So arbeitest du mit diesem Leitprogramm
Fünfzehn Aufgaben in drei Teilen: A Umrechnen, Dichte und Wärmeausdehnung, B das Gasgesetz, C Wärmebilanz und Heizkurve. Jede Aufgabe steht für sich — du kannst der Reihe nach vorgehen oder dort einsteigen, wo es klemmt.
- Zuerst schreiben, dann lesen. Rechne jede Aufgabe selbst, auf Papier, bevor du den Clip startest oder die Musterlösung aufklappst. Eine gelesene Lösung fühlt sich verstanden an, ohne es zu sein.
- Dann den Clip. Zu jeder Aufgabe gehört ein vertonter Erklärclip von rund einer Minute. Er zeigt nicht nur das Ergebnis, sondern den Weg dorthin und die Stelle, an der man ausrutscht.
- Erst danach die Musterlösung. Vergleiche nicht nur die Zahl, sondern auch die Darstellung — daran wird in dieser Art Aufgabe genauso gemessen.
- Den Kasten «typischer Fehler» ernst nehmen. Er steht dort, weil genau dieser Fehler regelmässig gemacht wird.
- Abhaken, wenn eine Aufgabe sitzt. Der Fortschritt bleibt auf diesem Gerät gespeichert.
Was du am Ende können musst
Einheiten sicher umrechnen, Dichte aus Messung bestimmen, Längen-, Flächen- und Volumenausdehnung berechnen und begründen.
Das Gasgesetz als Verhältnis anwenden, auch mit Prozenten und mit Normbedingungen.
Wärmebilanzen aufstellen — mit Phasenwechsel —, die Mischtemperatur in beide Richtungen berechnen und eine Heizkurve zeichnen und lesen.
Die Darstellung — vier Regeln, die in jeder Aufgabe gelten
Du schreibst eine Lösung so auf, dass jeder Schritt nachvollziehbar ist: Ansatz, Zahlengleichung, Resultat mit Einheit.
Eine physikalische Lösung ist keine Rechnung, sondern eine Begründung. Sie zeigt, welches Gesetz benutzt wurde, mit welchen Werten und in welchen Einheiten. Vier Regeln machen daraus eine Form, die überall in diesem Leitprogramm durchgehalten wird.
Regel 1 — Ansatz vor Zahlen
Zuerst die Formelgleichung in Symbolen, erst danach die Zahlengleichung. Wer gleich Zahlen hinschreibt, verrät nicht, welches Gesetz er benutzt — und findet einen Fehler später nicht wieder.
Regel 2 — passende Einheiten, und zwar vorher
Die Werte werden vor dem Einsetzen in die passenden Einheiten gebracht, und jedes Resultat trägt seine Einheit. Gramm neben Kilogramm in derselben Gleichung ist der häufigste Fehler überhaupt.
Regel 3 — Teilresultate ungerundet weiterrechnen
Ein gerundeter Zwischenwert pflanzt seinen Fehler fort. Im Taschenrechner bleibt der volle Wert stehen; aufgeschrieben wird er gerundet, weitergerechnet wird mit dem vollen.
Regel 4 — Endresultat auf drei signifikante Stellen
Das Endresultat wird auf drei signifikante Stellen gerundet und doppelt unterstrichen. Signifikant heisst: ab der ersten Ziffer, die nicht null ist — \(0.00672\) hat drei signifikante Stellen, \(6.72 \cdot 10^{-3}\) sieht man es besser an.
Dieselbe Aufgabe, zweimal aufgeschrieben
So nicht
\(940 : 120 = 7.83\)
So
\[ \rho = \frac{m}{V} \]
\[ \rho = \frac{940\,\mathrm{g}}{120\,\mathrm{cm^3}} = 7.8333\ldots\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]
\[ \rho = 7.83\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]
Der Unterschied ist nicht Schönheit. Die zweite Fassung nennt das Gesetz, zeigt die Einheiten und macht sichtbar, dass mit dem ungerundeten Wert weitergerechnet wird. Genau daran lässt sich eine Lösung prüfen — auch von dir selbst, eine Woche später.
Stoffwerte, mit denen hier gerechnet wird
Alle Werte stammen aus der Formelsammlung:
\(g = 9.81\,\mathrm{m/s^2}\); \(\rho_\text{W} = 998\,\mathrm{kg/m^3}\); \(\rho_{n,\text{Luft}} = 1.293\,\mathrm{kg/m^3}\); \(\rho_\text{Cu} = 8.92\,\mathrm{g/cm^3}\)
\(\alpha_\text{Stahl} = 12.0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}\); \(\alpha_\text{Cu} = 16.8 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}\); \(\alpha_\text{Glas} = 8.5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}\); \(\gamma_\text{W} = 0.21 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\)
\(c_\text{W} = 4182\,\mathrm{J/(kg\,K)}\); \(c_\text{Eis} = 2100\,\mathrm{J/(kg\,K)}\); \(L_{f,\text{Eis}} = 333.8\,\mathrm{kJ/kg}\); \(L_{v,\text{W}} = 2.256\,\mathrm{MJ/kg}\)
Zur Wasserdichte: Die Tabelle gibt \(998\,\mathrm{kg/m^3}\) bei \(20\,^\circ\mathrm{C}\). Die Schulnäherung \(1000\,\mathrm{kg/m^3}\) ist ebenso gültig; wo sie auf drei signifikante Stellen ein anderes Resultat ergibt, stehen unten beide Werte.
Einheiten umrechnen
Du rechnest zwischen Einheiten um und erkennst, wann der Faktor potenziert wird und wann ein Summand steht.
A1 Ergänze den fehlenden Zahlenwert.
- a) \(0.75\,\mathrm{m^3} = \ldots\ \mathrm{l}\)
- b) \(4.5\,\mathrm{dm^2} = \ldots\ \mathrm{mm^2}\)
- c) \(2.6\,\mathrm{g/cm^3} = \ldots\ \mathrm{kg/m^3}\)
- d) \(12\,\mathrm{kN} = \ldots\ \mathrm{MN}\)
- e) \(-18\,^\circ\mathrm{C} = \ldots\ \mathrm{K}\)
- f) \(348\,\mathrm{K} = \ldots\ ^\circ\mathrm{C}\)
Musterlösung anzeigen
| Teilaufgabe | Ergebnis | weshalb |
|---|---|---|
| a) | \(750\,\mathrm{l}\) | \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{l}\) |
| b) | \(45\,000\,\mathrm{mm^2}\) | \(1\,\mathrm{dm} = 100\,\mathrm{mm}\), Fläche: Faktor \(100^2\) |
| c) | \(2600\,\mathrm{kg/m^3}\) | \(\mathrm{g/cm^3}\) mal \(1000\) |
| d) | \(0.012\,\mathrm{MN}\) | Kilo zu Mega ist \(1000\) |
| e) | \(255\,\mathrm{K}\) | \(-18 + 273.15 = 255.15\,\mathrm{K}\) |
| f) | \(74.9\,^\circ\mathrm{C}\) | \(348 - 273.15 = 74.85\,^\circ\mathrm{C}\) |
Bei b) steht der Faktor zweimal: \(4.5 \cdot 100^2 = 45\,000\). Bei einem Volumen stünde er dreimal.
Typischer Fehler
Der Faktor wird bei Flächen und Volumen nicht potenziert — aus \(4.5\,\mathrm{dm^2}\) werden dann \(450\,\mathrm{mm^2}\) statt \(45\,000\). Und die Temperatur wird multipliziert statt addiert. Die Probe dagegen ist einfach: kleinere Einheit, grössere Zahl.
Unbekannter Körper
Du bestimmst aus Verdrängung und Wägung das Volumen, die Dichte und den Stoff — und berechnest die Gewichtskraft.
A2 In einem Messzylinder steht Wasser \(250\,\mathrm{ml}\) hoch. Beim Eintauchen eines massiven, homogenen Körpers steigt der Wasserstand auf \(370\,\mathrm{ml}\). Auf der Waage zeigt derselbe Körper \(940\,\mathrm{g}\).
- a) Welches Volumen hat der Körper?
- b) Berechne seine Dichte in \(\mathrm{g/cm^3}\).
- c) Um welchen Stoff könnte es sich handeln? Nenne einen und begründe mit dem Tabellenwert.
- d) Berechne die Gewichtskraft, die auf der Erde an diesem Körper zieht.
Musterlösung anzeigen
a) Der Körper verdrängt genau sein eigenes Volumen:
\[ V = 370\,\mathrm{ml} - 250\,\mathrm{ml} = 120\,\mathrm{ml} = 120\,\mathrm{cm^3} \]
b) Ansatz und Zahlengleichung:
\[ \rho = \frac{m}{V} \]
\[ \rho = \frac{940\,\mathrm{g}}{120\,\mathrm{cm^3}} = 7.8333\ldots\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} = 7.83\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]
c) Eisen, chemisch rein (\(7860\,\mathrm{kg/m^3} = 7.86\,\mathrm{g/cm^3}\)) — der gemessene Wert liegt um \(0.4\,\%\) darunter, was der Ablesegenauigkeit von Messzylinder und Waage entspricht. Stahl V2A mit \(7.90\,\mathrm{g/cm^3}\) ist ebenfalls vertretbar.
d) Die Masse zuerst in Kilogramm:
\[ F_G = m \cdot g \]
\[ F_G = 0.940\,\mathrm{kg} \cdot 9.81\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}} = 9.2214\,\mathrm{N} = 9.22\,\mathrm{N} \]
Typischer Fehler
Bei d) wird mit \(940\) statt mit \(0.940\) gerechnet — das Ergebnis ist tausendmal zu gross. Und bei c) genügt der Stoffname nicht: Ohne den Tabellenwert daneben fehlt die Begründung.
Stahlbrücke
Du begründest die Wärmeausdehnung über die Teilchen und berechnest die Verlängerung eines Trägers.
A3 Eine Stahlbrücke im Jahresgang.
- a) Begründe, weshalb sich eine Stahlbrücke verlängert, wenn ihre Temperatur zunimmt.
- b) Um wie viel verlängert sich ein \(200\,\mathrm{m}\) langer Stahlträger, wenn seine Temperatur von \(-3\,^\circ\mathrm{C}\) im Winter auf \(27\,^\circ\mathrm{C}\) im Sommer zunimmt?
Musterlösung anzeigen
a) Mit steigender Temperatur schwingen die Bausteine des Festkörpers stärker um ihre Ruhelage. Dadurch wächst ihr mittlerer Abstand, und der Körper dehnt sich in alle Richtungen aus — bei einer Brücke fällt vor allem die Länge auf, weil sie die grösste Abmessung ist.
b) Zuerst die Temperaturdifferenz:
\[ \Delta T = 27\,^\circ\mathrm{C} - (-3\,^\circ\mathrm{C}) = 30\,\mathrm{K} \]
Ansatz und Zahlengleichung:
\[ \Delta l = \alpha \cdot l_0 \cdot \Delta T \]
\[ \Delta l = 12.0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 200\,\mathrm{m} \cdot 30\,\mathrm{K} = 0.0720\,\mathrm{m} = 72.0\,\mathrm{mm} \]
Typischer Fehler
Das Minuszeichen bei \(-3\,^\circ\mathrm{C}\) geht verloren, und aus \(30\,\mathrm{K}\) werden \(24\,\mathrm{K}\). In einer Differenz sind Kelvin und Grad Celsius übrigens dieselbe Zahl — umrechnen muss man hier nichts.
Bohrung in einer Stahlplatte
Du erkennst, dass sich ein Loch wie das Material dehnt, und rechnest Flächen mit dem doppelten Koeffizienten.
A4 Eine Stahlplatte mit einer kreisrunden Bohrung in der Mitte wird von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(300\,^\circ\mathrm{C}\) erhitzt. Wie verändert sich die Fläche der Bohrung prozentual?
Musterlösung anzeigen
Das Loch wird grösser: Erwärmen wirkt wie eine gleichmässige Vergrösserung — jede Strecke wächst um denselben Anteil, auch der Durchmesser der Bohrung.
Für Flächen gilt der doppelte Längenausdehnungskoeffizient:
\[ \frac{\Delta A}{A_0} = 2\,\alpha \cdot \Delta T \]
\[ \frac{\Delta A}{A_0} = 2 \cdot 12.0 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 280\,\mathrm{K} = 6.72 \cdot 10^{-3} \]
Die Fläche nimmt also um \(0.672\,\%\) zu.
Der Weg über den Durchmesser ist ebenso gültig: \((1 + \alpha\,\Delta T)^2 - 1 = 6.731 \cdot 10^{-3}\), also \(0.673\,\%\).
Typischer Fehler
Die verbreitete Fehlvorstellung lautet: «Das Material dehnt sich ins Loch hinein und macht es enger.» Dann müsste sich das Material beim Erwärmen aber zusammenziehen. Das beste Gegenbild ist die Fotokopie mit Vergrösserung — auch die leeren Stellen werden grösser. Zweiter Fehler: der Faktor \(2\) wird vergessen.
Ausdehnungskoeffizient einer Flüssigkeit
Du stellst das Ausdehnungsgesetz nach dem Stoffwert um und bestimmst ihn aus zwei Messungen.
A5 In einem Messzylinder misst man \(46\,\mathrm{cm^3}\) einer Flüssigkeit. Diese wird um \(32\,\mathrm{K}\) erwärmt; man misst neu ein Volumen von \(48\,\mathrm{cm^3}\). Die Ausdehnung des Gefässes ist nicht zu berücksichtigen. Berechne den Volumenausdehnungskoeffizienten dieser Flüssigkeit.
Musterlösung anzeigen
Ansatz — dasselbe Gesetz wie immer, nur ist diesmal \(\gamma\) gesucht:
\[ \Delta V = \gamma \cdot V_0 \cdot \Delta T \]
Nach \(\gamma\) umgestellt:
\[ \gamma = \frac{\Delta V}{V_0 \cdot \Delta T} \]
Die Volumenänderung ist die Differenz: \(\Delta V = 48 - 46 = 2\,\mathrm{cm^3}\).
\[ \gamma = \frac{2\,\mathrm{cm^3}}{46\,\mathrm{cm^3} \cdot 32\,\mathrm{K}} = 1.36 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}} \]
Typischer Fehler
Statt der Differenz \(2\,\mathrm{cm^3}\) wird das Endvolumen \(48\,\mathrm{cm^3}\) eingesetzt. Die Kontrolle ist die Einheit: Die Kubikzentimeter müssen sich wegkürzen, übrig bleibt \(\mathrm{K^{-1}}\) — und die Grössenordnung \(10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\) ist für eine Flüssigkeit die richtige.
Wassertank
Du berechnest ein Zylindervolumen, gibst es in Liter an und bestimmst die Masse über die Dichte.
A6 Ein zylindrischer Wassertank hat den Innendurchmesser \(1.00\,\mathrm{m}\) und die Innenhöhe \(1.50\,\mathrm{m}\).
- a) Wie viele Liter fasst er?
- b) Welche Masse hat das Wasser bei voller Füllung?
Musterlösung anzeigen
a) Ansatz — Grundfläche mal Höhe, mit dem Durchmesser geschrieben:
\[ V = \frac{\pi}{4}\,d^2 \cdot h \]
\[ V = \frac{\pi}{4} \cdot (1.00\,\mathrm{m})^2 \cdot 1.50\,\mathrm{m} = 1.17810\ldots\,\mathrm{m^3} \]
\[ V = 1.18\,\mathrm{m^3} = 1180\,\mathrm{l} \]
b) Mit dem ungerundeten Volumen weiterrechnen:
\[ m = \rho \cdot V \]
\[ m = 998\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \cdot 1.17810\,\mathrm{m^3} = 1175.7\,\mathrm{kg} = 1.18 \cdot 10^{3}\,\mathrm{kg} \]
Mit der Näherung \(1000\,\mathrm{kg/m^3}\) ergibt sich \(1178.1\,\mathrm{kg}\) — auf drei signifikante Stellen dasselbe Resultat.
Typischer Fehler
Gegeben ist der Durchmesser, gebraucht wird in \(\pi r^2 h\) der Radius — wer \(d\) einsetzt, erhält das Vierfache. Zweiter Fehler: mit dem gerundeten \(1.18\,\mathrm{m^3}\) weiterrechnen. Die Probe im Kopf: ein Kubikmeter Wasser ist rund eine Tonne.
Glasgefäss im Wasserbad
Du erklärst, warum der Flüssigkeitsspiegel zuerst sinkt, berechnest den tiefsten Stand und begründest, warum er nie erreicht wird.
A7 Ein Glasgefäss besteht aus einer Kugel mit dem Innenvolumen \(16.75\,\mathrm{cm^3}\) und einem dünnen Steigrohr mit dem Querschnitt \(4.00\,\mathrm{mm^2}\). Es ist bis in das Röhrchen hinein mit gefärbtem Wasser von Umgebungstemperatur (\(20\,^\circ\mathrm{C}\)) gefüllt. Nun wird es rasch in ein Wasserbad von \(70\,^\circ\mathrm{C}\) eingetaucht, so weit, dass mindestens die Kugel ganz unter Wasser ist.
- a) Warum sinkt der Flüssigkeitsspiegel im Röhrchen im ersten Moment?
- b) Wie tief könnte der Spiegel höchstens sinken?
- c) Warum wird dieser tiefste Stand sicher nicht erreicht?
Musterlösung anzeigen
a) Im ersten Moment erwärmt sich nur das Glas — es liegt aussen und hat direkten Kontakt zum Wasserbad. Das Glas dehnt sich aus, das Innenvolumen der Kugel wird grösser. Das Wasser, das noch kalt ist, füllt diesen zusätzlichen Raum aus und sinkt deshalb im Röhrchen ab.
b) Die Tabelle gibt für Glas den Längenausdehnungskoeffizienten; für das Volumen gilt \(\gamma = 3\,\alpha\):
\[ \gamma_\text{Glas} = 3\,\alpha_\text{Glas} = 3 \cdot 8.5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} = 25.5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \]
\[ \Delta V = \gamma_\text{Glas} \cdot V_0 \cdot \Delta T \]
\[ \Delta V = 25.5 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \cdot 16.75\,\mathrm{cm^3} \cdot 50\,\mathrm{K} = 0.021356\,\mathrm{cm^3} = 21.356\,\mathrm{mm^3} \]
\[ \Delta h = \frac{\Delta V}{A} = \frac{21.356\,\mathrm{mm^3}}{4.00\,\mathrm{mm^2}} = 5.34\,\mathrm{mm} \]
c) Das Wasser wird durch das dünne Glas hindurch fast sofort mit erwärmt. Es dehnt sich dabei viel stärker aus als das Glas — \(\gamma_\text{Wasser} = 0.21 \cdot 10^{-3}\,\mathrm{K^{-1}}\) ist rund achtmal grösser als \(\gamma_\text{Glas}\) — und steigt wieder, längst bevor das Glas seine volle Ausdehnung erreicht hat. Der rechnerische Tiefstand gälte nur, wenn das Wasser gar nicht mit erwärmt würde.
Typischer Fehler
In der Tabelle steht \(\alpha\), gebraucht wird \(\gamma = 3\,\alpha\) — der Faktor \(3\) ist die häufigste Fehlerquelle der ganzen Wärmeausdehnung. Zweiter Fehler: Volumen in \(\mathrm{cm^3}\) durch eine Fläche in \(\mathrm{mm^2}\) teilen. Beides zuerst auf dieselbe Längeneinheit bringen.
Ideales Gas
Du schreibst die Gasgleichung als Verhältnis und rechnest damit mit Prozentangaben statt mit Absolutwerten.
B1 Ein ideales Gas hat die Anfangstemperatur \(20\,^\circ\mathrm{C}\). Der Druck nimmt um \(20\,\%\) ab, gleichzeitig kühlt sich das Gas auf \(10\,^\circ\mathrm{C}\) ab.
- a) Um wie viel Prozent dehnt sich das Gas dabei aus?
- b) Welches Endvolumen ergibt sich, wenn das Anfangsvolumen \(2.5\,\mathrm{l}\) beträgt?
Musterlösung anzeigen
a) Ansatz — für eine feste Gasmenge bleibt \(pV/T\) konstant:
\[ \frac{p_1 V_1}{T_1} = \frac{p_2 V_2}{T_2} \]
Nach dem Volumenverhältnis aufgelöst:
\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{p_1}{p_2} \cdot \frac{T_2}{T_1} \]
Der Druck sinkt um \(20\,\%\), also ist \(p_2 = 0.80\,p_1\). Die Temperaturen absolut:
\[ \frac{V_2}{V_1} = \frac{1}{0.80} \cdot \frac{283.15\,\mathrm{K}}{293.15\,\mathrm{K}} = 1.25 \cdot 0.965888 = 1.20736 \]
Das Volumen nimmt um \(20.7\,\%\) zu.
b) \[ V_2 = 1.20736 \cdot 2.5\,\mathrm{l} = 3.02\,\mathrm{l} \]
Typischer Fehler
Die Temperaturen werden in Grad Celsius eingesetzt. In einem Verhältnis ist das sinnlos: \(10/20\) wäre ein halb, \(283.15/293.15\) sind \(0.966\). Zweiter Fehler: \(-20\,\%\) Druck als Faktor \(0.20\) statt \(0.80\) — oder das Ergebnis \(1.207\) als «\(120.7\,\%\) Zunahme» gelesen statt als \(20.7\,\%\).
Kühlschrank
Du erkennst den isochoren Fall, berechnest daraus Unterdruck und Kraft und rechnest Luftmasse über Normbedingungen.
B2 Du öffnest die Kühlschranktür längere Zeit, weil du etwas suchst. Die gesamte Luft im luftdichten Kühlschrank (Rauminhalt \(175\,\mathrm{l}\)) wird dabei durch Umgebungsluft von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) und \(980\,\mathrm{hPa}\) ersetzt. Dann schliesst du die Tür wieder. Nach einiger Zeit hat das Gerät seine Normaltemperatur von \(5\,^\circ\mathrm{C}\) erreicht.
- a) Welcher Unterdruck herrscht zu diesem Zeitpunkt im Kühlschrank?
- b) Mit welcher zusätzlichen Kraft drückt die Aussenluft dadurch auf die Tür? Die Tür misst \(0.55\,\mathrm{m} \times 1.10\,\mathrm{m}\).
- c) Welche Masse hat die Luft im Kühlschrank?
- d) Welche Dichte hat die Luft im Kühlschrank nach dem Abkühlen?
Musterlösung anzeigen
a) Der Kühlschrank ist luftdicht, das Volumen bleibt konstant — isochorer Fall:
\[ \frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} \qquad\Longrightarrow\qquad p_2 = p_1 \cdot \frac{T_2}{T_1} \]
\[ p_2 = 980\,\mathrm{hPa} \cdot \frac{278.15\,\mathrm{K}}{293.15\,\mathrm{K}} = 929.855\ldots\,\mathrm{hPa} \]
\[ \Delta p = 980\,\mathrm{hPa} - 929.855\,\mathrm{hPa} = 50.1\,\mathrm{hPa} \]
b) Fläche und Druckdifferenz in SI-Einheiten:
\[ A = 0.55\,\mathrm{m} \cdot 1.10\,\mathrm{m} = 0.605\,\mathrm{m^2} \qquad \Delta p = 5014.5\,\mathrm{Pa} \]
\[ F = \Delta p \cdot A = 5014.5\,\mathrm{Pa} \cdot 0.605\,\mathrm{m^2} = 3033.8\,\mathrm{N} = 3.03\,\mathrm{kN} \]
c) Die Normdichte der Luft gilt nur bei \(1013\,\mathrm{hPa}\) und \(0\,^\circ\mathrm{C}\). Zuerst also den Zustand auf Normbedingungen umrechnen:
\[ V_n = V \cdot \frac{p}{p_n} \cdot \frac{T_n}{T} = 175\,\mathrm{l} \cdot \frac{980}{1013} \cdot \frac{273.15}{293.15} = 157.75\,\mathrm{l} \]
\[ m = \rho_n \cdot V_n = 1.293\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \cdot 0.15775\,\mathrm{m^3} = 0.204\,\mathrm{kg} \]
d) Die Masse bleibt im geschlossenen Kühlschrank dieselbe, das Volumen ebenso:
\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{0.20397\,\mathrm{kg}}{0.175\,\mathrm{m^3}} = 1.17\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \]
Kontrolle über das Gasgesetz: \(\rho = \rho_n \cdot \frac{p_2}{p_n} \cdot \frac{T_n}{T_2} = 1.17\,\mathrm{kg/m^3}\) — derselbe Wert.
Typischer Fehler
Bei b) wird mit Hektopascal statt Pascal gerechnet; \(1\,\mathrm{hPa} = 100\,\mathrm{Pa}\), sonst fehlt der Faktor \(100\). Bei c) wird \(\rho_n\) direkt auf die \(175\,\mathrm{l}\) angewendet — die Normdichte gilt aber nur bei Normbedingungen, also muss der Zustand zuerst dorthin umgerechnet werden.
Dichte von Kupfer
Du leitest her, wie die Dichte von der Temperatur abhängt, und rechnest damit Masse und prozentuale Änderung.
B3 Die Dichtewerte der Formelsammlung gelten für \(20\,^\circ\mathrm{C}\).
- a) Berechne die Dichte von Kupfer bei \(300\,^\circ\mathrm{C}\).
- b) Welche Masse hat ein Kupferblock von \(2.00\,\mathrm{dm^3}\) bei \(300\,^\circ\mathrm{C}\)?
- c) Um wie viel Prozent ist die Dichte gegenüber \(20\,^\circ\mathrm{C}\) gesunken?
Musterlösung anzeigen
a) Die Masse bleibt gleich, nur das Volumen wächst:
\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{V_0\,(1 + \gamma\,\Delta T)} = \frac{\rho_0}{1 + \gamma\,\Delta T} \]
\[ \gamma_\text{Cu} = 3\,\alpha_\text{Cu} = 3 \cdot 16.8 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} = 50.4 \cdot 10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}} \]
\[ \Delta T = 300\,^\circ\mathrm{C} - 20\,^\circ\mathrm{C} = 280\,\mathrm{K} \]
\[ \rho = \frac{8.92}{1 + 50.4 \cdot 10^{-6} \cdot 280} = \frac{8.92}{1.014112} = 8.7959\ldots\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} = 8.80\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \]
b) \(V = 2.00\,\mathrm{dm^3} = 2000\,\mathrm{cm^3}\):
\[ m = \rho \cdot V = 8.7959\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm^3}} \cdot 2000\,\mathrm{cm^3} = 17\,592\,\mathrm{g} = 17.6\,\mathrm{kg} \]
c) \[ \frac{\rho_0 - \rho}{\rho_0} = 1 - \frac{1}{1 + \gamma\,\Delta T} = 1 - \frac{1}{1.014112} = 0.013916 = 1.39\,\% \]
Typischer Fehler
Der Faktor \(3\) in \(\gamma = 3\,\alpha\) wird vergessen. Und bei c) wird \(\gamma\,\Delta T = 1.41\,\%\) als Antwort hingeschrieben — das ist aber die Zunahme des Volumens, nicht die Abnahme der Dichte. Weil \(\gamma\,\Delta T\) im Nenner steht, sind die beiden Zahlen nicht gleich.
Heisser Sand
Du begründest mit Wärmekapazität, Durchmischung und Wärmeleitung, warum Sand und Wasser bei gleicher Sonne verschieden warm werden.
C1 Weshalb verbrennt man sich an einem Sandstrand bei praller Mittagssonne im Hochsommer die Füsse im Sand, während das Wasser angenehm warm ist? Die Sonne bestrahlt Sand und Meerwasser doch gleich lang und gleich intensiv. Nenne drei Gründe.
Musterlösung anzeigen
- Wasser hat eine viel grössere spezifische Wärmekapazität als Sand (\(c_\text{W} = 4182\) gegen rund \(800\,\mathrm{J/(kg\,K)}\), wie Glas). Dieselbe Wärme erwärmt Sand also etwa fünfmal stärker.
- Im Wasser verteilt sich die Wärme durch Strömung und Wellen auf eine sehr grosse Wassermasse; im Sand bleibt sie dort, wo sie ankommt.
- Sand leitet Wärme schlecht — sie staut sich in der obersten Schicht, genau dort, wo der Fuss auftritt.
Zusätzlich geht am Wasser ein Teil der Energie in die Verdunstung.
Typischer Fehler
Es wird dreimal dasselbe gesagt, nur mit anderen Worten («Wasser ist kühler», «Wasser speichert mehr», «Wasser wird nicht so heiss»). Gefragt sind drei verschiedene Mechanismen: die Stoffeigenschaft \(c\), der Transport durch Strömung und die schlechte Wärmeleitung des Sandes.
Mischtemperatur
Du stellst eine Wärmebilanz auf und löst sie nach der gesuchten Anfangstemperatur auf.
C2 Auf welche Temperatur müssen \(4.5\,\mathrm{kg}\) Wasser erwärmt werden, wenn sie mit \(8.0\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(14\,^\circ\mathrm{C}\) zusammen eine Mischtemperatur von \(34\,^\circ\mathrm{C}\) ergeben sollen?
Musterlösung anzeigen
Ansatz — was der wärmere Körper abgibt, nimmt der kältere auf:
\[ Q_\text{ab} = Q_\text{auf} \]
\[ m_1\,c\,(\vartheta_1 - \vartheta_\text{M}) = m_2\,c\,(\vartheta_\text{M} - \vartheta_2) \]
\(c\) kürzt sich, weil beide Male Wasser vorliegt. Nach \(\vartheta_1\) aufgelöst:
\[ \vartheta_1 = \vartheta_\text{M} + \frac{m_2\,(\vartheta_\text{M} - \vartheta_2)}{m_1} \]
\[ \vartheta_1 = 34\,^\circ\mathrm{C} + \frac{8.0\,\mathrm{kg} \cdot 20\,\mathrm{K}}{4.5\,\mathrm{kg}} = 34 + 35.55 = 69.6\,^\circ\mathrm{C} \]
Probe: \(14\,^\circ\mathrm{C} \lt 34\,^\circ\mathrm{C} \lt 69.6\,^\circ\mathrm{C}\) — die Mischtemperatur liegt zwischen beiden Werten und näher bei der grösseren Masse. Das muss so sein.
Typischer Fehler
Das gewogene Mittel wird auswendig hingeschrieben und dann nach der falschen Grösse aufgelöst. Sicherer ist der Weg über \(Q_\text{ab} = Q_\text{auf}\): Dort steht die gesuchte Grösse von selbst an der richtigen Stelle. Und \(c\) darf nur gekürzt werden, wenn auf beiden Seiten derselbe Stoff steht.
Verdunsten von Schweiss
Du erklärst die Kühlwirkung des Schwitzens über die Verdampfungswärme und rechnest das Ergebnis in Kilowattstunden um.
C3 Ein Bergsteiger hat bei einer Bergtour \(1.8\,\mathrm{kg}\) Schweiss verdunstet.
- a) Erkläre, weshalb der menschliche Körper durch Schwitzen überschüssige Wärme abgeben kann.
- b) Welche Wärme in \(\mathrm{kWh}\) wurde seinem Körper dadurch entzogen?
Musterlösung anzeigen
a) Zum Verdunsten braucht der Schweiss Verdampfungswärme. Diese entzieht er der Haut und damit dem Körper — der Körper gibt also Wärme ab, ohne dass die Umgebung kälter sein müsste.
b) Ansatz und Zahlengleichung:
\[ Q = m \cdot L_v \]
\[ Q = 1.8\,\mathrm{kg} \cdot 2.256\,\frac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kg}} = 4.0608\,\mathrm{MJ} \]
\[ Q = \frac{4.0608\,\mathrm{MJ}}{3.6\,\mathrm{MJ/kWh}} = 1.13\,\mathrm{kWh} \]
Typischer Fehler
In die Formel wird ein \(\Delta\vartheta\) hineingeschrieben. Latente Wärme fliesst aber ohne Temperaturänderung — genau das macht sie so wirksam. Zweiter Stolperstein: \(1\,\mathrm{kWh} = 3.6\,\mathrm{MJ}\), nicht \(3600\).
Eis im Mineralwasser
Du stellst eine Wärmebilanz über eine Phasengrenze hinweg auf und bestimmst daraus die nötige Eismasse.
C4 Für Mineralwasser gelten die Stoffwerte von Wasser; Verluste an die Umgebung sind zu vernachlässigen.
- a) Welche Wärme muss \(3.0\,\mathrm{dl}\) Mineralwasser entzogen werden, um es von \(25\,^\circ\mathrm{C}\) auf \(4\,^\circ\mathrm{C}\) abzukühlen?
- b) Wie viel Eis von \(-12\,^\circ\mathrm{C}\) ist dafür nötig?
Musterlösung anzeigen
a) \(3.0\,\mathrm{dl} = 0.300\,\mathrm{l}\), also \(m_\text{W} = 0.299\,\mathrm{kg}\) (mit \(\rho = 998\,\mathrm{kg/m^3}\); mit der Näherung \(1000\): \(0.300\,\mathrm{kg}\)).
\[ Q_\text{ab} = m_\text{W} \cdot c_\text{W} \cdot \Delta\vartheta \]
\[ Q_\text{ab} = 0.2994\,\mathrm{kg} \cdot 4182\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg\,K}} \cdot 21\,\mathrm{K} = 26\,294\,\mathrm{J} = 26.3\,\mathrm{kJ} \]
b) Das Eis nimmt diese Wärme in drei Schritten auf: erwärmen auf \(0\,^\circ\mathrm{C}\), schmelzen, das Schmelzwasser auf \(4\,^\circ\mathrm{C}\) erwärmen.
\[ Q_\text{auf} = m\,c_\text{Eis}\,\Delta\vartheta_1 + m\,L_f + m\,c_\text{W}\,\Delta\vartheta_2 \]
Die Masse ausklammern — in der Klammer steht dann, was ein Kilogramm Eis aufnehmen kann:
\[ Q_\text{auf} = m\,(2.10 \cdot 12 + 333.8 + 4.182 \cdot 4)\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} = m \cdot 375.728\,\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \]
\[ m = \frac{Q_\text{ab}}{375.728} = \frac{26.294}{375.728} = 0.06998\,\mathrm{kg} = 70.0\,\mathrm{g} \]
Mit der Näherung \(\rho_\text{W} = 1000\,\mathrm{kg/m^3}\) ergibt sich \(70.1\,\mathrm{g}\); beide Werte gelten.
Typischer Fehler
Der mittlere Schritt — das Schmelzen — wird vergessen. Dann käme man auf ein Vielfaches zu wenig Eis, denn \(L_f = 333.8\,\mathrm{kJ/kg}\) ist grösser als die beiden anderen Beiträge zusammen. Zweiter Fehler: das Schmelzwasser bleibt bei \(0\,^\circ\mathrm{C}\) liegen, statt auf \(4\,^\circ\mathrm{C}\) mit erwärmt zu werden.
Wärmebilanz grafisch
Du zeichnest eine Heizkurve mit beschrifteten Achsen, berechnest die gesamte Wärme und liest den Anteil des Verdampfens ab.
C5 \(0.50\,\mathrm{kg}\) Wasser von \(20\,^\circ\mathrm{C}\) werden gleichmässig erwärmt, bis alles zu Dampf von \(100\,^\circ\mathrm{C}\) geworden ist.
- a) Skizziere den Temperaturverlauf \(\vartheta(Q)\). Beschrifte beide Achsen mit Grösse und Einheit und wähle eine sinnvolle Skala.
- b) Berechne die insgesamt zugeführte Wärme in \(\mathrm{MJ}\).
- c) Welcher Anteil der Gesamtwärme entfällt auf das Verdampfen?
Musterlösung anzeigen
a) Zwei Abschnitte: erst steigt die Temperatur geradlinig von \(20\) auf \(100\,^\circ\mathrm{C}\), dann bleibt sie waagrecht bei \(100\,^\circ\mathrm{C}\), solange verdampft wird.
b) Erwärmen und Verdampfen zusammen:
\[ Q = m\,c_\text{W}\,\Delta\vartheta + m\,L_v \]
\[ Q = 0.50 \cdot 4.182 \cdot 80 + 0.50 \cdot 2256 = 167.28 + 1128.0 = 1295.3\,\mathrm{kJ} \]
\[ Q = 1.30\,\mathrm{MJ} \]
c) \[ \frac{Q_v}{Q} = \frac{1128.0}{1295.3} = 0.8709 = 87.1\,\% \]
Typischer Fehler
Die Achsen tragen keine Einheiten — bei einer Skizzieraufgabe ist das der halbe Verlust. Und die waagrechte Strecke wird zu kurz gezeichnet: Sie ist rund siebenmal so lang wie der schräge Teil. Wer das Verhältnis grob richtig zeichnet, hat c) schon fast beantwortet.
Selbstkontrolle — deine Lösungen gegen die vier Regeln
Du prüfst deine eigenen Aufschriebe auf Ansatz, Einheiten, Rundung und Lesbarkeit.
Nimm deine Blätter noch einmal zur Hand und geh jede Lösung durch. Nicht die Zahl — die Form.
Fünf Fragen an jede eigene Lösung. Wo du dreimal «nein» sagst, liegt die Arbeit — nicht beim Rechnen, sondern beim Aufschreiben.
S.1 Steht vor jeder Zahlengleichung die Formel in Symbolen?
S.2 Sind die Werte vor dem Einsetzen in die passenden Einheiten gebracht — und steht hinter jedem Zwischenergebnis eine Einheit?
S.3 Hast du mit ungerundeten Teilresultaten weitergerechnet, auch wenn du sie gerundet aufgeschrieben hast?
S.4 Ist jedes Endresultat auf drei signifikante Stellen gerundet und hervorgehoben?
S.5 Könnte jemand anders deiner Lösung folgen, ohne die Aufgabe zu kennen — sieht man, welches Gesetz du benutzt hast?
Wo du nacharbeitest
| Aufgabe | worum es geht | ausführlich nachlesen |
|---|---|---|
| A1 | Einheiten, Potenzen des Faktors, Kelvin | 0.2 Einheiten umrechnen |
| A2 | Volumen, Dichte, Gewichtskraft | 0.3 Dichte bestimmen |
| A3, A4 | Längen- und Flächenausdehnung | 5.3 Längenausdehnung berechnen |
| A5, A7 | Volumenausdehnung, \(\gamma = 3\,\alpha\) | 5.3 Volumenausdehnung |
| A6 | Zylindervolumen und Dichte | 0.1 Flächen und Volumen |
| B1, B2 | Gasgleichung, Normbedingungen | 5.3 Das ideale Gasgesetz |
| B3 | Dichte und Temperatur | 5.3 Volumenausdehnung |
| C1 | Wärmekapazität und Wärmetransport | 5.2 Wärmetransport |
| C2 | Wärmebilanz und Mischtemperatur | 5.2 Mischtemperatur berechnen |
| C3, C4, C5 | Latente Wärme und Heizkurve | 5.2 Eis → Wasser → Dampf |
Wo mehrere Aufgaben desselben Teils wackeln, lohnt sich das ganze Kapitel statt einzelner Abschnitte — die Leitprogramme unten führen der Reihe nach hindurch.
Wie es weitergeht
Dieses Leitprogramm prüft, ob der Stoff sitzt — es unterrichtet ihn nicht. Wer beim Durcharbeiten gemerkt hat, dass ein ganzes Gebiet fehlt, findet es hier von Grund auf:
- Grössen, Messen, Druck — für A1, A2 und A6: Einheiten, Vorsilben, signifikante Stellen und Dichte.
- Wärmeausdehnung — für A3 bis A5 und A7: Feststoffe und Flüssigkeiten, \(\alpha\) und \(\gamma\).
- Ideale Gase — für B1 bis B3: die Gasgleichung und ihre Spezialfälle.
- Wärmemenge und Wärmebilanz — für C2 bis C5: \(Q = m\,c\,\Delta T\), latente Wärme und die Heizkurve.
Und wer beim Umstellen der Formeln unsicher war, findet im Leitprogramm Rechnen und Schliessen das nötige Werkzeug.