Leitprogramm Statik

Kapitel 0Vorwissen · 0.1 · 0.2 · 4.2≈ 15 min

Vorwissen

Gewichtskraft aus 4.2, Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck, Gleichungen umstellen, Einheiten umrechnen. Wenn das wackelt: Leitprogramm Dynamik und Leitprogramm Rechnen.

Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck. Zum Winkel \(\alpha\) gehören die Ankathete (liegt am Winkel), die Gegenkathete (liegt ihm gegenüber) und die Hypotenuse (gegenüber dem rechten Winkel):

\[ \cos\alpha = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \sin\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} \qquad \tan\alpha = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} \]

Rückwärts liefert die Umkehrfunktion den Winkel, etwa \(\alpha = \arctan 0.5 \approx 26.6^\circ\) (Taste \(\tan^{-1}\)). Der Taschenrechner muss auf Grad stehen (DEG), nicht auf Bogenmass (RAD).

Vortest · 10 P

bearbeitet

0a(2 P)Wie gross ist die Gewichtskraft auf einen Rucksack von \(15\;\text{kg}\)?

Lösung
\(F_G = m \cdot g\) \(= 15\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2\) \(\approx 147\;\text{N}\).
Falsch? Leitprogramm Dynamik, Kapitel 3
0b(3 P)Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse \(10\;\text{cm}\) und den Winkel \(\alpha = 35^\circ\). Wie lang sind die Ankathete und die Gegenkathete von \(\alpha\)?

Lösung
Ankathete: \(10\;\text{cm} \cdot \cos 35^\circ\) \(\approx 8.19\;\text{cm}\). Gegenkathete: \(10\;\text{cm} \cdot \sin 35^\circ\) \(\approx 5.74\;\text{cm}\).
Falsch? Taschenrechner auf DEG? Sonst den Kasten oben nochmals lesen.
0c(3 P)Stelle \(M = F \cdot r\) nach \(r\) um, \(F_B \cdot L = F \cdot x\) nach \(x\) und \(\tan\alpha = \mu_H\) nach \(\alpha\).

Lösung
\(r = \dfrac{M}{F}\), \(x = \dfrac{F_B \cdot L}{F}\), \(\alpha = \arctan \mu_H\).
Falsch? Vorwissen 0.1, Gleichungen umstellen
0d(2 P)Rechne um: \(18\;\text{cm}\) in Meter und \(2.5\;\text{kN}\) in Newton.

Lösung
\(18\;\text{cm} = 0.18\;\text{m}\), \(2.5\;\text{kN} = 2500\;\text{N}\).
Falsch? Vorwissen 0.2, Vorsilben · Einheitentrainer

Weniger als 7 von 10 Punkten: zuerst die verlinkten Stellen zu den falschen Aufgaben, dann Kapitel 1.

Kapitel 14.4 · K1≈ 40 min

Kraft als Vektor

Du definierst die Kraft, stellst sie als Pfeil mit Betrag, Richtung und Angriffspunkt dar und zerlegst sie in die Komponenten \(F_x = F \cdot \cos\varphi\) und \(F_y = F \cdot \sin\varphi\).

① Clip

Transkript

0:00Eine Kraft verformt einen Körper, oder sie ändert seine Bewegung: schneller, langsamer, in eine andere Richtung. Gemessen wird sie in Newton, zum Beispiel mit einem Federkraftmesser.
0:11Eine Kraft ist ein Vektor. Man zeichnet sie als Pfeil: Die Länge zeigt den Betrag, die Spitze die Richtung, der Anfang den Angriffspunkt. Die Gerade durch den Pfeil heisst Wirkungslinie. An einem starren Körper darf man die Kraft längs der Wirkungslinie verschieben, quer dazu nicht.
0:27Eine Kraft von sechzig Newton zeigt unter vierzig Grad zur x-Achse. Man zerlegt sie in zwei Teile längs der Achsen. Der Teil am Winkel gehört zum Kosinus: F x gleich F mal Kosinus Phi, rund sechsundvierzig Newton. Der Teil gegenüber gehört zum Sinus: F y, rund achtunddreissig Komma sechs Newton.
0:46Zeigt dieselbe Kraft unter hundertfünfzig Grad nach links oben, wird F x negativ: minus zweiundfünfzig Newton. Die Vorzeichen ergeben sich von selbst, wenn man den Winkel immer von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn misst.
1:00Rückwärts geht es mit Pythagoras. Achtzig Newton nach rechts und sechzig Newton nach oben geben zusammen hundert Newton, nicht hundertvierzig. Den Winkel liefert der Tangens: rund sechsunddreissig Komma neun Grad.
1:13Zum Mitnehmen: Eine Kraft hat Betrag, Richtung und Angriffspunkt. Ihre Komponenten sind F mal Kosinus Phi und F mal Sinus Phi, den Betrag gibt Pythagoras.
1:24Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

F Betrag

φ Winkel

③ Kontrollfragen

Transkript

0:00Eine Kraft ist erst mit Betrag, Richtung und Angriffspunkt festgelegt.
0:05Senkrecht nach oben hat die Kraft keinen Anteil in x-Richtung: Kosinus neunzig Grad ist null.
0:12Die senkrechte Komponente gehört zum Sinus: vierzig Newton mal Sinus dreissig Grad, zwanzig Newton.
0:19Nach links unten sind beide Komponenten negativ.
0:23Pythagoras: Wurzel aus neun im Quadrat plus zwölf im Quadrat, fünfzehn Newton.

Festhalten

Kraft als Vektor

Eine Kraft verformt einen Körper oder ändert seinen Bewegungszustand. Einheit: das Newton, \(1\;\text{N} = 1\;\text{kg} \cdot \text{m/s}^2\). Eine Kraft ist ein Vektor: Sie hat einen Betrag, eine Richtung und einen Angriffspunkt. Man zeichnet sie als Pfeil; die Gerade durch den Pfeil heisst Wirkungslinie. Längs der Wirkungslinie darf man eine Kraft an einem starren Körper verschieben, quer dazu nicht.

Mit dem Winkel \(\varphi\) zur positiven \(x\)-Achse (gegen den Uhrzeigersinn) zerlegt man sie in Komponenten; rückwärts gibt Pythagoras den Betrag:

\[ F_x = F \cdot \cos\varphi \qquad F_y = F \cdot \sin\varphi \qquad F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} \]

Die Vorzeichen ergeben sich von selbst: nach links \(F_x < 0\), nach unten \(F_y < 0\). Den Winkel liefert \(\tan\varphi = \dfrac{F_y}{F_x}\) — der Taschenrechner gibt aber nur Winkel zwischen \(-90^\circ\) und \(90^\circ\). Darum zuerst skizzieren: Zeigt die Kraft nach links, zählt man \(180^\circ\) dazu, zeigt sie nach rechts unten, \(360^\circ\).

Häufiger Fehler

Komponenten addiert statt mit Pythagoras: \(F_x = 30\;\text{N}\) und \(F_y = 40\;\text{N}\) geben \(\sqrt{(30\;\text{N})^2 + (40\;\text{N})^2} = 50\;\text{N}\), nicht \(70\;\text{N}\).

Sinus und Kosinus vertauscht: Die Komponente am Winkel gehört zum Kosinus. Und der Taschenrechner muss auf Grad (DEG) stehen.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Komponenten einer Kraft0 in Folge

🔁 Betrag aus den Komponenten0 in Folge

🔁 Richtung aus den Komponenten0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 1 · 12 P

bearbeitet

1a(3 P)Was ist eine Kraft? Nenne ihre zwei Wirkungen und die drei Angaben, die eine Kraft festlegen. Begründe am Beispiel eines Fussballs, warum der Betrag allein nicht genügt.

Lösung
Eine Kraft verformt einen Körper oder ändert seinen Bewegungszustand (schneller, langsamer, andere Richtung). Festgelegt ist sie durch Betrag, Richtung und Angriffspunkt.
Fussball: Derselbe kräftige Stoss schickt den Ball nach vorn oder zur Seite, je nach Richtung. Trifft er den Ball mittig, fliegt er gerade; trifft er ihn seitlich, dreht er sich zusätzlich — Richtung und Angriffspunkt entscheiden mit.
1b(3 P)Ein Kind zieht einen Schlitten an einer Schnur mit \(90\;\text{N}\); die Schnur steigt unter \(25^\circ\) zur Waagrechten an. Wie gross sind die waagrechte und die senkrechte Komponente? Was bewirkt jede?

Lösung
\(F_x = F \cdot \cos\varphi\) \(= 90\;\text{N} \cdot \cos 25^\circ\) \(\approx 81.6\;\text{N}\), \(F_y = F \cdot \sin\varphi\) \(= 90\;\text{N} \cdot \sin 25^\circ\) \(\approx 38.0\;\text{N}\).
Die waagrechte Komponente zieht den Schlitten vorwärts, die senkrechte hebt ihn ein wenig an und entlastet den Boden.
1c(3 P)Das Bild zeigt eine Kraft im Gitter (ein Feld \(10\;\text{N}\)). Lies ihre Komponenten ab und berechne Betrag und Richtungswinkel \(\varphi\).

Lösung
Abgelesen: \(F_x = -40\;\text{N}\), \(F_y = 30\;\text{N}\). \(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}\) \(= \sqrt{(40\;\text{N})^2 + (30\;\text{N})^2}\) \(= 50\;\text{N}\).
\(\arctan\dfrac{30}{-40} \approx -36.9^\circ\); die Kraft zeigt nach links oben, also \(\varphi = -36.9^\circ + 180^\circ\) \(\approx 143.1^\circ\).
1d(3 P)Ein Spannseil zieht an einem Zeltpfahl mit den Komponenten \(F_x = 240\;\text{N}\) und \(F_y = -70\;\text{N}\). Wie gross ist die Seilkraft, und in welche Richtung zieht sie (Winkel \(\varphi\) zwischen \(0^\circ\) und \(360^\circ\))?

Lösung
\(F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2}\) \(= \sqrt{(240\;\text{N})^2 + (70\;\text{N})^2}\) \(= 250\;\text{N}\).
\(\arctan\dfrac{-70}{240} \approx -16.3^\circ\); nach rechts unten heisst das \(\varphi \approx 343.7^\circ\).

Mehr dazu: Themenseite 4.4, Grundbegriffe · Kraft als Vektor

Kapitel 24.4 · K4≈ 40 min

Die resultierende Kraft

Du stellst alle Kräfte auf einen Körper als Pfeile dar, setzt sie grafisch (Spitze an Fuss) und rechnerisch (Komponenten) zur Resultierenden zusammen und erkennst das Kräftegleichgewicht \(\vec{F}_\text{res} = \vec{0}\).

① Clip

Transkript

0:00Zwei Kräfte von je siebzig Newton greifen an einem Ring an, die eine nach rechts, die andere unter sechzig Grad. Man hängt den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten: Spitze an Fuss.
0:10Der Pfeil vom ersten Fuss zur letzten Spitze ist die Resultierende. Sie ersetzt beide Kräfte. Hier sind es rund hunderteinundzwanzig Newton, nicht hundertvierzig: Verschieden gerichtete Kräfte darf man nicht einfach addieren.
0:24Rechnen geht über die Komponenten. In x-Richtung: siebzig plus siebzig mal Kosinus sechzig, hundertfünf Newton. In y-Richtung: siebzig mal Sinus sechzig, rund sechzig Komma sechs Newton. Pythagoras gibt wieder rund hunderteinundzwanzig Newton.
0:39Nur in zwei Fällen ist es einfacher. Gleich gerichtet addieren sich die Beträge, entgegengesetzt subtrahieren sie sich. Darum liegt die Resultierende zweier Kräfte immer zwischen ihrer Differenz und ihrer Summe.
0:52Drei Kräfte von je achtzig Newton zeigen nach oben und schräg nach links und rechts unten. Aneinandergehängt schliessen sie sich zu einem Dreieck: Die Resultierende ist null. Das ist das Kräftegleichgewicht, und der Ring bleibt in Ruhe.
1:06Zum Mitnehmen: Kräfte addiert man als Pfeile oder über die Komponenten. Schliessen sich die Pfeile, herrscht Gleichgewicht.
1:13Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

F₁

φ₁

F₂

φ₂

F₃

φ₃

③ Kontrollfragen

Transkript

0:00Gleich gerichtet addieren sich die Beträge: dreissig plus vierzig, siebzig Newton.
0:06Im rechten Winkel gilt Pythagoras: Wurzel aus fünfunddreissig im Quadrat plus hundertzwanzig im Quadrat, hundertfünfundzwanzig Newton.
0:14Schliessen sich die Pfeile, endet der letzte am Fuss des ersten: Die Resultierende ist null.
0:21Entgegengesetzte Kräfte heben sich teilweise auf: Die Resultierende kann kleiner sein als jede einzelne Kraft.
0:28Die sechzig Newton nach rechts und nach links heben sich auf. Übrig bleiben fünfundzwanzig Newton nach oben.

Festhalten

Resultierende Kraft

Greifen mehrere Kräfte am selben Punkt an, wirken sie zusammen wie eine einzige Kraft, die Resultierende \(\vec{F}_\text{res}\) (die Themenseite schreibt auch \(\vec{F}_R\); hier heisst \(F_R\) die Reibung). Sie ist die Vektorsumme:

\[ \vec{F}_\text{res} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \ldots \qquad F_{\text{res},x} = \sum F_x \qquad F_{\text{res},y} = \sum F_y \]

Grafisch: die Pfeile Spitze an Fuss aneinanderhängen; der Pfeil vom ersten Fuss zur letzten Spitze ist \(\vec{F}_\text{res}\). Bei zwei Kräften gibt das Kräfteparallelogramm dasselbe. Rechnerisch: Komponenten addieren, dann \(F_\text{res} = \sqrt{F_{\text{res},x}^2 + F_{\text{res},y}^2}\).

Nur gleichgerichtete Beträge darf man addieren, entgegengesetzte subtrahieren. Ist \(\vec{F}_\text{res} = \vec{0}\), schliessen sich die Pfeile zu einem Krafteck: Ein ruhender Körper bleibt in Ruhe — das Kräftegleichgewicht.

Häufiger Fehler

Beträge addiert, obwohl die Kräfte verschieden gerichtet sind: \(90\;\text{N}\) nach Norden und \(40\;\text{N}\) nach Osten ergeben rund \(98.5\;\text{N}\), nicht \(130\;\text{N}\).

Pythagoras mit den Beträgen gerechnet, obwohl die Kräfte nicht rechtwinklig stehen: erst die Komponenten addieren.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Zwei Kräfte im rechten Winkel0 in Folge

🔁 Zwei Kräfte unter einem Winkel0 in Folge

🔁 Last an zwei Seilen0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P

bearbeitet

2a(3 P)Zwei Hunde ziehen an einem Spielzeug: der eine mit \(120\;\text{N}\) nach Osten, der andere mit \(50\;\text{N}\) nach Norden. Wie gross ist die Resultierende, und unter welchem Winkel zur Ostrichtung zeigt sie?

Lösung
\(F_\text{res} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2}\) \(= \sqrt{(120\;\text{N})^2 + (50\;\text{N})^2}\) \(= 130\;\text{N}\).
\(\tan\varphi = \dfrac{50\;\text{N}}{120\;\text{N}}\), \(\varphi \approx 22.6^\circ\) nördlich von Osten.
2b(3 P)Drei Kräfte greifen an einem Punkt an (Bild, ein Feld \(10\;\text{N}\)). Lies die Komponenten ab und bestimme die Resultierende nach Betrag und Richtung.

Lösung
\(F_1 = (30\;\text{N};\, 20\;\text{N})\), \(F_2 = (-10\;\text{N};\, 30\;\text{N})\), \(F_3 = (20\;\text{N};\, -30\;\text{N})\). \(F_{\text{res},x} = 30\;\text{N} - 10\;\text{N} + 20\;\text{N}\) \(= 40\;\text{N}\), \(F_{\text{res},y} = 20\;\text{N} + 30\;\text{N} - 30\;\text{N}\) \(= 20\;\text{N}\).
\(F_\text{res} = \sqrt{(40\;\text{N})^2 + (20\;\text{N})^2}\) \(\approx 44.7\;\text{N}\), \(\varphi = \arctan\dfrac{20}{40}\) \(\approx 26.6^\circ\).
2c(3 P)Eine Hängelampe (\(6\;\text{kg}\)) hängt in der Mitte zweier gleich langer Seile, die beide unter \(30^\circ\) zur Waagrechten ansteigen. Wie gross ist die Kraft in jedem Seil? Begründe, warum sie gleich gross ist wie die Gewichtskraft der Lampe.

Lösung
Am Knoten herrscht Gleichgewicht. Die waagrechten Komponenten der Seile heben sich auf, die senkrechten tragen die Lampe: \(2 \cdot F_S \cdot \sin 30^\circ = m \cdot g\).
\(F_S = \dfrac{6\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2}{2 \cdot \sin 30^\circ}\) \(\approx 58.9\;\text{N}\). Weil \(2 \cdot \sin 30^\circ = 1\) ist, trägt jedes Seil senkrecht nur die Hälfte, muss dafür aber mit der ganzen Gewichtskraft ziehen.
2d(3 P)Ein Schiff wird von zwei Schleppern gezogen, je \(40\;\text{kN}\), unter \(20^\circ\) links und \(20^\circ\) rechts der Fahrtrichtung. Wie gross ist die Resultierende? Begründe, warum die Schlepper den Winkel möglichst klein halten.

Lösung
Die Querkomponenten heben sich auf, die Längskomponenten addieren sich: \(F_\text{res} = 2 \cdot 40\;\text{kN} \cdot \cos 20^\circ\) \(\approx 75.2\;\text{kN}\).
Je grösser der Winkel, desto kleiner \(\cos\) des Winkels: Bei \(40^\circ\) wären es nur \(\approx 61.3\;\text{kN}\). Die Querkomponenten heben sich nur auf, sie bringen das Schiff nicht vorwärts.

Mehr dazu: Themenseite 4.4, Resultierende · Kräftegleichgewicht am Punkt

Kapitel 34.4 · K3 · K5≈ 40 min

Kräfte am ruhenden Körper

Du zählst die Kräfte an einem ruhenden Körper auf — Gewichtskraft, Normalkraft, Haftreibung —, charakterisierst sie und zeigst das Gleichgewicht auf der waagrechten und der schiefen Ebene mit \(F_H = F_G \cdot \sin\alpha\), \(F_N = F_G \cdot \cos\alpha\) und \(\tan\alpha \le \mu_H\).

① Clip

Transkript

0:00Eine Kiste mit zwölf Kilogramm liegt auf einem waagrechten Brett. Die Gewichtskraft zieht sie senkrecht nach unten, sie greift im Schwerpunkt an. Das Brett drückt mit der Normalkraft senkrecht zur Fläche zurück, genau so stark. Die Summe ist null, die Kiste ruht.
0:14Zieht man seitlich, hält die Haftreibung dagegen. Sie ist nur so gross wie nötig und passt sich der Zugkraft an, aber höchstens bis My H mal F N. Die Haftreibungszahl My H hängt von den Materialien ab und hat keine Einheit.
0:29Jetzt steht das Brett unter dreissig Grad. Man zerlegt die Gewichtskraft längs und senkrecht zum Brett. Längs zieht die Hangabtriebskraft, F G mal Sinus Alpha, rund achtundfünfzig Komma neun Newton. Senkrecht drückt F G mal Kosinus Alpha, rund hundertzwei Newton; so gross ist auch die Normalkraft.
0:46Bei My H gleich null Komma sechs fünf kann die Haftreibung höchstens rund sechsundsechzig Newton aufbringen. Das reicht für achtundfünfzig Komma neun Newton Hangabtrieb: Die Kiste haftet, und die Reibung ist genau so gross wie der Hangabtrieb.
1:00Neigt man weiter, wächst der Hangabtrieb, und mit der Normalkraft nimmt auch die grösste Haftreibung ab. Gleich gross werden Hangabtrieb und grösste Haftreibung, wenn der Tangens des Winkels gleich My H ist. Die Masse kürzt sich heraus. Hier rutscht die Kiste ab rund dreiunddreissig Grad.
1:17Zum Mitnehmen: Am ruhenden Körper wirken Gewichtskraft, Normalkraft und, wo nötig, Haftreibung, und ihre Summe ist null. Auf der schiefen Ebene haftet er, solange der Tangens des Neigungswinkels höchstens My H ist.
1:30Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

m Masse

μ_H Haftreibung

α neigen bis

③ Kontrollfragen

Transkript

0:00Die Unterlage drückt mit der Normalkraft zurück, senkrecht zur Fläche. Waagrecht ist sie so gross wie die Gewichtskraft.
0:07Hangabtrieb ist Gewichtskraft mal Sinus Alpha: fünfzig mal neun Komma acht eins mal Sinus zehn Grad, rund fünfundachtzig Newton.
0:16Die Kiste ruht. Die Haftreibung ist so gross wie nötig, also so gross wie der Hangabtrieb: vierzig Newton. Siebzig Newton wären nur der Höchstwert.
0:26An der Grenze ist der Tangens des Winkels gleich My H: Arcustangens null Komma zwei fünf, rund vierzehn Grad.
0:33Der Tangens von zwanzig Grad ist rund null Komma drei sechs, kleiner als null Komma fünf. Die Kiste haftet, egal wie schwer sie ist.

Festhalten

Kräfte an einem ruhenden Körper

Gewichtskraft \(\vec{F}_G\): senkrecht nach unten, greift im Schwerpunkt an, \(F_G = m \cdot g\).
Normalkraft (Auflagerkraft) \(\vec{F}_N\): senkrecht zur Auflagefläche, von ihr weg. Sie ist so gross, dass der Körper nicht in die Unterlage einsinkt.
Haftreibung \(\vec{F}_R\): längs der Fläche, der drohenden Bewegung entgegen. Sie ist nur so gross wie nötig, höchstens \(F_R \le \mu_H \cdot F_N\) (\(\mu_H\): Haftreibungszahl, ohne Einheit).

Auf der schiefen Ebene zerlegt man die Gewichtskraft längs und senkrecht zur Ebene:

\[ F_H = F_G \cdot \sin\alpha \qquad F_N = F_G \cdot \cos\alpha \]

Der Körper ruht, solange die Haftreibung die Hangabtriebskraft \(F_H\) ausgleichen kann. Daraus folgt die Haftbedingung \(\tan\alpha \le \mu_H\); die Masse kürzt sich.

Häufiger Fehler

Auf der schiefen Ebene \(F_N = F_G\) gesetzt: Das gilt nur waagrecht. Schief ist \(F_N = F_G \cdot \cos\alpha\), kleiner als \(F_G\).

Die Haftreibung immer gleich \(\mu_H \cdot F_N\) gesetzt: Das ist nur ihr Höchstwert. Eine Kiste auf waagrechtem Boden, an der niemand zieht, hat gar keine Reibung.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Kräfte auf der schiefen Ebene0 in Folge

🔁 Grenzwinkel und Haftreibungszahl0 in Folge

🔁 Haftreibung auf waagrechtem Boden0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P

bearbeitet

3a(3 P)Ein Buch liegt auf einem schräg gestellten Pult und rutscht nicht. Zähle alle Kräfte auf, die auf das Buch wirken, mit Richtung und Angriffspunkt (Skizze). Wie gross ist ihre Summe? Begründe.

Lösung
Gewichtskraft (senkrecht nach unten, im Schwerpunkt), Normalkraft (senkrecht zur Pultfläche, nach oben weg von der Fläche, an der Auflagefläche), Haftreibung (längs der Pultfläche hangaufwärts, an der Auflagefläche).
Die Summe ist null: Das Buch ruht, also herrscht Kräftegleichgewicht. Die Haftreibung gleicht die Hangabtriebskraft aus, die Normalkraft die Komponente der Gewichtskraft senkrecht zum Pult.
3b(3 P)Fahrer und Velo (zusammen \(90\;\text{kg}\)) stehen mit angezogenen Bremsen auf einer Strasse mit \(12^\circ\) Neigung. Wie gross sind Normalkraft und Hangabtriebskraft? Hält die Haftreibung, wenn \(\mu_H = 0.7\) ist (Gummi auf trockenem Asphalt)?

Lösung
\(F_G = m \cdot g\) \(= 90\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2\) \(\approx 883\;\text{N}\). \(F_N = F_G \cdot \cos\alpha\) \(\approx 864\;\text{N}\), \(F_H = F_G \cdot \sin\alpha\) \(\approx 184\;\text{N}\).
Höchstens \(\mu_H \cdot F_N = 0.7 \cdot 864\;\text{N}\) \(\approx 605\;\text{N}\) — weit mehr als nötig. Oder kürzer: \(\tan 12^\circ \approx 0.21 \le 0.7\). Das Velo hält.
3c(3 P)Das Diagramm zeigt für einen Klotz mit \(F_G = 100\;\text{N}\) die Hangabtriebskraft (violett) und die grösste Haftreibung \(\mu_H \cdot F_N\) (türkis gestrichelt) über dem Neigungswinkel. Bis zu welchem Winkel haftet der Klotz? Wie gross ist \(\mu_H\)? Prüfe mit \(\tan\alpha = \mu_H\).

Lösung
Er haftet, solange die violette Kurve unter der türkisen liegt: bis zum Schnittpunkt bei rund \(22^\circ\).
Bei \(\alpha = 0^\circ\) ist \(F_N = F_G = 100\;\text{N}\) und die Grenze \(40\;\text{N}\), also \(\mu_H = \dfrac{40\;\text{N}}{100\;\text{N}} = 0.4\). Probe: \(\arctan 0.4 \approx 21.8^\circ\).
3d(3 P)Eine Kiste (\(50\;\text{kg}\)) steht auf waagrechtem Boden, \(\mu_H = 0.45\). Du schiebst waagrecht mit \(120\;\text{N}\), sie bewegt sich nicht. Wie gross ist die Reibungskraft? Ab welcher Schubkraft rutscht sie? Begründe, warum die Reibung nicht immer \(\mu_H \cdot F_N\) ist.

Lösung
Die Kiste ruht, also \(\sum F_x = 0\): Die Haftreibung ist \(120\;\text{N}\), so gross wie deine Kraft.
Höchstens \(\mu_H \cdot F_N = 0.45 \cdot 50\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2\) \(\approx 221\;\text{N}\); erst darüber rutscht sie. \(\mu_H \cdot F_N\) ist die Grenze, keine feste Kraft — die Haftreibung passt sich an, bis die Grenze erreicht ist.

Mehr dazu: Themenseite 4.4, Die wesentlichen Kräfte · Schiefe Ebene

Kapitel 44.4 · K2≈ 40 min

Das Drehmoment

Du definierst das Drehmoment \(M = F \cdot r = F \cdot l \cdot \sin\alpha\) als Kraft mal wirksamen Hebelarm, rechnest damit und nennst Anwendungen.

① Clip

Transkript

0:00Eine festsitzende Schraube löst man nicht mit Kraft allein. Es zählt, wie weit aussen und in welche Richtung man zieht. Diese Drehwirkung heisst Drehmoment.
0:09Hundertzwanzig Newton greifen senkrecht am Schlüssel an, null Komma zwei fünf Meter von der Drehachse D. Das Drehmoment ist Kraft mal Hebelarm: dreissig Newtonmeter. Doppelt so langer Schlüssel, halbe Kraft für dasselbe Moment.
0:24Zieht man schräg, unter sechzig Grad zum Schlüssel, zählt nur der wirksame Hebelarm: der senkrechte Abstand der Wirkungslinie von D, l mal Sinus Alpha. Das Drehmoment sinkt auf rund sechsundzwanzig Newtonmeter.
0:38Zieht man genau längs des Schlüssels, geht die Wirkungslinie durch die Drehachse. Der Hebelarm ist null, und es dreht sich nichts, egal wie stark man zieht.
0:47Die Einheit ist das Newtonmeter. Dreht die Kraft gegen den Uhrzeigersinn, zählt das Moment positiv, im Uhrzeigersinn negativ. Drehmomente nutzt man überall: am Schraubenschlüssel und am Radkreuz, an Türgriff und Lenkrad, an der Velokurbel, an Wippe, Kran und Motor.
1:04Zum Mitnehmen: Das Drehmoment ist Kraft mal wirksamer Hebelarm. Am grössten ist es, wenn die Kraft senkrecht zum Hebel steht.
1:12Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

Schraube sitzt mit:

F Kraft

l Schlüssel

α Winkel

③ Kontrollfragen

Transkript

0:00Kraft mal Hebelarm: fünfzig Newton mal null Komma drei Meter, fünfzehn Newtonmeter.
0:06Der wirksame Hebelarm ist der senkrechte Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse, nicht die Länge des Hebels.
0:14Kraft in Newton mal Hebelarm in Meter: Newtonmeter.
0:18Umgestellt: Kraft gleich Moment durch Hebelarm. Vierundzwanzig Newtonmeter durch null Komma vier Meter, sechzig Newton.
0:26Das Radkreuz hat lange Arme: grosser Hebelarm, kleine Kraft für das nötige Drehmoment.

Festhalten

Drehmoment

Das Drehmoment \(M\) beschreibt die Drehwirkung einer Kraft um eine Drehachse. Es ist Kraft mal wirksamer Hebelarm \(r\), dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie von der Drehachse:

\[ M = F \cdot r = F \cdot l \cdot \sin\alpha \]

\(l\): Abstand des Angriffspunkts von der Achse, \(\alpha\): Winkel zwischen Hebel und Kraft. Einheit: Newtonmeter, \(\text{Nm}\). Am grössten bei \(\alpha = 90^\circ\); null, wenn die Wirkungslinie durch die Achse geht. Vorzeichen: gegen den Uhrzeigersinn positiv, im Uhrzeigersinn negativ.

Anwendungen: Schraubenschlüssel und Radkreuz, Türgriff, Lenkrad, Velokurbel, Wippe und Hebel, Kran, Motoren (deren Drehmoment im Prospekt steht).

Häufiger Fehler

Den Schlüssel in Zentimeter eingesetzt: \(150\;\text{N}\) an \(20\;\text{cm}\) geben \(150\;\text{N} \cdot 0.2\;\text{m} = 30\;\text{Nm}\), nicht \(3000\).

Den ganzen Hebel statt des wirksamen Hebelarms genommen, obwohl die Kraft schräg zieht: nur \(r = l \cdot \sin\alpha\) zählt.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Drehmoment berechnen0 in Folge

🔁 Kraft oder Hebelarm0 in Folge

🔁 Schräg am Schlüssel0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 4 · 12 P

bearbeitet

4a(3 P)Nenne drei Anwendungen des Drehmoments aus dem Alltag. Erkläre bei einer davon, wie man mit kleiner Kraft ein grosses Drehmoment erreicht, und begründe mit \(M = F \cdot r\).

Lösung
Zum Beispiel Radkreuz, Türgriff, Lenkrad, Velokurbel, Wippe, Flaschenöffner.
Radkreuz: Die Radmutter braucht ein festes Drehmoment. Mit langem Arm ist \(r\) gross, also genügt nach \(F = \dfrac{M}{r}\) eine kleine Kraft. Ein doppelt so langer Arm halbiert die nötige Kraft.
4b(3 P)Eine Velofahrerin drückt mit \(400\;\text{N}\) senkrecht nach unten auf das Pedal; die Kurbel ist \(17\;\text{cm}\) lang. Wie gross ist das Drehmoment, wenn die Kurbel waagrecht steht? Und wenn sie \(60^\circ\) unter der Waagrechten steht? Warum tritt man ganz unten ins Leere?

Lösung
Waagrecht steht die Kraft senkrecht zur Kurbel: \(M = F \cdot l\) \(= 400\;\text{N} \cdot 0.17\;\text{m}\) \(= 68\;\text{Nm}\).
\(60^\circ\) unter der Waagrechten liegen zwischen Kurbel und Kraft nur noch \(30^\circ\): \(M = 400\;\text{N} \cdot 0.17\;\text{m} \cdot \sin 30^\circ\) \(= 34\;\text{Nm}\). Ganz unten zeigt die Kraft längs der Kurbel auf die Achse: \(\sin 0^\circ = 0\), kein Drehmoment.
4c(3 P)Das Diagramm zeigt das Drehmoment einer Kraft an einem \(0.25\;\text{m}\) langen Schlüssel über dem Winkel \(\alpha\) zwischen Schlüssel und Kraft. Lies das grösste Drehmoment ab und bestimme daraus die Kraft. Bei welchen Winkeln ist das Drehmoment halb so gross?

Lösung
Das grösste Drehmoment ist \(50\;\text{Nm}\) bei \(\alpha = 90^\circ\). Dort ist \(r = l\): \(F = \dfrac{M}{l}\) \(= \dfrac{50\;\text{Nm}}{0.25\;\text{m}}\) \(= 200\;\text{N}\).
Halb so gross, \(25\;\text{Nm}\), bei \(\sin\alpha = 0.5\): \(\alpha = 30^\circ\) und \(\alpha = 150^\circ\).
4d(3 P)Radmuttern sollen mit \(110\;\text{Nm}\) angezogen werden. Du drückst mit \(250\;\text{N}\) senkrecht auf den Schlüssel. Wie weit von der Mutter musst du drücken? Was ändert sich, wenn du schräg drückst?

Lösung
\(r = \dfrac{M}{F}\) \(= \dfrac{110\;\text{Nm}}{250\;\text{N}}\) \(= 0.44\;\text{m}\).
Schräg ist der wirksame Hebelarm nur \(l \cdot \sin\alpha\), kleiner als \(l\): Man muss weiter aussen greifen oder stärker drücken.

Mehr dazu: Themenseite 4.4, Drehmoment

Kapitel 54.4 · K5 · K2≈ 40 min

Das Hebelgesetz

Du wendest das Gleichgewicht der Drehmomente \(F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2\) an Wippe, Brechstange und Schubkarre an und erklärst, warum ein langer Hebelarm Kraft spart.

① Clip

Transkript

0:00Links sitzt ein Kind mit dreissig Kilogramm, eins Komma sechs Meter von der Achse. Rechts sitzt eins mit vierzig Kilogramm. Wo muss es sitzen, damit die Wippe waagrecht bleibt?
0:11Die Wippe bleibt, wenn die Drehmomente links und rechts gleich gross sind. G kürzt sich, es bleibt Masse mal Abstand. Dreissig mal eins Komma sechs geteilt durch vierzig: eins Komma zwei Meter. Das schwerere Kind sitzt näher an der Achse.
0:25Setzt sich das schwerere Kind auch auf eins Komma sechs Meter, ist sein Moment grösser, und die Wippe kippt zu ihm. Es entscheidet nicht die Kraft allein, sondern Kraft mal Hebelarm.
0:35Allgemein heisst das Hebelgesetz: F eins mal r eins gleich F zwei mal r zwei. Bei Wippe und Balkenwaage liegen die Kräfte auf beiden Seiten der Achse, bei Schubkarre und Nussknacker auf derselben. Immer gilt: Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm. Ein langer Kraftarm spart Kraft.
0:52Sitzen links zwei Kinder, drehen beide in dieselbe Richtung: Ihre Momente addieren sich, jedes mit seinem eigenen Hebelarm. Das Brett der Wippe dagegen zählt nicht: Sein Gewicht greift in der Mitte an, im Drehpunkt, und hat keinen Hebelarm.
1:06Zum Mitnehmen: Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn die Drehmomente links herum und rechts herum gleich gross sind.
1:13Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

m₁ links

r₁ links

m₂ rechts

r₂ rechts

③ Kontrollfragen

Transkript

0:00Hebelgesetz: zwanzig mal zwei gleich fünfzig mal r. Null Komma acht Meter, näher an der Achse.
0:07Gleiche Kraft, grösserer Hebelarm: grösseres Drehmoment. Die Wippe kippt zum Kind weiter aussen.
0:13Fünfmal so langer Kraftarm, ein Fünftel der Kraft.
0:18Liegt die Last näher an der Radachse, wird der Lastarm kürzer. Bei gleichem Kraftarm braucht es an den Griffen weniger Kraft.
0:26Links zwei Momente: zwanzig mal eins plus zehn mal zwei, vierzig Kilogramm mal Meter. Rechts vierzig Kilogramm: ein Meter.

Festhalten

Hebelgesetz

Ein Hebel ist im Gleichgewicht, wenn sich die Drehmomente aufheben: Das Moment, das links herum dreht, ist so gross wie das Moment, das rechts herum dreht. Für zwei Kräfte ist das das Hebelgesetz:

\[ F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2 \]

Am zweiarmigen Hebel (Wippe, Balkenwaage) liegen die Kräfte auf verschiedenen Seiten der Drehachse, am einarmigen (Schubkarre, Brechstange mit dem Drehpunkt am Ende) auf derselben Seite. Kraft mal Kraftarm gleich Last mal Lastarm: Ein langer Kraftarm spart Kraft. Bei mehreren Kräften zählt die Summe: \(\sum M = 0\).

Hängt an jeder Seite eine Masse, kürzt sich \(g\): \(m_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot r_2\).

Häufiger Fehler

Abstand und Masse im gleichen statt im umgekehrten Verhältnis: Das schwerere Kind sitzt näher an der Achse. \(45\;\text{kg}\) bei \(0.8\;\text{m}\) gleichen \(30\;\text{kg}\) bei \(1.2\;\text{m}\) aus, nicht bei \(0.53\;\text{m}\).

Bei zwei Lasten auf einer Seite die Massen addiert und mit einem einzigen Abstand gerechnet: Jede Last hat ihren eigenen Hebelarm.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Gleichgewicht auf der Wippe0 in Folge

🔁 Kraft am Hebel0 in Folge

🔁 Zwei Kinder auf einer Seite0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 5 · 12 P

bearbeitet

5a(3 P)Ein Vater (\(80\;\text{kg}\)) und seine Tochter (\(20\;\text{kg}\)) wollen wippen. Die Tochter sitzt ganz aussen, \(2.2\;\text{m}\) von der Achse. Wo muss der Vater sitzen? Begründe, warum er so nah an die Achse muss.

Lösung
\(m_1 \cdot r_1 = m_2 \cdot r_2\): \(r_\text{Vater} = \dfrac{20\;\text{kg} \cdot 2.2\;\text{m}}{80\;\text{kg}}\) \(= 0.55\;\text{m}\).
Er ist viermal so schwer; damit sein Drehmoment nicht grösser wird, braucht er einen viermal kleineren Hebelarm.
5b(3 P)Mit einer \(1.2\;\text{m}\) langen Brechstange hebt man einen Stein (\(900\;\text{N}\)). Der Drehpunkt liegt \(0.15\;\text{m}\) vom Stein entfernt, man drückt am anderen Ende senkrecht zur Stange. Welche Kraft braucht es?

Lösung
Lastarm \(0.15\;\text{m}\), Kraftarm \(1.2\;\text{m} - 0.15\;\text{m} = 1.05\;\text{m}\).
\(F \cdot r_K = F_L \cdot r_L\): \(F = \dfrac{900\;\text{N} \cdot 0.15\;\text{m}}{1.05\;\text{m}}\) \(\approx 129\;\text{N}\) — rund ein Siebtel der Last.
5c(3 P)Das Diagramm zeigt für eine Wippe, welche Kraft \(F_2\) rechts im Abstand \(r_2\) ein linkes Drehmoment ausgleicht. Wie gross ist das linke Drehmoment? Welche Kraft braucht es bei \(1.2\;\text{m}\)? Wo genügen \(240\;\text{N}\)?

Lösung
Jeder Punkt der Kurve hat dasselbe Produkt, zum Beispiel \(F_2 \cdot r_2 = 720\;\text{N} \cdot 0.5\;\text{m} = 360\;\text{Nm}\) — das ist das linke Drehmoment.
Bei \(1.2\;\text{m}\): \(F_2 = \dfrac{360\;\text{Nm}}{1.2\;\text{m}} = 300\;\text{N}\). \(240\;\text{N}\) genügen bei \(r_2 = \dfrac{360\;\text{Nm}}{240\;\text{N}} = 1.5\;\text{m}\).
5d(3 P)Ein Kind behauptet: «Auf der Wippe sinkt immer die Seite des Schwereren nach unten.» Widerlege das mit einem Zahlenbeispiel und begründe.

Lösung
Zum Beispiel \(40\;\text{kg}\) bei \(0.8\;\text{m}\) gegen \(25\;\text{kg}\) bei \(2.0\;\text{m}\): links \(40\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 0.8\;\text{m} \approx 314\;\text{Nm}\), rechts \(25\;\text{kg} \cdot 9.81\;\text{m/s}^2 \cdot 2.0\;\text{m} \approx 491\;\text{Nm}\). Die Seite des Leichteren sinkt.
Es entscheidet das Drehmoment, Kraft mal Hebelarm, nicht die Kraft allein.

Mehr dazu: Themenseite 4.4, Hebelgesetz · Die Wippe

Kapitel 64.4 · K5≈ 40 min

Statisches Gleichgewicht: Auflagerkräfte

Du definierst das statische Gleichgewicht mit \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) und \(\sum M = 0\) und bestimmst damit die Auflagerkräfte eines Balkens auf zwei Stützen, auch mit Eigengewicht.

① Clip

Transkript

0:00Ein Körper ist im statischen Gleichgewicht, wenn er sich weder verschiebt noch zu drehen beginnt. Dafür muss die Summe aller Kräfte null sein und die Summe aller Drehmomente auch.
0:09Ein Wagen mit fünfzig Kilonewton steht auf einer Brücke, zwei Meter von der Stütze A, zehn Meter von A bis B. Wie verteilen die Stützen die Last?
0:19Man legt die Drehachse in die Stütze A. Dann fällt F A heraus, denn ihr Hebelarm ist null. F B mal zehn Meter gleich fünfzig Kilonewton mal zwei Meter: F B ist zehn Kilonewton.
0:31Die Kräftebedingung gibt den Rest: Zusammen tragen die Stützen die ganze Last. F A ist fünfzig minus zehn, vierzig Kilonewton. Die nähere Stütze trägt mehr.
0:42Fährt der Wagen von A nach B, nimmt F A gleichmässig ab und F B gleichmässig zu. Ihre Summe bleibt die ganze Last. Hat die Brücke ein Eigengewicht, greift es in ihrer Mitte an, und jede Stütze trägt die Hälfte davon dazu.
0:56Zum Mitnehmen: Im statischen Gleichgewicht sind Kräftesumme und Momentensumme null. Die Drehachse legt man dorthin, wo eine unbekannte Kraft angreift.
1:06Jetzt du: Erkunde diese Zusammenhänge in der nachfolgenden Animation und löse die Aufgaben.

② Tüfteln

F_L Wagen

F_E Brücke

x Halt bei

Stützweite \(L = 10\;\text{m}\); das Eigengewicht \(F_E\) der Brücke greift in ihrer Mitte an.

③ Kontrollfragen

Transkript

0:00Momente um A: F B mal acht Meter gleich vierhundert Newton mal zwei Meter, F B hundert Newton. Dann F A gleich vierhundert minus hundert, dreihundert Newton.
0:11Im statischen Gleichgewicht müssen beide Bedingungen gelten: Die Summe der Kräfte und die Summe der Drehmomente sind null.
0:18Steht die Last genau über B, hat sie um B keinen Hebelarm. A trägt nichts.
0:24Zusammen tragen die Stützen die ganze Last: neunhundert minus sechshundert, dreihundert Newton.
0:30Das Eigengewicht greift in der Mitte an: Jede Stütze trägt die Hälfte, zehn Kilonewton.

Festhalten

Statisches Gleichgewicht

Ein Körper ist im statischen Gleichgewicht, wenn er in Ruhe bleibt: Er verschiebt sich nicht und beginnt sich nicht zu drehen. Dafür müssen zwei Bedingungen zugleich gelten:

\[ \sum \vec{F} = \vec{0} \qquad \text{und} \qquad \sum M = 0 \]

Die Kräftebedingung zerfällt in \(\sum F_x = 0\) und \(\sum F_y = 0\). Die Drehachse für die Momente darf man frei wählen — geschickt dort, wo eine unbekannte Kraft angreift, dann fällt sie heraus.

Balken auf zwei Stützen (Stützweite \(L\), Last \(F\) im Abstand \(x\) von A): Momente um A geben \(F_B \cdot L = F \cdot x\), die Kräfte \(F_A = F - F_B\). Das Eigengewicht eines gleichmässigen Balkens greift in seiner Mitte an. Die nähere Stütze trägt mehr; zusammen tragen beide immer die ganze Last. Eine Stütze kann nur drücken: Ergibt die Rechnung eine negative Auflagerkraft, müsste die Stütze ziehen — ohne Befestigung kippt der Balken.

Häufiger Fehler

Die Stützen vertauscht: Steht die Last nahe bei A, trägt A den grösseren Teil. Ohne Eigengewicht trägt A alles, wenn die Last genau über A steht.

Nur eine Bedingung geprüft: \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) allein reicht nicht. Zwei gleich grosse, entgegengesetzte Kräfte an verschiedenen Stellen eines Lenkrads drehen es, obwohl ihre Summe null ist.

④ Üben mit Rückmeldung

🔁 Auflagerkräfte0 in Folge

🔁 Mit Eigengewicht0 in Folge

🔁 Zwei Lasten auf einem Brett0 in Folge

⑤ Aufgaben mit Lösungen

Aufgaben · Kapitel 6 · 12 P

bearbeitet

6a(3 P)Eine \(6\;\text{m}\) lange Holzbrücke (Eigengewicht \(3\;\text{kN}\), in der Mitte) liegt an den Ufern auf den Stützen A und B. Eine Kuh (\(6\;\text{kN}\)) steht \(2\;\text{m}\) von A entfernt. Wie gross sind \(F_A\) und \(F_B\)? Kontrolliere mit \(\sum F_y = 0\).

Lösung
\(\sum M_A = 0\): \(F_B \cdot 6\;\text{m} = 6\;\text{kN} \cdot 2\;\text{m} + 3\;\text{kN} \cdot 3\;\text{m}\), also \(F_B = \dfrac{21\;\text{kNm}}{6\;\text{m}}\) \(= 3.5\;\text{kN}\).
\(F_A = 6\;\text{kN} + 3\;\text{kN} - 3.5\;\text{kN}\) \(= 5.5\;\text{kN}\). Kontrolle: \(5.5\;\text{kN} + 3.5\;\text{kN} = 9\;\text{kN}\), die ganze Last.
6b(3 P)Ein Wagen fährt über eine \(8\;\text{m}\) lange Brücke. Das Diagramm zeigt die Auflagerkraft \(F_B\) über seiner Stelle \(x\). Wie schwer ist der Wagen? Wie gross ist \(F_A\), wenn er bei \(2\;\text{m}\) steht? Hat die Brücke ein Eigengewicht? Begründe.

Lösung
Bei \(x = 8\;\text{m}\) steht der Wagen über B, B trägt alles: \(F_L = 40\;\text{kN}\). Bei \(x = 2\;\text{m}\) ist \(F_B = 10\;\text{kN}\), also \(F_A = 40\;\text{kN} - 10\;\text{kN} = 30\;\text{kN}\).
Kein Eigengewicht: Bei \(x = 0\) steht der Wagen über A, und \(F_B\) ist null. Mit Eigengewicht trüge B auch dann schon die Hälfte davon.
6c(3 P)Ein Regalbrett liegt auf zwei Konsolen. Wohin stellst du die schweren Bücher, damit die linke Konsole möglichst wenig trägt? Ändert sich dabei die Summe der beiden Konsolenkräfte? Begründe mit den beiden Gleichgewichtsbedingungen.

Lösung
Möglichst nahe an die rechte Konsole: Momente um die rechte Konsole zeigen, dass die linke nur den Anteil \(F \cdot \dfrac{\text{Abstand zur rechten}}{L}\) trägt.
Die Summe bleibt gleich: \(\sum F_y = 0\) verlangt, dass beide zusammen immer die ganze Last tragen. Verteilt wird sie nach den Momenten.
6d(3 P)Ein \(4\;\text{m}\) langes Brett (ohne Eigengewicht) liegt auf Stützen bei \(0\;\text{m}\) (A) und \(3\;\text{m}\) (B). Ein Maler (\(750\;\text{N}\)) stellt sich ans überstehende Ende bei \(4\;\text{m}\). Berechne \(F_A\) und \(F_B\). Was bedeutet das Vorzeichen von \(F_A\)?

Lösung
\(\sum M_A = 0\): \(F_B \cdot 3\;\text{m} = 750\;\text{N} \cdot 4\;\text{m}\), \(F_B = 1000\;\text{N}\). \(\sum F_y = 0\): \(F_A = 750\;\text{N} - 1000\;\text{N}\) \(= -250\;\text{N}\).
Negativ heisst: A müsste nach unten ziehen. Eine Stütze kann nur drücken — ohne Befestigung kippt das Brett um B, und der Maler fällt.

Mehr dazu: Themenseite 4.4, Auflagerkräfte · Statisches Gleichgewicht

Abschluss4.4 · K1 bis K5≈ 30 min · 25 Punkte

Gesamttest

1

Lösen — auf Papier, mit Rechenweg und Skizzen. Erlaubt sind Taschenrechner und Formelsammlung.
⬇ Gesamttest (PDF)

2

Bewerten lassen — Lösung scannen oder fotografieren (ohne Namen und Standort) und mit dem Bewertungspaket einer KI geben, oder selbst nach dem Raster bewerten. Ob du eine KI nutzt und welche, entscheidest du selbst und in eigener Verantwortung (mehr dazu im Paket). Das Paket enthält die Musterlösung: erst danach öffnen.
⬇ Bewertungspaket (PDF)

3

Gezielt wiederholen — nach der Tabelle unten.

Selbsteinschätzung

22 – 25 P	Die geprüften Teile sitzen. Wo du Punkte verloren hast: das Kapitel dieser Aufgabe nochmals (Zuordnung unten).
17 – 21 P	Den schwächsten Teil nochmals: Simulation und Übungen des Kapitels, in dem du die meisten Punkte verloren hast.
11 – 16 P	Zurück zu den Kapiteln aller Aufgaben, in denen du Punkte verloren hast.
0 – 10 P	Zurück zu Kapitel 1 und von dort der Reihe nach weiter.

Aufgabe → Kapitel → Kompetenz: G1 → 1 → K1 · G2 → 2, 3 → K4, K3 · G3 → 4 → K2 · G4 → 3 → K3, K5 · G5 → 6 → K5 · G6 → 5, 6 → K5, K2

Nicht in diesem Leitprogramm

Die allgemeinen Formeln für die Seilkräfte bei ungleichen Winkeln, \(S_1 = F_G \cdot \dfrac{\cos\beta}{\sin(\alpha + \beta)}\) → Themenseite 4.4, Last an zwei Seilen
Gleitreibung und die Bewegung nach dem Rutschen → Themenseite 4.2, Reibung

Statik

So arbeitest du

Kompetenzen nach Lehrplan

Vorwissen

Vortest · 10 P

Kraft als Vektor

Festhalten

Aufgaben · Kapitel 1 · 12 P

Die resultierende Kraft

Festhalten

Aufgaben · Kapitel 2 · 12 P

Kräfte am ruhenden Körper

Festhalten

Aufgaben · Kapitel 3 · 12 P

Das Drehmoment

Festhalten

Aufgaben · Kapitel 4 · 12 P

Das Hebelgesetz

Festhalten

Aufgaben · Kapitel 5 · 12 P

Statisches Gleichgewicht: Auflagerkräfte

Festhalten

Aufgaben · Kapitel 6 · 12 P

Gesamttest

Nicht in diesem Leitprogramm