiche mit der Wärme, die dasselbe Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\) gebracht hat. (3 P)
T.5 Ein Gerät mit \(2400\,\mathrm{W}\) und \(\eta = 0.88\) erwärmt \(2.0\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(12\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(90\,^\circ\mathrm{C}\). Wie lange dauert das? (3 P)
T.6 \(1.5\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) nehmen \(627\,\mathrm{kJ}\) auf. Welche Temperatur hat das Wasser danach? (3 P)
T.7 Wie viel Wärme braucht \(0.3\,\mathrm{kg}\) Eis von \(-15\,^\circ\mathrm{C}\), bis daraus Wasser von \(25\,^\circ\mathrm{C}\) geworden ist? (3 P)
Alle Lösungen und die Auswertung anzeigen
T.1 \(\Delta T = 80\,\mathrm{K}\):
\[ Q = 0.75\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 80\,\mathrm{K} = 250\,920\,\mathrm{J} \approx 250.9\,\mathrm{kJ} \]
(Ansatz 1 P, ΔT 1 P, Ergebnis mit Einheit 1 P)
T.2 \(Q = 2.0\,\mathrm{kg} \cdot 896\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 60\,\mathrm{K} = 107.5\,\mathrm{kJ}\). Dieselbe Formel gilt für Abkühlen; nur das Vorzeichen der Änderung dreht. (2 P)
T.3 Gleicher Stoff, also kürzt sich \(c\):
\[ \vartheta_\text{m} = \frac{0.6\,\mathrm{kg} \cdot 80\,^\circ\mathrm{C} + 0.9\,\mathrm{kg} \cdot 15\,^\circ\mathrm{C}}{1.5\,\mathrm{kg}} = 41.0\,^\circ\mathrm{C} \]
Die Endtemperatur liegt näher am kalten Wasser, weil davon mehr da ist. (Bilanz 1 P, Einsetzen 1 P, Ergebnis 1 P)
T.4 Verdampfen: \(Q = m \cdot L_\text{v} = 0.8\,\mathrm{kg} \cdot 2256\,\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} = 1804.8\,\mathrm{kJ}\).
Erwärmen von \(20\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\): \(Q = 0.8 \cdot 4182 \cdot 80 = 267.6\,\mathrm{kJ}\). Das Verdampfen kostet also rund das 6.7-fache des ganzen Aufheizens. (Verdampfen 1 P, Erwärmen 1 P, Vergleich 1 P)
T.5 Erst die Wärme, dann die Zeit:
\[ Q = 2.0\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 78\,\mathrm{K} = 652\,392\,\mathrm{J} \]
\[ t = \frac{Q}{\eta \cdot P} = \frac{652\,392\,\mathrm{J}}{0.88 \cdot 2400\,\mathrm{W}} = 309\,\mathrm{s} \approx 5.1\,\mathrm{min} \]
(Wärme 1 P, Wirkungsgrad im Nenner 1 P, Ergebnis 1 P)
T.6 Zuerst prüfen, ob die Energie überhaupt bis zum Siedepunkt reicht:
\[ Q_\text{bis 100 °C} = 1.5\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\tfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}} \cdot 80\,\mathrm{K} = 501.8\,\mathrm{kJ} \]
Sie reicht — es bleiben \(627 - 501.8 = 125.2\,\mathrm{kJ}\) übrig. Die gehen aber nicht mehr in die Temperatur, sondern ins Verdampfen:
\[ m_\text{Dampf} = \frac{125.2\,\mathrm{kJ}}{2256\,\tfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}} = 0.055\,\mathrm{kg} \]
Die Antwort lautet also \(100\,^\circ\mathrm{C}\); rund \(55\,\mathrm{g}\) Wasser sind dabei verdampft. Wer \(\Delta T = \dfrac{627\,\mathrm{kJ}}{1.5 \cdot 4182} = 100\,\mathrm{K}\) rechnet und \(120\,^\circ\mathrm{C}\) angibt, hat den Phasenwechsel übersehen. (Prüfung des Siedepunkts 1 P, Restenergie 1 P, Antwort 100 °C 1 P)
T.7 Drei Abschnitte:
\[ Q_1 = 0.3 \cdot 2100 \cdot 15 = 9.45\,\mathrm{kJ} \qquad Q_2 = 0.3 \cdot 334 = 100.2\,\mathrm{kJ} \qquad Q_3 = 0.3 \cdot 4182 \cdot 25 = 31.4\,\mathrm{kJ} \]
Zusammen \(Q = 141.0\,\mathrm{kJ}\). Das Schmelzen macht allein \(71\,\%\) davon aus. (je Abschnitt 1 P)
Auswertung. Ab 16 Punkten sitzt das Kapitel. Bei 12 bis 15 Punkten hast du eine gezielte Lücke — schau nach, in welchem Schritt die verlorenen Punkte lagen, und arbeite nur diesen nochmals durch. Unter 12 Punkten lohnt sich der Weg ab Schritt 4 von vorn.
Wo du nachschlägst, wenn etwas nicht stimmte.
| Fehler bei | Das gehört noch einmal angeschaut |
|---|---|
| T.1, T.2 | Schritt 4 — Q = m · c · ΔT, und Schritt 2 für ΔT |
| T.3 | Schritt 5 — die Wärmebilanz |
| T.4 | Schritt 6 — latente Wärme |
| T.5 | Schritt 8 — Leistung, Zeit und Wirkungsgrad |
| T.6 | Schritt 7 — die Heizkurve und ihre Haltestellen |
| T.7 | Schritte 6 und 7 — abschnittsweise rechnen |
Wo Punkte typischerweise verloren gehen: die Temperaturdifferenz mit der Endtemperatur verwechselt, \(c\) und \(L\) vertauscht, den Phasenwechsel übersehen (T.6), den Wirkungsgrad multipliziert statt dividiert, oder Kilojoule und Joule vermischt. Alle fünf lassen sich vermeiden, indem man vor dem Einsetzen aufschreibt, welche Grösse gesucht ist und in welchen Abschnitten der Vorgang verläuft.
Formeln und Werte auf einen Blick
| Grösse | Formel | bemerkt |
|---|---|---|
| Temperatur in Kelvin | \(T = \vartheta + 273.15\) | für absolute Temperaturen |
| Temperaturdifferenz | \(\Delta T = \Delta \vartheta\) | in Kelvin und Grad Celsius gleich gross |
| Wärmemenge | \(Q = m \cdot c \cdot \Delta T\) | ohne Phasenwechsel |
| Wärmebilanz | \(Q_\text{ab} = Q_\text{auf}\) | abgeschlossenes System |
| Mischtemperatur | \(\vartheta_\text{m} = \dfrac{m_1 c_1 \vartheta_1 + m_2 c_2 \vartheta_2}{m_1 c_1 + m_2 c_2}\) | liegt immer dazwischen |
| Schmelzen, Erstarren | \(Q = m \cdot L_\text{f}\) | ohne \(\Delta T\) |
| Verdampfen, Kondensieren | \(Q = m \cdot L_\text{v}\) | ohne \(\Delta T\) |
| Leistung | \(P = \dfrac{E}{t}\) | \(1\,\mathrm{W} = 1\,\mathrm{J/s}\) |
| Wirkungsgrad | \(\eta = \dfrac{Q_\text{nutz}}{E_\text{zu}} \le 1\) | reine Zahl |
| Heizzeit | \(t = \dfrac{m \cdot c \cdot \Delta T}{\eta \cdot P}\) | Wirkungsgrad im Nenner |
| Brennstoffmasse | \(m = \dfrac{Q}{\eta \cdot H}\) | \(H\) ist der Heizwert |
| Stoff | \(c\) in \(\mathrm{J/(kg \cdot K)}\) | \(L_\text{f}\) in \(\mathrm{kJ/kg}\) | \(L_\text{v}\) in \(\mathrm{kJ/kg}\) |
|---|---|---|---|
| Wasser | 4182 | 334 | 2256 |
| Eis | 2100 | — | — |
| Wasserdampf | 1870 | — | — |
| Ethanol | 2430 | 108 | 840 |
| Speiseöl | 2000 | — | — |
| Aluminium | 896 | 397 | 10 900 |
| Sand, Glas | 835 | — | — |
| Stahl, Eisen | 450 | 272 | 6340 |
| Kupfer | 382 | 205 | 4790 |
| Blei | 129 | 23 | 871 |
| Wert | Zahl | bemerkt |
|---|---|---|
| absoluter Nullpunkt | \(-273.15\,^\circ\mathrm{C} = 0\,\mathrm{K}\) | die Grenze nach unten |
| Schmelzpunkt von Wasser | \(0\,^\circ\mathrm{C}\) | bei Normdruck |
| Siedepunkt von Wasser | \(100\,^\circ\mathrm{C}\) | bei Normdruck |
| Kilowattstunde | \(1\,\mathrm{kWh} = 3.6\,\mathrm{MJ}\) | die Einheit auf der Stromrechnung |
| Heizwert Heizöl | \(42.6\,\mathrm{MJ/kg}\) | rund \(11.8\,\mathrm{kWh/kg}\) |
| Heizwert Erdgas | \(50.0\,\mathrm{MJ/kg}\) | |
| Heizwert Buchenholz | \(15.0\,\mathrm{MJ/kg}\) | trocken |
Wie es weitergeht
Die Themenseiten 5.1 Temperatur und 5.2 Wärme vertiefen dieses Kapitel mit weiteren Animationen und Aufgaben. Dort stehen auch die Themen, die hier bewusst fehlen: die drei Wege des Wärmetransports, der Treibhauseffekt und der Vergleich der Energiequellen.
Was mit der Wärme im Stoff geschieht, führen zwei weitere Leitprogramme fort: die Wärmeausdehnung von Feststoffen und Flüssigkeiten und das Verhalten der idealen Gase. Wenn Einheiten, Masse oder Dichte wackeln, hilft vorher das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck».