So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Du bestimmst das Tempo selbst, die Reihenfolge nicht. Die Schritte 3 bis 6 bauen streng aufeinander auf: Aus der Längenausdehnung folgt die Volumenausdehnung fester Körper, daraus die der Flüssigkeiten, und erst danach lässt sich sagen, wie viel man von alldem überhaupt sieht.
- Einstiegsfrage zuerst beantworten. Schreib deine Vermutung auf, bevor du weiterliest. Eine notierte falsche Vermutung lernt sich besser als eine gelesene richtige.
- Clip anschauen. Jeder Schritt beginnt mit einem vertonten Erklärclip von rund einer Minute. Er ersetzt den Lehrtext nicht, sondern stellt die Frage, die der Text beantwortet.
- Simulation selbst bewegen. Wo ein Regler steht, gehört er gezogen. Achte darauf, welche Anzeige mitgeht und welche stehen bleibt — das ist meist der ganze Lerninhalt.
- Aufgaben selbst lösen, erst dann die Lösung aufklappen. Wer zuerst schaut, betrügt sich um den Lerneffekt.
- Kern zuerst, Vertiefung danach. Jede Aufgabe trägt ein Etikett: KERN bearbeiten alle, VERTIEFUNG ist für schnelle Lernende oder als Hausaufgabe gedacht. Wer nur die Kernaufgaben rechnet, kommt mit den angesetzten vier Lektionen aus.
- Selbstkontrolle abhaken, wenn der Schritt sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
- Gesamttest am Schluss unter Prüfungsbedingungen: 20 Minuten, Taschenrechner und Tabellenwerte.
Was du am Ende können musst
Die Ausdehnung mit dem Teilchenmodell erklären, mit \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) und \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) rechnen und begründen, warum \(\gamma \approx 3\,\alpha\) gilt.
Die Ausdehnung einer Flüssigkeit im Gefäss als Differenz bestimmen, die Dichteänderung beim Erwärmen berechnen und die Anomalie des Wassers samt ihren Folgen erklären.
Zwei Regeln, die in jedem Schritt gelten
Erstens: In allen Ausdehnungsformeln steht eine Differenz \(\Delta T\). Sie ist in Kelvin und in Grad Celsius gleich gross — hier darfst du beides einsetzen.
Zweitens: \(l_0\) und \(V_0\) sind die Werte vor der Erwärmung. Die Formeln geben die Änderung, nicht die neue Länge. Wer die Endlänge braucht, addiert: \(l = l_0 + \Delta l\).
Vortest: Was solltest du schon können?
Sechs kurze Aufgaben. Sie zeigen, ob das nötige Vorwissen aus Mechanik und Wärmelehre sitzt.
Rechne alle sechs Aufgaben, bevor du eine einzige Lösung aufklappst.
V.1 Rechne \(25\,^\circ\mathrm{C}\) in Kelvin um. Wie gross ist die Temperaturdifferenz zwischen \(25\,^\circ\mathrm{C}\) und \(5\,^\circ\mathrm{C}\) in Kelvin?
V.2 Ein Eisenstab ist \(2.00\,\mathrm{m}\) lang. Er wird um \(50\,\mathrm{K}\) erwärmt. Mit \(\alpha = 12 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{1/K}\): um wie viel wird er länger?
V.3 Ein Körper hat die Masse \(1.5\,\mathrm{kg}\) und das Volumen \(0.60\,\mathrm{l}\). Wie gross ist seine Dichte in \(\mathrm{kg/m^3}\)?
V.4 Wie viele Liter sind \(1\,\mathrm{m^3}\), und wie viele Kubikzentimeter sind \(1\,\mathrm{l}\)?
V.5 Warum bewegen sich die Teilchen eines Stoffs bei höherer Temperatur schneller?
V.6 Runde \(1.0648\) auf drei signifikante Stellen.
Alle Lösungen und die Auswertung anzeigen
V.1 \(T = 25 + 273.15 = 298.15\,\mathrm{K}\). Die Differenz beträgt \(20\,\mathrm{K}\) — bei einer Differenz fällt der Versatz von \(273.15\) weg.
V.2 Mit \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\):
\[ \Delta l = 12 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 2.00\,\mathrm{m} \cdot 50\,\mathrm{K} = 1.2\,\mathrm{mm} \]
V.3 \(0.60\,\mathrm{l} = 0.60\,\mathrm{dm^3} = 0.60 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3}\), also \(\rho = \dfrac{1.5\,\mathrm{kg}}{0.60 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^3}} = 2500\,\mathrm{kg/m^3}\).
V.4 \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}\) und \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3}\).
V.5 Die Temperatur ist ein Mass für die mittlere Bewegungsenergie je Teilchen. Wird geheizt, nimmt diese Energie zu — die Teilchen werden schneller.
V.6 \(1.0648 \to 1.06\)
Auswertung. Fünf oder sechs richtig: Du kannst direkt mit Schritt 1 beginnen. Weniger als vier: Arbeite zuerst das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck» durch — dort stehen Einheiten, Dichte und Runden ausführlich.
| Fehler bei | Das schlägst du zuerst nach |
|---|---|
| V.1 | Schritt 2 hier — und die Themenseite 5.1 Temperatur |
| V.2 | Schritt 3 hier; die Formel wird dort hergeleitet |
| V.3, V.4 | Vorwissen-Leitprogramm, Schritte 3 und 6 |
| V.5 | Schritt 1 hier — Teilchenbild der Temperatur |
| V.6 | Vorwissen-Leitprogramm, Schritt 4 |
V.2 ist die Formel, um die es hier geht. Wenn sie schon sitzt, umso besser — die Arbeit steckt danach im Volumen und im Gefäss.
Warum sich Stoffe überhaupt ausdehnen
Du erklärst die Wärmeausdehnung mit dem Teilchenmodell und begründest, warum Gase sich viel stärker ausdehnen als Feststoffe.
Einstiegsfrage. Ein Metallstab wird erwärmt und dabei länger. Werden dabei die Teilchen selbst grösser? Notiere deine Vermutung mit einer kurzen Begründung.
Nein — die Teilchen bleiben gleich gross. Grösser wird der Platz, den jedes von ihnen beansprucht. In einem Festkörper sitzen die Teilchen an festen Plätzen und zittern um diese Lage. Wird geheizt, nimmt ihre Bewegungsenergie zu, die Schwingung wird heftiger, und der mittlere Abstand zwischen zwei Nachbarn wächst. Millionenfach aufsummiert ergibt das eine messbare Längenänderung.
Wie stark der Abstand wächst, hängt davon ab, wie fest die Teilchen aneinander gebunden sind. Daraus folgt die Reihenfolge, die sich durch das ganze Kapitel zieht:
| Aggregatzustand | Bindung | Ausdehnung je Kelvin |
|---|---|---|
| fest | feste Plätze, starke Bindung | rund \(10^{-5}\) des Volumens |
| flüssig | beweglich, schwächere Bindung | rund \(10^{-3}\) des Volumens |
| gasförmig | praktisch keine Bindung | rund \(1/273\) des Volumens (bei konstantem Druck, nahe \(0\,^\circ\mathrm{C}\); allgemein \(\gamma = 1/T\)) |
Merksatz
Nicht die Teilchen werden grösser, sondern ihr Abstand. Je schwächer sie gebunden sind, desto stärker fällt die Ausdehnung aus — Ethanol dehnt sich rund dreissigmal stärker aus als Stahl, ein Gas bei konstantem Druck noch einmal rund dreimal stärker als Ethanol. Feste Faktoren gibt es nicht — sie hängen vom Stoff ab und beim Gas zusätzlich von der Temperatur.
A1.1 KERN Erkläre mit dem Teilchenmodell, warum ein Metallstab beim Erwärmen länger wird.
Lösung anzeigen
Höhere Temperatur bedeutet mehr Bewegungsenergie je Teilchen. Die Teilchen schwingen heftiger um ihre festen Plätze, und der mittlere Abstand zwischen zwei Nachbarn nimmt dabei zu. Da sich das über die ganze Länge aufsummiert, wird der Stab messbar länger. Die Teilchen selbst bleiben unverändert.
A1.2 KERN Warum dehnt sich ein Gas beim Erwärmen so viel stärker aus als ein Feststoff?
Lösung anzeigen
Im Feststoff halten starke Bindungskräfte die Teilchen an ihren Plätzen; gegen diese Kräfte lässt sich der Abstand nur wenig vergrössern. In einem Gas gibt es zwischen den Stössen praktisch keine Kräfte — die Teilchen fliegen frei, und schon eine kleine Temperaturerhöhung vergrössert den Raum, den sie durchmessen, erheblich.
A1.3 VERTIEFUNG Alle Formeln dieses Leitprogramms setzen die Ausdehnung proportional zur Temperaturänderung an. Warum ist das nur eine Näherung, und wann ist sie brauchbar?
Lösung anzeigen
Der Ausdehnungskoeffizient ist selbst temperaturabhängig: Die Bindungskräfte zwischen den Teilchen verhalten sich nicht exakt linear. Tabellenwerte gelten darum immer für einen Bezugsbereich, meist um \(20\,^\circ\mathrm{C}\).
Brauchbar ist die Näherung, solange die Temperaturänderung mässig bleibt und der Stoff seinen Aggregatzustand behält — für Metalle über einige hundert Kelvin, für Wasser nur über wenige Dutzend. In Schritt 7 rechnest du ein Beispiel, bei dem genau das schiefgeht.
In den Formeln steht eine Differenz
Du bestimmst die Temperaturdifferenz ΔT sicher und begründest, warum hier Celsius und Kelvin dasselbe Ergebnis liefern.
Einstiegsfrage. Ein Bauteil wird von \(-15\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(20\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmt. Wie gross ist \(\Delta T\)? Und würde sich etwas ändern, wenn du beide Werte zuerst in Kelvin umrechnest?
Die beiden Skalen unterscheiden sich nur im Nullpunkt; ein Schritt ist auf beiden gleich gross. Bei einer Differenz fällt der Versatz von \(273.15\) auf beiden Seiten weg:
\[ \Delta T = T_2 - T_1 = (\vartheta_2 + 273.15) - (\vartheta_1 + 273.15) = \vartheta_2 - \vartheta_1 = \Delta \vartheta \]
Eine Erwärmung um \(35\) Grad Celsius ist also eine Erwärmung um \(35\) Kelvin. Genau deshalb steht in \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) ohne Bedenken ein \(\Delta T\), und du darfst die Celsius-Differenz direkt einsetzen.
Wo das nicht gilt
Steht die Temperatur selbst in einer Formel und nicht ihre Änderung — etwa im Gasgesetz \(\dfrac{p \cdot V}{T} = \text{konstant}\) —, ist Kelvin Pflicht. Dort bildet man Verhältnisse, und ein um \(273.15\) verschobener Wert liefert Unsinn. Faustregel: Steht ein \(\Delta\) davor, ist beides recht; sonst Kelvin.
Merksatz
\(\Delta T = \Delta \vartheta\). Die Einheit der Differenz schreibt man dennoch in Kelvin, weil die Ausdehnungskoeffizienten die Einheit \(1/\mathrm{K}\) tragen — dann kürzt sich beim Einsetzen alles sauber weg.
A2.1 KERN Wie gross ist \(\Delta T\) bei einer Erwärmung von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(65\,^\circ\mathrm{C}\)?
Lösung anzeigen
\(\Delta T = 65\,^\circ\mathrm{C} - 15\,^\circ\mathrm{C} = 50\,\mathrm{K}\). Zur Kontrolle in Kelvin: \(338.15\,\mathrm{K} - 288.15\,\mathrm{K} = 50\,\mathrm{K}\) — derselbe Wert.
A2.2 KERN Ein Bauteil kühlt von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(-15\,^\circ\mathrm{C}\) ab. Wie gross ist \(\Delta T\), und was bedeutet das Vorzeichen für \(\Delta l\)?
Lösung anzeigen
\(\Delta T = -15\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = -35\,\mathrm{K}\). Das negative Vorzeichen überträgt sich auf \(\Delta l\): Das Bauteil wird kürzer. Die Formel gilt in beide Richtungen — man muss das Vorzeichen nur mitschleppen statt es wegzulassen.
A2.3 VERTIEFUNG Jemand rechnet \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot T\) und setzt für \(T\) die Endtemperatur in Kelvin ein. Warum ist das Ergebnis unbrauchbar? Rechne es für einen Eisenstab von \(1.00\,\mathrm{m}\) bei \(30\,^\circ\mathrm{C}\) einmal so und einmal richtig, wenn er bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) gemessen wurde.
Lösung anzeigen
Falsch gerechnet: \(12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 1.00\,\mathrm{m} \cdot 303.15\,\mathrm{K} = 3.64\,\mathrm{mm}\).
Richtig: \(12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 1.00\,\mathrm{m} \cdot 10\,\mathrm{K} = 0.12\,\mathrm{mm}\).
Der Fehler ist ein Faktor \(30\). Er entsteht, weil die Formel angibt, wie sich die Länge ändert — nicht, wie lang der Stab bei einer bestimmten Temperatur ist. Ohne Anfangstemperatur ist die Frage gar nicht beantwortbar.
Längenausdehnung fester Körper
Du rechnest mit der Formel für die Längenänderung, liest Ausdehnungskoeffizienten aus der Tabelle und begründest, wozu Dehnungsfugen da sind.
Einstiegsfrage. Zwischen zwei Brückenfeldern klafft im Winter eine Lücke von einigen Zentimetern. Schätze, bevor du rechnest: Um wie viel wird ein Stahlträger von \(20\,\mathrm{m}\) Länge im Sommer länger, wenn er sich um \(40\,\mathrm{K}\) erwärmt — um Millimeter, Zentimeter oder Dezimeter?
Die Längenänderung hängt an drei Dingen: am Material, an der Anfangslänge und an der Temperaturänderung. Alle drei stehen als Produkt in der Formel:
\[ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T \]
\(\alpha\) heisst Längenausdehnungskoeffizient und steht in der Tabelle. Er gibt an, um welchen Bruchteil seiner Länge sich ein Körper je Kelvin ausdehnt — die Einheit ist darum \(1/\mathrm{K}\). Dass \(\Delta l\) proportional zu \(l_0\) ist, leuchtet unmittelbar ein: Ein doppelt so langer Stab besteht aus doppelt so vielen Teilchenabständen, und jeder einzelne wächst gleich viel.
Δl = α · l₀ · ΔT = 12·10⁻⁶ 1/K · 20.00 m · 40 K = 9.60 mm
| Werkstoff | \(\alpha\) in \(10^{-6}\,\mathrm{1/K}\) | \(\gamma = 3\,\alpha\) in \(10^{-6}\,\mathrm{1/K}\) |
|---|---|---|
| Aluminium | 23.8 | 71.4 |
| Messing | 18.4 | 55.2 |
| Kupfer | 16.5 | 49.5 |
| Stahl, Eisen | 12 | 36 |
| Beton | 10 | 30 |
| Glas (Fenster) | 8.1 | 24.3 |
| Quarzglas | 0.5 | 1.5 |
Warum Stahlbeton hält
Beton und Stahl liegen mit \(10\) und \(12\) sehr nahe beieinander. Auf \(80\,\mathrm{m}\) und bei \(\Delta T = 50\,\mathrm{K}\) unterscheiden sich ihre Längenänderungen nur um \(8\,\mathrm{mm}\) — das ist ein Hundertstel Prozent der Länge, und die dabei entstehenden Spannungen im Verbund bleiben klein genug. Mit Aluminium statt Stahl wären es rund \(55\,\mathrm{mm}\) statt \(8\,\mathrm{mm}\) — fast siebenmal so viel, und der Verbund geriete unter erhebliche Spannung.
Merksatz
\(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) gibt die Änderung, nicht die neue Länge. Wer die Endlänge braucht, rechnet \(l = l_0 + \Delta l\). Und wo ein Bauteil sich nicht ausdehnen darf, entstehen sehr grosse Kräfte — darum die Fugen in Brücken, Schienen und Rohrleitungen.
A3.1 KERN Eine Stahlschiene ist \(100\,\mathrm{m}\) lang. Um wie viel wird sie länger, wenn sie sich um \(45\,\mathrm{K}\) erwärmt?
Lösung anzeigen
\[ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T = 12 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 100\,\mathrm{m} \cdot 45\,\mathrm{K} \]
\(\Delta l = 0.054\,\mathrm{m} = 54\,\mathrm{mm}\) — gut fünf Zentimeter auf hundert Meter.
A3.2 KERN Ein Aluminium-Fensterrahmen ist \(1.60\,\mathrm{m}\) breit. Wie stark ändert sich seine Breite zwischen \(-10\,^\circ\mathrm{C}\) und \(35\,^\circ\mathrm{C}\)?
Lösung anzeigen
\(\Delta T = 35\,^\circ\mathrm{C} - (-10\,^\circ\mathrm{C}) = 45\,\mathrm{K}\)
\[ \Delta l = 23.8 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 1.60\,\mathrm{m} \cdot 45\,\mathrm{K} = 1.71\,\mathrm{mm} \]
Knapp zwei Millimeter — genau dafür braucht ein Fensterrahmen umlaufend Spiel im Mauerwerk.
A3.3 VERTIEFUNG Eine Brücke aus Stahlbeton ist \(80\,\mathrm{m}\) lang. Berechne die Längenänderung von Beton und Stahl bei \(\Delta T = 50\,\mathrm{K}\) getrennt und gib an, um wie viel sie sich unterscheiden.
Lösung anzeigen
Beton: \(\Delta l = 10 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 80\,\mathrm{m} \cdot 50\,\mathrm{K} = 40\,\mathrm{mm}\)
Stahl: \(\Delta l = 12 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 80\,\mathrm{m} \cdot 50\,\mathrm{K} = 48\,\mathrm{mm}\)
Der Unterschied beträgt \(8\,\mathrm{mm}\) auf \(80\,\mathrm{m}\), also \(0.01\,\%\) der Länge. So wenig hält der Verbund aus. Wäre der Bewehrungsstahl durch Aluminium ersetzt, betrüge der Unterschied \(55\,\mathrm{mm}\) — das Bauteil würde reissen.
Von der Länge zum Volumen — woher die Drei kommt
Du begründest, warum der Volumenkoeffizient rund dreimal so gross ist wie der Längenkoeffizient, rechnest Volumenänderungen fester Körper aus und weisst, warum die Beziehung nur eine Näherung ist.
Einstiegsfrage. Ein Würfel wird erwärmt. Jede Kante wird um denselben Bruchteil länger. Um welchen Bruchteil wächst dann sein Volumen — um denselben, um den doppelten oder um den dreifachen? Notiere deine Vermutung.
Ein Körper wird nicht nur länger, sondern gleichzeitig breiter und höher. Alle drei Kanten wachsen um denselben Faktor \((1 + \alpha \cdot \Delta T)\), und das Volumen ist ihr Produkt:
\[ V = V_0 \cdot (1 + \alpha \cdot \Delta T)^3 = V_0 \cdot \left(1 + 3\,\alpha\,\Delta T + 3\,(\alpha\,\Delta T)^2 + (\alpha\,\Delta T)^3\right) \]
Der Term \(\alpha \cdot \Delta T\) ist winzig — für Aluminium bei \(\Delta T = 100\,\mathrm{K}\) sind es \(2.38 \cdot 10^{-3}\). Sein Quadrat ist bereits rund vierhundertmal kleiner, die dritte Potenz noch einmal um Grössenordnungen. Beide fallen weg, und es bleibt:
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T \qquad \text{mit} \qquad \gamma \approx 3\,\alpha \]
Dieselbe Logik gilt für Flächen: Zwei Kanten wachsen, also ist der Flächenausdehnungskoeffizient rund \(2\,\alpha\). Der Exponent der Grösse ist der Faktor vor dem \(\alpha\) — genau wie beim Umrechnen von Quadrat- und Kubikeinheiten.
genau gerechnet: +0.716 % — die Näherung 3α fehlt um 0.24 %
Merksatz
Länge \(\alpha\), Fläche \(2\,\alpha\), Volumen \(3\,\alpha\). Der Exponent an der Einheit ist der Faktor vor dem Koeffizienten — dieselbe Regel wie beim Umrechnen von \(\mathrm{m^2}\) und \(\mathrm{m^3}\).
A4.1 KERN Ein Aluminiumwürfel hat bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) das Volumen \(V_0 = 125\,\mathrm{cm^3}\). Er wird auf \(120\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmt. Berechne \(\Delta V\).
Lösung anzeigen
Zuerst der Volumenkoeffizient: \(\gamma = 3\,\alpha = 3 \cdot 23.8 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} = 71.4 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}}\)
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T = 71.4 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 125\,\mathrm{cm^3} \cdot 100\,\mathrm{K} \]
\(\Delta V = 0.893\,\mathrm{cm^3}\) — nicht einmal ein Kubikzentimeter, obwohl der Würfel um hundert Kelvin wärmer wurde.
A4.2 KERN Ein Kupferblech hat bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) die Fläche \(A_0 = 2.00\,\mathrm{m^2}\). Um wie viel wächst die Fläche bei \(\Delta T = 60\,\mathrm{K}\)?
Lösung anzeigen
Für Flächen gilt der doppelte Koeffizient: \(2\,\alpha = 2 \cdot 16.5 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} = 33 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}}\)
\[ \Delta A = 2\,\alpha \cdot A_0 \cdot \Delta T = 33 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 2.00\,\mathrm{m^2} \cdot 60\,\mathrm{K} = 3.96 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{m^2} \]
Das sind \(39.6\,\mathrm{cm^2}\) — knapp zwei Promille der Fläche.
A4.3 VERTIEFUNG Wie gross ist der Fehler der Näherung \(\gamma = 3\,\alpha\) für Aluminium bei \(\Delta T = 100\,\mathrm{K}\)? Rechne die relative Volumenänderung einmal exakt mit \((1 + \alpha\,\Delta T)^3\) und einmal genähert.
Lösung anzeigen
\(\alpha \cdot \Delta T = 23.8 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 100\,\mathrm{K} = 2.38 \cdot 10^{-3}\)
Exakt: \((1 + 2.38 \cdot 10^{-3})^3 - 1 = 7.1570 \cdot 10^{-3}\)
Genähert: \(3 \cdot 2.38 \cdot 10^{-3} = 7.1400 \cdot 10^{-3}\)
Die Näherung ist um \(0.24\,\%\) zu klein — weit unterhalb der Genauigkeit, mit der man \(\alpha\) überhaupt kennt. Erst bei sehr grossen Temperaturänderungen oder sehr grossen Koeffizienten würde der Unterschied zählen; dort ist aber ohnehin die Temperaturabhängigkeit von \(\alpha\) der grössere Fehler.
Volumenausdehnung von Flüssigkeiten
Du rechnest die Volumenänderung von Flüssigkeiten aus und weisst, warum ihre Koeffizienten so viel grösser sind als die fester Körper.
Einstiegsfrage. Ein Tankwagen wird an einem kühlen Morgen randvoll mit Ethanol gefüllt. Mittags scheint die Sonne. Was passiert — und um welche Grössenordnung geht es: Milliliter, Deziliter oder Liter?
Eine Flüssigkeit hat keine feste Form — eine Länge zu messen wäre sinnlos, weil sie die Form des Gefässes annimmt. Für Flüssigkeiten gibt es darum nur einen Volumenkoeffizienten \(\gamma\), und kein \(\alpha\). Die Formel sieht aus wie bei den Festkörpern:
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T \]
Der Unterschied steckt in den Zahlen. Die Teilchen einer Flüssigkeit sind viel schwächer aneinander gebunden als die eines Kristallgitters, und entsprechend leichter lässt sich ihr Abstand vergrössern:
| Flüssigkeit | \(\gamma\) in \(10^{-3}\,\mathrm{1/K}\) | zum Vergleich |
|---|---|---|
| Aceton | 1.43 | Stahl: \(\gamma = 0.036 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{1/K}\) Glas: \(\gamma = 0.024 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{1/K}\) |
| Ethanol | 1.10 | |
| Speiseöl | 0.70 | |
| Wasser (bei 20 °C) | 0.21 | |
| Quecksilber | 0.18 |
Die Koeffizienten der Flüssigkeiten stehen in \(10^{-3}\), die der Metalle in \(10^{-6}\) — drei Zehnerpotenzen tiefer notiert. Im Wert selbst liegt zwischen Ethanol und Stahl der Faktor \(31\).
ΔV = γ · V₀ · ΔT = 1.10·10⁻³ 1/K · 1.00 l · 30 K = 33.0 ml
Merksatz
Flüssigkeiten dehnen sich um ein Vielfaches stärker aus als Feststoffe — bei Ethanol und Stahl um den Faktor \(31\). Darum wird kein Tank randvoll gefüllt, und darum steigt im Thermometer die Flüssigkeit und nicht das Glas.
A5.1 KERN Ein Behälter enthält \(60\,\mathrm{l}\) Ethanol. Er wird um \(25\,\mathrm{K}\) erwärmt. Um wie viel Liter nimmt das Volumen des Ethanols zu?
Lösung anzeigen
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T = 1.10 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 60\,\mathrm{l} \cdot 25\,\mathrm{K} \]
\(\Delta V = 1.65\,\mathrm{l}\) — knapp drei Prozent des Inhalts.
A5.2 KERN Um welchen Faktor dehnt sich Ethanol stärker aus als Wasser, wenn beide dasselbe Anfangsvolumen haben und gleich stark erwärmt werden?
Lösung anzeigen
\(V_0\) und \(\Delta T\) sind gleich und kürzen sich aus dem Verhältnis heraus. Es bleibt \(\dfrac{\gamma_\text{Ethanol}}{\gamma_\text{Wasser}} = \dfrac{1.10}{0.21} = 5.24\). Ethanol dehnt sich also gut fünfmal stärker aus.
A5.3 VERTIEFUNG Ein Tankwagen fasst \(30\,000\,\mathrm{l}\). Er wird bei \(8\,^\circ\mathrm{C}\) beladen; unterwegs erwärmt sich die Ladung auf \(28\,^\circ\mathrm{C}\). Wie viel Prozent des Volumens muss beim Befüllen frei bleiben, wenn Ethanol transportiert wird?
Lösung anzeigen
\(\Delta T = 20\,\mathrm{K}\), also
\[ \Delta V = 1.10 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 30\,000\,\mathrm{l} \cdot 20\,\mathrm{K} = 660\,\mathrm{l} \]
Das sind \(2.2\,\%\) des Volumens. In der Praxis rechnet man mit einem grösseren Zuschlag, weil die Temperatur im Sommer stärker steigen kann und weil beim Fahren zusätzlich Flüssigkeit schwappt. Beachte: Hier ist die Ausdehnung des Tanks selbst noch gar nicht berücksichtigt — das ist Schritt 6.
Das Gefäss dehnt sich mit
Du berechnest, wie viel von der Ausdehnung einer Flüssigkeit überhaupt sichtbar wird, und ziehst dafür die Ausdehnung des Gefässes ab.
Einstiegsfrage. Ein randvoller Stahlbehälter mit Ethanol wird erwärmt. Läuft genau so viel über, wie sich das Ethanol ausdehnt — mehr oder weniger? Notiere deine Vermutung mit Begründung.
Wärme trifft nicht nur den Inhalt. Auch der Behälter wird wärmer und damit grösser — und ein Hohlraum wächst genauso wie der Körper um ihn herum. Das ist der Punkt, an dem viele stutzen: Das Loch schrumpft nicht, wenn das Material sich ausdehnt, sondern es dehnt sich mit. Ein Aluminiumring mit einer Bohrung bekommt beim Erwärmen eine grössere Bohrung.
Überlaufen kann darum nur die Differenz der beiden Volumenzunahmen:
\[ \Delta V_\text{schein} = \Delta V_\text{Fl} - \Delta V_\text{Gef} = (\gamma_\text{Fl} - \gamma_\text{Gef}) \cdot V_0 \cdot \Delta T \]
Man nennt \(\gamma_\text{schein} = \gamma_\text{Fl} - \gamma_\text{Gef}\) den scheinbaren Volumenausdehnungskoeffizienten. «Scheinbar» heisst dabei nicht «falsch», sondern: Das ist der Teil, den man tatsächlich sieht.
γ_schein = γ_Fl − γ_Gef = 1.100·10⁻³ 1/K − 0.036·10⁻³ 1/K = 1.064·10⁻³ 1/K
Wann darf man das Gefäss vergessen?
Bei Ethanol im Stahlfass macht das Gefäss gut drei Prozent aus — für eine Überschlagsrechnung vernachlässigbar. Bei Quecksilber im Glas sind es dreizehn Prozent, und das ist es nicht mehr. Die Antwort steht nicht in einer Faustregel, sondern im Verhältnis der beiden Koeffizienten: Vergleiche sie, bevor du etwas weglässt.
Merksatz
Steht eine Flüssigkeit in einem Gefäss, zählt die Differenz der beiden Koeffizienten. Ein Hohlraum dehnt sich aus wie das Material um ihn herum — Bohrungen und Behälter werden beim Erwärmen grösser, nicht kleiner.
A6.1 KERN Ein randvoller Stahlbehälter enthält \(50\,\mathrm{l}\) Ethanol und wird um \(20\,\mathrm{K}\) erwärmt. Wie viel läuft über?
Lösung anzeigen
Stahl hat \(\gamma_\text{Gef} = 3\,\alpha = 36 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} = 0.036 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}}\).
\[ \gamma_\text{schein} = 1.100 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} - 0.036 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} = 1.064 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \]
\[ \Delta V_\text{schein} = 1.064 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 50\,\mathrm{l} \cdot 20\,\mathrm{K} = 1.06\,\mathrm{l} \]
Ohne Berücksichtigung des Fasses wären es \(1.10\,\mathrm{l}\) gewesen — das Fass nimmt gut drei Prozent auf.
A6.2 KERN Warum steigt im Flüssigkeitsthermometer die Säule, obwohl sich das Glas ebenfalls ausdehnt?
Lösung anzeigen
Weil der Koeffizient der Flüssigkeit um ein Vielfaches grösser ist als der des Glases. Das Vorratsgefäss wird zwar grösser, aber längst nicht so schnell wie sein Inhalt — die Differenz wird in die enge Kapillare gedrückt und dort als Säule sichtbar. Angezeigt wird also nie die Ausdehnung der Flüssigkeit allein, sondern immer die scheinbare.
A6.3 VERTIEFUNG Ein Quecksilberthermometer besteht aus Glas mit \(\alpha = 8.1 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{1/K}\). Wie viel Prozent der wahren Quecksilberausdehnung wird angezeigt?
Lösung anzeigen
\[ \gamma_\text{Glas} = 3\,\alpha = 24.3 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} = 0.024 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \]
\[ \gamma_\text{schein} = (0.180 - 0.024) \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} = 0.156 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \]
Angezeigt werden \(\dfrac{0.156}{0.180} = 86.5\,\%\) der wahren Ausdehnung. Deshalb ist eine Thermometerskala immer auf ihr eigenes Glas geeicht — dieselbe Quecksilbermenge in einem anderen Glas ergäbe eine andere Skala.
Dichte und Temperatur
Du berechnest, wie die Dichte beim Erwärmen sinkt, und erklärst damit Konvektion und Auftrieb warmer Stoffe.
Einstiegsfrage. Beim Erwärmen wächst das Volumen. Was passiert dabei mit der Masse — und was folgt daraus für die Dichte? Notiere die Kette in drei Stichworten.
Beim Erwärmen ändert sich das Volumen, die Masse aber nicht — es kommt kein Stoff dazu und es geht keiner weg. Im Quotienten \(\rho = \dfrac{m}{V}\) wächst also nur der Nenner, und die Dichte sinkt:
\[ \rho = \frac{m}{V_0 \cdot (1 + \gamma \cdot \Delta T)} = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \cdot \Delta T} \]
Der Nenner ist knapp grösser als eins, die Dichte also knapp kleiner als \(\rho_0\). Genau dieser kleine Unterschied treibt jede Warmwasserheizung, jeden Kamin und jede Wolke: Der wärmere und damit leichtere Teil eines Stoffs steigt auf, der kältere sinkt. Diese Umwälzung heisst Konvektion.
ρ = ρ₀ : (1 + γ · ΔT) = 0.789 g/cm³ : (1 + 1.10·10⁻³ 1/K · 40 K) = 0.756 g/cm³
Merksatz
Erwärmen heisst: Volumen hinauf, Masse gleich, Dichte hinunter. Der wärmere Teil steigt auf. Das gilt für Wasser, Öl und Luft gleichermassen — und beim Wasser nur oberhalb von \(4\,^\circ\mathrm{C}\), wie der nächste Schritt zeigt.
A7.1 KERN Ethanol hat bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) die Dichte \(0.789\,\mathrm{g/cm^3}\). Wie gross ist sie bei \(60\,^\circ\mathrm{C}\)?
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\(\Delta T = 40\,\mathrm{K}\), also
\[ \rho = \frac{\rho_0}{1 + \gamma \cdot \Delta T} = \frac{0.789\,\mathrm{g/cm^3}}{1 + 1.10 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 40\,\mathrm{K}} = \frac{0.789\,\mathrm{g/cm^3}}{1.044} \]
\(\rho = 0.756\,\mathrm{g/cm^3}\) — eine Abnahme um \(4.2\,\%\).
A7.2 KERN Erkläre mit der Dichte, warum die Luft über einem Heizkörper aufsteigt und warum sich ein Raum dadurch überhaupt erwärmt.
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Die Luft am Heizkörper wird wärmer, dehnt sich aus und hat bei gleicher Masse ein grösseres Volumen — ihre Dichte sinkt. Umgeben von kälterer, dichterer Luft erfährt sie einen Auftrieb und steigt zur Decke. Von dort strömt sie abgekühlt und wieder dichter am Boden zurück zum Heizkörper. Diese Umwälzung verteilt die Wärme im ganzen Raum; ohne sie würde nur die Luft unmittelbar am Heizkörper warm.
A7.3 VERTIEFUNG Wasser hat bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) die Dichte \(998.2\,\mathrm{kg/m^3}\). Berechne die Dichte bei \(70\,^\circ\mathrm{C}\) mit \(\gamma = 0.21 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{1/K}\) und vergleiche mit dem Tabellenwert \(977.8\,\mathrm{kg/m^3}\). Woher kommt die Abweichung?
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\[ \rho = \frac{998.2\,\mathrm{kg/m^3}}{1 + 0.21 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 50\,\mathrm{K}} = \frac{998.2\,\mathrm{kg/m^3}}{1.0105} = 987.8\,\mathrm{kg/m^3} \]
Der Tabellenwert liegt bei \(977.8\,\mathrm{kg/m^3}\) — die Rechnung ist um \(1.0\,\%\) zu hoch.
Der Grund ist der Ausdehnungskoeffizient selbst: \(\gamma = 0.21 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{1/K}\) gilt für Wasser bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\). Bei \(70\,^\circ\mathrm{C}\) beträgt er bereits rund das Zweieinhalbfache. Über einen so weiten Bereich ist die lineare Näherung aus Schritt 1 nicht mehr brauchbar — für Wasser gilt sie nur über wenige Dutzend Kelvin, und dort auch nur, solange man von \(4\,^\circ\mathrm{C}\) weit genug entfernt bleibt.
Die Anomalie des Wassers
Du erklärst das Dichtemaximum bei 4 °C, begründest, warum Eis schwimmt, und leitest daraus ab, warum ein See von oben zufriert.
Einstiegsfrage. Nach Schritt 7 gilt: kälter heisst dichter. Warum schwimmt dann ausgerechnet das Eis oben und sinkt nicht zu Boden? Notiere deine Vermutung.
Wasser folgt der Regel aus Schritt 7 nur bis hinunter zu \(4\,^\circ\mathrm{C}\). Darunter kehrt sie sich um: Das Wasser dehnt sich wieder aus, obwohl es kälter wird. Seine Dichte ist damit bei \(4\,^\circ\mathrm{C}\) am grössten — das ist die Dichteanomalie.
Der Grund liegt im Bau des Wassermoleküls. Beim Abkühlen beginnen sich die Moleküle schon vor dem Gefrieren zum sechseckigen Eisgitter zu ordnen, und dieses Gitter braucht mehr Platz als die ungeordnete Flüssigkeit. Unterhalb von \(4\,^\circ\mathrm{C}\) überwiegt dieser Effekt die normale Zusammenziehung.
grösste Dichte bei 4 °C: 999.97 kg/m³
Beim Gefrieren macht das Volumen dann einen Sprung: Eis hat bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) die Dichte \(917\,\mathrm{kg/m^3}\), Wasser \(999.84\,\mathrm{kg/m^3}\). Eis hat also eine rund acht Prozent kleinere Dichte und schwimmt — bei fast allen anderen Stoffen sinkt die feste Phase in der eigenen Schmelze zu Boden.
Was daran hängt
Im Winter kühlt ein See von der Oberfläche her ab. Solange das Oberflächenwasser wärmer als \(4\,^\circ\mathrm{C}\) ist, wird es beim Abkühlen dichter und sinkt — der See wälzt sich um. Bei \(4\,^\circ\mathrm{C}\) hört das auf: Noch kälteres Wasser ist wieder leichter und bleibt oben. Dort bildet sich das Eis, und die Eisdecke wirkt zusätzlich als Deckel.
Am Grund bleiben \(4\,^\circ\mathrm{C}\) flüssig stehen. Ohne die Anomalie würde ein See von unten nach oben durchfrieren — und im Frühling nur langsam wieder auftauen, weil das Eis unter Wasser vor der Sonne geschützt wäre.
Merksatz
Zwei Eigenheiten, eine Folge: das Dichtemaximum bei \(4\,^\circ\mathrm{C}\) und das leichtere Eis. Zusammen halten sie den Seegrund flüssig — und sprengen zugleich Wasserleitungen und Felsen, weil gefrierendes Wasser mehr Platz braucht.
A8.1 KERN Beschreibe in eigenen Worten, was in einem See von Herbst bis Winter mit den Wasserschichten geschieht.
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Das Oberflächenwasser kühlt ab und wird dabei dichter, solange es wärmer als \(4\,^\circ\mathrm{C}\) ist. Es sinkt, wärmeres Wasser steigt auf, und der See wälzt sich um, bis er durchgehend \(4\,^\circ\mathrm{C}\) hat. Kühlt die Oberfläche weiter ab, wird dieses Wasser wieder leichter und bleibt oben liegen. Es erreicht \(0\,^\circ\mathrm{C}\) und gefriert; das Eis schwimmt. Am Grund stehen weiterhin \(4\,^\circ\mathrm{C}\).
A8.2 KERN Eis hat die Dichte \(917\,\mathrm{kg/m^3}\), Wasser bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) die Dichte \(999.8\,\mathrm{kg/m^3}\). Wie viel Prozent eines Eisbergs ragen aus Süsswasser heraus?
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Ein schwimmender Körper taucht so weit ein, dass die verdrängte Wassermasse seiner eigenen Masse entspricht. Der eingetauchte Anteil ist darum \(\dfrac{\rho_\text{Eis}}{\rho_\text{Wasser}}\):
\[ \frac{917\,\mathrm{kg/m^3}}{999.8\,\mathrm{kg/m^3}} = 0.917 \]
Es ragen also \(8.3\,\%\) heraus. Im Meerwasser mit \(1025\,\mathrm{kg/m^3}\) sind es \(10.5\,\%\) — die berühmte «Spitze des Eisbergs».
A8.3 VERTIEFUNG Eine randvolle, verschlossene Glasflasche mit Wasser wird ins Gefrierfach gelegt und platzt. Um wie viel Prozent nimmt das Volumen beim Gefrieren zu?
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Die Masse bleibt gleich, also verhalten sich die Volumen umgekehrt wie die Dichten:
\[ \frac{V_\text{Eis}}{V_\text{Wasser}} = \frac{\rho_\text{Wasser}}{\rho_\text{Eis}} = \frac{999.84\,\mathrm{kg/m^3}}{917\,\mathrm{kg/m^3}} = 1.090 \]
Das Volumen nimmt um \(9.0\,\%\) zu. Da Glas praktisch nicht nachgibt, entstehen dabei sehr grosse Drücke — dieselbe Ursache lässt im Winter Wasserleitungen bersten und sprengt in den Bergen Felsen auf, wenn Wasser in Spalten gefriert.
Gesamttest zur Selbstkontrolle
Zwanzig Punkte, zwanzig Minuten. Danach weisst du, ob die Wärmeausdehnung sitzt.
Bedingungen
Erlaubt sind Taschenrechner und die Tabellenwerte aus den Schritten 3 und 5, nicht das Leitprogramm. Löse alle sieben Aufgaben am Stück, bevor du eine einzige Lösung aufklappst. Runde jedes Endergebnis auf drei signifikante Stellen.
T.1 2 Punkte Ein Kupferrohr ist \(30\,\mathrm{m}\) lang. Es wird von \(15\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(75\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmt. Berechne die Längenänderung in Millimetern.
T.2 3 Punkte Ein Messingwürfel hat das Volumen \(V_0 = 200\,\mathrm{cm^3}\) und wird um \(80\,\mathrm{K}\) erwärmt. Berechne \(\gamma\) und die Volumenänderung.
T.3 3 Punkte Ein randvolles Stahlfass enthält \(40\,\mathrm{l}\) Speiseöl und wird um \(30\,\mathrm{K}\) erwärmt. Wie viel Öl läuft über?
T.4 3 Punkte Ethanol hat bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) die Dichte \(0.789\,\mathrm{g/cm^3}\). Berechne die Dichte bei \(50\,^\circ\mathrm{C}\).
T.5 3 Punkte Begründe, warum für feste Körper \(\gamma \approx 3\,\alpha\) gilt. Gib auch an, weshalb dort ein «ungefähr» und kein Gleichheitszeichen steht.
T.6 3 Punkte (a) Erkläre, warum am Grund eines zugefrorenen Sees \(4\,^\circ\mathrm{C}\) herrschen. (b) Warum platzt eine randvolle Wasserflasche im Gefrierfach?
T.7 3 Punkte Ein Aluminiumring hat bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\) einen Innendurchmesser von \(50.00\,\mathrm{mm}\). Er soll über eine Welle von \(50.04\,\mathrm{mm}\) geschoben werden. Auf welche Temperatur muss der Ring erwärmt werden?
Alle Lösungen und die Bewertung anzeigen
T.1 \(\Delta T = 60\,\mathrm{K}\)
\[ \Delta l = 16.5 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 30\,\mathrm{m} \cdot 60\,\mathrm{K} = 0.0297\,\mathrm{m} = 29.7\,\mathrm{mm} \]
(Ansatz 1 P, Rechnung und Einheit 1 P)
T.2 \(\gamma = 3\,\alpha = 3 \cdot 18.4 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} = 55.2 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}}\)
\[ \Delta V = 55.2 \cdot 10^{-6}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 200\,\mathrm{cm^3} \cdot 80\,\mathrm{K} = 0.883\,\mathrm{cm^3} \]
(γ aus α 1 P, Ansatz 1 P, Rechnung und Einheit 1 P)
T.3 Das Fass dehnt sich mit, also zählt die Differenz:
\[ \gamma_\text{schein} = 0.700 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} - 0.036 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} = 0.664 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \]
\[ \Delta V_\text{schein} = 0.664 \cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\mathrm{K}} \cdot 40\,\mathrm{l} \cdot 30\,\mathrm{K} = 0.797\,\mathrm{l} \]
(Differenz erkannt 1 P, γ des Stahls aus α 1 P, Rechnung 1 P — wer das Fass vergisst, kommt auf 0.840 l und erhält 2 P)
T.4 \(\Delta T = 30\,\mathrm{K}\)
\[ \rho = \frac{0.789\,\mathrm{g/cm^3}}{1 + 1.10 \cdot 10^{-3}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 30\,\mathrm{K}} = \frac{0.789\,\mathrm{g/cm^3}}{1.033} = 0.764\,\mathrm{g/cm^3} \]
(Ansatz 2 P, Rechnung und Einheit 1 P)
T.5 Alle drei Kanten wachsen um denselben Faktor \((1 + \alpha\,\Delta T)\); das Volumen ist ihr Produkt, also \((1 + \alpha\,\Delta T)^3\). Ausmultipliziert entsteht \(1 + 3\,\alpha\,\Delta T + 3\,(\alpha\,\Delta T)^2 + (\alpha\,\Delta T)^3\). (2 P)
Das «ungefähr» steht dort, weil die beiden letzten Terme weggelassen werden. Sie sind winzig, weil \(\alpha\,\Delta T\) selbst schon in der Grössenordnung \(10^{-3}\) liegt — aber sie sind nicht null. (1 P)
T.6 (a) Beim Abkühlen wird Wasser dichter und sinkt — aber nur bis \(4\,^\circ\mathrm{C}\). Kälteres Wasser ist wieder leichter und bleibt oben, wo es gefriert. Das dichteste Wasser mit \(4\,^\circ\mathrm{C}\) sammelt sich darum am Grund. (2 P)
(b) Beim Gefrieren ordnen sich die Moleküle zum Eisgitter, das mehr Platz braucht: Das Volumen nimmt um rund \(9\,\%\) zu. Eine randvolle, verschlossene Flasche kann nicht ausweichen und platzt. (1 P)
T.7 Gefragt ist die Erwärmung, bei der der Innendurchmesser um \(\Delta l = 0.04\,\mathrm{mm}\) wächst. Ein Hohlraum dehnt sich wie das Material, also gilt dieselbe Formel wie für eine Länge:
\[ \Delta T = \frac{\Delta l}{\alpha \cdot l_0} = \frac{0.04\,\mathrm{mm}}{23.8 \cdot 10^{-6}\,\tfrac{1}{\mathrm{K}} \cdot 50.00\,\mathrm{mm}} = 33.6\,\mathrm{K} \]
\(\vartheta = 20\,^\circ\mathrm{C} + 33.6\,\mathrm{K} = 53.6\,^\circ\mathrm{C}\) — warmes Wasser genügt also.
(Bohrung dehnt sich mit 1 P, Umstellen 1 P, Endtemperatur 1 P)
Auswertung. Ab 16 Punkten sitzt das Kapitel. Bei 12 bis 15 Punkten hast du eine gezielte Lücke — schau nach, in welchem Schritt die verlorenen Punkte lagen, und arbeite nur diesen nochmals durch. Unter 12 Punkten lohnt sich der Weg ab Schritt 3 von vorn.
Wo du nachschlägst, wenn etwas nicht stimmte.
| Fehler bei | Das gehört noch einmal angeschaut |
|---|---|
| T.1 | Schritt 3 — Längenausdehnung, und Schritt 2 für ΔT |
| T.2 | Schritt 4 — γ = 3α und die Volumenformel |
| T.3 | Schritt 6 — die scheinbare Ausdehnung |
| T.4 | Schritt 7 — Dichte und Temperatur |
| T.5 | Schritt 4 — die Herleitung, nicht nur das Ergebnis |
| T.6 | Schritt 8 — Anomalie des Wassers |
| T.7 | Schritte 3 und 6 — Umstellen, und der Hohlraum, der mitwächst |
Wo Punkte typischerweise verloren gehen: \(\gamma\) mit \(\alpha\) verwechselt, die Ausdehnung des Gefässes vergessen, die Endtemperatur statt der Differenz eingesetzt, oder \(\Delta l\) für die neue Länge gehalten statt für die Änderung. Alle vier lassen sich vermeiden, indem man vor dem Einsetzen hinschreibt, welche Grösse gesucht ist und welche gegeben.
Formeln und Werte auf einen Blick
| Grösse | Formel | bemerkt |
|---|---|---|
| Längenausdehnung | \(\Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T\) | gibt die Änderung, nicht die neue Länge |
| Flächenausdehnung | \(\Delta A = 2\,\alpha \cdot A_0 \cdot \Delta T\) | zwei Kanten wachsen mit |
| Volumenausdehnung | \(\Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T\) | fest: \(\gamma \approx 3\,\alpha\); flüssig: \(\gamma\) aus der Tabelle |
| im Gefäss | \(\gamma_\text{schein} = \gamma_\text{Fl} - \gamma_\text{Gef}\) | nur die Differenz wird sichtbar |
| Dichte | \(\rho = \dfrac{\rho_0}{1 + \gamma \cdot \Delta T}\) | Masse bleibt, Volumen wächst |
| Temperaturdifferenz | \(\Delta T = \Delta \vartheta\) | in Kelvin und Grad Celsius gleich gross |
| Stoff | \(\alpha\) in \(10^{-6}\,\mathrm{1/K}\) | \(\gamma\) in \(10^{-6}\,\mathrm{1/K}\) |
|---|---|---|
| Aluminium | 23.8 | 71.4 |
| Messing | 18.4 | 55.2 |
| Kupfer | 16.5 | 49.5 |
| Stahl, Eisen | 12 | 36 |
| Beton | 10 | 30 |
| Glas (Fenster) | 8.1 | 24.3 |
| Quarzglas | 0.5 | 1.5 |
| Aceton | — | 1430 |
| Ethanol | — | 1100 |
| Speiseöl | — | 700 |
| Wasser (20 °C) | — | 210 |
| Quecksilber | — | 180 |
| Wasser | Wert | bemerkt |
|---|---|---|
| grösste Dichte | \(999.97\,\mathrm{kg/m^3}\) bei \(4\,^\circ\mathrm{C}\) | die Anomalie |
| Dichte bei 0 °C | \(999.84\,\mathrm{kg/m^3}\) | flüssig |
| Dichte von Eis | \(917\,\mathrm{kg/m^3}\) | rund 8 % kleinere Dichte, darum schwimmt es |
| Volumensprung | \(+9\,\%\) beim Gefrieren | sprengt Flaschen, Leitungen und Felsen |
Wie es weitergeht
Die Themenseite 5.3 Wärmeausdehnung vertieft dieses Kapitel mit weiteren Animationen und Aufgaben; 5.1 Temperatur behandelt die Skalen, 5.2 Wärme die Energiemengen dahinter.
Fehlt noch der dritte Aggregatzustand: Gase dehnen sich noch einmal deutlich stärker aus als Flüssigkeiten, und für sie gilt kein Tabellenwert, sondern ein eigenes Gesetz. Das ist das Leitprogramm zu den idealen Gasen. Wenn Einheiten, Dichte oder Druck wackeln, hilft vorher das Leitprogramm «Grössen, Messen, Druck».